TételWiki - Szerkesztő közreműködései [hu]

Félempirikus kötési formula

2011-06-26T22:34:45Z

Birol: Hibajavítás

A kötési energia:

<math>E_{\text{kot}} = \underbrace{a_{\text{V}}A}_{\text{terfogati tag}}-\underbrace{a_{\text{S}}A^{\frac{2}{3}}}_{\text{feluleti tag}}-\underbrace{a_{\text{C}}\frac{Z(Z-1)}{A^{\frac{1}{3}}}}_{\text{Coulomb-tag}}-\underbrace{a_{\text{A}}\frac{(A-2Z)^2}{A}}_{\text{szimmetriatag}} + \underbrace{\delta(A,Z)}_{\text{parkh.-i tag}}.</math>

Félempirikus kötési formula

2011-06-26T22:30:07Z

Birol: Tagmagyarázat

A kötési energia abszolútértéke:

<math>|E_{\text{k}}| = \underbrace{a_{\text{V}}A}_{\text{terfogati tag}}-\underbrace{a_{\text{S}}A^{\frac{2}{3}}}_{\text{feluleti tag}}-\underbrace{a_{\text{C}}\frac{Z(Z-1)}{A^{\frac{1}{3}}}}_{\text{Coulomb-tag}}-\underbrace{a_{\text{A}}\frac{(A-2Z)^2}{A}}_{\text{szimmetriatag}} + \underbrace{\delta(A,Z)}_{\text{parkh.-i tag}}.</math>

Félempirikus kötési formula

2011-06-26T22:26:55Z

Birol: FEKF

A kötési energia abszolútértéke:

<math>|E_{\text{k}}| = a_{\text{V}}A-a_{\text{S}}A^{\frac{2}{3}}-a_{\text{C}}\frac{Z(Z-1)}{A^{\frac{1}{3}}}- -a_{\text{A}}\frac{(A-2Z)^2}{A} + \delta(A,Z).</math>

Pauli egyenlet

2011-06-26T22:23:25Z

Birol: A skalárpotenciál beszúrása.

<math>\left \{ \frac{1}{2m}\left[\boldsymbol{\hat{\sigma}} \cdot (\mathbf{\hat{p}}-Q\mathbf{A})\right]^2 + Q\Phi \right \} \boldsymbol{\Psi} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\Psi}.</math>

<math>\boldsymbol{\hat{\sigma}}\,</math> a Pauli-mátrixokból képzett vektor;

<math>\mathbf{\hat{p}}\,</math> az impulzus;

<math>\mathbf{A}\,</math> a vektorpotenciál;

<math>\Phi\,</math> a skalárpotenciál;

<math>Q\,</math> a részecske töltése, <math>m\,</math> a tömege.

A Pauli-mátrixok a kételemű hullámfüggvényspinor elemeire hatnak.

Pauli egyenlet

2011-06-26T22:19:21Z

Birol:

<math>\left \{ \frac{1}{2m}\left[\boldsymbol{\hat{\sigma}} \cdot (\mathbf{\hat{p}}-Q\mathbf{A})\right]^2 + Q\Phi \right \{ \boldsymbol{\Psi} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\Psi}.</math>

<math>\boldsymbol{\hat{\sigma}}\,</math> a Pauli-mátrixokból képzett vektor;

<math>\mathbf{\hat{p}}\,</math> az impulzus;

<math>\mathbf{\A}\,</math> a vektorpotenciál;

<math>Q\,</math> a részecske töltése, <math>m\,</math> a tömege.

A Pauli-mátrixok a kételemű hullámfüggvényspinor elemeire hatnak.

Pauli egyenlet

2011-06-26T22:16:19Z

Birol: Pauli-egyenlet

<math>\lbrace \frac{1}{2m}\left[\boldsymbol{\hat{\sigma}} \cdot (\mathbf{\hat{p}}-Q\mathbf{A})\right]^2 + Q\Phi \rbrace \boldsymbol{\Psi} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\Psi}.</math>

<math>\boldsymbol{\hat{\sigma}}\,</math> a Pauli-mátrixokból képzett vektor;

<math>\mathbf{\hat{p}}\,</math> az impulzus;

<math>\mathbf{\hat{A}}\,</math> a vektorpotenciál;

<math>Q\,</math> a részecske töltése, <math>m\,</math> a tömege.

A Pauli-mátrixok a kételemű hullámfüggvényspinor elemeire hatnak.

Ponttöltés, dipól potenciálja

2011-06-26T22:05:28Z

Birol: Egyszerű potenciálok.

Ponttöltés potenciálja:

<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}\frac{Q}{r}.</math>

Dipól potenciálja:

<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}\frac{\mathbf{pr}}{r^3}.</math>

Euler összefüggés

2011-06-26T21:59:42Z

Birol: Euler tétele homogén függvényekre.

Ha <math>A(\mathbf{r})</math> homogén függvény, azaz

<math>A(\lambda\mathbf{r}) = \lambda^{\alpha}A(\mathbf{r}),</math>

ahol <math>\alpha</math> a homogenitási fok, akkor

<math>(\mathbf{r}\nabla)A(\mathbf{r}) = \alpha A(\mathbf{r}).</math>

A termodinamikában <math>\alpha = 1</math> általában, például az <math>S(E,V,N)</math> függvénynél.

Euler egyenlet

2011-06-26T21:52:26Z

Birol: A konvektív deriváltat is beleírtam.

Az Euler-egyenlet az ideális folyadék mozgásegyenlete:

<math>\varrho\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = - \nabla p - \varrho \nabla \Phi.</math>

<math>\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\textbf{v} \nabla) \textbf{v}.</math>

Euler egyenlet

2011-06-26T21:50:45Z

Birol:

Euler egyenlet

2011-06-26T21:49:21Z

Birol: Az Euler-egyenlet

Az Euler-egyenlet az ideális folyadék mozgásegyenlete:

<math>\varrho\frac{\text{d}\mathbf{v}}{\text{d}t} = - \nabla p - \varrho \nabla \Phi.</math>

Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora

2011-06-26T21:38:49Z

Birol:

<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}), \quad n=0,\,1,\,2,\, \ldots</math>

<math>\mathcal{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right)= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}\hat{x}^2.</math>

Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora

2011-06-26T21:37:29Z

Birol:

<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}), \quad n=0,\,1,\,2,\, \ldots</math>

<math>\mathcal{H} = \hbar \omega \left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right) = hbar \omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right)= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}\hat{x}^2.</math>

Harmonikus oszcillátor energiája, Hamilton operátora

2011-06-26T21:29:02Z

Birol: Új oldal, tartalma: „<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}), \quad n=0,\,1,\,2,\, \ldots</math> <math>\mathcal{H} = \hbar \omega (\hat{N} + \frac{1}{2}) = hbar \omega (\hat{a}^{\dagger}\h…”

<math>E_n = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}), \quad n=0,\,1,\,2,\, \ldots</math>

<math>\mathcal{H} = \hbar \omega (\hat{N} + \frac{1}{2}) = hbar \omega (\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2})= \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m \omega^2}{2}\hat{x}^2.</math>

Eikonál egyenlet

2011-06-26T21:22:49Z

Birol: Új oldal, tartalma: „<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)^2 = c(\mathbf{r})^2 \left(\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}}\right)^2,</math> <math>\varphi(\mathbf{r}, t…”

<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)^2 = c(\mathbf{r})^2 \left(\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}}\right)^2,</math>

<math>\varphi(\mathbf{r}, t)</math> az eikonál.

Az asztrofizika alapjai

2011-06-26T20:24:17Z

Birol: /* Friedmann-egyenletek szemléletes értelme */ Kijavítottam a háromdimenziós ívelemnégyzetet, hogy valóban négyzetnek látszódjék.

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>\mathbf{F} = -\gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek, a kevés hiányosságot Einstein általános relativitáselmelete pótolta. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100 MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy univerzum homogén és izotrop.
* Megfigyelések szerint az univerzum tágul (a Hubble-törvénynek megfelelően), ha ezt a folyamatot időben megfordítjuk, akkor eljutunk az ősrobbanás alap gondolatához.
Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* [[Hubble-törvény]]
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)
* [[Kozmikus háttérsugárzás]]

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3^2(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3^2(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben:

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto a^{-4}</math> és <math>a \propto t^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto a^{-3}</math> és <math>a \propto t^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==
A galaxisok főleg hidrogénből és héliumból keletkeztek a saját gravitációjuk hatására. Két elmélet létezik:

* Felülről lefelé elmélet: A csillagközi H-ből és He-ból nagy a mai galaxisok méretével összemérhető felhők alakultak ki a saját gravitációjuk miatt, majd ezekben születtek meg a csillagok, amikortól már galaxisnak tekinthetők ezek a képződmények.

* Alulról felfelé elmélet: A csillagközi H és He kis méretű felhőkké állt össze, ezekben születtek az első csillagok. Majd ezek a kis méretű galaxisok ütköztek, és így álltak össze nagy galaxisokká.

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}\sim{M^{-2,5}}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

Definíció: <math>z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda}</math>

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-26T19:58:52Z

Birol: /* Newton-féle gravitációs erőtörvény */ Kiegészítettem az irányával és a vonzást megjelenítő - jellel.

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>\mathbf{F} = -\gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}\frac{\mathbf{r}}{r}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek, a kevés hiányosságot Einstein általános relativitáselmelete pótolta. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100 MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy univerzum homogén és izotrop.
* Megfigyelések szerint az univerzum tágul (a Hubble-törvénynek megfelelően), ha ezt a folyamatot időben megfordítjuk, akkor eljutunk az ősrobbanás alap gondolatához.
Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* [[Hubble-törvény]]
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)
* [[Kozmikus háttérsugárzás]]

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben:

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto a^{-4}</math> és <math>a \propto t^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto a^{-3}</math> és <math>a \propto t^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==
A galaxisok főleg hidrogénből és héliumból keletkeztek a saját gravitációjuk hatására. Két elmélet létezik:

* Felülről lefelé elmélet: A csillagközi H-ből és He-ból nagy a mai galaxisok méretével összemérhető felhők alakultak ki a saját gravitációjuk miatt, majd ezekben születtek meg a csillagok, amikortól már galaxisnak tekinthetők ezek a képződmények.

* Alulról felfelé elmélet: A csillagközi H és He kis méretű felhőkké állt össze, ezekben születtek az első csillagok. Majd ezek a kis méretű galaxisok ütköztek, és így álltak össze nagy galaxisokká.

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}\sim{M^{-2,5}}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

Definíció: <math>z=\frac{\Delta\lambda}{\lambda}</math>

{{Záróvizsga}}

Kristályos anyagok fizikája

2011-06-26T16:33:55Z

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */ Kijavítottam, hogy a Bloch-függvények az elektronprobléma megoldásából kaphatóak, nem a rácsproblémából.

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>

<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>

<math>\cos(\varphi)=\frac{1-m}{2}</math>

<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (középpontos tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4}, \, \overline{6}</math> létezik.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 \frac{\text{m}}{\text{s}}</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 \frac{\text{m}}{\text{s}}</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton-függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\Psi=E\Psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\Psi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i}) = \underbrace{\varphi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})}_{\text{elektron}}\underbrace{\chi(\underline{R}_{I})}_{\text{ion}}.</math>

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}\chi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\chi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\chi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\chi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+</math>

<math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\chi=E\chi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak az elektronproblémát, azaz az harmadik tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra az elektronproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi.</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag az elektronok kinetikus energiája, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük. Vagyis az elektron hullámfüggvénye tükrözi a rács szimmetriáit.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszorzással, így más módszert kell alkalmaznunk (főtengelytranszformációt), de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

Kristályos anyagok fizikája

2011-06-26T16:23:02Z

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>

<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>

<math>\cos(\varphi)=\frac{1-m}{2}</math>

<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (középpontos tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4}, \, \overline{6}</math> létezik.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\Psi=E\Psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\Psi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i}) = \underbrace{\varphi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})}_{\text{elektron}}\underbrace{\chi(\underline{R}_{I})}_{\text{ion}}.</math>

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}\chi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\chi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\chi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\chi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+</math>

<math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\chi=E\chi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

Kristályos anyagok fizikája

2011-06-26T16:21:55Z

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>

<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>

<math>\cos(\varphi)=\frac{1-m}{2}</math>

<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (középpontos tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4}, \, \overline{6}</math> létezik.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\Psi=E\Psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\Psi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i}) = \underbrace{\varphi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})}_{\text{elektron}}\underbrace{\chi(\underline{R}_{I})}_{\text{ion}}.</math>

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}\chi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\chi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\chi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\chi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+</math>

<math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\phi=E\chi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

Kristályos anyagok fizikája

2011-06-26T16:20:59Z

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */ Átírtam egy kicsit átláthatóbbá és változtattam a hullámfüggvények jelölésén.

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>

<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>

<math>\cos(\varphi)=\frac{1-m}{2}</math>

<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (középpontos tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4}, \, \overline{6}</math> létezik.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\psi=E\psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\Psi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i}) = \underbrace{\varphi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})}_{\text{ion}}\underbrace{\chi(\underline{R}_{I})}_{\text{elektron}}.</math>

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}\chi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\chi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\chi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\chi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+</math>

<math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\phi=E\chi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

Kristályos anyagok fizikája

2011-06-26T15:01:22Z

Birol: /* Szimmetriák */

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>

<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>

<math>\cos(\varphi)=\frac{1-m}{2}</math>

<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (középpontos tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4}, \, \overline{6}</math> létezik.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\psi=E\psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\phi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\phi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\phi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\phi=E\phi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

Kristályos anyagok fizikája

2011-06-26T15:00:48Z

Birol: /* Szimmetriák */

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>

<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>

<math>\cos(\varphi)=\frac{1-m}{2}</math>

<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4} \, \overline{6}</math> létezik.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\psi=E\psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\phi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\phi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\phi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\phi=E\phi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-26T00:06:10Z

Birol: /* Atomi diamágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő [[Hamilton]]-[[operátor]]ral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgási [[energia|energiája]] és belső gerjesztettsége, második a [[kölcsönhatás]]t jellemző [[potenciál]]. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok [[állapotegyenlet]]e érdekel. Írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az [[impulzus]]t kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a [[potenciál]]t nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen [[modell]]t kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A [[kölcsönhatás]] párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolút értékétől függ.
*Valamilyen modell [[függvény]]t tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például [[Lennard-Jones potenciál|Lennard-Jones]], vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az [[állapotösszeg]]et, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció [[valószínűség]]ét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli [[mikroállapot]] valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása [[kombinatorika]]i feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a [[hőmérséklet]]től is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a [[Van der Waals]] féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a [[Hamilton]]ja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske [[állapotösszeg]]:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig [[Guass-intergál]] segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a [[termikus hullámhossz]] jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a [[potenciál]] által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagpotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén [[részecskesűrűség]]re:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos ''dr'' vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két [[konstans]]t, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy [[energia]] tartozik, amelyben az eloszlás [[Boltzmann-eloszlás]], azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az [[állapotösszeg]]be:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezek után érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritka gázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a [[Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok|Van der Waals gázok]] állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található [[Kondor Imre]]-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az [[Ising]]-modell figyelembe veszi a szomszédos [[spin]]ek közötti [[kölcsönhatás]]t, egy ([[ferromágnes]]es) rendszer [[energia|energiája]] így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik első szomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső [[mágneses tér]]rel vett [[kölcsönhatás]], a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban [[egzakt]]ul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért [[határfeltétel|periodikus határfeltételekkel]] számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a [[modell]]t úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy [[gyűrű]] mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A [[termodinamika]]i mennyiségek meghatározásához írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő [[transzfermátrix]]ot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> [[mátrix]] lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az [[állapotösszeg]] felírható a [[transzfermátrix]]szal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a [[spur]]ja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> [[sajátérték]]ek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a [[termodinamikai határeset]]ben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az [[állapotösszeg]]: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A [[mágnesezettség]] külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a [[spin]]ek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A [[szuszceptibilitás]]:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A [[korrelációs függvény]]:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos [[domén]]méretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A [[Hamilton-függvény]] abban különbözik a [[ferromágnes]]es esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A [[korrelációs függvény]] változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egy dimenzióban megjelenik a [[fázisátmenet]]. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a [[spin]]ek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az [[entrópia]] a végtelenhez tart [[termodinamikai határeset]]ben, nulla Kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható [[egzakt]]ul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy [[átlagtér-elmélet]]i [[közelítés]]t mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a [[várható érték]]üket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy [[szabad spinrendszer]], amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az [[energia]] így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az első szomszédok száma, amit ''koordinációs számnak'' hívnak. Az [[állapotösszeg]]:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \lbrace 2 \operatorname{ch} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ] \rbrace^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> [[függvény]]ében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy [[tangens hiperbolikusz]] függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a [[hőmérséklet]]től is, így egy [[kritikus hőmérséklet]] felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be [[fázisátalakulás]]: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az [[origó]]ban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.

<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>

<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k_{\text{B}}}.</math>

A [[mágnesezettség]] a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk [[makroszkopikus]]sá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A [[mágnesség]] tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: [[Mágneses térerősség]] (H), [[mágneses indukció vektor]] (B), [[mágnesezettség]] (M). Bevezettük a mágneses [[szuszceptibilitás]]t, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag [[diamágnes]]es, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő [[elektron]]ok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a [[mágneses momentum]]uk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a [[momentum]]okat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A [[ferromágnes]]es anyagoknál a domének nagy, [[makroszkopikus]] méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük a rendszert, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és [[fázisátmenet]] következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen [[makroszkópikus]] méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a ''fázishatárok'', vagy ''doménfalak'' az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses [[anizotrópia]]-[[energia]]. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a [[kristály]] méretei, ez a '''magnetostrikció'''.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes [[impulzusmomentum]]ot (J = L + 2S), ekkor a [[mágneses momentum]] a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő [[energia|energiát]] jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy ''B'' z irányú. akkor a ''BJ'' [[skaláris szorzat]]ot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az [[állapotösszeg]]et (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a [[szabadenergia]]:

:<math>F= -N k T \ln \zeta \;</math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a [[mágnesezettség]]et (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>M = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(x).</math>

A [[Brillouin-függvény]] alakra hasonló az [[arkusz tangens]]hez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a [[szaturáció]] jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes [[mágneses momentum]]ot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0\;</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a [[szuszceptibilitás]]t:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> [[Curie]]-állandóba vontuk össze. Ez a [[hőmérséklet]]tel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő [[elektron]] pályája megváltozik, és ezáltal a [[mágneses momentum]]a is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a [[Lorentz-erő]] tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk [[Larmor tétele|Larmor tételét]], amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis kör[[frekvencia]]-megváltozásnak. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a Lorentz-erő hatását elsőrendű perturbációnak tekintjük, vagyis igaz a nulladrend:

<math>F = m \rho \omega^2\, ,</math>

és elsőrendben:

<math>e \rho \omega H \mu_0 = 2 m \rho \omega \Delta \omega.\,</math>

A mágneses momentum az [[áram]] és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az elektron mennyi idő alatt futja körbe a pályáját (áram) és az mekkora felületet ölel át (<math>\boldsymbol{\mu} = I \mathbf{A}</math>). Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = \underbrace{e \frac{\Delta \omega}{2\pi}}_{\text{aram}} \underbrace{\rho_i^{2} \pi}_{\text{felulet}} = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a tér irányára [[merőleges]] távolságok járulnak hozzá, az [[elektron]] azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> [[rendszám]]ú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a [[Larmor tétele|Larmor-frekvenciát]]:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a [[szuszceptibilitás]] már leolvasható, a negatív előjel jelenti a [[diamágnes]]es hatást. ([[SI]]-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A [[Pauli]]-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a [[Fermi-energia]] környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad [[elektron]]ok paramágnességéről van szó. A [[hőmérséklet]]től független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi [sűrűség]éből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a [[Bethe-Sommerfeld sorfejtés]]t alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a [[mágneses indukció]] is bele van olvasztva. Eredményül a [[szuszceptibilitás]]:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a [[Fermi-energia]] szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad [[elektorn]]ok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző [[hullámfüggvény]]t felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a [[Schrödinger-egyenlet]] megoldását, amelyben felismerjük a [[harmonikus oszcillátor]] energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az [[állapotsűrűség]] fölhasználásával tesszük. A [[mágnesezettség]]et az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a [[szuszceptibilitás]] kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a ''Pauli-szuszceptibilitás'' -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a [[ferromágnes]]es anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott [[ellenállás]]a. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget ([[koercitív erő]]). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő [[mágnesezettség]] külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó [[transzformátor]]okat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt disszipált energiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust [[Weiss]] egy belsőtér-elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a [[spin]]ek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a [[mágnesezettség]] a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a [[Curie]]-[[Weiss]]-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss-törvény leírja a [[szuszceptibilitás]] változását a kifagyási pont felett, a [[paramágnes]]es hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a [[kifagyás]] felett érvényes, az átalakulási pontban [[divergens]], ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a [[Curie-törvény]]t követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a [[ferromágnes|ferro-]] és [[paramágnes]]es anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális [[vezető]] eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ellentétes a [[spin]]beállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a [[merevlemez]]ek kiolvasófeje, amit [[spinszelep]]nek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony [[hőmérséklet]]re hűtésekor az [[elektromos ellenállás]] egzaktul nullává válik. Alapvetően két fajtájuk van: első- és másodfajú szupravezetők. Az elsőfajú szupravezetőkben lejátszódó jelenséget ellentétes spinű elektron-elektron párok (ún. [[Cooper]]-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyeket a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyen párok jönnek létre egy [[Bose-Einstein-kondenzáció]]hoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonnak tekinhetőek. Láthatóan a fononok főszerepet játszanak a jelenségben, amelyek viszont szobahőmérsékleten akadályozzák az elektronok mozgását. Ezért van, hogy a rosszabb vezetők válnak szupravezetővé, a jók viszont, az ezüst, réz, arany pedig nem.

Nagyon fontos tulajdonságuk a [[Meissner-effektus]], vagyis hogy a mágneses tér kiszorul az anyagból, ez a következő egyenletből vezethető le:

<math>\left(\Delta - \frac{ne^2 \mu_0}{m}\right){\mathbf{B} \choose \mathbf{j}} = 0,</math>

ahol <math>\Delta</math> a Laplace, <math>n</math> a töltéshordozók sűrűsége, <math>e</math> a töltése, <math>m</math> a tömege, <math>\mathbf{B}</math> a mágneses indukció, <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség (ebből lesz a szuperáram). Az egyenlet lecsengő megoldásait kell választani.

Ha külső tér jelenlétében folyik le a fázisátalakulás, akkor, ha veszünk egy gyűrű alakú mintát, a gyűrű belsejében mérhetünk mágneses teret, ha viszont később kapcsoljuk be azt, nem tud behatolni oda. Ezeknél ugrásszerű a normális és a szupravezető anyag közötti [[fázisátalakulás]].

A másodfajú szupravezetők elmélete koránt sem ilyen kidolgozott, nem tudják pontosan, mi történik. Annyit tudunk, hogy bizonyos atomrétegekben folyik a szuperáram, tehát csak egy síkban jelentkezik az egykristályban a szupravezetés. Soknál a folyékony nitrogén forráspontja fölött bekövetkezik a fázisátmenet, ezek a magas hőmérsékletű szupravezetők. Ezeknél már bonyolultabb a fázisátmenet, mert létezik egy olyan fázis, ahol a mágneses tér örvényfonalakban mégis behatol az anyagba, de egy örvényfonal csak meghatározott értékű [[fluxus]]t tud befogadni, ez a fluxuskvantálás.

A kritikus hőmérséklet függ az atomok tömegétől (izotópeffektus, <math>T_{\text{C}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}</math>), másodfajúaknál pedig a külső mágneses tértől is, egy kritikus térerősség fölött nem is következik be a fázisátalakulás. Ezen jó tulajdonságaik miatt a másodfajú szupravezetőket használják szupravezető mágnesekben, így például a [[CERN]] LHC gyorsítójában is.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-26T00:05:16Z

Birol: /* Atomi diamágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő [[Hamilton]]-[[operátor]]ral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgási [[energia|energiája]] és belső gerjesztettsége, második a [[kölcsönhatás]]t jellemző [[potenciál]]. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok [[állapotegyenlet]]e érdekel. Írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az [[impulzus]]t kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a [[potenciál]]t nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen [[modell]]t kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A [[kölcsönhatás]] párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolút értékétől függ.
*Valamilyen modell [[függvény]]t tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például [[Lennard-Jones potenciál|Lennard-Jones]], vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az [[állapotösszeg]]et, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció [[valószínűség]]ét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli [[mikroállapot]] valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása [[kombinatorika]]i feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a [[hőmérséklet]]től is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a [[Van der Waals]] féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a [[Hamilton]]ja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske [[állapotösszeg]]:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig [[Guass-intergál]] segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a [[termikus hullámhossz]] jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a [[potenciál]] által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagpotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén [[részecskesűrűség]]re:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos ''dr'' vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két [[konstans]]t, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy [[energia]] tartozik, amelyben az eloszlás [[Boltzmann-eloszlás]], azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az [[állapotösszeg]]be:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezek után érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritka gázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a [[Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok|Van der Waals gázok]] állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található [[Kondor Imre]]-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az [[Ising]]-modell figyelembe veszi a szomszédos [[spin]]ek közötti [[kölcsönhatás]]t, egy ([[ferromágnes]]es) rendszer [[energia|energiája]] így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik első szomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső [[mágneses tér]]rel vett [[kölcsönhatás]], a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban [[egzakt]]ul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért [[határfeltétel|periodikus határfeltételekkel]] számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a [[modell]]t úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy [[gyűrű]] mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A [[termodinamika]]i mennyiségek meghatározásához írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő [[transzfermátrix]]ot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> [[mátrix]] lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az [[állapotösszeg]] felírható a [[transzfermátrix]]szal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a [[spur]]ja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> [[sajátérték]]ek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a [[termodinamikai határeset]]ben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az [[állapotösszeg]]: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A [[mágnesezettség]] külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a [[spin]]ek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A [[szuszceptibilitás]]:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A [[korrelációs függvény]]:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos [[domén]]méretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A [[Hamilton-függvény]] abban különbözik a [[ferromágnes]]es esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A [[korrelációs függvény]] változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egy dimenzióban megjelenik a [[fázisátmenet]]. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a [[spin]]ek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az [[entrópia]] a végtelenhez tart [[termodinamikai határeset]]ben, nulla Kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható [[egzakt]]ul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy [[átlagtér-elmélet]]i [[közelítés]]t mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a [[várható érték]]üket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy [[szabad spinrendszer]], amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az [[energia]] így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az első szomszédok száma, amit ''koordinációs számnak'' hívnak. Az [[állapotösszeg]]:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \lbrace 2 \operatorname{ch} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ] \rbrace^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> [[függvény]]ében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy [[tangens hiperbolikusz]] függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a [[hőmérséklet]]től is, így egy [[kritikus hőmérséklet]] felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be [[fázisátalakulás]]: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az [[origó]]ban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.

<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>

<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k_{\text{B}}}.</math>

A [[mágnesezettség]] a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk [[makroszkopikus]]sá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A [[mágnesség]] tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: [[Mágneses térerősség]] (H), [[mágneses indukció vektor]] (B), [[mágnesezettség]] (M). Bevezettük a mágneses [[szuszceptibilitás]]t, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag [[diamágnes]]es, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő [[elektron]]ok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a [[mágneses momentum]]uk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a [[momentum]]okat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A [[ferromágnes]]es anyagoknál a domének nagy, [[makroszkopikus]] méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük a rendszert, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és [[fázisátmenet]] következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen [[makroszkópikus]] méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a ''fázishatárok'', vagy ''doménfalak'' az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses [[anizotrópia]]-[[energia]]. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a [[kristály]] méretei, ez a '''magnetostrikció'''.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes [[impulzusmomentum]]ot (J = L + 2S), ekkor a [[mágneses momentum]] a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő [[energia|energiát]] jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy ''B'' z irányú. akkor a ''BJ'' [[skaláris szorzat]]ot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az [[állapotösszeg]]et (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a [[szabadenergia]]:

:<math>F= -N k T \ln \zeta \;</math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a [[mágnesezettség]]et (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>M = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(x).</math>

A [[Brillouin-függvény]] alakra hasonló az [[arkusz tangens]]hez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a [[szaturáció]] jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes [[mágneses momentum]]ot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0\;</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a [[szuszceptibilitás]]t:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> [[Curie]]-állandóba vontuk össze. Ez a [[hőmérséklet]]tel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő [[elektron]] pályája megváltozik, és ezáltal a [[mágneses momentum]]a is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a [[Lorentz-erő]] tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk [[Larmor tétele|Larmor tételét]], amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis kör[[frekvencia]]-megváltozásnak. Ezt úgy kapjuk meg, hogy a Lorentz-erő hatását elsőrendű perturbációnak tekintjük, vagyis igaz a nulladrend:

<math>F = m \rho \omega^2,</math>

és elsőrendben:

<math>e \rho \omega H \mu_0 = 2 m \rho \omega \Delta \omega.</math>

A mágneses momentum az [[áram]] és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az elektron mennyi idő alatt futja körbe a pályáját (áram) és az mekkora felületet ölel át (<math>\boldsymbol{\mu} = I \mathbf{A}</math>). Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = \underbrace{e \frac{\Delta \omega}{2\pi}}_{\text{aram}} \underbrace{\rho_i^{2} \pi}_{\text{felulet}} = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a tér irányára [[merőleges]] távolságok járulnak hozzá, az [[elektron]] azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> [[rendszám]]ú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a [[Larmor tétele|Larmor-frekvenciát]]:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a [[szuszceptibilitás]] már leolvasható, a negatív előjel jelenti a [[diamágnes]]es hatást. ([[SI]]-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A [[Pauli]]-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a [[Fermi-energia]] környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad [[elektron]]ok paramágnességéről van szó. A [[hőmérséklet]]től független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi [sűrűség]éből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a [[Bethe-Sommerfeld sorfejtés]]t alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a [[mágneses indukció]] is bele van olvasztva. Eredményül a [[szuszceptibilitás]]:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a [[Fermi-energia]] szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad [[elektorn]]ok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző [[hullámfüggvény]]t felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a [[Schrödinger-egyenlet]] megoldását, amelyben felismerjük a [[harmonikus oszcillátor]] energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az [[állapotsűrűség]] fölhasználásával tesszük. A [[mágnesezettség]]et az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a [[szuszceptibilitás]] kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a ''Pauli-szuszceptibilitás'' -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a [[ferromágnes]]es anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott [[ellenállás]]a. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget ([[koercitív erő]]). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő [[mágnesezettség]] külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó [[transzformátor]]okat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt disszipált energiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust [[Weiss]] egy belsőtér-elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a [[spin]]ek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a [[mágnesezettség]] a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a [[Curie]]-[[Weiss]]-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss-törvény leírja a [[szuszceptibilitás]] változását a kifagyási pont felett, a [[paramágnes]]es hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a [[kifagyás]] felett érvényes, az átalakulási pontban [[divergens]], ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a [[Curie-törvény]]t követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a [[ferromágnes|ferro-]] és [[paramágnes]]es anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális [[vezető]] eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ellentétes a [[spin]]beállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a [[merevlemez]]ek kiolvasófeje, amit [[spinszelep]]nek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony [[hőmérséklet]]re hűtésekor az [[elektromos ellenállás]] egzaktul nullává válik. Alapvetően két fajtájuk van: első- és másodfajú szupravezetők. Az elsőfajú szupravezetőkben lejátszódó jelenséget ellentétes spinű elektron-elektron párok (ún. [[Cooper]]-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyeket a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyen párok jönnek létre egy [[Bose-Einstein-kondenzáció]]hoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonnak tekinhetőek. Láthatóan a fononok főszerepet játszanak a jelenségben, amelyek viszont szobahőmérsékleten akadályozzák az elektronok mozgását. Ezért van, hogy a rosszabb vezetők válnak szupravezetővé, a jók viszont, az ezüst, réz, arany pedig nem.

Nagyon fontos tulajdonságuk a [[Meissner-effektus]], vagyis hogy a mágneses tér kiszorul az anyagból, ez a következő egyenletből vezethető le:

<math>\left(\Delta - \frac{ne^2 \mu_0}{m}\right){\mathbf{B} \choose \mathbf{j}} = 0,</math>

ahol <math>\Delta</math> a Laplace, <math>n</math> a töltéshordozók sűrűsége, <math>e</math> a töltése, <math>m</math> a tömege, <math>\mathbf{B}</math> a mágneses indukció, <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség (ebből lesz a szuperáram). Az egyenlet lecsengő megoldásait kell választani.

Ha külső tér jelenlétében folyik le a fázisátalakulás, akkor, ha veszünk egy gyűrű alakú mintát, a gyűrű belsejében mérhetünk mágneses teret, ha viszont később kapcsoljuk be azt, nem tud behatolni oda. Ezeknél ugrásszerű a normális és a szupravezető anyag közötti [[fázisátalakulás]].

A másodfajú szupravezetők elmélete koránt sem ilyen kidolgozott, nem tudják pontosan, mi történik. Annyit tudunk, hogy bizonyos atomrétegekben folyik a szuperáram, tehát csak egy síkban jelentkezik az egykristályban a szupravezetés. Soknál a folyékony nitrogén forráspontja fölött bekövetkezik a fázisátmenet, ezek a magas hőmérsékletű szupravezetők. Ezeknél már bonyolultabb a fázisátmenet, mert létezik egy olyan fázis, ahol a mágneses tér örvényfonalakban mégis behatol az anyagba, de egy örvényfonal csak meghatározott értékű [[fluxus]]t tud befogadni, ez a fluxuskvantálás.

A kritikus hőmérséklet függ az atomok tömegétől (izotópeffektus, <math>T_{\text{C}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}</math>), másodfajúaknál pedig a külső mágneses tértől is, egy kritikus térerősség fölött nem is következik be a fázisátalakulás. Ezen jó tulajdonságaik miatt a másodfajú szupravezetőket használják szupravezető mágnesekben, így például a [[CERN]] LHC gyorsítójában is.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-25T23:48:00Z

Birol: /* Szupravezetés */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő [[Hamilton]]-[[operátor]]ral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgási [[energia|energiája]] és belső gerjesztettsége, második a [[kölcsönhatás]]t jellemző [[potenciál]]. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok [[állapotegyenlet]]e érdekel. Írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az [[impulzus]]t kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a [[potenciál]]t nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen [[modell]]t kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A [[kölcsönhatás]] párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolút értékétől függ.
*Valamilyen modell [[függvény]]t tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például [[Lennard-Jones potenciál|Lennard-Jones]], vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az [[állapotösszeg]]et, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció [[valószínűség]]ét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli [[mikroállapot]] valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása [[kombinatorika]]i feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a [[hőmérséklet]]től is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a [[Van der Waals]] féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a [[Hamilton]]ja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske [[állapotösszeg]]:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig [[Guass-intergál]] segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a [[termikus hullámhossz]] jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a [[potenciál]] által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagpotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén [[részecskesűrűség]]re:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos ''dr'' vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két [[konstans]]t, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy [[energia]] tartozik, amelyben az eloszlás [[Boltzmann-eloszlás]], azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az [[állapotösszeg]]be:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezek után érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritka gázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a [[Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok|Van der Waals gázok]] állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található [[Kondor Imre]]-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az [[Ising]]-modell figyelembe veszi a szomszédos [[spin]]ek közötti [[kölcsönhatás]]t, egy ([[ferromágnes]]es) rendszer [[energia|energiája]] így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik első szomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső [[mágneses tér]]rel vett [[kölcsönhatás]], a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban [[egzakt]]ul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért [[határfeltétel|periodikus határfeltételekkel]] számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a [[modell]]t úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy [[gyűrű]] mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A [[termodinamika]]i mennyiségek meghatározásához írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő [[transzfermátrix]]ot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> [[mátrix]] lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az [[állapotösszeg]] felírható a [[transzfermátrix]]szal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a [[spur]]ja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> [[sajátérték]]ek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a [[termodinamikai határeset]]ben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az [[állapotösszeg]]: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A [[mágnesezettség]] külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a [[spin]]ek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A [[szuszceptibilitás]]:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A [[korrelációs függvény]]:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos [[domén]]méretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A [[Hamilton-függvény]] abban különbözik a [[ferromágnes]]es esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A [[korrelációs függvény]] változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egy dimenzióban megjelenik a [[fázisátmenet]]. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a [[spin]]ek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az [[entrópia]] a végtelenhez tart [[termodinamikai határeset]]ben, nulla Kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható [[egzakt]]ul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy [[átlagtér-elmélet]]i [[közelítés]]t mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a [[várható érték]]üket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy [[szabad spinrendszer]], amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az [[energia]] így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az első szomszédok száma, amit ''koordinációs számnak'' hívnak. Az [[állapotösszeg]]:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \lbrace 2 \operatorname{ch} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ] \rbrace^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> [[függvény]]ében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy [[tangens hiperbolikusz]] függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a [[hőmérséklet]]től is, így egy [[kritikus hőmérséklet]] felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be [[fázisátalakulás]]: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az [[origó]]ban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.

<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>

<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k_{\text{B}}}.</math>

A [[mágnesezettség]] a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk [[makroszkopikus]]sá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A [[mágnesség]] tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: [[Mágneses térerősség]] (H), [[mágneses indukció vektor]] (B), [[mágnesezettség]] (M). Bevezettük a mágneses [[szuszceptibilitás]]t, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag [[diamágnes]]es, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő [[elektron]]ok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a [[mágneses momentum]]uk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a [[momentum]]okat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A [[ferromágnes]]es anyagoknál a domének nagy, [[makroszkopikus]] méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük a rendszert, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és [[fázisátmenet]] következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen [[makroszkópikus]] méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a ''fázishatárok'', vagy ''doménfalak'' az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses [[anizotrópia]]-[[energia]]. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a [[kristály]] méretei, ez a '''magnetostrikció'''.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes [[impulzusmomentum]]ot (J = L + 2S), ekkor a [[mágneses momentum]] a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő [[energia|energiát]] jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy ''B'' z irányú. akkor a ''BJ'' [[skaláris szorzat]]ot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az [[állapotösszeg]]et (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a [[szabadenergia]]:

:<math>F= -N k T \ln \zeta \;</math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a [[mágnesezettség]]et (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>M = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(x).</math>

A [[Brillouin-függvény]] alakra hasonló az [[arkusz tangens]]hez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a [[szaturáció]] jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes [[mágneses momentum]]ot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0\;</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a [[szuszceptibilitás]]t:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> [[Curie]]-állandóba vontuk össze. Ez a [[hőmérséklet]]tel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő [[elektron]] pályája megváltozik, és ezáltal a [[mágneses momentum]]a is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a [[Lorentz-erő]] tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk [[Larmor tétele|Larmor tételét]], amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis kör[[frekvencia]]-megváltozásnak. A mágneses momentum az [[áram]] és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi [[töltés]] halad át egy [[másodperc]] alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a tér irányára [[merőleges]] távolságok járulnak hozzá, az [[elektron]] azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> [[rendszám]]ú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a [[Larmor tétele|Larmor-frekvenciát]]:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a [[szuszceptibilitás]] már leolvasható, a negatív előjel jelenti a [[diamágnes]]es hatást. ([[SI]]-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A [[Pauli]]-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a [[Fermi-energia]] környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad [[elektron]]ok paramágnességéről van szó. A [[hőmérséklet]]től független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi [sűrűség]éből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a [[Bethe-Sommerfeld sorfejtés]]t alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a [[mágneses indukció]] is bele van olvasztva. Eredményül a [[szuszceptibilitás]]:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a [[Fermi-energia]] szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad [[elektorn]]ok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző [[hullámfüggvény]]t felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a [[Schrödinger-egyenlet]] megoldását, amelyben felismerjük a [[harmonikus oszcillátor]] energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az [[állapotsűrűség]] fölhasználásával tesszük. A [[mágnesezettség]]et az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a [[szuszceptibilitás]] kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a ''Pauli-szuszceptibilitás'' -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a [[ferromágnes]]es anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott [[ellenállás]]a. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget ([[koercitív erő]]). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő [[mágnesezettség]] külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó [[transzformátor]]okat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt disszipált energiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust [[Weiss]] egy belsőtér-elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a [[spin]]ek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a [[mágnesezettség]] a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a [[Curie]]-[[Weiss]]-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss-törvény leírja a [[szuszceptibilitás]] változását a kifagyási pont felett, a [[paramágnes]]es hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a [[kifagyás]] felett érvényes, az átalakulási pontban [[divergens]], ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a [[Curie-törvény]]t követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a [[ferromágnes|ferro-]] és [[paramágnes]]es anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális [[vezető]] eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ellentétes a [[spin]]beállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a [[merevlemez]]ek kiolvasófeje, amit [[spinszelep]]nek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony [[hőmérséklet]]re hűtésekor az [[elektromos ellenállás]] egzaktul nullává válik. Alapvetően két fajtájuk van: első- és másodfajú szupravezetők. Az elsőfajú szupravezetőkben lejátszódó jelenséget ellentétes spinű elektron-elektron párok (ún. [[Cooper]]-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyeket a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyen párok jönnek létre egy [[Bose-Einstein-kondenzáció]]hoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonnak tekinhetőek. Láthatóan a fononok főszerepet játszanak a jelenségben, amelyek viszont szobahőmérsékleten akadályozzák az elektronok mozgását. Ezért van, hogy a rosszabb vezetők válnak szupravezetővé, a jók viszont, az ezüst, réz, arany pedig nem.

Nagyon fontos tulajdonságuk a [[Meissner-effektus]], vagyis hogy a mágneses tér kiszorul az anyagból, ez a következő egyenletből vezethető le:

<math>\left(\Delta - \frac{ne^2 \mu_0}{m}\right){\mathbf{B} \choose \mathbf{j}} = 0,</math>

ahol <math>\Delta</math> a Laplace, <math>n</math> a töltéshordozók sűrűsége, <math>e</math> a töltése, <math>m</math> a tömege, <math>\mathbf{B}</math> a mágneses indukció, <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség (ebből lesz a szuperáram). Az egyenlet lecsengő megoldásait kell választani.

Ha külső tér jelenlétében folyik le a fázisátalakulás, akkor, ha veszünk egy gyűrű alakú mintát, a gyűrű belsejében mérhetünk mágneses teret, ha viszont később kapcsoljuk be azt, nem tud behatolni oda. Ezeknél ugrásszerű a normális és a szupravezető anyag közötti [[fázisátalakulás]].

A másodfajú szupravezetők elmélete koránt sem ilyen kidolgozott, nem tudják pontosan, mi történik. Annyit tudunk, hogy bizonyos atomrétegekben folyik a szuperáram, tehát csak egy síkban jelentkezik az egykristályban a szupravezetés. Soknál a folyékony nitrogén forráspontja fölött bekövetkezik a fázisátmenet, ezek a magas hőmérsékletű szupravezetők. Ezeknél már bonyolultabb a fázisátmenet, mert létezik egy olyan fázis, ahol a mágneses tér örvényfonalakban mégis behatol az anyagba, de egy örvényfonal csak meghatározott értékű [[fluxus]]t tud befogadni, ez a fluxuskvantálás.

A kritikus hőmérséklet függ az atomok tömegétől (izotópeffektus, <math>T_{\text{C}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}</math>), másodfajúaknál pedig a külső mágneses tértől is, egy kritikus térerősség fölött nem is következik be a fázisátalakulás. Ezen jó tulajdonságaik miatt a másodfajú szupravezetőket használják szupravezető mágnesekben, így például a [[CERN]] LHC gyorsítójában is.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-25T23:17:46Z

Birol: /* Atomi paramágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő [[Hamilton]]-[[operátor]]ral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgási [[energia|energiája]] és belső gerjesztettsége, második a [[kölcsönhatás]]t jellemző [[potenciál]]. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok [[állapotegyenlet]]e érdekel. Írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az [[impulzus]]t kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a [[potenciál]]t nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen [[modell]]t kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A [[kölcsönhatás]] párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolút értékétől függ.
*Valamilyen modell [[függvény]]t tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például [[Lennard-Jones potenciál|Lennard-Jones]], vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az [[állapotösszeg]]et, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció [[valószínűség]]ét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli [[mikroállapot]] valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása [[kombinatorika]]i feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a [[hőmérséklet]]től is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a [[Van der Waals]] féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a [[Hamilton]]ja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske [[állapotösszeg]]:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig [[Guass-intergál]] segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a [[termikus hullámhossz]] jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a [[potenciál]] által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagpotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén [[részecskesűrűség]]re:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos ''dr'' vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két [[konstans]]t, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy [[energia]] tartozik, amelyben az eloszlás [[Boltzmann-eloszlás]], azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az [[állapotösszeg]]be:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezek után érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritka gázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a [[Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok|Van der Waals gázok]] állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található [[Kondor Imre]]-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az [[Ising]]-modell figyelembe veszi a szomszédos [[spin]]ek közötti [[kölcsönhatás]]t, egy ([[ferromágnes]]es) rendszer [[energia|energiája]] így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik első szomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső [[mágneses tér]]rel vett [[kölcsönhatás]], a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban [[egzakt]]ul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért [[határfeltétel|periodikus határfeltételekkel]] számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a [[modell]]t úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy [[gyűrű]] mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A [[termodinamika]]i mennyiségek meghatározásához írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő [[transzfermátrix]]ot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> [[mátrix]] lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az [[állapotösszeg]] felírható a [[transzfermátrix]]szal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a [[spur]]ja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> [[sajátérték]]ek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a [[termodinamikai határeset]]ben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az [[állapotösszeg]]: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A [[mágnesezettség]] külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a [[spin]]ek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A [[szuszceptibilitás]]:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A [[korrelációs függvény]]:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos [[domén]]méretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A [[Hamilton-függvény]] abban különbözik a [[ferromágnes]]es esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A [[korrelációs függvény]] változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egy dimenzióban megjelenik a [[fázisátmenet]]. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a [[spin]]ek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az [[entrópia]] a végtelenhez tart [[termodinamikai határeset]]ben, nulla Kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható [[egzakt]]ul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy [[átlagtér-elmélet]]i [[közelítés]]t mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a [[várható érték]]üket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy [[szabad spinrendszer]], amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az [[energia]] így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az első szomszédok száma, amit ''koordinációs számnak'' hívnak. Az [[állapotösszeg]]:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \lbrace 2 \operatorname{ch} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ] \rbrace^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> [[függvény]]ében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy [[tangens hiperbolikusz]] függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a [[hőmérséklet]]től is, így egy [[kritikus hőmérséklet]] felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be [[fázisátalakulás]]: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az [[origó]]ban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.

<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>

<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k_{\text{B}}}.</math>

A [[mágnesezettség]] a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk [[makroszkopikus]]sá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A [[mágnesség]] tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: [[Mágneses térerősség]] (H), [[mágneses indukció vektor]] (B), [[mágnesezettség]] (M). Bevezettük a mágneses [[szuszceptibilitás]]t, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag [[diamágnes]]es, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő [[elektron]]ok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a [[mágneses momentum]]uk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a [[momentum]]okat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A [[ferromágnes]]es anyagoknál a domének nagy, [[makroszkopikus]] méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük a rendszert, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és [[fázisátmenet]] következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen [[makroszkópikus]] méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a ''fázishatárok'', vagy ''doménfalak'' az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses [[anizotrópia]]-[[energia]]. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a [[kristály]] méretei, ez a '''magnetostrikció'''.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes [[impulzusmomentum]]ot (J = L + 2S), ekkor a [[mágneses momentum]] a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő [[energia|energiát]] jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy ''B'' z irányú. akkor a ''BJ'' [[skaláris szorzat]]ot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az [[állapotösszeg]]et (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a [[szabadenergia]]:

:<math>F= -N k T \ln \zeta \;</math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a [[mágnesezettség]]et (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>M = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(x).</math>

A [[Brillouin-függvény]] alakra hasonló az [[arkusz tangens]]hez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a [[szaturáció]] jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes [[mágneses momentum]]ot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0\;</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a [[szuszceptibilitás]]t:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> [[Curie]]-állandóba vontuk össze. Ez a [[hőmérséklet]]tel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő [[elektron]] pályája megváltozik, és ezáltal a [[mágneses momentum]]a is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a [[Lorentz-erő]] tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk [[Larmor tétele|Larmor tételét]], amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis kör[[frekvencia]]-megváltozásnak. A mágneses momentum az [[áram]] és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi [[töltés]] halad át egy [[másodperc]] alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a tér irányára [[merőleges]] távolságok járulnak hozzá, az [[elektron]] azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> [[rendszám]]ú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a [[Larmor tétele|Larmor-frekvenciát]]:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a [[szuszceptibilitás]] már leolvasható, a negatív előjel jelenti a [[diamágnes]]es hatást. ([[SI]]-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A [[Pauli]]-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a [[Fermi-energia]] környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad [[elektron]]ok paramágnességéről van szó. A [[hőmérséklet]]től független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi [sűrűség]éből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a [[Bethe-Sommerfeld sorfejtés]]t alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a [[mágneses indukció]] is bele van olvasztva. Eredményül a [[szuszceptibilitás]]:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a [[Fermi-energia]] szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad [[elektorn]]ok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző [[hullámfüggvény]]t felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a [[Schrödinger-egyenlet]] megoldását, amelyben felismerjük a [[harmonikus oszcillátor]] energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az [[állapotsűrűség]] fölhasználásával tesszük. A [[mágnesezettség]]et az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a [[szuszceptibilitás]] kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a ''Pauli-szuszceptibilitás'' -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a [[ferromágnes]]es anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott [[ellenállás]]a. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget ([[koercitív erő]]). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő [[mágnesezettség]] külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó [[transzformátor]]okat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt disszipált energiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust [[Weiss]] egy belsőtér-elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a [[spin]]ek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a [[mágnesezettség]] a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a [[Curie]]-[[Weiss]]-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss-törvény leírja a [[szuszceptibilitás]] változását a kifagyási pont felett, a [[paramágnes]]es hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a [[kifagyás]] felett érvényes, az átalakulási pontban [[divergens]], ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a [[Curie-törvény]]t követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a [[ferromágnes|ferro-]] és [[paramágnes]]es anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális [[vezető]] eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ellentétes a [[spin]]beállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a [[merevlemez]]ek kiolvasófeje, amit [[spinszelep]]nek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony [[hőmérséklet]]re hűtésekor az [[elektromos ellenállás]] egzaktul nullává válik. Alapvetően két fajtájuk van: első- és másodfajú szupravezetők. Az elsőfajú szupravezetőkben lejátszódó jelenséget ellentétes spinű elektron-elektron párok (ún. [[Cooper]]-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyeket a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyen párok jönnek létre egy [[Bose-Einstein-kondenzáció]]hoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonnak tekinhetőek. Láthatóan a fononok főszerepet játszanak a jelenségben, amelyek viszont szobahőmérsékleten akadályozzák az elektronok mozgását. Ezért van, hogy a rosszabb vezetők válnak szupravezetővé, a jók viszont, az ezüst, réz, arany pedig nem.

Nagyon fontos tulajdonságuk a [[Meissner-effektus]], vagyis hogy a mágneses tér kiszorul az anyagból. Ha külső tér jelenlétében folyik le a fázisátalakulás, akkor, ha veszünk egy gyűrű alakú mintát, a gyűrű belsejében mérhetünk mágneses teret, ha viszont később kapcsoljuk be azt, nem tud behatolni oda. Ezeknél ugrásszerű a normális és a szupravezető anyag közötti [[fázisátalakulás]].

A másodfajú szupravezetők elmélete koránt sem ilyen kidolgozott, nem tudják pontosan, mi történik. Annyit tudunk, hogy bizonyos atomrétegekben folyik a szuperáram, tehát csak egy síkban jelentkezik az egykristályban a szupravezetés. Soknál a folyékony nitrogén forráspontja fölött bekövetkezik a fázisátmenet, ezek a magas hőmérsékletű szupravezetők. Ezeknél már bonyolultabb a fázisátmenet, mert létezik egy olyan fázis, ahol a mágneses tér örvényfonalakban mégis behatol az anyagba, de egy örvényfonal csak meghatározott értékű [[fluxus]]t tud befogadni, ez a fluxuskvantálás.

A kritikus hőmérséklet függ az atomok tömegétől (izotópeffektus, <math>T_{\text{C}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}</math>), másodfajúaknál pedig a külső mágneses tértől is, egy kritikus térerősség fölött nem is következik be a fázisátalakulás. Ezen jó tulajdonságaik miatt a másodfajú szupravezetőket használják szupravezető mágnesekben, így például a [[CERN]] LHC gyorsítójában is.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-25T23:09:59Z

Birol: /* Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**) */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő [[Hamilton]]-[[operátor]]ral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgási [[energia|energiája]] és belső gerjesztettsége, második a [[kölcsönhatás]]t jellemző [[potenciál]]. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok [[állapotegyenlet]]e érdekel. Írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az [[impulzus]]t kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a [[potenciál]]t nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen [[modell]]t kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A [[kölcsönhatás]] párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolút értékétől függ.
*Valamilyen modell [[függvény]]t tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például [[Lennard-Jones potenciál|Lennard-Jones]], vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az [[állapotösszeg]]et, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció [[valószínűség]]ét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli [[mikroállapot]] valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása [[kombinatorika]]i feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a [[hőmérséklet]]től is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a [[Van der Waals]] féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a [[Hamilton]]ja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske [[állapotösszeg]]:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig [[Guass-intergál]] segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a [[termikus hullámhossz]] jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a [[potenciál]] által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagpotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén [[részecskesűrűség]]re:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos ''dr'' vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két [[konstans]]t, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy [[energia]] tartozik, amelyben az eloszlás [[Boltzmann-eloszlás]], azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az [[állapotösszeg]]be:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezek után érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritka gázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a [[Fenomenologikus termodinamika#Van der Waals gázok|Van der Waals gázok]] állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található [[Kondor Imre]]-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az [[Ising]]-modell figyelembe veszi a szomszédos [[spin]]ek közötti [[kölcsönhatás]]t, egy ([[ferromágnes]]es) rendszer [[energia|energiája]] így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik első szomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső [[mágneses tér]]rel vett [[kölcsönhatás]], a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban [[egzakt]]ul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért [[határfeltétel|periodikus határfeltételekkel]] számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a [[modell]]t úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy [[gyűrű]] mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A [[termodinamika]]i mennyiségek meghatározásához írjuk fel az [[állapotösszeg]]et:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő [[transzfermátrix]]ot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> [[mátrix]] lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az [[állapotösszeg]] felírható a [[transzfermátrix]]szal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a [[spur]]ja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> [[sajátérték]]ek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a [[termodinamikai határeset]]ben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az [[állapotösszeg]]: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A [[mágnesezettség]] külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a [[spin]]ek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A [[szuszceptibilitás]]:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A [[korrelációs függvény]]:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos [[domén]]méretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A [[Hamilton-függvény]] abban különbözik a [[ferromágnes]]es esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A [[korrelációs függvény]] változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egy dimenzióban megjelenik a [[fázisátmenet]]. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a [[spin]]ek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az [[entrópia]] a végtelenhez tart [[termodinamikai határeset]]ben, nulla Kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható [[egzakt]]ul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy [[átlagtér-elmélet]]i [[közelítés]]t mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a [[várható érték]]üket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy [[szabad spinrendszer]], amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az [[energia]] így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az első szomszédok száma, amit ''koordinációs számnak'' hívnak. Az [[állapotösszeg]]:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \lbrace 2 \operatorname{ch} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ] \rbrace^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> [[függvény]]ében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy [[tangens hiperbolikusz]] függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a [[hőmérséklet]]től is, így egy [[kritikus hőmérséklet]] felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be [[fázisátalakulás]]: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az [[origó]]ban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.

<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>

<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k_{\text{B}}}.</math>

A [[mágnesezettség]] a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk [[makroszkopikus]]sá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A [[mágnesség]] tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: [[Mágneses térerősség]] (H), [[mágneses indukció vektor]] (B), [[mágnesezettség]] (M). Bevezettük a mágneses [[szuszceptibilitás]]t, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag [[diamágnes]]es, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő [[elektron]]ok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a [[mágneses momentum]]uk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a [[momentum]]okat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A [[ferromágnes]]es anyagoknál a domének nagy, [[makroszkopikus]] méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük a rendszert, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és [[fázisátmenet]] következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen [[makroszkópikus]] méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a ''fázishatárok'', vagy ''doménfalak'' az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses [[anizotrópia]]-[[energia]]. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a [[kristály]] méretei, ez a '''magnetostrikció'''.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes [[impulzusmomentum]]ot (J = L + 2S), ekkor a [[mágneses momentum]] a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő [[energia|energiát]] jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy ''B'' z irányú. akkor a ''BJ'' [[skaláris szorzat]]ot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az [[állapotösszeg]]et (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a [[szabadenergia]]:

:<math>F= -N k T \ln \zeta \;</math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a [[mágnesezettség]]et (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A [[Brillouin-függvény]] alakra hasonló az [[arkusz tangens]]hez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a [[szaturáció]] jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes [[mágneses momentum]]ot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0\;</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a [[szuszceptibilitás]]t:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> [[Curie]]-állandóba vontuk össze. Ez a [[hőmérséklet]]tel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő [[elektron]] pályája megváltozik, és ezáltal a [[mágneses momentum]]a is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a [[Lorentz-erő]] tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk [[Larmor tétele|Larmor tételét]], amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis kör[[frekvencia]]-megváltozásnak. A mágneses momentum az [[áram]] és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi [[töltés]] halad át egy [[másodperc]] alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a tér irányára [[merőleges]] távolságok járulnak hozzá, az [[elektron]] azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> [[rendszám]]ú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a [[Larmor tétele|Larmor-frekvenciát]]:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a [[szuszceptibilitás]] már leolvasható, a negatív előjel jelenti a [[diamágnes]]es hatást. ([[SI]]-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A [[Pauli]]-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a [[Fermi-energia]] környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad [[elektron]]ok paramágnességéről van szó. A [[hőmérséklet]]től független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi [sűrűség]éből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a [[Bethe-Sommerfeld sorfejtés]]t alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a [[mágneses indukció]] is bele van olvasztva. Eredményül a [[szuszceptibilitás]]:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a [[Fermi-energia]] szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad [[elektorn]]ok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző [[hullámfüggvény]]t felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a [[Schrödinger-egyenlet]] megoldását, amelyben felismerjük a [[harmonikus oszcillátor]] energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az [[állapotsűrűség]] fölhasználásával tesszük. A [[mágnesezettség]]et az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a [[szuszceptibilitás]] kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a ''Pauli-szuszceptibilitás'' -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a [[ferromágnes]]es anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott [[ellenállás]]a. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget ([[koercitív erő]]). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő [[mágnesezettség]] külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó [[transzformátor]]okat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt disszipált energiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust [[Weiss]] egy belsőtér-elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a [[spin]]ek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a [[mágnesezettség]] a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a [[Curie]]-[[Weiss]]-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss-törvény leírja a [[szuszceptibilitás]] változását a kifagyási pont felett, a [[paramágnes]]es hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a [[kifagyás]] felett érvényes, az átalakulási pontban [[divergens]], ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a [[Curie-törvény]]t követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a [[ferromágnes|ferro-]] és [[paramágnes]]es anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális [[vezető]] eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ellentétes a [[spin]]beállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a [[merevlemez]]ek kiolvasófeje, amit [[spinszelep]]nek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony [[hőmérséklet]]re hűtésekor az [[elektromos ellenállás]] egzaktul nullává válik. Alapvetően két fajtájuk van: első- és másodfajú szupravezetők. Az elsőfajú szupravezetőkben lejátszódó jelenséget ellentétes spinű elektron-elektron párok (ún. [[Cooper]]-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyeket a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyen párok jönnek létre egy [[Bose-Einstein-kondenzáció]]hoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonnak tekinhetőek. Láthatóan a fononok főszerepet játszanak a jelenségben, amelyek viszont szobahőmérsékleten akadályozzák az elektronok mozgását. Ezért van, hogy a rosszabb vezetők válnak szupravezetővé, a jók viszont, az ezüst, réz, arany pedig nem.

Nagyon fontos tulajdonságuk a [[Meissner-effektus]], vagyis hogy a mágneses tér kiszorul az anyagból. Ha külső tér jelenlétében folyik le a fázisátalakulás, akkor, ha veszünk egy gyűrű alakú mintát, a gyűrű belsejében mérhetünk mágneses teret, ha viszont később kapcsoljuk be azt, nem tud behatolni oda. Ezeknél ugrásszerű a normális és a szupravezető anyag közötti [[fázisátalakulás]].

A másodfajú szupravezetők elmélete koránt sem ilyen kidolgozott, nem tudják pontosan, mi történik. Annyit tudunk, hogy bizonyos atomrétegekben folyik a szuperáram, tehát csak egy síkban jelentkezik az egykristályban a szupravezetés. Soknál a folyékony nitrogén forráspontja fölött bekövetkezik a fázisátmenet, ezek a magas hőmérsékletű szupravezetők. Ezeknél már bonyolultabb a fázisátmenet, mert létezik egy olyan fázis, ahol a mágneses tér örvényfonalakban mégis behatol az anyagba, de egy örvényfonal csak meghatározott értékű [[fluxus]]t tud befogadni, ez a fluxuskvantálás.

A kritikus hőmérséklet függ az atomok tömegétől (izotópeffektus, <math>T_{\text{C}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}</math>), másodfajúaknál pedig a külső mágneses tértől is, egy kritikus térerősség fölött nem is következik be a fázisátalakulás. Ezen jó tulajdonságaik miatt a másodfajú szupravezetőket használják szupravezető mágnesekben, így például a [[CERN]] LHC gyorsítójában is.

{{Záróvizsga}}

Atom- és molekulaszerkezet

2011-06-25T12:28:49Z

Birol:

==Perturbációszámítás<ref>Az első négy alrészről lásd Geszti Tamás: Kvantummechanika, Typotex, Bp., 2007, 13. fej.: Perturbációszámítás (165-190)</ref>==
A kvantummechanikában előbukkanó problémák általánosságban nem oldhatóak meg egzaktul. Gyakran azonban azt akarjuk meghatározni, hogy egy ismert sajátfüggvényekkel rendelkező rendszert hogy befolyásol egy vele bizonyos értelemben gyengén kölcsönható külső rendszer. Ekkor a vizsgált rendszer Hamilton-operátora csak kicsit különbözik az egzaktul megoldható probléma Hamilton-operátorától:

:<math>\mathbf{H} = \mathbf{H}_0 + \mathbf{K},</math>
ahol '''<math>H_0</math>''' az egzaktul megoldható probléma Hamilton-operátora, és '''K''' kicsi '''<math>H_0</math>'''-hoz képest (egy operátor akkor tekinthető kicsinek, ha sajátértékei jóval kisebbek a másikénál).

Azt várjuk, hogy perturbált probléma megoldása csak kicsit fog különbözni az eredeti probléma egzakt megoldásaitól. Az ilyen alakú problémák ezen megoldási módszerét perturbációszámításnak nevezzük.

===Időfüggetlen, nem-degenerált eset===
Ebben az esetben azokat a problémákat vizsgáljuk, amikor '''K''' időfüggetlen és a perturbálatlan probléma Hamilton-operátora nem elfajult, azaz minden sajátértékhez egyetlen sajátfüggvény tartozik. Feltesszük, hogy a perturbálatlan esethez ismerjük a megoldásokat, és a fentiek ismeretében keressük a perturbált megoldásokat:

:<math>\mathbf{H}_0 \psi_k = E_k^{(0)} \psi_k</math>

Rayleigh-től eredő trükk a perturbáló operátor kicsinységének figyelembevételére az, hogy egy kis <math>\lambda</math> paraméter szerint fejtünk sorba, amely majd később kapja vissza a <math>\lambda=1</math> értéket:

:<math>\mathbf{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{K}</math>

Ezt a trükköt azért alkalmazzuk, mert az operátor kicsiségét nehéz definiálni. Ezzel a trükkel lényegében azt mondjuk, hogy '''K''' legyen egy
tetszőleges operátor, melyet megszorzunk egy λ dimenziótlan paraméterrel, melynek értékével nullába tartunk. Ebben az esetben az operátor
határesetben garantáltan kicsivé válik, és sorfejtést is tudunk végezni a dimenziótlan λ paraméter szerint. A megoldás végén λ-t
egységnyinek tekintjük, hiszen a perturbáló operátor kicsisége magában a perturbáló operátorban kell megjelennie, nincs szükség dimenziótlan
paraméterrel való szorzásra, az csak a probléma kezelését könnyíti meg (pl. a sorfejtésnél).

A Schrödinger-egyenletet egy tetszőleges ortogonális bázis segítségével átírhatjuk mátrixos alakba. A probléma összes sajátállapotát természetesen csak akkor kapjuk meg, ha a felhasznált bázis teljes. A bázisnak a perturbálatlan Hamilton-operátor ortogonális sajátfüggvényeit fogjuk használni:
:<math>\mathbf{H}_0\psi_n = E_n\psi_n</math>
A hullámfüggvényt a bázisfüggvények lineárkombinációjaként keressük <math>\psi=\sum_n c_n\psi_n,</math> és ezt helyettesítjük be a Schrödinger egyenletbe. Formálisan tehát:
:<math>\sum_n\mathbf{H}\psi_n c_n = E\sum_n c_n\psi_n.</math>
Skalárisan beszorozva mindkét oldalt <math>\psi_m</math>-mel, és felhasználva, hogy <math>\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{mn}</math> a következőhöz jutunk:

:<math>\sum_n H_{mn}c_n = \langle\psi_m|H|\psi_n\rangle c_n = E c_m.</math>

Ez a Schrödinger-egyenlet mátrixalakja. Ezt kívánjuk most megoldani a perturbációszámítás segítségével.

A megoldandó sajátérték-egyenlet tehát <math>\mathbf{H}_{mn}c_n = E c_m,</math> ahol <math>\mathbf{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{K}</math>
A <math>\lambda</math>-ban nulladrendet az ismert perturbálatlan megoldás adja. Hamarosan belátjuk, hogy nulladrendben a perturbált probléma sajátenergiái a perturbálatlan probléma sajátenergiáival egyeznek meg.

Mivel a <math>\psi_n</math> függvények '''<math>H_0</math>''' sajátfüggvényei, ezért:
:<math>\mathbf{H_0}\psi_n = E_n^{(0)} \psi_n</math>
:<math>\left( \mathbf{H_0} \right)_{mn} = \langle\psi_m|\mathbf{H_0}|\psi_n\rangle = E_n^{(0)} \delta_{mn}</math>

Ezen a bázison a Schrödinger-egyenlet mátrixalakja
:<math>\sum\limits_n H_{mn} c_n = E c_n</math>
:<math>\left(E_m^{(0)}-E\right)c_m + \lambda \sum\limits_n K_{mn} c_n = 0</math>

A sorfejtések:
:<math>E=E^{(0)}+\lambda E^{(1)}+\lambda^2 E^{(2)}+...\,</math>
:<math>c_m=c_m^{(0)}+\lambda c_m^{(1)}+\lambda^2 c_m^{(2)}+...\,</math>

Ezt kell beírni az előző Schrödinger-egyenletbe. A különböző tagok együtthatóiról leolvashatók a különböző rendű korrekciók.

A nulladrend ezt adja:
:<math>\left(E_m^{(0)}-E^{(0)}\right)c_m^{(0)}=0</math>

Ennek megoldása <math>E^{0}=E_i^{(0)}</math> és <math>c_0^{(0)}=\delta_{im}</math>. Ez azt jelenti, hogy nulladrendben a sajátenergiák a perturbálatlan Hamilton-operátorok sajátenergiái, és a sajátfüggvények is megegyeznek a perturbálatlan probléma sajátfüggvényeivel. Ez alapján most már tudjuk egyértelműen indexelni a perturbált probléma keresett sajátállapotait egy i indexszel, mely azt adja meg, hogy nulladrendben melyik perturbálatlan állapotra egyszerűsödik a sajátállapot. Általában ettől az i indextől függeni fognak a λ-ban magasabb rendű korrekciók. A továbbiakban egy tetszőleges i indexű állapotot vizsgálunk.

Az elsőrendű energiakorrekciók:

:<math>E^{(1)}=K_{ii}\,</math>

Az állapotvektorok elsőrendű korrekciói:

:<math>c_m^{(1)}=\frac{K_{mi}}{E_i^0-E_m^0}\,</math>

Az energiák másodrendű korrekciói:

:<math>E^{(2)}=\sum\limits_{n \neq i} \frac{|K_{in}|^2}{E_i^0-E_m^0}\,</math>

A módszer alkalmazható, ha a kiszámol korrekciók tényleg kicsik, vagyis a perturbáció átmeneti mátrixelemei sokkal kisebbek, mint a perturbálatlan energiaszintek különbségei:

:<math>\left| \frac{K_{mi}}{E_i^0-E_m^0} \right| \ll 1\,</math>

===Időfüggetlen, degenerált eset===
Degenerált esetben egyetlen energiasajátértékhez több sajátfüggvény is tartozhat. A perturbácó hatására ezek az energiaszintek fel is hasadhatnak (gondoljunk a Zeeman-effektusra). Ekkor az előző módszer nem alkalmazható, a <math>\lambda</math> nulladrendjére kapott <math>\left(E_m^{(0)}-E^{(0)}\right)c_m^{(0)}=0</math> egyenlet nem határozza meg egyértelműen a nulladrendű sajátvektorokat, mert vannak olyan energiasajátértékek, amelyek megegyeznek, és az azokhoz tartozó c-ket nem tudjuk meghatározni. Azt persze továbbra is tudjuk, hogy a más energiájú sajátállapotok együtthatói nulladrendben zérusok. Az azonos energiájú sajátállapotok nulladrendű együtthatóihoz viszont fel kell használni λ-ban a következő rendet is. Ebben megjelenik az energiafelhasadás első rendje is, melyet így szintén megkaphatunk ebből az egyenletből. A kapott egyenlet:
:<math>\sum\limits_n K_{mn}c_n^{(0)}=E^{(1)}c_m^{(0)}</math>
Ez így rendezhető át:
:<math>\sum\limits_n \left( K_{mn} - E^{(1)} \delta_{mn} \right) c_n^{(0)} = 0</math>
Ezen homogén egyenlet megoldási feltételéből kapjuk a szekuláris egyenletet amely megadja az elsőrendű energiakorrekciókat:
:<math>\mathrm{det}|\left( \mathbf{K} - E^{(1)} \mathbf{I} \right)| = 0 </math>
Az eredeti egyenletben az elsőrendű energiakorrekciókat visszahelyettesítve megkapjuk a <math>c_n^{(0)}</math> nulladrendű együtthatókat. Ezekután már használhatók a nem degenerált eset képletei.

===Időfüggő eset===
Az időfüggő perturbációszámítás logikája az eddigiektől eltérő. Mivel kis hatások felhalmozódhatnak hosszú idő alatt, ezért fel szoktuk tenni, hogy a perturbáció csak rövid ideig tart. Most is hasonló sorfejtést alkalmazunk, mint az előbb a perturbálatlan feladat(<math>\mathbf{H}_0 \psi_n = E_n \psi_n </math>) sajátfüggvényei szerint kifejtve a megoldást:
:<math>\psi(t)=\sum\limits_n c_n(t) \psi_n</math>
Így a Schrödinger-egyenlet:
:<math>\sum_n i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\sum_n \langle\psi_n|\mathbf{H}|\psi_m\rangle c_n</math>
:<math>\dot{c_m}=-\frac{i}{\hbar}E_m c_m(t) + \lambda \sum\limits_n K_{mn} c_n(t)</math>
A megoldást hatványsor alakban kerssük:
:<math>c_m(t)=c_m^{(0)}(t)+\lambda c_m^{(1)}(t)+...</math>
A továbblépés a közönséges differenciálegyenleteknél ismert állandók variálásának módszere. (A kvantummechanikában ebből lett a kölcsönhatási kép.) Legyen:
:<math>b_m(t)=e^{\frac{i}{\hbar}E_mt}c_m(t)</math>
Ez nulladrendben állandó. Ezt az álandót variálja a perturbáció jelenléte.
:<math>\dot{b_m}(t)=-\frac{i}{\hbar}\lambda \sum\limits_n e^{i\omega_{mn}t}K_{mn}(t)</math>
ahol <math>\hbar \omega_{mn}=E_m-E_n</math>.Az első rendet megkapjuk, ha a jobb oldalon <math>b_n(t)=b_n(0)=c_n(0)</math> közelítést alkalmazzuk. A fenti differeniál egyenletből a b együtthatók kiszámolhatóak, segítségükkel meghatározható a végállapot hullámfüggvénye. Ismert tehát a kezdeti és a végállapot, ebből felírható a K mátrixeleme:

:<math>K_{mn} = \langle \phi_m | K | \phi_n \rangle</math>

Legyen a kezdeti(i) állapot egy perturbálatlan sajátállapot: <math>c_n(0)=\delta_{in}</math>. Az átmeneti valószínűség:

:<math>P_{fi}=\frac{1}{\hbar ^2} \left| \int\limits_{0}^{t} e^{i \omega _{fi} \tau} K_{fi}( {\tau}) d \tau \right|^2.</math>

=== Fermi-féle aranyszabály ===
A Fermi-féle aranyszabály folytonos/kvázifolytonos spektrumban segít átmeneti valószínűségeket kiszámítani. <math>\omega</math> körfrekvencájú periodikus perturbáció esetén az időegységre jutó átmeneti valószínűség:
:<math>W_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 (\delta(E_f-E_i+\hbar \omega)+\delta(E_f-E_i-\hbar \omega))</math>
Ez a formula megkapható az előző pontból kiiindulva <math>t>>\omega^{-1}</math> határérték elvégzésével.
Állandó perturbáció esetén:
:<math>W_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 \delta(E_f-E_i)</math>
Ha több állapot valamelyikébe való átmeneti valószínűséget akarjuk tudni, akkor:
:<math>T_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 \rho</math>
ahol <math>\rho</math> a végső állapotok sűrűsége(állapotok száma energiaegységenként)

===Elektronok kölcsönhatása sugárzási térrel, Indukált emisszió és abszorpció===
Az elektromágneses tér kölcsönhat az elektronnal, az elektronra ható erő a következő:
:<math>\mu\dot{\mathbf{v}} = -e\left(\mathbf{E}+\frac1c \mathbf{v}\times\mathbf{H}\right),</math>
ahol '''v''' az elektron sebessége, μ a tömege, '''E''' és '''H''' az elektromos illetve mágneses térerősség. Be lehet látni, hogy a mozgásegyenlet származtatható a
:<math>H=\frac1{2\mu}\left(\mathbf{p}+\frac{e}c\mathbf{A}\right)^2-e\Phi</math>
Hamiltonfüggvényből. Ez a megszokott módon operátorosítható. Ha tiszta sugárzási térbe helyezzük az elektront, akkor Φ elhagyható. Kis terekre Coulomb-mértékben vizsgálva a problémát, a következő közelítést tehetjük a perturbáló Hamilton-operátorra:
:<math>\mathbf{K}=\frac{e}{\mu c}\mathbf{Ap}</math>.
Az egyszerűség kedvéért azt a problémát vizsgáljuk, hogy egy Hidrogénatomot sugárzási térbe helyezünk, és megnézzük mit jósol a perturbációszámítás (lehetséges-e átmenet a hidrogénatom állapotai között, mekkora valószínűséggel, stb). A vektorpotenciált a következő alakúnak tételezzük fel:
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{e}A_0\cos(\mathbf{kr}-\omega t)=\frac{\mathbf{e}}{2}A_0(e^{-ikr}e^{i\omega t}+e^{ikr}e^{-i\omega t}).</math>
Ekkor a perturbálópotenciál felírható a kvöetekző alakban:
<math>\mathbf{K(t)}=\mathbf{K}e^{i\omega t}+\mathbf{K^*}e^{-i\omega t}.</math>
A két tag rögzített kezdőállapot esetén csak egy-egy átmenetre nem fog zérust adni. Az első tag az emissziót írja le, melynél az átmeneti valószínűség
:<math>W_e=\frac{2\pi}{\hbar}\left[|K_{nm}|^2\rho(E_n)\right]_{E_n=E_m-\hbar\omega}</math>.
A második tag az abszorpciót írja le, melynél az átmeneti valószínűség analóg módon
:<math>W_e=\frac{2\pi}{\hbar}\left[|K_{nm}|^2\rho(E_n)\right]_{E_n=E_m+\hbar\omega}</math>.
A konkrét valószínűségekhez kiszámítandó a következő mátrixelem:
:<math>K_{nm}=\frac{eA_0}{2\mu c}e^{-ikr}(\mathbf{ep})_{nm}</math>
Mivel a hullámfüggvények az atomra vannak koncentrálódva, ezért <math>e^{-ikr}</math> tekinthető egységnyinek, vagyis
:<math>K_{nm}\approx\frac{eA_0}{2\mu c}(\mathbf{ep})_{nm}.</math>
Ezt a sugárzást dipólsugárzásnak nevezzük (amikor elhagyjuk az exponenciálist). Ekkor ugyanis belátható, hogy a mátrixelem arányos az elektron dipólnyomatékával.

Ha a dipólnyomaték egy átmenetre zérus, akkor az átmenet nem valósul meg. Ekkor az adott átmenet tiltott. Be lehet látni, hogy az átmenet csak akkor megengedett, ha a kezdő- és végállapot között a mellékkvantumszám és a mágneses kvantumszám különbsége is pontosan 1.

==Variációs módszer==
Az energiasajátérték egyenlettel ekvivalens állítás az a variációs elv, amely szerint alapállapotban

:<math>\int \phi^* \mathbf{H} \phi = \langle \phi | \ \mathbf{H} | \phi \rangle = min. = E_0</math>

az n. gerjesztett állapot pedig úgy kaphatjuk, hogy az előző szélsőértékfeladatot azon mellékfeltételekkel oldjuk meg, hogy az <math>\phi_n</math> állapot ortogonális az alapállapotra és az előző n-1 gerjesztett állapotra is. Természetesen a feladat általános megoldása általában lehetetlen, ezért gyakorlati alkalmazásokban csak a Hilbert-tér egy leszűkítésén oldjuk meg, valamilyen próbafüggvényt feltételezve, majd a paraméterei szerint elvégezve a szélsőértékproblémát.

=== Ritz-féle variációs módszer (*)===
Akkor beszélünk Ritz-féle variációs módszerről, ha a próbafüggvény valamilyen bázisfüggvények lineáris kombinációja:

:<math> \phi = \sum\limits_i c_i \phi_i</math>

Ekkor az energia várható értéke:

:<math>\epsilon = \frac{ \langle \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i | \mathbf{H} | \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i \rangle}{\langle \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i | \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i \rangle}</math>

Ennek a c-k vagy c*-ok szerinti deriválása egy lineáris egyenletrendszerhez vezet, melynek megoldási feltétele a következő általánosított szekuláris egyenletet adja:

:<math>det|\mathbf{H}-\epsilon \mathbf{S}|=0</math>

ahol az átfedési mátrix, mely a bázisállapotok nemortogonalitása miatt jelenik meg:

:<math>S_{ij}=\langle \phi_i | \phi_j \rangle</math>

== Problémák a kvantummechanika közelítő módszereivel ==
A perturbációszámítás gyakorlati(pl. molekulafizkai) alkalmazásakor néha problémák merülnek fel. Egyrészt előfordul, hogy az egyre újabb rendekben kapott energiák oszcillálnak, másrészt pedig előfordul, hogy úgy tűnik, mintha már bekonvergált volna a sor, de még néhány tag kiszámolása után ismét elindul. Ezek a problémák nem állnak fenn a variációs módszernél, ott legalább az irány mindig egyértelmű. De ott is előfordul, hogy az energia már nagyon közel van a jó(kísérleti) értékhez, de a hullámfüggvény még meglehetősen messze.

==Azonos részecskék, Pauli-elv==
A Hamilton-operátor szimmetrikus két azonos részecske(elektron) felcserélésére. Ezért a Hamilton-operátor kommutál a részecskék felcserélésével. Következésképpen választható olyan energia sajátfüggvények, amelyek a felcserélés operátorának is sajátfüggvényei. Mivel kétszeri felcserélés után az eredeti állapotba jutunk vissza, a felcserélés sajátértéke csak <math>\pm 1</math> lehet, vagyis a felcseréléssel szemben a sajátállapot lehet szimmetrikus vagy antiszimmetrikus.

Ha áttérünk az időfüggő Schrödinger-egyenletre, akkor a permutáció operátora megmaradó mennyiség(mivel a Hamilton-operátorral felcserélhető), így a kezdeti szimmetria az időfejlődés során is megmarad.

Mint kiderült, a hullámfüggvény szimmetriája a részecske fajtájából következik:
* Feles spinű részecskék(fermionok) hullámfüggvénye antiszimmetrikus. Ebből az állításból rögtön következik, hogy az atom elektronjai közül semelyik kettő nem lehet azonos állapotban.
* Egész spinű részecskék(bozonok) hullámfüggvénye szimmetrikus.

Mivel nincsenek vegyes szimmetriájú részecskék, ezért minden részecskének tartozni kell valamelyik kategóriába. Azonos részecskék megcserélése az előzőtől megkülönböztethetetlen állapotot hoz létre. Az azonos részecskék megkülönböztethetetlenek.

==Átlagtérközelítés==
===Nem kölcsönható azonos részecskék===
Nem kölcsönható azonos részecskék esetében a Hamilton-operátor egyrészecske Hamilton-operátorok összege:

:<math>\mathbf{H}=\sum\limits_{l=1}^N \mathbf{H}_l^{(1)}\,</math>

Ezesetben a Schrödinger-egyenletnek mindig léteznek szorzatalakú megoldásai:

:<math>\phi(1,2,3,...)=\phi_a(1) \phi_b(2)...\,</math>

ahol:

:<math>\mathbf{H} \phi_a(1)=E_a \phi_a(1)\,</math>

Ezen szorzatok viszont még nem teljesítik a Pauli-elvet. Ennek kielégítésére az egyrészecske-állapotokból Slater-determináns képezhető:

:<math>\Psi(1, 2, ..., N) =\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \cdots & \phi_N(1) \\ \phi_1(2) & \phi_2(2) & \cdots & \phi_N(2) \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ \phi_1(N) & \phi_2(N) & \cdots & \phi_N(N) \end{matrix} \right|.</math>

A függvények indexei jelölik, hogy melyik függvényről van szó, argumentumaik pedig azt, hogy melyik részecske koordinátái írandóak a függvénybe.
Ennek látszanak a megfelelő tulajdonságai:

* Ha két részecskét(sort) felcserélünk akkor előjelet vált.
* Ha két oszlop azonos akkor nulla lesz, vagyis nem lehet két részecske azonos állapotban.

===Átlagtérközelítés===
Továbblépve a nemkölcsönható részekéktől a következő közelítést alkalmazhatjuk. Egy részecske helyén sok más részecskétől eredő erőt érez, ezt külső térnek tekintjük, és beírjuk az egyrészecske Schrödinger-egyenletbe. Ezt megoldva új egyrészecske sajátfüggvényeket kapunk, amelyek őj teret adnak, ezzel újraszámoljuk az egyenletet stb. Addig iterálunk, amíg a tér be nem konvergál, ezzel megkapjuk az önkonzisztens teret, vagy átlagteret.

===Hartree-Fock módszer===
Azt az átlagtérközelítést, amikor egyetlen Slater-determináns alakjában keressük a megoldást, és ezzel végzünk önkonzisztens-tér közelítést Hartree-Fock módszernek hívjuk. Kicsit részletesebben is megnézzük.

A variációs elvből indulunk ki. Eszerint <math>I=\langle \phi | \mathbf{H} | \ \phi \rangle</math> minimális. Ha a megoldást szorzatalakban keressük: <math>\phi = \phi_1(r_1)\phi_2(r_2)...</math> akkor az I variációjának eltünéséből az egyrészecske Schrödinger-egyenletek:

:<math>\left( \mathbf{H}_l + \sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k |\frac{e^2}{r_{lk}} | \phi_k \rangle- E_l\right) \phi_l = 0 </math>

Az egylenrendszert pedig szukcesszív aproximációval oldjuk meg, első közelítésben <math>\phi_k</math>-kat hidrogénszerűnek feltételezve, és innen indítva az önkonzisztens tér közelítést. Ez a Hartree-módszer. Itt még láthatóan nem vettük figyelembe a Pauli-elvet.

A Hartree-módszer továbbfejlesztése a Hartree-Fock módszer, amely Slater-determináns alakú megoldást keres:

:<math>\Psi(1, 2, ..., N) =\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \cdots & \phi_N(1) \\ \phi_1(2) & \phi_2(2) & \cdots & \phi_N(2) \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ \phi_1(N) & \phi_2(N) & \cdots & \phi_N(N) \end{matrix} \right|.</math>

Ekkor I variációjának eltűnése a következő egyenleteket adja:

:<math>\left( \mathbf{H}_l +\sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k | \frac{e^2}{r_{kl}}| \phi_k \rangle - E_l \right)\phi_l - \sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k|\frac{e^2}{r_{kl}}|\phi_l \rangle</math>=0
Ezt ugyanúgy szukcesszív approximációval oldjuk meg.

== A periódusos rendszer ==
A kvantummechanika korai sikereinek egyike a periódusos rendszer megértése volt a Hartree-módszer alapján. Az eljárás a következő. A megoldásokat szorzat alakban keressük: <math>\Psi = \prod\limits_j u_j</math>, és a Pauli-elv miatt nem engedjük meg, hogy egy <math>u_j</math> elektronpályát kettőnél több elektron töltsön be(két ellentétes spinű elektron). Az egyrészecske Schrödinger-egyenletekben szereplő átlagos potenciál mindig radiális szimmetriájúvá átlagoljuk vissza, így a kapott egyrészecske állapotok jellemezhetők az n főkvantumszámmal és l mellékkvantumszámmal. Az l főkvantumszámok hasgyományos jelölése: s,p,d,f,...

Az elektronok leárnyékolják a mag potenciáját, így ha egy elektron távolabb van a magtól, akkor kisebb potenciált érez. Az, hogy egy elektron milyen messze jár a magtól elsősorban a mellékkvantumszámától függ, hiszen ahogy pl. a hidrogénatomnál látható, a radiális hullámfüggvény <math>r^l</math> hatvánnyal indul. Másképp megfogalmazva, nagy l-re az l(l+1)-el arányos centrifugális potenciál miatt az elektron kintebb lesz. Így a magasabb l kvantumszámú állapotok gyengébben kötöttek, és megszűnik a hidrogénatomnál még meglévő l szerinti degeneráció. Azonos főkvantumszámra az l=0-tól (n-1)-ig tartó állapotok energiasajátértéke monoton nő.

A Hartree-közelítés megadja az elektronpályák betöltésének sorrendjét:

1s, 2s,2p, 3s,3p, 4s,3d,4p, 5s,4d,5p, 6s,4f,5d,6p, ...

Érdemes megfigyelni, hogy a betöltött legmagasabb főkvantumszámú állapotok mindig s és p állapotok. Az atom külső határán a főkvantumszám határozza meg, hogy egy elektronpálya meddig terjed ki. Így azt találtuk, hogy a külső elektronpályák s és p pályák. Márpedig a külső pályák azok, amelyek meghatározzák a kémiai tulajdonságokat. n=1 külső héjjal 2 elem létezhet. n=2 külső héjjal <math>2+3 \cdot 2=8</math> n=3-assal ismét 8 és így tovább. A kémiai tulajdonságok az s,p pályák fokozatos betöltésébel változik, hogy aztán a következő főkvantumszámmal újra kezdje. Így megértettük a periódusos rendszert.

==Viriál-tétel(*)==
A kvantummechanikai viriáltétel mondja, hogy ha egy rendszer Hamilton-operátora:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{T}+\mathbf{V}=\sum \frac{\mathbf{p}_i^2}{2m_i}+\mathbf{V}</math>
ahol a potenciális energia k-adredű homogén függvény:
:<math>V(\lambda \vec{r})=\lambda^k V(\vec{r})</math>
akkor fennáll a következő egyenlőség:
:<math>k \langle V \rangle = 2 \langle T \rangle</math>
A leggyakoribb potenciálokra:
* Coulomb-potenciál k=-1
* Harmonikus oszcillátor k=2

==A Born-Oppenheimer közelítés==
A molekulák elméletében kiemelt jelentőségű az a tény, hogy az atommagok tömege sokkal nagyobb az elektronokénál, ezért azok sokkal lomhábban mozognak, mint az elektronok. Ez teszi lehetővé, hogy a molekula elektronproblémáját rögzített magkoordinátákkal megoldva, azokat paraméternek tekintve, majd az így kapott energiafelület minimumát megkeresve megkapjuk a molekula alapállapoti energiáját(és hullámfüggvényét). Ezt az eljárást nevezik Born-Oppenheimer közelítésnek. Az elektronprobléma megoldása több energiát ad, ezekből több potenciálfelületet kapunk. Akkor alkalmazható a közelítés, ha ezek a felületek szeparálva vannak egymástól.

Kicsit részletesebben, a Born-Oppenheimer közelítésben a hullámfüggvény:
:<math>\Psi=\Psi_{el}(\vec{r},\vec{R})\Psi_{mag}(\vec{R})</math>
ahol <math>\Psi_{el}(\vec{r},\vec{R})</math> a magkoordinátáktól is függő elektronállapot, <math>\Psi_{mag}(\vec{R})</math> pedig a magok közelítő állapota. A Hamilton-operátor:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H}_{el}+\mathbf{H}_{mag}</math>
ahol az elektron Hamiltonja a kinetikus energiájuk, a magok vonzása és az elektronok egymás közti taszításának összege:
:<math>\mathbf{H}_{el}(\vec{R})=\mathbf{T}_{el}+\mathbf{V}(\vec{r},\vec{R})</math>
és a magok Hamiltonja a kinetikus energiájuk és egymás közti taszításuk összege:
:<math>\mathbf{H}_{mag}=\mathbf{T}_{mag}+\mathbf{V}_{mag}(\vec{R})</math>

A lassan változó magkoordinátáktól függő elektron sajátérték probléma:
:<math>\mathbf{H}_{el}(\vec{R}) \Psi_{el,j}(\vec{r},\vec{R}) = U_j(\vec{R}) \Psi_{el,j}(\vec{r},\vec{R})</math>
Adiabatius közelítésben az a közelítő potenciál, amelynek minimuma a kémiailag kötött állapotot jelenti:
:<math>\mathbf{V}_{mag}(\vec{R})+U_j(\vec{R})</math>

Ezen minimum körül alakulnak ki a molekularezgések, amelyek kis gerjesztésnél harmonikusak, nagyobb gerjesztésnél anharmonikusak. Még nagyobb gerjesztés disszociációhoz, kémiai reakcióhoz vezet.

Formálisan úgy kapható meg a közelítés, mint az <math>(m_{e}/m_{mag})^{1/4}</math> kis paraméter szerinti sorfejtés vezető tagja. Akkor romlik el a közelítés, ha az elektronok is lassan mozognak. Ahol egy <math>U_i(\vec{R})</math> és <math>U_j(\vec{R})</math> szint keresztezi egymást, ott van lassú mozgás, ott keveresnek a molekula különböző gerjesztései. Az ilyen levert gerjesztési módust polaritonnak hívják.

== Hellmann-Feynman tétel (*) ==
A Hellmann-Feynman tétel szerint:
:<math>\frac{\partial E}{\partial \lambda} = \langle \phi | \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \lambda} | \phi\rangle</math>
ahol E a <math>\phi</math> hullámfüggvényhez tartozó energia, <math>\lambda</math> pedig valamilyen paraméter. Ezen tétel segítségével ki tudjuk számolni a molekulában a magokra ható erőket, amiből lehet egyensúlyi magtávolságokat számolni, ekkor <math>\lambda</math> helyére a magkoordinátákat kell írni és ekkor tulajdonképpen a potenciál helyszerinti deriváltja áll a képletben, ami mint tudjuk az erő (-1 szerese).

== A kémiai kötés ==
A kvantummechanika egyik nagy sikere volt a kovalens kötés megmagyarázása. A kötés azért jöhet létre, mert a kötött rendszer energiája alacsonyabb, mint az atomok energiájának összege. Ez azért van, mert az elektronok hullámfüggvénye besűrűsödik az atomok köze. Ekkor:
* Coulomb-potenciálban a viriál-tétel miatt:
:<math>E=\langle T \rangle + \langle V \rangle = -\frac{1}{2}\langle V \rangle</math>
Ha a magok között az elektronok összesűrűsödnek, akkor a magok vonzó potenciálja összeadódik, ami mélyebb eredőt eredményez.
* Egy helyről lehet két magot egymás felé vonzani.(Hellmann-Feynmann tétel)
Vannak olyan effektusok is, amelyek a sűrűsödést akadályozzák:
* Kisebb helyre szorulás a kinetikus energia növekedésével jár.
* Az elektronok közötti Coulomb-taszítás
* Pauli-elv akadályozza sok azonos spinű elektron összegyülekezését kis helyre, emiatt egy-egy molekulapályán ellentétes spinű elektronokból párok alakulhatnak ki
Ez kvalitatív kép. A kvantitatív számolások nehezek.

==A hidrogén atom ==

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban===
Ennek megjegyzése szerintem annnyira nem fontos.
A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

== Atomi energianívók termjelölése ==
Az atomi energianívókat jellemző kvantumszámok:

n - főkvantumszám (1,2,3,4,... vagy K,L,M,N,...)

l - mellékkvantumszám, az eredő pályaimpulzusmomentum kvantumszáma (0,1,2,3... vagy S,P,D,F,...)

s - eredő spinkvantumszám

j - teljes impulzusmomentum, értéke |l-s|-től l+s-ig változhat

m_j - mágneses kvantumszám: j,j-1,...,-j

A hagyományos jelölés:

:<math>n ^{2s+1} l_j</math>

Pl.: a nátrium alapállapota <math>3^2 S_{1/2}</math>

==Mágneses momentumok==
Az elektron pályimpulzusához tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_l}=-\frac{g_l \mu_B}{\hbar} \vec{L}</math>
Az elektronspinhez tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_s}=-\frac{g_s \mu_B}{\hbar} \vec{S}</math>
A magspinhez tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_I}=-\frac{g_I \mu_n}{\hbar} \vec{I}</math>
Itt L az elektron pályamomentuma, S a spinje, I a magspin. A Bohr-magneton:
:<math>\mu_B=\frac{e \hbar}{m_e}</math>
A magmagneton:
:<math>\mu_B=\frac{e \hbar}{m_p}</math>
A különböző g-faktorok értéke elektronpályára 1, elektronspinre 2(pontosabban 2,00232). Ez első adódik a klasszikus kvantummechanikából, a második a Dirac-egyenletből. A különböző atommagok g-faktorai, vagy giromágneses faktorai táblázatban megtalálhatóak. A mag-giromágneses faktor:
:<math>\gamma = \frac{g \mu_n}{\hbar}</math>

==Finomfelhasadás==
A spektrumvonalak első korrekciója a relativisztikus hatások figyelembevétele miatt keletkezik. Ez a hidrogén esetében az egyébként csak a főkvantumszámtól függő energiaszintek szeparációját hozza magával. Az effektus nagyságrendje: <math>(Z\alpha)^2</math>, ahol Z a rendszám, <math>\alpha</math> a finomszerkezeti-állandó, így a nagyságrend kb. <math>\propto 10^{-5}</math>. Ez az effektus több hatás összegése, tartalmazza a spin-pálya kölcsönhatást, a relativisztikus energiakorrekciót és egy kiátlagolt elektronmozgási potenciált.

===Spin-pálya kölcsönhatás===
A finomfelhasadást részben okozó spin-pálya kölcsönhatás úgy tekinthető, mint a spin mágneses momentumának energiája az atom belső mágneses terébe, mely az elektronok mozgásából ered. A belső tér a pályaimpulzus-momentummal, a spin mágneses momentuma a spinnel arányos, ezért:
:<math>H^{\prime}=\zeta(r)\vec{L} \vec{S}</math>
Mivel:
:<math>LS=\frac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)</math>
és S=1/2, ezért két energiaszint lesz, az j=l+1/2 energiája nagyobb mint a j=l-1/2 szinté. A felhasadás nem szimmetrikus.

==Hiperfinom felhasadás==
A spektrumvonalak az elektronok maggal való mágneses kölcsönhatásának és az atommag helyén levő elektromos tér hatására kialakuló magelektromos kvadrupól momentum hatásának következtében további felhasadásoknak lesznek kitéve. Általánosságban ezek a finomszerkezetnél még legalább egy nagyságrenddel kisebb effektusok.

===A magmágneses dipólmomentum hatása===
A magmágneses dipólmomentum kölcsönhatása a valenciaelektronok által a mag helyén keltett mágneses térrel egy nagyon kis mértékű felhasadást okoz az atomi spektrumokban. Hasonlóan a spin-pálya kölcsönhatáshoz, a hozzá tartozó Hamilton felírható ilyen alakban:

<math>\hat{H_F} = A_j \hat{I} \hat{J}</math>

Ahol a teljes impulzumomentum F=I+J. A felhasadás innen:

<math>E_F = E_j + A_j\left(F(F+1)-I(I+1)-j(j+1) \right)</math>

==Lamb shift==
A Dirac-egyenlet szerint az azonos j-khez és különböző l-ekhez tartozó nívók a hidrogén spektrumában elfajultak. Lamb és Retherford(1947) kísérletileg kimutatta, hogy a hidrogén <math>2^2S_{1/2}</math> és <math>2^2P_{1/2}</math> nívói 1058MHz frekvenciával elkülönülnek. A felhasadás máshol is jelen van, de jóval kisebb. A Lamb-shift az elektromágneses tér zérusponti energiájának fluktuációjával kapcsolatos, kvantumelektrodinamikával pontosan számolható.

==A hélium atom==
A legegyszerűbb elméleti módszer a héliumatom kezelésére a következő. A Hamilton-operátorban a két elektron taszítását H' perturbációnak tekintjük, így a Hamilton-operátor két H-atom Hamilton-operátor és egy perturbáció összege:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}+\mathbf{H^{\prime}}</math>
a két H-atom operátor összegének sajátértékproblémája:
:<math>\left(\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}\right)\phi_k(\vec{r_1})\phi_l(\vec{r_2})=(E_k+E_l)\phi_k(\vec{r_1})\phi_l(\vec{r_2})</math>
ahol a <math>\phi_i</math>-k H-atom sajátállapotok. Ezekután a degenerált perturbációszámítás képleteit használva a szekuláris egyenlet:
:<math>\left| \begin{matrix}C-E^{(1)} & K \\K & C-E^{(1)}\end{matrix}\right| = 0</math>
Ami alajpán az energiaszintek:
:<math>E = E_k + E_l + C \pm K</math>
Coulomb-integrál:
:<math>C = \int |\phi_k(\vec{r_1})|^2|\phi_l(\vec{r_2})|^2 \frac{e^2}{r_{12}} d^3\vec{r_1} d^3\vec{r_2}</math>
Kicserélődési integrál:
:<math>K = \int \phi_k^*(\vec{r_1}) \phi_k(\vec{r_2}) \phi_l^*(\vec{r_2}) \phi_l(\vec{r_1}) \frac{e^2}{r_{12}} d^3\vec{r_1} d^3\vec{r_2}</math>
Ilyen alakú integrálok folyton előjönnek atom- és molekulafizikai számításoknál. A nulladrendű közelítés hullámfüggvényeire pedig
rendre:
:<math>\phi_+^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_k(1)\phi_l(2)+\phi_l(1)\phi_k(2))</math>
:<math>\phi_-^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_k(1)\phi_l(2)-\phi_l(1)\phi_k(2))</math>
adódik. A spint és a Pauli-elvet figyelembe véve a következőt mondhatjuk. A szimmetrikus térbeli hullámfüggvény antiszimmetrikus spinhullámfüggvénnyel(szinglet) szorzódik:
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle-|-+\rangle\right)</math>
Az antiszimmetrikus térbeli hullámfüggvény szimmetrikus spinhullámfüggvények valamelyikével(triplet) szorzódik szorzódik:
:<math>|++\rangle</math>
:<math>|--\rangle</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle+|-+\rangle\right)</math>
Alapállapotban csak a szinglet valósul meg, hiszen k=l miatt a másik esetben a helyfüggő hullámfüggvény azonosan nulla.

==Stark-effektus==
Az atom energiájának elektromos tér által bekövetkezett falhasadását Stark-effektusnak nevezzük. Az első gerjesztett állapot Stark-effektusa a perturbáció számítás első közelítésében arányos az elektromos térerősséggel, ezért lineáris Stark-effektusnak nevezzük. A lineáris Stark-effektus szimmetrikus felhasadást eredményez. A négyszeres degeneráció kétszeresre csökken. A H-atom esetében:
:<math>E_2^{(1)}=\pm 3 e E r_B, 0, 0</math>

A lineáris Stark-effektus csak hidrogénszerű állapotokra lép fel, vagyis akkor, ha az energia csak az n főkvantumszámtól függ, és az állapotok l szerint elfajultak. Az energia meváltozása a perturbációszámítás második rendjében jelenik meg:
:<math>E_{nlm}=E_{nl}^{(0)}+E^2(\alpha + \beta \cdot m^2)</math>
ahol <math>\alpha, \beta</math> állandók, m a mágneses kvantumszám.

==Zeeman-effektus==
A Zeeman-effektus az aránylag kis mágneses tér hatására bekövetkező, egyébként degenerált energiaszintek felhasadása. A mágneses térnek olyan értelemben kell kicsinek lennie, hogy az az alapállapot Hamilton-hoz perturbációként járuljon hozzá:

:<math>H = H_0 + K\,</math>

Ahol a perturbáció az atomi mágneses momentum és a mágneses tér szorzata:

:<math>K = -\mu B\,</math>

Az atomi mágneses momentumhoz a mag is hozzájárul, azonban ez több nagyságrendel kisebb az elektron járulékánál, így elhanyagolható. A mágnesesmomentum a teljes impulzusmomentumot tartalmazza. Ha a spin-pálya csatolás erős, akkor csak a teljes impulzusmomentum marad állandó, szemléletesen a pálya- és spin momentumok precesszálnak az állandó teljes impulzusmomentum körül. Kiátlagolva időben a két nemmegmaradó momentumot:

:<math>\overline{S} = \frac{(S \cdot J)}{J^2} J</math>

:<math>\overline{L} = \frac{(L \cdot J)}{J^2} J</math>

Ezeket beírhatjuk a mágnesesmomentum kifejezésébe, megszorozva a megfelelő giromágneses faktorokkal, és így megkapjuk az időátlagolt perturbációt. Behelyettesítve, és a ''z''-vetületet véve a perturbáció:

:<math>K = -\mu_B B m_j g_j\,</math>

Ahol <math>\mu_B</math> a Bohr-magnetron, és g_j a felhasadást a kvantumszámok függvényében megadó Landé-faktor:

:<math>g_J= g_L\frac{J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}+g_S\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}</math>

==A <math>H_2^+</math> molekulaion, kicserélődési kölcsönhatás(*)==

==Kétatomos molekulák==
===Általános megjegyzések===
* A tér szimmetrikus a két atommagon átmenő tengelyre, ezért az impulzusmomentum ezen tengelyre vett vetülete megmarad. Ezt a vetületet <math>\Lambda</math>-val szokás jelölni, és 0,1,2 értékei esetén rendre <math>\Sigma-, \Pi-, \delta</math>-termről beszélünk.
* A molekula tengelyét tartalmazó síkre való tükrözés az impulzusmomentum előjelét megfordítja(axiálvektor). Következik, hogy a <math>\Sigma</math>-termek kivételével a többi kétszeresen elfajult(ezek a sajátfüggvények az impulzusmomentum előjelében különböznek). Egy <math>\Sigma</math>-term tükrözés esetén egy állandóval szorzódhat, mivel kétszeres tükrözés azidentitással egyenlő ez az állandó <math>\pm 1</math>, ezek alapján szokás <math>\Sigma^{+}</math> és <math>\Sigma^{-}</math> termekről beszélni.

* Két azonos atomból álló molekula szimmetrikus az atommagokat összekötő szakasz felezőpontjára is. Az erre való tügrözés szerint beszélhetünk páros(h) és páratlan(u) állapotokról. Ez utóbbi az elektronkoordináták előjelének megváltoztatásakor előjelet vált. Jelölés pl.: <math>\Pi_u</math>

* Empirikus szabály: kémiailag stabil kétatomos molekulák túlnyomó többségének alapállapota teljesen szimmetrikus(a molekula minden szimmetriájára invariáns)

* Termeket ábrázolhatjuik grafikusan a magtávolság függvényében. Tétel: Csak különböző szimmetriájú termek metszhetik egymást.
===A vegyérték===
Tekintsük a <math>H_2</math> molekulát. Ennek a legalacsonyabb impulzusmomentumú lehetséges termjei az <math>^1 \Sigma</math> spinszinglett állapot és a <math>^3 \Sigma</math> spintriplett állapot. A spintriplett szimmetrikus spinhullámfüggvényt jelent, ami a Pauli-elv miatt antiszimmetrikus helyhullámfüggvényt. Azonban egy antiszimmetrikus helyhullámfüggvény <math>|\vec{r_1}|=|\vec{r_2}|</math>-nél eltűnik, így nem lehet az alapállapot. Kémiában szokásos kifejezés szerint csomósíkja van az elektronpályának. Részletes számolás szerint valóban a <math>^1 \Sigma</math> termnek a magtávolságfüggvényében minimuma van, míg a <math>^3 \Sigma</math> termnek nincs(lazító állapot), így az alapállapot a <math>^1 \Sigma</math> term. Vagyis alapállapotban a spin 0. Mind kiderül, a főcsoport elemeinek majdnem minden kémiailag stabil molekulája rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Azt, hogy az ilyen típusú, tisztán kvantummechanikai kötés(kovalens kötés, azaz mindkét atomra kiterjedő molekulapályák által alkotott kötés) a spinnel kapcsolatos, Heitler és London felfedezése volt. Ez teszi lehetővé a vegyérték fogalmának bevezetését. Egy atom vegyértéke egy atom spinjének kétszerese, ami a körülötte található elektronok spinjének összege. Atomok egyesülése során pedig a vegyértékeknek kölcsönösen telítődnie kell, vagyis egy atom minden vegyértékkötésének meg kell feleljen egy másik atom vegyértékkötése.

===A <math>H_2</math> molekula(*)===

==Molekulák rezgési és forgási spektruma==
Az eddigi leírások az áló molekulákra vonatkoztak. Egy molekula azonban végezhet forgó mozgást is, amely szintén kvantált, azaz csak diszkrét energiákat vehet fel, és csak diszkrét kvantumokban gerjeszthető. Ezenfelül a molekulákban, ha megfelelő a potenciálfelület és az molekula geometriájához képesti alapállapotbeli eltérések harmonikus oszcillátorként közelíthetőek, akkor ezek a kötések is gerjeszthetőek a rezgés módusának megfelelő energiájú fotonokkal. Tipikusan a rezgési gerjesztési hullámhossz a közép-infravörös (30–2.5 μm) tartományába esik, az ennél kisebb energiájú forgási gerejsztések kisebb energián, a távoli-infravörösben (1000–30 μm) vannak. Mivel ezek a kisenergiájú gerjesztések igen érzékenyek és specifikusak a molekula geometriájára, illetve az elektronok potenciálfelületeire, ezért egyedülállóan pontos szerkezet- és anyagmeghatározási lehetőségeket biztosítanak. Ez vezetett a megfelelő spektroszkópiák kialakulásához.

Kis gerjesztések esetén a rezgési spektrum közelíthető harmonikus oszcillátorként, kétatomos molekulákra:
:<math>E_{rezg}=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math>
ahol
:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}</math>
ahol <math>\mu</math> a molekulatömeg, k a kémiai kötés erősségére jellemző erőállandó. Többatomos molekulákra a rezgési spektrum első körben több független oszcillátorral közelíthető:
:<math>E_{rezg}=\sum\limits_i \hbar \omega_i(n_i+\frac{1}{2})</math>

A forgási energia pedig első körben merev rotátorként képzelhető el. Mivel a forgási energia lényegesen kisebb a rezgésinél, ezért első körben a kettő tekinthető függetlennek.

===IR- és Raman-spektroszkópia===
Az IR (infravörös) spektroszkópia összefoglaló neve a forgási és rezgési spektrumok tanulmányozására szolgáló spektroszkópiai módszereknek. Az egyes rezgések igen határozottan specifikusak az egyes molekuláris csoportokra, illetve kötésekre, sőt a spektrumvonalak finomszerkezete az izotópokra is érzékeny. Az elméleti számolások itt igen elbonyolodnakm sokszor nem élhetünk az energiaszintek adiabatikus közelítéssel sem. A forgásispektroszkópiának további hátránya, hogy csak gázfázisban használható, mert folyadékban és gázokban az ütközések elnyomják a hatását. Továbbá szükséges hozzá (első közelítésben), hogy legyen a molekulának eredő dipólmomentuma.

Az fenti módusok gerjesztésének egyik más módszere a Raman-spektroszkópia, ez a fotonok rugalmatlan szórása a különböző gerjeszthető részeken (fononokon, molekuláris elektronfelhőn, kémiai kötéseken), aminek következtében energiát ad át az adott módusnak, amiáltal megváltozik a besugárzott foton frekvenciája és az észlelt spektrumban vonalak jelentkeznek. Ezzel párhuzamosan a felgerjesztett módus egy idő után visszatér az alapálapothoz közeli, de gerjesztett szintre. Az alapvető különbség az infravörös és a Raman-spektroszkópia között, hogy az infravörösnél beusgárzott foton elnyelődik, és közvetlenül csak a rezgést gerjeszti, míg a Raman spektroszkópiánál egy jóval magasabb szintre történő gerjesztés utáni visszaállás vezet ugyanarra az energiaszintre.

Ha az alapállapotból történő gerjesztés után a visszatérés az alapállapotba történik, az a klasszikus Rayleigh folyamat. Ha a visszatérés magasabb szintre történik, például az előbb részletezett esetben, akkor Stokes-folyamatról, ha kicsit gerjesztett állapotból mélyebb állapotba térünk vissza, akkor anti-Stokes folyamatról beszélünk.

==Alagút-effektus==
Tekintsünk egy rendszert, ahol a hullámfüggvénynek az egyik közegben exponenciálisan lecsengő megoldása van, de a közeg két végén oszcilláló megoldása. Ha a közeg egyik oldalán például felveszünk egy hullámcsomagot, ami adott sebességgel halad az exponenciálisan lecsengő régió felé, akkor véges valószínűsége lesz annak, hogy a hullámcsomag átjut a közegen, és a másik oldalon folytatja útját. Ilyen jelenség van például az atommagban az alfarészecskékkel.

<hr />
'''Hivatkozások:'''
<references />

{{Záróvizsga}}

Atom- és molekulaszerkezet

2011-06-25T12:27:00Z

Birol: /* Perturbációszámítás */

Atom- és molekulaszerkezet

2011-06-24T23:32:29Z

Birol: /* Stark-effektus */

==Perturbációszámítás==
A kvantummechanikában előbukkanó problémák általánosságban nem oldhatóak meg egzaktul. Gyakran azonban azt akarjuk meghatározni, hogy egy ismert sajátfüggvényekkel rendelkező rendszert hogy befolyásol egy vele bizonyos értelemben gyengén kölcsönható külső rendszer. Ekkor a vizsgált rendszer Hamilton-operátora csak kicsit különbözik az egzaktul megoldható probléma Hamilton-operátorától:

:<math>\mathbf{H} = \mathbf{H}_0 + \mathbf{K},</math>
ahol '''<math>H_0</math>''' az egzaktul megoldható probléma Hamilton-operátora, és '''K''' kicsi '''<math>H_0</math>'''-hoz képest (egy operátor akkor tekinthető kicsinek, ha sajátértékei jóval kisebbek a másikénál).

Azt várjuk, hogy perturbált probléma megoldása csak kicsit fog különbözni az eredeti probléma egzakt megoldásaitól. Az ilyen alakú problémák ezen megoldási módszerét perturbációszámításnak nevezzük.

===Időfüggetlen, nem-degenerált eset===
Ebben az esetben azokat a problémákat vizsgáljuk, amikor '''K''' időfüggetlen és a perturbálatlan probléma Hamilton-operátora nem elfajult, azaz minden sajátértékhez egyetlen sajátfüggvény tartozik. Feltesszük, hogy a perturbálatlan esethez ismerjük a megoldásokat, és a fentiek ismeretében keressük a perturbált megoldásokat:

:<math>\mathbf{H}_0 \psi_k = E_k^{(0)} \psi_k</math>

Rayleigh-től eredő trükk a perturbáló operátor kicsinységének figyelembevételére az, hogy egy kis <math>\lambda</math> paraméter szerint fejtünk sorba, amely majd később kapja vissza a <math>\lambda=1</math> értéket:

:<math>\mathbf{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{K}</math>

Ezt a trükköt azért alkalmazzuk, mert az operátor kicsiségét nehéz definiálni. Ezzel a trükkel lényegében azt mondjuk, hogy '''K''' legyen egy
tetszőleges operátor, melyet megszorzunk egy λ dimenziótlan paraméterrel, melynek értékével nullába tartunk. Ebben az esetben az operátor
határesetben garantáltan kicsivé válik, és sorfejtést is tudunk végezni a dimenziótlan λ paraméter szerint. A megoldás végén λ-t
egységnyinek tekintjük, hiszen a perturbáló operátor kicsisége magában a perturbáló operátorban kell megjelennie, nincs szükség dimenziótlan
paraméterrel való szorzásra, az csak a probléma kezelését könnyíti meg (pl. a sorfejtésnél).

A Schrödinger-egyenletet egy tetszőleges ortogonális bázis segítségével átírhatjuk mátrixos alakba. A probléma összes sajátállapotát természetesen csak akkor kapjuk meg, ha a felhasznált bázis teljes. A bázisnak a perturbálatlan Hamilton-operátor ortogonális sajátfüggvényeit fogjuk használni:
:<math>\mathbf{H}_0\psi_n = E_n\psi_n</math>
A hullámfüggvényt a bázisfüggvények lineárkombinációjaként keressük <math>\psi=\sum_n c_n\psi_n,</math> és ezt helyettesítjük be a Schrödinger egyenletbe. Formálisan tehát:
:<math>\sum_n\mathbf{H}\psi_n c_n = E\sum_n c_n\psi_n.</math>
Skalárisan beszorozva mindkét oldalt <math>\psi_m</math>-mel, és felhasználva, hogy <math>\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{mn}</math> a következőhöz jutunk:

:<math>\sum_n H_{mn}c_n = \langle\psi_m|H|\psi_n\rangle c_n = E c_m.</math>

Ez a Schrödinger-egyenlet mátrixalakja. Ezt kívánjuk most megoldani a perturbációszámítás segítségével.

A megoldandó sajátérték-egyenlet tehát <math>\mathbf{H}_{mn}c_n = E c_m,</math> ahol <math>\mathbf{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{K}</math>
A <math>\lambda</math>-ban nulladrendet az ismert perturbálatlan megoldás adja. Hamarosan belátjuk, hogy nulladrendben a perturbált probléma sajátenergiái a perturbálatlan probléma sajátenergiáival egyeznek meg.

Mivel a <math>\psi_n</math> függvények '''<math>H_0</math>''' sajátfüggvényei, ezért:
:<math>\mathbf{H_0}\psi_n = E_n^{(0)} \psi_n</math>
:<math>\left( \mathbf{H_0} \right)_{mn} = \langle\psi_m|\mathbf{H_0}|\psi_n\rangle = E_n^{(0)} \delta_{mn}</math>

Ezen a bázison a Schrödinger-egyenlet mátrixalakja
:<math>\sum\limits_n H_{mn} c_n = E c_n</math>
:<math>\left(E_m^{(0)}-E\right)c_m + \lambda \sum\limits_n K_{mn} c_n = 0</math>

A sorfejtések:
:<math>E=E^{(0)}+\lambda E^{(1)}+\lambda^2 E^{(2)}+...\,</math>
:<math>c_m=c_m^{(0)}+\lambda c_m^{(1)}+\lambda^2 c_m^{(2)}+...\,</math>

Ezt kell beírni az előző Schrödinger-egyenletbe. A különböző tagok együtthatóiról leolvashatók a különböző rendű korrekciók.

A nulladrend ezt adja:
:<math>\left(E_m^{(0)}-E^{(0)}\right)c_m^{(0)}=0</math>

Ennek megoldása <math>E^{0}=E_i^{(0)}</math> és <math>c_0^{(0)}=\delta_{im}</math>. Ez azt jelenti, hogy nulladrendben a sajátenergiák a perturbálatlan Hamilton-operátorok sajátenergiái, és a sajátfüggvények is megegyeznek a perturbálatlan probléma sajátfüggvényeivel. Ez alapján most már tudjuk egyértelműen indexelni a perturbált probléma keresett sajátállapotait egy i indexszel, mely azt adja meg, hogy nulladrendben melyik perturbálatlan állapotra egyszerűsödik a sajátállapot. Általában ettől az i indextől függeni fognak a λ-ban magasabb rendű korrekciók. A továbbiakban egy tetszőleges i indexű állapotot vizsgálunk.

Az elsőrendű energiakorrekciók:

:<math>E^{(1)}=K_{ii}\,</math>

Az állapotvektorok elsőrendű korrekciói:

:<math>c_m^{(1)}=\frac{K_{mi}}{E_i^0-E_m^0}\,</math>

Az energiák másodrendű korrekciói:

:<math>E^{(2)}=\sum\limits_{n \neq i} \frac{|K_{in}|^2}{E_i^0-E_m^0}\,</math>

A módszer alkalmazható, ha a kiszámol korrekciók tényleg kicsik, vagyis a perturbáció átmeneti mátrixelemei sokkal kisebbek, mint a perturbálatlan energiaszintek különbségei:

:<math>\left| \frac{K_{mi}}{E_i^0-E_m^0} \right| \ll 1\,</math>

===Időfüggetlen, degenerált eset===
Degenerált esetben egyetlen energiasajátértékhez több sajátfüggvény is tartozhat. A perturbácó hatására ezek az energiaszintek fel is hasadhatnak (gondoljunk a Zeeman-effektusra). Ekkor az előző módszer nem alkalmazható, a <math>\lambda</math> nulladrendjére kapott <math>\left(E_m^{(0)}-E^{(0)}\right)c_m^{(0)}=0</math> egyenlet nem határozza meg egyértelműen a nulladrendű sajátvektorokat, mert vannak olyan energiasajátértékek, amelyek megegyeznek, és az azokhoz tartozó c-ket nem tudjuk meghatározni. Azt persze továbbra is tudjuk, hogy a más energiájú sajátállapotok együtthatói nulladrendben zérusok. Az azonos energiájú sajátállapotok nulladrendű együtthatóihoz viszont fel kell használni λ-ban a következő rendet is. Ebben megjelenik az energiafelhasadás első rendje is, melyet így szintén megkaphatunk ebből az egyenletből. A kapott egyenlet:
:<math>\sum\limits_n K_{mn}c_n^{(0)}=E^{(1)}c_m^{(0)}</math>
Ez így rendezhető át:
:<math>\sum\limits_n \left( K_{mn} - E^{(1)} \delta_{mn} \right) c_n^{(0)} = 0</math>
Ezen homogén egyenlet megoldási feltételéből kapjuk a szekuláris egyenletet amely megadja az elsőrendű energiakorrekciókat:
:<math>\mathrm{det}|\left( \mathbf{K} - E^{(1)} \mathbf{I} \right)| = 0 </math>
Az eredeti egyenletben az elsőrendű energiakorrekciókat visszahelyettesítve megkapjuk a <math>c_n^{(0)}</math> nulladrendű együtthatókat. Ezekután már használhatók a nem degenerált eset képletei.

===Időfüggő eset===
Az időfüggő perturbációszámítás logikája az eddigiektől eltérő. Mivel kis hatások felhalmozódhatnak hosszú idő alatt, ezért fel szoktuk tenni, hogy a perturbáció csak rövid ideig tart. Most is hasonló sorfejtést alkalmazunk, mint az előbb a perturbálatlan feladat(<math>\mathbf{H}_0 \psi_n = E_n \psi_n </math>) sajátfüggvényei szerint kifejtve a megoldást:
:<math>\psi(t)=\sum\limits_n c_n(t) \psi_n</math>
Így a Schrödinger-egyenlet:
:<math>\sum_n i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\sum_n \langle\psi_n|\mathbf{H}|\psi_m\rangle c_n</math>
:<math>\dot{c_m}=-\frac{i}{\hbar}E_m c_m(t) + \lambda \sum\limits_n K_{mn} c_n(t)</math>
A megoldást hatványsor alakban kerssük:
:<math>c_m(t)=c_m^{(0)}(t)+\lambda c_m^{(1)}(t)+...</math>
A továbblépés a közönséges differenciálegyenleteknél ismert állandók variálásának módszere. (A kvantummechanikában ebből lett a kölcsönhatási kép.) Legyen:
:<math>b_m(t)=e^{\frac{i}{\hbar}E_mt}c_m(t)</math>
Ez nulladrendben állandó. Ezt az álandót variálja a perturbáció jelenléte.
:<math>\dot{b_m}(t)=-\frac{i}{\hbar}\lambda \sum\limits_n e^{i\omega_{mn}t}K_{mn}(t)</math>
ahol <math>\hbar \omega_{mn}=E_m-E_n</math>.Az első rendet megkapjuk, ha a jobb oldalon <math>b_n(t)=b_n(0)=c_n(0)</math> közelítést alkalmazzuk. A fenti differeniál egyenletből a b együtthatók kiszámolhatóak, segítségükkel meghatározható a végállapot hullámfüggvénye. Ismert tehát a kezdeti és a végállapot, ebből felírható a K mátrixeleme:

:<math>K_{mn} = \langle \phi_m | K | \phi_n \rangle</math>

Legyen a kezdeti(i) állapot egy perturbálatlan sajátállapot: <math>c_n(0)=\delta_{in}</math>. Az átmeneti valószínűség:

:<math>P_{fi}=\frac{1}{\hbar ^2} \left| \int\limits_{0}^{t} e^{i \omega _{fi} \tau} K_{fi}( {\tau}) d \tau \right|^2.</math>

=== Fermi-féle aranyszabály ===
A Fermi-féle aranyszabály folytonos/kvázifolytonos spektrumban segít átmeneti valószínűségeket kiszámítani. <math>\omega</math> körfrekvencájú periodikus perturbáció esetén az időegységre jutó átmeneti valószínűség:
:<math>W_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 (\delta(E_f-E_i+\hbar \omega)+\delta(E_f-E_i-\hbar \omega))</math>
Ez a formula megkapható az előző pontból kiiindulva <math>t>>\omega^{-1}</math> határérték elvégzésével.
Állandó perturbáció esetén:
:<math>W_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 \delta(E_f-E_i)</math>
Ha több állapot valamelyikébe való átmeneti valószínűséget akarjuk tudni, akkor:
:<math>T_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 \rho</math>
ahol <math>\rho</math> a végső állapotok sűrűsége(állapotok száma energiaegységenként)

===Elektronok kölcsönhatása sugárzási térrel, Indukált emisszió és abszorpció===
Az elektromágneses tér kölcsönhat az elektronnal, az elektronra ható erő a következő:
:<math>\mu\dot{\mathbf{v}} = -e\left(\mathbf{E}+\frac1c \mathbf{v}\times\mathbf{H}\right),</math>
ahol '''v''' az elektron sebessége, μ a tömege, '''E''' és '''H''' az elektromos illetve mágneses térerősség. Be lehet látni, hogy a mozgásegyenlet származtatható a
:<math>H=\frac1{2\mu}\left(\mathbf{p}+\frac{e}c\mathbf{A}\right)^2-e\Phi</math>
Hamiltonfüggvényből. Ez a megszokott módon operátorosítható. Ha tiszta sugárzási térbe helyezzük az elektront, akkor Φ elhagyható. Kis terekre Coulomb-mértékben vizsgálva a problémát, a következő közelítést tehetjük a perturbáló Hamilton-operátorra:
:<math>\mathbf{K}=\frac{e}{\mu c}\mathbf{Ap}</math>.
Az egyszerűség kedvéért azt a problémát vizsgáljuk, hogy egy Hidrogénatomot sugárzási térbe helyezünk, és megnézzük mit jósol a perturbációszámítás (lehetséges-e átmenet a hidrogénatom állapotai között, mekkora valószínűséggel, stb). A vektorpotenciált a következő alakúnak tételezzük fel:
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{e}A_0\cos(\mathbf{kr}-\omega t)=\frac{\mathbf{e}}{2}A_0(e^{-ikr}e^{i\omega t}+e^{ikr}e^{-i\omega t}).</math>
Ekkor a perturbálópotenciál felírható a kvöetekző alakban:
<math>\mathbf{K(t)}=\mathbf{K}e^{i\omega t}+\mathbf{K^*}e^{-i\omega t}.</math>
A két tag rögzített kezdőállapot esetén csak egy-egy átmenetre nem fog zérust adni. Az első tag az emissziót írja le, melynél az átmeneti valószínűség
:<math>W_e=\frac{2\pi}{\hbar}\left[|K_{nm}|^2\rho(E_n)\right]_{E_n=E_m-\hbar\omega}</math>.
A második tag az abszorpciót írja le, melynél az átmeneti valószínűség analóg módon
:<math>W_e=\frac{2\pi}{\hbar}\left[|K_{nm}|^2\rho(E_n)\right]_{E_n=E_m+\hbar\omega}</math>.
A konkrét valószínűségekhez kiszámítandó a következő mátrixelem:
:<math>K_{nm}=\frac{eA_0}{2\mu c}e^{-ikr}(\mathbf{ep})_{nm}</math>
Mivel a hullámfüggvények az atomra vannak koncentrálódva, ezért <math>e^{-ikr}</math> tekinthető egységnyinek, vagyis
:<math>K_{nm}\approx\frac{eA_0}{2\mu c}(\mathbf{ep})_{nm}.</math>
Ezt a sugárzást dipólsugárzásnak nevezzük (amikor elhagyjuk az exponenciálist). Ekkor ugyanis belátható, hogy a mátrixelem arányos az elektron dipólnyomatékával.

Ha a dipólnyomaték egy átmenetre zérus, akkor az átmenet nem valósul meg. Ekkor az adott átmenet tiltott. Be lehet látni, hogy az átmenet csak akkor megengedett, ha a kezdő- és végállapot között a mellékkvantumszám és a mágneses kvantumszám különbsége is pontosan 1.

==Variációs módszer==
Az energiasajátérték egyenlettel ekvivalens állítás az a variációs elv, amely szerint alapállapotban

:<math>\int \phi^* \mathbf{H} \phi = \langle \phi | \ \mathbf{H} | \phi \rangle = min. = E_0</math>

az n. gerjesztett állapot pedig úgy kaphatjuk, hogy az előző szélsőértékfeladatot azon mellékfeltételekkel oldjuk meg, hogy az <math>\phi_n</math> állapot ortogonális az alapállapotra és az előző n-1 gerjesztett állapotra is. Természetesen a feladat általános megoldása általában lehetetlen, ezért gyakorlati alkalmazásokban csak a Hilbert-tér egy leszűkítésén oldjuk meg, valamilyen próbafüggvényt feltételezve, majd a paraméterei szerint elvégezve a szélsőértékproblémát.

=== Ritz-féle variációs módszer (*)===
Akkor beszélünk Ritz-féle variációs módszerről, ha a próbafüggvény valamilyen bázisfüggvények lineáris kombinációja:

:<math> \phi = \sum\limits_i c_i \phi_i</math>

Ekkor az energia várható értéke:

:<math>\epsilon = \frac{ \langle \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i | \mathbf{H} | \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i \rangle}{\langle \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i | \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i \rangle}</math>

Ennek a c-k vagy c*-ok szerinti deriválása egy lineáris egyenletrendszerhez vezet, melynek megoldási feltétele a következő általánosított szekuláris egyenletet adja:

:<math>det|\mathbf{H}-\epsilon \mathbf{S}|=0</math>

ahol az átfedési mátrix, mely a bázisállapotok nemortogonalitása miatt jelenik meg:

:<math>S_{ij}=\langle \phi_i | \phi_j \rangle</math>

== Problémák a kvantummechanika közelítő módszereivel ==
A perturbációszámítás gyakorlati(pl. molekulafizkai) alkalmazásakor néha problémák merülnek fel. Egyrészt előfordul, hogy az egyre újabb rendekben kapott energiák oszcillálnak, másrészt pedig előfordul, hogy úgy tűnik, mintha már bekonvergált volna a sor, de még néhány tag kiszámolása után ismét elindul. Ezek a problémák nem állnak fenn a variációs módszernél, ott legalább az irány mindig egyértelmű. De ott is előfordul, hogy az energia már nagyon közel van a jó(kísérleti) értékhez, de a hullámfüggvény még meglehetősen messze.

==Azonos részecskék, Pauli-elv==
A Hamilton-operátor szimmetrikus két azonos részecske(elektron) felcserélésére. Ezért a Hamilton-operátor kommutál a részecskék felcserélésével. Következésképpen választható olyan energia sajátfüggvények, amelyek a felcserélés operátorának is sajátfüggvényei. Mivel kétszeri felcserélés után az eredeti állapotba jutunk vissza, a felcserélés sajátértéke csak <math>\pm 1</math> lehet, vagyis a felcseréléssel szemben a sajátállapot lehet szimmetrikus vagy antiszimmetrikus.

Ha áttérünk az időfüggő Schrödinger-egyenletre, akkor a permutáció operátora megmaradó mennyiség(mivel a Hamilton-operátorral felcserélhető), így a kezdeti szimmetria az időfejlődés során is megmarad.

Mint kiderült, a hullámfüggvény szimmetriája a részecske fajtájából következik:
* Feles spinű részecskék(fermionok) hullámfüggvénye antiszimmetrikus. Ebből az állításból rögtön következik, hogy az atom elektronjai közül semelyik kettő nem lehet azonos állapotban.
* Egész spinű részecskék(bozonok) hullámfüggvénye szimmetrikus.

Mivel nincsenek vegyes szimmetriájú részecskék, ezért minden részecskének tartozni kell valamelyik kategóriába. Azonos részecskék megcserélése az előzőtől megkülönböztethetetlen állapotot hoz létre. Az azonos részecskék megkülönböztethetetlenek.

==Átlagtérközelítés==
===Nem kölcsönható azonos részecskék===
Nem kölcsönható azonos részecskék esetében a Hamilton-operátor egyrészecske Hamilton-operátorok összege:

:<math>\mathbf{H}=\sum\limits_{l=1}^N \mathbf{H}_l^{(1)}\,</math>

Ezesetben a Schrödinger-egyenletnek mindig léteznek szorzatalakú megoldásai:

:<math>\phi(1,2,3,...)=\phi_a(1) \phi_b(2)...\,</math>

ahol:

:<math>\mathbf{H} \phi_a(1)=E_a \phi_a(1)\,</math>

Ezen szorzatok viszont még nem teljesítik a Pauli-elvet. Ennek kielégítésére az egyrészecske-állapotokból Slater-determináns képezhető:

:<math>\Psi(1, 2, ..., N) =\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \cdots & \phi_N(1) \\ \phi_1(2) & \phi_2(2) & \cdots & \phi_N(2) \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ \phi_1(N) & \phi_2(N) & \cdots & \phi_N(N) \end{matrix} \right|.</math>

A függvények indexei jelölik, hogy melyik függvényről van szó, argumentumaik pedig azt, hogy melyik részecske koordinátái írandóak a függvénybe.
Ennek látszanak a megfelelő tulajdonságai:

* Ha két részecskét(sort) felcserélünk akkor előjelet vált.
* Ha két oszlop azonos akkor nulla lesz, vagyis nem lehet két részecske azonos állapotban.

===Átlagtérközelítés===
Továbblépve a nemkölcsönható részekéktől a következő közelítést alkalmazhatjuk. Egy részecske helyén sok más részecskétől eredő erőt érez, ezt külső térnek tekintjük, és beírjuk az egyrészecske Schrödinger-egyenletbe. Ezt megoldva új egyrészecske sajátfüggvényeket kapunk, amelyek őj teret adnak, ezzel újraszámoljuk az egyenletet stb. Addig iterálunk, amíg a tér be nem konvergál, ezzel megkapjuk az önkonzisztens teret, vagy átlagteret.

===Hartree-Fock módszer===
Azt az átlagtérközelítést, amikor egyetlen Slater-determináns alakjában keressük a megoldást, és ezzel végzünk önkonzisztens-tér közelítést Hartree-Fock módszernek hívjuk. Kicsit részletesebben is megnézzük.

A variációs elvből indulunk ki. Eszerint <math>I=\langle \phi | \mathbf{H} | \ \phi \rangle</math> minimális. Ha a megoldást szorzatalakban keressük: <math>\phi = \phi_1(r_1)\phi_2(r_2)...</math> akkor az I variációjának eltünéséből az egyrészecske Schrödinger-egyenletek:

:<math>\left( \mathbf{H}_l + \sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k |\frac{e^2}{r_{lk}} | \phi_k \rangle- E_l\right) \phi_l = 0 </math>

Az egylenrendszert pedig szukcesszív aproximációval oldjuk meg, első közelítésben <math>\phi_k</math>-kat hidrogénszerűnek feltételezve, és innen indítva az önkonzisztens tér közelítést. Ez a Hartree-módszer. Itt még láthatóan nem vettük figyelembe a Pauli-elvet.

A Hartree-módszer továbbfejlesztése a Hartree-Fock módszer, amely Slater-determináns alakú megoldást keres:

:<math>\Psi(1, 2, ..., N) =\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \cdots & \phi_N(1) \\ \phi_1(2) & \phi_2(2) & \cdots & \phi_N(2) \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ \phi_1(N) & \phi_2(N) & \cdots & \phi_N(N) \end{matrix} \right|.</math>

Ekkor I variációjának eltűnése a következő egyenleteket adja:

:<math>\left( \mathbf{H}_l +\sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k | \frac{e^2}{r_{kl}}| \phi_k \rangle - E_l \right)\phi_l - \sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k|\frac{e^2}{r_{kl}}|\phi_l \rangle</math>=0
Ezt ugyanúgy szukcesszív approximációval oldjuk meg.

== A periódusos rendszer ==
A kvantummechanika korai sikereinek egyike a periódusos rendszer megértése volt a Hartree-módszer alapján. Az eljárás a következő. A megoldásokat szorzat alakban keressük: <math>\Psi = \prod\limits_j u_j</math>, és a Pauli-elv miatt nem engedjük meg, hogy egy <math>u_j</math> elektronpályát kettőnél több elektron töltsön be(két ellentétes spinű elektron). Az egyrészecske Schrödinger-egyenletekben szereplő átlagos potenciál mindig radiális szimmetriájúvá átlagoljuk vissza, így a kapott egyrészecske állapotok jellemezhetők az n főkvantumszámmal és l mellékkvantumszámmal. Az l főkvantumszámok hasgyományos jelölése: s,p,d,f,...

Az elektronok leárnyékolják a mag potenciáját, így ha egy elektron távolabb van a magtól, akkor kisebb potenciált érez. Az, hogy egy elektron milyen messze jár a magtól elsősorban a mellékkvantumszámától függ, hiszen ahogy pl. a hidrogénatomnál látható, a radiális hullámfüggvény <math>r^l</math> hatvánnyal indul. Másképp megfogalmazva, nagy l-re az l(l+1)-el arányos centrifugális potenciál miatt az elektron kintebb lesz. Így a magasabb l kvantumszámú állapotok gyengébben kötöttek, és megszűnik a hidrogénatomnál még meglévő l szerinti degeneráció. Azonos főkvantumszámra az l=0-tól (n-1)-ig tartó állapotok energiasajátértéke monoton nő.

A Hartree-közelítés megadja az elektronpályák betöltésének sorrendjét:

1s, 2s,2p, 3s,3p, 4s,3d,4p, 5s,4d,5p, 6s,4f,5d,6p, ...

Érdemes megfigyelni, hogy a betöltött legmagasabb főkvantumszámú állapotok mindig s és p állapotok. Az atom külső határán a főkvantumszám határozza meg, hogy egy elektronpálya meddig terjed ki. Így azt találtuk, hogy a külső elektronpályák s és p pályák. Márpedig a külső pályák azok, amelyek meghatározzák a kémiai tulajdonságokat. n=1 külső héjjal 2 elem létezhet. n=2 külső héjjal <math>2+3 \cdot 2=8</math> n=3-assal ismét 8 és így tovább. A kémiai tulajdonságok az s,p pályák fokozatos betöltésébel változik, hogy aztán a következő főkvantumszámmal újra kezdje. Így megértettük a periódusos rendszert.

==Viriál-tétel(*)==
A kvantummechanikai viriáltétel mondja, hogy ha egy rendszer Hamilton-operátora:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{T}+\mathbf{V}=\sum \frac{\mathbf{p}_i^2}{2m_i}+\mathbf{V}</math>
ahol a potenciális energia k-adredű homogén függvény:
:<math>V(\lambda \vec{r})=\lambda^k V(\vec{r})</math>
akkor fennáll a következő egyenlőség:
:<math>k \langle V \rangle = 2 \langle T \rangle</math>
A leggyakoribb potenciálokra:
* Coulomb-potenciál k=-1
* Harmonikus oszcillátor k=2

==A Born-Oppenheimer közelítés==
A molekulák elméletében kiemelt jelentőségű az a tény, hogy az atommagok tömege sokkal nagyobb az elektronokénál, ezért azok sokkal lomhábban mozognak, mint az elektronok. Ez teszi lehetővé, hogy a molekula elektronproblémáját rögzített magkoordinátákkal megoldva, azokat paraméternek tekintve, majd az így kapott energiafelület minimumát megkeresve megkapjuk a molekula alapállapoti energiáját(és hullámfüggvényét). Ezt az eljárást nevezik Born-Oppenheimer közelítésnek. Az elektronprobléma megoldása több energiát ad, ezekből több potenciálfelületet kapunk. Akkor alkalmazható a közelítés, ha ezek a felületek szeparálva vannak egymástól.

Kicsit részletesebben, a Born-Oppenheimer közelítésben a hullámfüggvény:
:<math>\Psi=\Psi_{el}(\vec{r},\vec{R})\Psi_{mag}(\vec{R})</math>
ahol <math>\Psi_{el}(\vec{r},\vec{R})</math> a magkoordinátáktól is függő elektronállapot, <math>\Psi_{mag}(\vec{R})</math> pedig a magok közelítő állapota. A Hamilton-operátor:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H}_{el}+\mathbf{H}_{mag}</math>
ahol az elektron Hamiltonja a kinetikus energiájuk, a magok vonzása és az elektronok egymás közti taszításának összege:
:<math>\mathbf{H}_{el}(\vec{R})=\mathbf{T}_{el}+\mathbf{V}(\vec{r},\vec{R})</math>
és a magok Hamiltonja a kinetikus energiájuk és egymás közti taszításuk összege:
:<math>\mathbf{H}_{mag}=\mathbf{T}_{mag}+\mathbf{V}_{mag}(\vec{R})</math>

A lassan változó magkoordinátáktól függő elektron sajátérték probléma:
:<math>\mathbf{H}_{el}(\vec{R}) \Psi_{el,j}(\vec{r},\vec{R}) = U_j(\vec{R}) \Psi_{el,j}(\vec{r},\vec{R})</math>
Adiabatius közelítésben az a közelítő potenciál, amelynek minimuma a kémiailag kötött állapotot jelenti:
:<math>\mathbf{V}_{mag}(\vec{R})+U_j(\vec{R})</math>

Ezen minimum körül alakulnak ki a molekularezgések, amelyek kis gerjesztésnél harmonikusak, nagyobb gerjesztésnél anharmonikusak. Még nagyobb gerjesztés disszociációhoz, kémiai reakcióhoz vezet.

Formálisan úgy kapható meg a közelítés, mint az <math>(m_{e}/m_{mag})^{1/4}</math> kis paraméter szerinti sorfejtés vezető tagja. Akkor romlik el a közelítés, ha az elektronok is lassan mozognak. Ahol egy <math>U_i(\vec{R})</math> és <math>U_j(\vec{R})</math> szint keresztezi egymást, ott van lassú mozgás, ott keveresnek a molekula különböző gerjesztései. Az ilyen levert gerjesztési módust polaritonnak hívják.

== Hellmann-Feynman tétel (*) ==
A Hellmann-Feynman tétel szerint:
:<math>\frac{\partial E}{\partial \lambda} = \langle \phi | \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \lambda} | \phi\rangle</math>
ahol E a <math>\phi</math> hullámfüggvényhez tartozó energia, <math>\lambda</math> pedig valamilyen paraméter. Ezen tétel segítségével ki tudjuk számolni a molekulában a magokra ható erőket, amiből lehet egyensúlyi magtávolságokat számolni, ekkor <math>\lambda</math> helyére a magkoordinátákat kell írni és ekkor tulajdonképpen a potenciál helyszerinti deriváltja áll a képletben, ami mint tudjuk az erő (-1 szerese).

== A kémiai kötés ==
A kvantummechanika egyik nagy sikere volt a kovalens kötés megmagyarázása. A kötés azért jöhet létre, mert a kötött rendszer energiája alacsonyabb, mint az atomok energiájának összege. Ez azért van, mert az elektronok hullámfüggvénye besűrűsödik az atomok köze. Ekkor:
* Coulomb-potenciálban a viriál-tétel miatt:
:<math>E=\langle T \rangle + \langle V \rangle = -\frac{1}{2}\langle V \rangle</math>
Ha a magok között az elektronok összesűrűsödnek, akkor a magok vonzó potenciálja összeadódik, ami mélyebb eredőt eredményez.
* Egy helyről lehet két magot egymás felé vonzani.(Hellmann-Feynmann tétel)
Vannak olyan effektusok is, amelyek a sűrűsödést akadályozzák:
* Kisebb helyre szorulás a kinetikus energia növekedésével jár.
* Az elektronok közötti Coulomb-taszítás
* Pauli-elv akadályozza sok azonos spinű elektron összegyülekezését kis helyre, emiatt egy-egy molekulapályán ellentétes spinű elektronokból párok alakulhatnak ki
Ez kvalitatív kép. A kvantitatív számolások nehezek.

==A hidrogén atom ==

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban===
Ennek megjegyzése szerintem annnyira nem fontos.
A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

== Atomi energianívók termjelölése ==
Az atomi energianívókat jellemző kvantumszámok:

n - főkvantumszám (1,2,3,4,... vagy K,L,M,N,...)

l - mellékkvantumszám, az eredő pályaimpulzusmomentum kvantumszáma (0,1,2,3... vagy S,P,D,F,...)

s - eredő spinkvantumszám

j - teljes impulzusmomentum, értéke |l-s|-től l+s-ig változhat

m_j - mágneses kvantumszám: j,j-1,...,-j

A hagyományos jelölés:

:<math>n ^{2s+1} l_j</math>

Pl.: a nátrium alapállapota <math>3^2 S_{1/2}</math>

==Mágneses momentumok==
Az elektron pályimpulzusához tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_l}=-\frac{g_l \mu_B}{\hbar} \vec{L}</math>
Az elektronspinhez tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_s}=-\frac{g_s \mu_B}{\hbar} \vec{S}</math>
A magspinhez tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_I}=-\frac{g_I \mu_n}{\hbar} \vec{I}</math>
Itt L az elektron pályamomentuma, S a spinje, I a magspin. A Bohr-magneton:
:<math>\mu_B=\frac{e \hbar}{m_e}</math>
A magmagneton:
:<math>\mu_B=\frac{e \hbar}{m_p}</math>
A különböző g-faktorok értéke elektronpályára 1, elektronspinre 2(pontosabban 2,00232). Ez első adódik a klasszikus kvantummechanikából, a második a Dirac-egyenletből. A különböző atommagok g-faktorai, vagy giromágneses faktorai táblázatban megtalálhatóak. A mag-giromágneses faktor:
:<math>\gamma = \frac{g \mu_n}{\hbar}</math>

==Finomfelhasadás==
A spektrumvonalak első korrekciója a relativisztikus hatások figyelembevétele miatt keletkezik. Ez a hidrogén esetében az egyébként csak a főkvantumszámtól függő energiaszintek szeparációját hozza magával. Az effektus nagyságrendje: <math>(Z\alpha)^2</math>, ahol Z a rendszám, <math>\alpha</math> a finomszerkezeti-állandó, így a nagyságrend kb. <math>\propto 10^{-5}</math>. Ez az effektus több hatás összegése, tartalmazza a spin-pálya kölcsönhatást, a relativisztikus energiakorrekciót és egy kiátlagolt elektronmozgási potenciált.

===Spin-pálya kölcsönhatás===
A finomfelhasadást részben okozó spin-pálya kölcsönhatás úgy tekinthető, mint a spin mágneses momentumának energiája az atom belső mágneses terébe, mely az elektronok mozgásából ered. A belső tér a pályaimpulzus-momentummal, a spin mágneses momentuma a spinnel arányos, ezért:
:<math>H^{\prime}=\zeta(r)\vec{L} \vec{S}</math>
Mivel:
:<math>LS=\frac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)</math>
és S=1/2, ezért két energiaszint lesz, az j=l+1/2 energiája nagyobb mint a j=l-1/2 szinté. A felhasadás nem szimmetrikus.

==Hiperfinom felhasadás==
A spektrumvonalak az elektronok maggal való mágneses kölcsönhatásának és az atommag helyén levő elektromos tér hatására kialakuló magelektromos kvadrupól momentum hatásának következtében további felhasadásoknak lesznek kitéve. Általánosságban ezek a finomszerkezetnél még legalább egy nagyságrenddel kisebb effektusok.

===A magmágneses dipólmomentum hatása===
A magmágneses dipólmomentum kölcsönhatása a valenciaelektronok által a mag helyén keltett mágneses térrel egy nagyon kis mértékű felhasadást okoz az atomi spektrumokban. Hasonlóan a spin-pálya kölcsönhatáshoz, a hozzá tartozó Hamilton felírható ilyen alakban:

<math>\hat{H_F} = A_j \hat{I} \hat{J}</math>

Ahol a teljes impulzumomentum F=I+J. A felhasadás innen:

<math>E_F = E_j + A_j\left(F(F+1)-I(I+1)-j(j+1) \right)</math>

==Lamb shift==
A Dirac-egyenlet szerint az azonos j-khez és különböző l-ekhez tartozó nívók a hidrogén spektrumában elfajultak. Lamb és Retherford(1947) kísérletileg kimutatta, hogy a hidrogén <math>2^2S_{1/2}</math> és <math>2^2P_{1/2}</math> nívói 1058MHz frekvenciával elkülönülnek. A felhasadás máshol is jelen van, de jóval kisebb. A Lamb-shift az elektromágneses tér zérusponti energiájának fluktuációjával kapcsolatos, kvantumelektrodinamikával pontosan számolható.

==A hélium atom==
A legegyszerűbb elméleti módszer a héliumatom kezelésére a következő. A Hamilton-operátorban a két elektron taszítását H' perturbációnak tekintjük, így a Hamilton-operátor két H-atom Hamilton-operátor és egy perturbáció összege:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}+\mathbf{H^{\prime}}</math>
a két H-atom operátor összegének sajátértékproblémája:
:<math>\left(\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}\right)\phi_k(\vec{r_1})\phi_l(\vec{r_2})=(E_k+E_l)\phi_k(\vec{r_1})\phi_l(\vec{r_2})</math>
ahol a <math>\phi_i</math>-k H-atom sajátállapotok. Ezekután a degenerált perturbációszámítás képleteit használva a szekuláris egyenlet:
:<math>\left| \begin{matrix}C-E^{(1)} & K \\K & C-E^{(1)}\end{matrix}\right| = 0</math>
Ami alajpán az energiaszintek:
:<math>E = E_k + E_l + C \pm K</math>
Coulomb-integrál:
:<math>C = \int |\phi_k(\vec{r_1})|^2|\phi_l(\vec{r_2})|^2 \frac{e^2}{r_{12}} d^3\vec{r_1} d^3\vec{r_2}</math>
Kicserélődési integrál:
:<math>K = \int \phi_k^*(\vec{r_1}) \phi_k(\vec{r_2}) \phi_l^*(\vec{r_2}) \phi_l(\vec{r_1}) \frac{e^2}{r_{12}} d^3\vec{r_1} d^3\vec{r_2}</math>
Ilyen alakú integrálok folyton előjönnek atom- és molekulafizikai számításoknál. A nulladrendű közelítés hullámfüggvényeire pedig
rendre:
:<math>\phi_+^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_k(1)\phi_l(2)+\phi_l(1)\phi_k(2))</math>
:<math>\phi_-^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_k(1)\phi_l(2)-\phi_l(1)\phi_k(2))</math>
adódik. A spint és a Pauli-elvet figyelembe véve a következőt mondhatjuk. A szimmetrikus térbeli hullámfüggvény antiszimmetrikus spinhullámfüggvénnyel(szinglet) szorzódik:
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle-|-+\rangle\right)</math>
Az antiszimmetrikus térbeli hullámfüggvény szimmetrikus spinhullámfüggvények valamelyikével(triplet) szorzódik szorzódik:
:<math>|++\rangle</math>
:<math>|--\rangle</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle+|-+\rangle\right)</math>
Alapállapotban csak a szinglet valósul meg, hiszen k=l miatt a másik esetben a helyfüggő hullámfüggvény azonosan nulla.

==Stark-effektus==
Az atom energiájának elektromos tér által bekövetkezett falhasadását Stark-effektusnak nevezzük. Az első gerjesztett állapot Stark-effektusa a perturbáció számítás első közelítésében arányos az elektromos térerősséggel, ezért lineáris Stark-effektusnak nevezzük. A lineáris Stark-effektus szimmetrikus felhasadást eredményez. A négyszeres degeneráció kétszeresre csökken. A H-atom esetében:
:<math>E_2^{(1)}=\pm 3 e E r_B, 0, 0</math>

A lineáris Stark-effektus csak hidrogénszerű állapotokra lép fel, vagyis akkor, ha az energia csak az n főkvantumszámtól függ, és az állapotok l szerint elfajultak. Az energia meváltozása a perturbációszámítás második rendjében jelenik meg:
:<math>E_{nlm}=E_{nl}^{(0)}+E^2(\alpha + \beta \cdot m^2)</math>
ahol <math>\alpha, \beta</math> állandók, m a mágneses kvantumszám.

==Zeeman-effektus==
A Zeeman-effektus az aránylag kis mágneses tér hatására bekövetkező, egyébként degenerált energiaszintek felhasadása. A mágneses térnek olyan értelemben kell kicsinek lennie, hogy az az alapállapot Hamilton-hoz perturbációként járuljon hozzá:

:<math>H = H_0 + K\,</math>

Ahol a perturbáció az atomi mágneses momentum és a mágneses tér szorzata:

:<math>K = -\mu B\,</math>

Az atomi mágneses momentumhoz a mag is hozzájárul, azonban ez több nagyságrendel kisebb az elektron járulékánál, így elhanyagolható. A mágnesesmomentum a teljes impulzusmomentumot tartalmazza. Ha a spin-pálya csatolás erős, akkor csak a teljes impulzusmomentum marad állandó, szemléletesen a pálya- és spin momentumok precesszálnak az állandó teljes impulzusmomentum körül. Kiátlagolva időben a két nemmegmaradó momentumot:

:<math>\overline{S} = \frac{(S \cdot J)}{J^2} J</math>

:<math>\overline{L} = \frac{(L \cdot J)}{J^2} J</math>

Ezeket beírhatjuk a mágnesesmomentum kifejezésébe, megszorozva a megfelelő giromágneses faktorokkal, és így megkapjuk az időátlagolt perturbációt. Behelyettesítve, és a ''z''-vetületet véve a perturbáció:

:<math>K = -\mu_B B m_j g_j\,</math>

Ahol <math>\mu_B</math> a Bohr-magnetron, és g_j a felhasadást a kvantumszámok függvényében megadó Landé-faktor:

:<math>g_J= g_L\frac{J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}+g_S\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}</math>

==A <math>H_2^+</math> molekulaion, kicserélődési kölcsönhatás(*)==

==Kétatomos molekulák==
===Általános megjegyzések===
* A tér szimmetrikus a két atommagon átmenő tengelyre, ezért az impulzusmomentum ezen tengelyre vett vetülete megmarad. Ezt a vetületet <math>\Lambda</math>-val szokás jelölni, és 0,1,2 értékei esetén rendre <math>\Sigma-, \Pi-, \delta</math>-termről beszélünk.
* A molekula tengelyét tartalmazó síkre való tükrözés az impulzusmomentum előjelét megfordítja(axiálvektor). Következik, hogy a <math>\Sigma</math>-termek kivételével a többi kétszeresen elfajult(ezek a sajátfüggvények az impulzusmomentum előjelében különböznek). Egy <math>\Sigma</math>-term tükrözés esetén egy állandóval szorzódhat, mivel kétszeres tükrözés azidentitással egyenlő ez az állandó <math>\pm 1</math>, ezek alapján szokás <math>\Sigma^{+}</math> és <math>\Sigma^{-}</math> termekről beszélni.

* Két azonos atomból álló molekula szimmetrikus az atommagokat összekötő szakasz felezőpontjára is. Az erre való tügrözés szerint beszélhetünk páros(h) és páratlan(u) állapotokról. Ez utóbbi az elektronkoordináták előjelének megváltoztatásakor előjelet vált. Jelölés pl.: <math>\Pi_u</math>

* Empirikus szabály: kémiailag stabil kétatomos molekulák túlnyomó többségének alapállapota teljesen szimmetrikus(a molekula minden szimmetriájára invariáns)

* Termeket ábrázolhatjuik grafikusan a magtávolság függvényében. Tétel: Csak különböző szimmetriájú termek metszhetik egymást.
===A vegyérték===
Tekintsük a <math>H_2</math> molekulát. Ennek a legalacsonyabb impulzusmomentumú lehetséges termjei az <math>^1 \Sigma</math> spinszinglett állapot és a <math>^3 \Sigma</math> spintriplett állapot. A spintriplett szimmetrikus spinhullámfüggvényt jelent, ami a Pauli-elv miatt antiszimmetrikus helyhullámfüggvényt. Azonban egy antiszimmetrikus helyhullámfüggvény <math>|\vec{r_1}|=|\vec{r_2}|</math>-nél eltűnik, így nem lehet az alapállapot. Kémiában szokásos kifejezés szerint csomósíkja van az elektronpályának. Részletes számolás szerint valóban a <math>^1 \Sigma</math> termnek a magtávolságfüggvényében minimuma van, míg a <math>^3 \Sigma</math> termnek nincs(lazító állapot), így az alapállapot a <math>^1 \Sigma</math> term. Vagyis alapállapotban a spin 0. Mind kiderül, a főcsoport elemeinek majdnem minden kémiailag stabil molekulája rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Azt, hogy az ilyen típusú, tisztán kvantummechanikai kötés(kovalens kötés, azaz mindkét atomra kiterjedő molekulapályák által alkotott kötés) a spinnel kapcsolatos, Heitler és London felfedezése volt. Ez teszi lehetővé a vegyérték fogalmának bevezetését. Egy atom vegyértéke egy atom spinjének kétszerese, ami a körülötte található elektronok spinjének összege. Atomok egyesülése során pedig a vegyértékeknek kölcsönösen telítődnie kell, vagyis egy atom minden vegyértékkötésének meg kell feleljen egy másik atom vegyértékkötése.

===A <math>H_2</math> molekula(*)===

==Molekulák rezgési és forgási spektruma==
Az eddigi leírások az áló molekulákra vonatkoztak. Egy molekula azonban végezhet forgó mozgást is, amely szintén kvantált, azaz csak diszkrét energiákat vehet fel, és csak diszkrét kvantumokban gerjeszthető. Ezenfelül a molekulákban, ha megfelelő a potenciálfelület és az molekula geometriájához képesti alapállapotbeli eltérések harmonikus oszcillátorként közelíthetőek, akkor ezek a kötések is gerjeszthetőek a rezgés módusának megfelelő energiájú fotonokkal. Tipikusan a rezgési gerjesztési hullámhossz a közép-infravörös (30–2.5 μm) tartományába esik, az ennél kisebb energiájú forgási gerejsztések kisebb energián, a távoli-infravörösben (1000–30 μm) vannak. Mivel ezek a kisenergiájú gerjesztések igen érzékenyek és specifikusak a molekula geometriájára, illetve az elektronok potenciálfelületeire, ezért egyedülállóan pontos szerkezet- és anyagmeghatározási lehetőségeket biztosítanak. Ez vezetett a megfelelő spektroszkópiák kialakulásához.

Kis gerjesztések esetén a rezgési spektrum közelíthető harmonikus oszcillátorként, kétatomos molekulákra:
:<math>E_{rezg}=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math>
ahol
:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}</math>
ahol <math>\mu</math> a molekulatömeg, k a kémiai kötés erősségére jellemző erőállandó. Többatomos molekulákra a rezgési spektrum első körben több független oszcillátorral közelíthető:
:<math>E_{rezg}=\sum\limits_i \hbar \omega_i(n_i+\frac{1}{2})</math>

A forgási energia pedig első körben merev rotátorként képzelhető el. Mivel a forgási energia lényegesen kisebb a rezgésinél, ezért első körben a kettő tekinthető függetlennek.

===IR- és Raman-spektroszkópia===
Az IR (infravörös) spektroszkópia összefoglaló neve a forgási és rezgési spektrumok tanulmányozására szolgáló spektroszkópiai módszereknek. Az egyes rezgések igen határozottan specifikusak az egyes molekuláris csoportokra, illetve kötésekre, sőt a spektrumvonalak finomszerkezete az izotópokra is érzékeny. Az elméleti számolások itt igen elbonyolodnakm sokszor nem élhetünk az energiaszintek adiabatikus közelítéssel sem. A forgásispektroszkópiának további hátránya, hogy csak gázfázisban használható, mert folyadékban és gázokban az ütközések elnyomják a hatását. Továbbá szükséges hozzá (első közelítésben), hogy legyen a molekulának eredő dipólmomentuma.

Az fenti módusok gerjesztésének egyik más módszere a Raman-spektroszkópia, ez a fotonok rugalmatlan szórása a különböző gerjeszthető részeken (fononokon, molekuláris elektronfelhőn, kémiai kötéseken), aminek következtében energiát ad át az adott módusnak, amiáltal megváltozik a besugárzott foton frekvenciája és az észlelt spektrumban vonalak jelentkeznek. Ezzel párhuzamosan a felgerjesztett módus egy idő után visszatér az alapálapothoz közeli, de gerjesztett szintre. Az alapvető különbség az infravörös és a Raman-spektroszkópia között, hogy az infravörösnél beusgárzott foton elnyelődik, és közvetlenül csak a rezgést gerjeszti, míg a Raman spektroszkópiánál egy jóval magasabb szintre történő gerjesztés utáni visszaállás vezet ugyanarra az energiaszintre.

Ha az alapállapotból történő gerjesztés után a visszatérés az alapállapotba történik, az a klasszikus Rayleigh folyamat. Ha a visszatérés magasabb szintre történik, például az előbb részletezett esetben, akkor Stokes-folyamatról, ha kicsit gerjesztett állapotból mélyebb állapotba térünk vissza, akkor anti-Stokes folyamatról beszélünk.

==Alagút-effektus==
Tekintsünk egy rendszert, ahol a hullámfüggvénynek az egyik közegben exponenciálisan lecsengő megoldása van, de a közeg két végén oszcilláló megoldása. Ha a közeg egyik oldalán például felveszünk egy hullámcsomagot, ami adott sebességgel halad az exponenciálisan lecsengő régió felé, akkor véges valószínűsége lesz annak, hogy a hullámcsomag átjut a közegen, és a másik oldalon folytatja útját. Ilyen jelenség van például az atommagban az alfarészecskékkel.

{{Záróvizsga}}

Atom- és molekulaszerkezet

2011-06-24T22:21:05Z

Birol: /* Időfüggő eset */

==Perturbációszámítás==
A kvantummechanikában előbukkanó problémák általánosságban nem oldhatóak meg egzaktul. Gyakran azonban azt akarjuk meghatározni, hogy egy ismert sajátfüggvényekkel rendelkező rendszert hogy befolyásol egy vele bizonyos értelemben gyengén kölcsönható külső rendszer. Ekkor a vizsgált rendszer Hamilton-operátora csak kicsit különbözik az egzaktul megoldható probléma Hamilton-operátorától:

:<math>\mathbf{H} = \mathbf{H}_0 + \mathbf{K},</math>
ahol '''<math>H_0</math>''' az egzaktul megoldható probléma Hamilton-operátora, és '''K''' kicsi '''<math>H_0</math>'''-hoz képest (egy operátor akkor tekinthető kicsinek, ha sajátértékei jóval kisebbek a másikénál).

Azt várjuk, hogy perturbált probléma megoldása csak kicsit fog különbözni az eredeti probléma egzakt megoldásaitól. Az ilyen alakú problémák ezen megoldási módszerét perturbációszámításnak nevezzük.

===Időfüggetlen, nem-degenerált eset===
Ebben az esetben azokat a problémákat vizsgáljuk, amikor '''K''' időfüggetlen és a perturbálatlan probléma Hamilton-operátora nem elfajult, azaz minden sajátértékhez egyetlen sajátfüggvény tartozik. Feltesszük, hogy a perturbálatlan esethez ismerjük a megoldásokat, és a fentiek ismeretében keressük a perturbált megoldásokat:

:<math>\mathbf{H}_0 \psi_k = E_k^{(0)} \psi_k</math>

Rayleigh-től eredő trükk a perturbáló operátor kicsinységének figyelembevételére az, hogy egy kis <math>\lambda</math> paraméter szerint fejtünk sorba, amely majd később kapja vissza a <math>\lambda=1</math> értéket:

:<math>\mathbf{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{K}</math>

Ezt a trükköt azért alkalmazzuk, mert az operátor kicsiségét nehéz definiálni. Ezzel a trükkel lényegében azt mondjuk, hogy '''K''' legyen egy
tetszőleges operátor, melyet megszorzunk egy λ dimenziótlan paraméterrel, melynek értékével nullába tartunk. Ebben az esetben az operátor
határesetben garantáltan kicsivé válik, és sorfejtést is tudunk végezni a dimenziótlan λ paraméter szerint. A megoldás végén λ-t
egységnyinek tekintjük, hiszen a perturbáló operátor kicsisége magában a perturbáló operátorban kell megjelennie, nincs szükség dimenziótlan
paraméterrel való szorzásra, az csak a probléma kezelését könnyíti meg (pl. a sorfejtésnél).

A Schrödinger-egyenletet egy tetszőleges ortogonális bázis segítségével átírhatjuk mátrixos alakba. A probléma összes sajátállapotát természetesen csak akkor kapjuk meg, ha a felhasznált bázis teljes. A bázisnak a perturbálatlan Hamilton-operátor ortogonális sajátfüggvényeit fogjuk használni:
:<math>\mathbf{H}_0\psi_n = E_n\psi_n</math>
A hullámfüggvényt a bázisfüggvények lineárkombinációjaként keressük <math>\psi=\sum_n c_n\psi_n,</math> és ezt helyettesítjük be a Schrödinger egyenletbe. Formálisan tehát:
:<math>\sum_n\mathbf{H}\psi_n c_n = E\sum_n c_n\psi_n.</math>
Skalárisan beszorozva mindkét oldalt <math>\psi_m</math>-mel, és felhasználva, hogy <math>\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\delta_{mn}</math> a következőhöz jutunk:

:<math>\sum_n H_{mn}c_n = \langle\psi_m|H|\psi_n\rangle c_n = E c_m.</math>

Ez a Schrödinger-egyenlet mátrixalakja. Ezt kívánjuk most megoldani a perturbációszámítás segítségével.

A megoldandó sajátérték-egyenlet tehát <math>\mathbf{H}_{mn}c_n = E c_m,</math> ahol <math>\mathbf{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{K}</math>
A <math>\lambda</math>-ban nulladrendet az ismert perturbálatlan megoldás adja. Hamarosan belátjuk, hogy nulladrendben a perturbált probléma sajátenergiái a perturbálatlan probléma sajátenergiáival egyeznek meg.

Mivel a <math>\psi_n</math> függvények '''<math>H_0</math>''' sajátfüggvényei, ezért:
:<math>\mathbf{H_0}\psi_n = E_n^{(0)} \psi_n</math>
:<math>\left( \mathbf{H_0} \right)_{mn} = \langle\psi_m|\mathbf{H_0}|\psi_n\rangle = E_n^{(0)} \delta_{mn}</math>

Ezen a bázison a Schrödinger-egyenlet mátrixalakja
:<math>\sum\limits_n H_{mn} c_n = E c_n</math>
:<math>\left(E_m^{(0)}-E\right)c_m + \lambda \sum\limits_n K_{mn} c_n = 0</math>

A sorfejtések:
:<math>E=E^{(0)}+\lambda E^{(1)}+\lambda^2 E^{(2)}+...\,</math>
:<math>c_m=c_m^{(0)}+\lambda c_m^{(1)}+\lambda^2 c_m^{(2)}+...\,</math>

Ezt kell beírni az előző Schrödinger-egyenletbe. A különböző tagok együtthatóiról leolvashatók a különböző rendű korrekciók.

A nulladrend ezt adja:
:<math>\left(E_m^{(0)}-E^{(0)}\right)c_m^{(0)}=0</math>

Ennek megoldása <math>E^{0}=E_i^{(0)}</math> és <math>c_0^{(0)}=\delta_{im}</math>. Ez azt jelenti, hogy nulladrendben a sajátenergiák a perturbálatlan Hamilton-operátorok sajátenergiái, és a sajátfüggvények is megegyeznek a perturbálatlan probléma sajátfüggvényeivel. Ez alapján most már tudjuk egyértelműen indexelni a perturbált probléma keresett sajátállapotait egy i indexszel, mely azt adja meg, hogy nulladrendben melyik perturbálatlan állapotra egyszerűsödik a sajátállapot. Általában ettől az i indextől függeni fognak a λ-ban magasabb rendű korrekciók. A továbbiakban egy tetszőleges i indexű állapotot vizsgálunk.

Az elsőrendű energiakorrekciók:

:<math>E^{(1)}=K_{ii}\,</math>

Az állapotvektorok elsőrendű korrekciói:

:<math>c_m^{(1)}=\frac{K_{mi}}{E_i^0-E_m^0}\,</math>

Az energiák másodrendű korrekciói:

:<math>E^{(2)}=\sum\limits_{n \neq i} \frac{|K_{in}|^2}{E_i^0-E_m^0}\,</math>

A módszer alkalmazható, ha a kiszámol korrekciók tényleg kicsik, vagyis a perturbáció átmeneti mátrixelemei sokkal kisebbek, mint a perturbálatlan energiaszintek különbségei:

:<math>\left| \frac{K_{mi}}{E_i^0-E_m^0} \right| \ll 1\,</math>

===Időfüggetlen, degenerált eset===
Degenerált esetben egyetlen energiasajátértékhez több sajátfüggvény is tartozhat. A perturbácó hatására ezek az energiaszintek fel is hasadhatnak (gondoljunk a Zeeman-effektusra). Ekkor az előző módszer nem alkalmazható, a <math>\lambda</math> nulladrendjére kapott <math>\left(E_m^{(0)}-E^{(0)}\right)c_m^{(0)}=0</math> egyenlet nem határozza meg egyértelműen a nulladrendű sajátvektorokat, mert vannak olyan energiasajátértékek, amelyek megegyeznek, és az azokhoz tartozó c-ket nem tudjuk meghatározni. Azt persze továbbra is tudjuk, hogy a más energiájú sajátállapotok együtthatói nulladrendben zérusok. Az azonos energiájú sajátállapotok nulladrendű együtthatóihoz viszont fel kell használni λ-ban a következő rendet is. Ebben megjelenik az energiafelhasadás első rendje is, melyet így szintén megkaphatunk ebből az egyenletből. A kapott egyenlet:
:<math>\sum\limits_n K_{mn}c_n^{(0)}=E^{(1)}c_m^{(0)}</math>
Ez így rendezhető át:
:<math>\sum\limits_n \left( K_{mn} - E^{(1)} \delta_{mn} \right) c_n^{(0)} = 0</math>
Ezen homogén egyenlet megoldási feltételéből kapjuk a szekuláris egyenletet amely megadja az elsőrendű energiakorrekciókat:
:<math>\mathrm{det}|\left( \mathbf{K} - E^{(1)} \mathbf{I} \right)| = 0 </math>
Az eredeti egyenletben az elsőrendű energiakorrekciókat visszahelyettesítve megkapjuk a <math>c_n^{(0)}</math> nulladrendű együtthatókat. Ezekután már használhatók a nem degenerált eset képletei.

===Időfüggő eset===
Az időfüggő perturbációszámítás logikája az eddigiektől eltérő. Mivel kis hatások felhalmozódhatnak hosszú idő alatt, ezért fel szoktuk tenni, hogy a perturbáció csak rövid ideig tart. Most is hasonló sorfejtést alkalmazunk, mint az előbb a perturbálatlan feladat(<math>\mathbf{H}_0 \psi_n = E_n \psi_n </math>) sajátfüggvényei szerint kifejtve a megoldást:
:<math>\psi(t)=\sum\limits_n c_n(t) \psi_n</math>
Így a Schrödinger-egyenlet:
:<math>\sum_n i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\langle\psi_n|\psi_m\rangle=\sum_n \langle\psi_n|\mathbf{H}|\psi_m\rangle c_n</math>
:<math>\dot{c_m}=-\frac{i}{\hbar}E_m c_m(t) + \lambda \sum\limits_n K_{mn} c_n(t)</math>
A megoldást hatványsor alakban kerssük:
:<math>c_m(t)=c_m^{(0)}(t)+\lambda c_m^{(1)}(t)+...</math>
A továbblépés a közönséges differenciálegyenleteknél ismert állandók variálásának módszere. (A kvantummechanikában ebből lett a kölcsönhatási kép.) Legyen:
:<math>b_m(t)=e^{\frac{i}{\hbar}E_mt}c_m(t)</math>
Ez nulladrendben állandó. Ezt az álandót variálja a perturbáció jelenléte.
:<math>\dot{b_m}(t)=-\frac{i}{\hbar}\lambda \sum\limits_n e^{i\omega_{mn}t}K_{mn}(t)</math>
ahol <math>\hbar \omega_{mn}=E_m-E_n</math>.Az első rendet megkapjuk, ha a jobb oldalon <math>b_n(t)=b_n(0)=c_n(0)</math> közelítést alkalmazzuk. A fenti differeniál egyenletből a b együtthatók kiszámolhatóak, segítségükkel meghatározható a végállapot hullámfüggvénye. Ismert tehát a kezdeti és a végállapot, ebből felírható a K mátrixeleme:

:<math>K_{mn} = \langle \phi_m | K | \phi_n \rangle</math>

Legyen a kezdeti(i) állapot egy perturbálatlan sajátállapot: <math>c_n(0)=\delta_{in}</math>. Az átmeneti valószínűség:

:<math>P_{fi}=\frac{1}{\hbar ^2} \left| \int\limits_{0}^{t} e^{i \omega _{fi} \tau} K_{fi}( {\tau}) d \tau \right|^2.</math>

=== Fermi-féle aranyszabály ===
A Fermi-féle aranyszabály folytonos/kvázifolytonos spektrumban segít átmeneti valószínűségeket kiszámítani. <math>\omega</math> körfrekvencájú periodikus perturbáció esetén az időegységre jutó átmeneti valószínűség:
:<math>W_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 (\delta(E_f-E_i+\hbar \omega)+\delta(E_f-E_i-\hbar \omega))</math>
Ez a formula megkapható az előző pontból kiiindulva <math>t>>\omega^{-1}</math> határérték elvégzésével.
Állandó perturbáció esetén:
:<math>W_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 \delta(E_f-E_i)</math>
Ha több állapot valamelyikébe való átmeneti valószínűséget akarjuk tudni, akkor:
:<math>T_{fi}=\frac{2 \pi}{\hbar} \left| \mathbf{K}_{fi} \right|^2 \rho</math>
ahol <math>\rho</math> a végső állapotok sűrűsége(állapotok száma energiaegységenként)

===Elektronok kölcsönhatása sugárzási térrel, Indukált emisszió és abszorpció===
Az elektromágneses tér kölcsönhat az elektronnal, az elektronra ható erő a következő:
:<math>\mu\dot{\mathbf{v}} = -e\left(\mathbf{E}+\frac1c \mathbf{v}\times\mathbf{H}\right),</math>
ahol '''v''' az elektron sebessége, μ a tömege, '''E''' és '''H''' az elektromos illetve mágneses térerősség. Be lehet látni, hogy a mozgásegyenlet származtatható a
:<math>H=\frac1{2\mu}\left(\mathbf{p}+\frac{e}c\mathbf{A}\right)^2-e\Phi</math>
Hamiltonfüggvényből. Ez a megszokott módon operátorosítható. Ha tiszta sugárzási térbe helyezzük az elektront, akkor Φ elhagyható. Kis terekre Coulomb-mértékben vizsgálva a problémát, a következő közelítést tehetjük a perturbáló Hamilton-operátorra:
:<math>\mathbf{K}=\frac{e}{\mu c}\mathbf{Ap}</math>.
Az egyszerűség kedvéért azt a problémát vizsgáljuk, hogy egy Hidrogénatomot sugárzási térbe helyezünk, és megnézzük mit jósol a perturbációszámítás (lehetséges-e átmenet a hidrogénatom állapotai között, mekkora valószínűséggel, stb). A vektorpotenciált a következő alakúnak tételezzük fel:
:<math>\mathbf{A}=\mathbf{e}A_0\cos(\mathbf{kr}-\omega t)=\frac{\mathbf{e}}{2}A_0(e^{-ikr}e^{i\omega t}+e^{ikr}e^{-i\omega t}).</math>
Ekkor a perturbálópotenciál felírható a kvöetekző alakban:
<math>\mathbf{K(t)}=\mathbf{K}e^{i\omega t}+\mathbf{K^*}e^{-i\omega t}.</math>
A két tag rögzített kezdőállapot esetén csak egy-egy átmenetre nem fog zérust adni. Az első tag az emissziót írja le, melynél az átmeneti valószínűség
:<math>W_e=\frac{2\pi}{\hbar}\left[|K_{nm}|^2\rho(E_n)\right]_{E_n=E_m-\hbar\omega}</math>.
A második tag az abszorpciót írja le, melynél az átmeneti valószínűség analóg módon
:<math>W_e=\frac{2\pi}{\hbar}\left[|K_{nm}|^2\rho(E_n)\right]_{E_n=E_m+\hbar\omega}</math>.
A konkrét valószínűségekhez kiszámítandó a következő mátrixelem:
:<math>K_{nm}=\frac{eA_0}{2\mu c}e^{-ikr}(\mathbf{ep})_{nm}</math>
Mivel a hullámfüggvények az atomra vannak koncentrálódva, ezért <math>e^{-ikr}</math> tekinthető egységnyinek, vagyis
:<math>K_{nm}\approx\frac{eA_0}{2\mu c}(\mathbf{ep})_{nm}.</math>
Ezt a sugárzást dipólsugárzásnak nevezzük (amikor elhagyjuk az exponenciálist). Ekkor ugyanis belátható, hogy a mátrixelem arányos az elektron dipólnyomatékával.

Ha a dipólnyomaték egy átmenetre zérus, akkor az átmenet nem valósul meg. Ekkor az adott átmenet tiltott. Be lehet látni, hogy az átmenet csak akkor megengedett, ha a kezdő- és végállapot között a mellékkvantumszám és a mágneses kvantumszám különbsége is pontosan 1.

==Variációs módszer==
Az energiasajátérték egyenlettel ekvivalens állítás az a variációs elv, amely szerint alapállapotban

:<math>\int \phi^* \mathbf{H} \phi = \langle \phi | \ \mathbf{H} | \phi \rangle = min. = E_0</math>

az n. gerjesztett állapot pedig úgy kaphatjuk, hogy az előző szélsőértékfeladatot azon mellékfeltételekkel oldjuk meg, hogy az <math>\phi_n</math> állapot ortogonális az alapállapotra és az előző n-1 gerjesztett állapotra is. Természetesen a feladat általános megoldása általában lehetetlen, ezért gyakorlati alkalmazásokban csak a Hilbert-tér egy leszűkítésén oldjuk meg, valamilyen próbafüggvényt feltételezve, majd a paraméterei szerint elvégezve a szélsőértékproblémát.

=== Ritz-féle variációs módszer (*)===
Akkor beszélünk Ritz-féle variációs módszerről, ha a próbafüggvény valamilyen bázisfüggvények lineáris kombinációja:

:<math> \phi = \sum\limits_i c_i \phi_i</math>

Ekkor az energia várható értéke:

:<math>\epsilon = \frac{ \langle \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i | \mathbf{H} | \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i \rangle}{\langle \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i | \sum\limits_{i=1}^N c_i \phi_i \rangle}</math>

Ennek a c-k vagy c*-ok szerinti deriválása egy lineáris egyenletrendszerhez vezet, melynek megoldási feltétele a következő általánosított szekuláris egyenletet adja:

:<math>det|\mathbf{H}-\epsilon \mathbf{S}|=0</math>

ahol az átfedési mátrix, mely a bázisállapotok nemortogonalitása miatt jelenik meg:

:<math>S_{ij}=\langle \phi_i | \phi_j \rangle</math>

== Problémák a kvantummechanika közelítő módszereivel ==
A perturbációszámítás gyakorlati(pl. molekulafizkai) alkalmazásakor néha problémák merülnek fel. Egyrészt előfordul, hogy az egyre újabb rendekben kapott energiák oszcillálnak, másrészt pedig előfordul, hogy úgy tűnik, mintha már bekonvergált volna a sor, de még néhány tag kiszámolása után ismét elindul. Ezek a problémák nem állnak fenn a variációs módszernél, ott legalább az irány mindig egyértelmű. De ott is előfordul, hogy az energia már nagyon közel van a jó(kísérleti) értékhez, de a hullámfüggvény még meglehetősen messze.

==Azonos részecskék, Pauli-elv==
A Hamilton-operátor szimmetrikus két azonos részecske(elektron) felcserélésére. Ezért a Hamilton-operátor kommutál a részecskék felcserélésével. Következésképpen választható olyan energia sajátfüggvények, amelyek a felcserélés operátorának is sajátfüggvényei. Mivel kétszeri felcserélés után az eredeti állapotba jutunk vissza, a felcserélés sajátértéke csak <math>\pm 1</math> lehet, vagyis a felcseréléssel szemben a sajátállapot lehet szimmetrikus vagy antiszimmetrikus.

Ha áttérünk az időfüggő Schrödinger-egyenletre, akkor a permutáció operátora megmaradó mennyiség(mivel a Hamilton-operátorral felcserélhető), így a kezdeti szimmetria az időfejlődés során is megmarad.

Mint kiderült, a hullámfüggvény szimmetriája a részecske fajtájából következik:
* Feles spinű részecskék(fermionok) hullámfüggvénye antiszimmetrikus. Ebből az állításból rögtön következik, hogy az atom elektronjai közül semelyik kettő nem lehet azonos állapotban.
* Egész spinű részecskék(bozonok) hullámfüggvénye szimmetrikus.

Mivel nincsenek vegyes szimmetriájú részecskék, ezért minden részecskének tartozni kell valamelyik kategóriába. Azonos részecskék megcserélése az előzőtől megkülönböztethetetlen állapotot hoz létre. Az azonos részecskék megkülönböztethetetlenek.

==Átlagtérközelítés==
===Nem kölcsönható azonos részecskék===
Nem kölcsönható azonos részecskék esetében a Hamilton-operátor egyrészecske Hamilton-operátorok összege:

:<math>\mathbf{H}=\sum\limits_{l=1}^N \mathbf{H}_l^{(1)}\,</math>

Ezesetben a Schrödinger-egyenletnek mindig léteznek szorzatalakú megoldásai:

:<math>\phi(1,2,3,...)=\phi_a(1) \phi_b(2)...\,</math>

ahol:

:<math>\mathbf{H} \phi_a(1)=E_a \phi_a(1)\,</math>

Ezen szorzatok viszont még nem teljesítik a Pauli-elvet. Ennek kielégítésére az egyrészecske-állapotokból Slater-determináns képezhető:

:<math>\Psi(1, 2, ..., N) =\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \cdots & \phi_N(1) \\ \phi_1(2) & \phi_2(2) & \cdots & \phi_N(2) \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ \phi_1(N) & \phi_2(N) & \cdots & \phi_N(N) \end{matrix} \right|.</math>

A függvények indexei jelölik, hogy melyik függvényről van szó, argumentumaik pedig azt, hogy melyik részecske koordinátái írandóak a függvénybe.
Ennek látszanak a megfelelő tulajdonságai:

* Ha két részecskét(sort) felcserélünk akkor előjelet vált.
* Ha két oszlop azonos akkor nulla lesz, vagyis nem lehet két részecske azonos állapotban.

===Átlagtérközelítés===
Továbblépve a nemkölcsönható részekéktől a következő közelítést alkalmazhatjuk. Egy részecske helyén sok más részecskétől eredő erőt érez, ezt külső térnek tekintjük, és beírjuk az egyrészecske Schrödinger-egyenletbe. Ezt megoldva új egyrészecske sajátfüggvényeket kapunk, amelyek őj teret adnak, ezzel újraszámoljuk az egyenletet stb. Addig iterálunk, amíg a tér be nem konvergál, ezzel megkapjuk az önkonzisztens teret, vagy átlagteret.

===Hartree-Fock módszer===
Azt az átlagtérközelítést, amikor egyetlen Slater-determináns alakjában keressük a megoldást, és ezzel végzünk önkonzisztens-tér közelítést Hartree-Fock módszernek hívjuk. Kicsit részletesebben is megnézzük.

A variációs elvből indulunk ki. Eszerint <math>I=\langle \phi | \mathbf{H} | \ \phi \rangle</math> minimális. Ha a megoldást szorzatalakban keressük: <math>\phi = \phi_1(r_1)\phi_2(r_2)...</math> akkor az I variációjának eltünéséből az egyrészecske Schrödinger-egyenletek:

:<math>\left( \mathbf{H}_l + \sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k |\frac{e^2}{r_{lk}} | \phi_k \rangle- E_l\right) \phi_l = 0 </math>

Az egylenrendszert pedig szukcesszív aproximációval oldjuk meg, első közelítésben <math>\phi_k</math>-kat hidrogénszerűnek feltételezve, és innen indítva az önkonzisztens tér közelítést. Ez a Hartree-módszer. Itt még láthatóan nem vettük figyelembe a Pauli-elvet.

A Hartree-módszer továbbfejlesztése a Hartree-Fock módszer, amely Slater-determináns alakú megoldást keres:

:<math>\Psi(1, 2, ..., N) =\frac{1}{\sqrt{N!}}\left| \begin{matrix} \phi_1(1) & \phi_2(1) & \cdots & \phi_N(1) \\ \phi_1(2) & \phi_2(2) & \cdots & \phi_N(2) \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ \phi_1(N) & \phi_2(N) & \cdots & \phi_N(N) \end{matrix} \right|.</math>

Ekkor I variációjának eltűnése a következő egyenleteket adja:

:<math>\left( \mathbf{H}_l +\sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k | \frac{e^2}{r_{kl}}| \phi_k \rangle - E_l \right)\phi_l - \sum\limits_{k=1}^Z \langle \phi_k|\frac{e^2}{r_{kl}}|\phi_l \rangle</math>=0
Ezt ugyanúgy szukcesszív approximációval oldjuk meg.

== A periódusos rendszer ==
A kvantummechanika korai sikereinek egyike a periódusos rendszer megértése volt a Hartree-módszer alapján. Az eljárás a következő. A megoldásokat szorzat alakban keressük: <math>\Psi = \prod\limits_j u_j</math>, és a Pauli-elv miatt nem engedjük meg, hogy egy <math>u_j</math> elektronpályát kettőnél több elektron töltsön be(két ellentétes spinű elektron). Az egyrészecske Schrödinger-egyenletekben szereplő átlagos potenciál mindig radiális szimmetriájúvá átlagoljuk vissza, így a kapott egyrészecske állapotok jellemezhetők az n főkvantumszámmal és l mellékkvantumszámmal. Az l főkvantumszámok hasgyományos jelölése: s,p,d,f,...

Az elektronok leárnyékolják a mag potenciáját, így ha egy elektron távolabb van a magtól, akkor kisebb potenciált érez. Az, hogy egy elektron milyen messze jár a magtól elsősorban a mellékkvantumszámától függ, hiszen ahogy pl. a hidrogénatomnál látható, a radiális hullámfüggvény <math>r^l</math> hatvánnyal indul. Másképp megfogalmazva, nagy l-re az l(l+1)-el arányos centrifugális potenciál miatt az elektron kintebb lesz. Így a magasabb l kvantumszámú állapotok gyengébben kötöttek, és megszűnik a hidrogénatomnál még meglévő l szerinti degeneráció. Azonos főkvantumszámra az l=0-tól (n-1)-ig tartó állapotok energiasajátértéke monoton nő.

A Hartree-közelítés megadja az elektronpályák betöltésének sorrendjét:

1s, 2s,2p, 3s,3p, 4s,3d,4p, 5s,4d,5p, 6s,4f,5d,6p, ...

Érdemes megfigyelni, hogy a betöltött legmagasabb főkvantumszámú állapotok mindig s és p állapotok. Az atom külső határán a főkvantumszám határozza meg, hogy egy elektronpálya meddig terjed ki. Így azt találtuk, hogy a külső elektronpályák s és p pályák. Márpedig a külső pályák azok, amelyek meghatározzák a kémiai tulajdonságokat. n=1 külső héjjal 2 elem létezhet. n=2 külső héjjal <math>2+3 \cdot 2=8</math> n=3-assal ismét 8 és így tovább. A kémiai tulajdonságok az s,p pályák fokozatos betöltésébel változik, hogy aztán a következő főkvantumszámmal újra kezdje. Így megértettük a periódusos rendszert.

==Viriál-tétel(*)==
A kvantummechanikai viriáltétel mondja, hogy ha egy rendszer Hamilton-operátora:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{T}+\mathbf{V}=\sum \frac{\mathbf{p}_i^2}{2m_i}+\mathbf{V}</math>
ahol a potenciális energia k-adredű homogén függvény:
:<math>V(\lambda \vec{r})=\lambda^k V(\vec{r})</math>
akkor fennáll a következő egyenlőség:
:<math>k \langle V \rangle = 2 \langle T \rangle</math>
A leggyakoribb potenciálokra:
* Coulomb-potenciál k=-1
* Harmonikus oszcillátor k=2

==A Born-Oppenheimer közelítés==
A molekulák elméletében kiemelt jelentőségű az a tény, hogy az atommagok tömege sokkal nagyobb az elektronokénál, ezért azok sokkal lomhábban mozognak, mint az elektronok. Ez teszi lehetővé, hogy a molekula elektronproblémáját rögzített magkoordinátákkal megoldva, azokat paraméternek tekintve, majd az így kapott energiafelület minimumát megkeresve megkapjuk a molekula alapállapoti energiáját(és hullámfüggvényét). Ezt az eljárást nevezik Born-Oppenheimer közelítésnek. Az elektronprobléma megoldása több energiát ad, ezekből több potenciálfelületet kapunk. Akkor alkalmazható a közelítés, ha ezek a felületek szeparálva vannak egymástól.

Kicsit részletesebben, a Born-Oppenheimer közelítésben a hullámfüggvény:
:<math>\Psi=\Psi_{el}(\vec{r},\vec{R})\Psi_{mag}(\vec{R})</math>
ahol <math>\Psi_{el}(\vec{r},\vec{R})</math> a magkoordinátáktól is függő elektronállapot, <math>\Psi_{mag}(\vec{R})</math> pedig a magok közelítő állapota. A Hamilton-operátor:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H}_{el}+\mathbf{H}_{mag}</math>
ahol az elektron Hamiltonja a kinetikus energiájuk, a magok vonzása és az elektronok egymás közti taszításának összege:
:<math>\mathbf{H}_{el}(\vec{R})=\mathbf{T}_{el}+\mathbf{V}(\vec{r},\vec{R})</math>
és a magok Hamiltonja a kinetikus energiájuk és egymás közti taszításuk összege:
:<math>\mathbf{H}_{mag}=\mathbf{T}_{mag}+\mathbf{V}_{mag}(\vec{R})</math>

A lassan változó magkoordinátáktól függő elektron sajátérték probléma:
:<math>\mathbf{H}_{el}(\vec{R}) \Psi_{el,j}(\vec{r},\vec{R}) = U_j(\vec{R}) \Psi_{el,j}(\vec{r},\vec{R})</math>
Adiabatius közelítésben az a közelítő potenciál, amelynek minimuma a kémiailag kötött állapotot jelenti:
:<math>\mathbf{V}_{mag}(\vec{R})+U_j(\vec{R})</math>

Ezen minimum körül alakulnak ki a molekularezgések, amelyek kis gerjesztésnél harmonikusak, nagyobb gerjesztésnél anharmonikusak. Még nagyobb gerjesztés disszociációhoz, kémiai reakcióhoz vezet.

Formálisan úgy kapható meg a közelítés, mint az <math>(m_{e}/m_{mag})^{1/4}</math> kis paraméter szerinti sorfejtés vezető tagja. Akkor romlik el a közelítés, ha az elektronok is lassan mozognak. Ahol egy <math>U_i(\vec{R})</math> és <math>U_j(\vec{R})</math> szint keresztezi egymást, ott van lassú mozgás, ott keveresnek a molekula különböző gerjesztései. Az ilyen levert gerjesztési módust polaritonnak hívják.

== Hellmann-Feynman tétel (*) ==
A Hellmann-Feynman tétel szerint:
:<math>\frac{\partial E}{\partial \lambda} = \langle \phi | \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial \lambda} | \phi\rangle</math>
ahol E a <math>\phi</math> hullámfüggvényhez tartozó energia, <math>\lambda</math> pedig valamilyen paraméter. Ezen tétel segítségével ki tudjuk számolni a molekulában a magokra ható erőket, amiből lehet egyensúlyi magtávolságokat számolni, ekkor <math>\lambda</math> helyére a magkoordinátákat kell írni és ekkor tulajdonképpen a potenciál helyszerinti deriváltja áll a képletben, ami mint tudjuk az erő (-1 szerese).

== A kémiai kötés ==
A kvantummechanika egyik nagy sikere volt a kovalens kötés megmagyarázása. A kötés azért jöhet létre, mert a kötött rendszer energiája alacsonyabb, mint az atomok energiájának összege. Ez azért van, mert az elektronok hullámfüggvénye besűrűsödik az atomok köze. Ekkor:
* Coulomb-potenciálban a viriál-tétel miatt:
:<math>E=\langle T \rangle + \langle V \rangle = -\frac{1}{2}\langle V \rangle</math>
Ha a magok között az elektronok összesűrűsödnek, akkor a magok vonzó potenciálja összeadódik, ami mélyebb eredőt eredményez.
* Egy helyről lehet két magot egymás felé vonzani.(Hellmann-Feynmann tétel)
Vannak olyan effektusok is, amelyek a sűrűsödést akadályozzák:
* Kisebb helyre szorulás a kinetikus energia növekedésével jár.
* Az elektronok közötti Coulomb-taszítás
* Pauli-elv akadályozza sok azonos spinű elektron összegyülekezését kis helyre, emiatt egy-egy molekulapályán ellentétes spinű elektronokból párok alakulhatnak ki
Ez kvalitatív kép. A kvantitatív számolások nehezek.

==A hidrogén atom ==

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban===
Ennek megjegyzése szerintem annnyira nem fontos.
A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

== Atomi energianívók termjelölése ==
Az atomi energianívókat jellemző kvantumszámok:

n - főkvantumszám (1,2,3,4,... vagy K,L,M,N,...)

l - mellékkvantumszám, az eredő pályaimpulzusmomentum kvantumszáma (0,1,2,3... vagy S,P,D,F,...)

s - eredő spinkvantumszám

j - teljes impulzusmomentum, értéke |l-s|-től l+s-ig változhat

m_j - mágneses kvantumszám: j,j-1,...,-j

A hagyományos jelölés:

:<math>n ^{2s+1} l_j</math>

Pl.: a nátrium alapállapota <math>3^2 S_{1/2}</math>

==Mágneses momentumok==
Az elektron pályimpulzusához tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_l}=-\frac{g_l \mu_B}{\hbar} \vec{L}</math>
Az elektronspinhez tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_s}=-\frac{g_s \mu_B}{\hbar} \vec{S}</math>
A magspinhez tartozó mágneses momentum:
:<math>\vec{\mu_I}=-\frac{g_I \mu_n}{\hbar} \vec{I}</math>
Itt L az elektron pályamomentuma, S a spinje, I a magspin. A Bohr-magneton:
:<math>\mu_B=\frac{e \hbar}{m_e}</math>
A magmagneton:
:<math>\mu_B=\frac{e \hbar}{m_p}</math>
A különböző g-faktorok értéke elektronpályára 1, elektronspinre 2(pontosabban 2,00232). Ez első adódik a klasszikus kvantummechanikából, a második a Dirac-egyenletből. A különböző atommagok g-faktorai, vagy giromágneses faktorai táblázatban megtalálhatóak. A mag-giromágneses faktor:
:<math>\gamma = \frac{g \mu_n}{\hbar}</math>

==Finomfelhasadás==
A spektrumvonalak első korrekciója a relativisztikus hatások figyelembevétele miatt keletkezik. Ez a hidrogén esetében az egyébként csak a főkvantumszámtól függő energiaszintek szeparációját hozza magával. Az effektus nagyságrendje: <math>(Z\alpha)^2</math>, ahol Z a rendszám, <math>\alpha</math> a finomszerkezeti-állandó, így a nagyságrend kb. <math>\propto 10^{-5}</math>. Ez az effektus több hatás összegése, tartalmazza a spin-pálya kölcsönhatást, a relativisztikus energiakorrekciót és egy kiátlagolt elektronmozgási potenciált.

===Spin-pálya kölcsönhatás===
A finomfelhasadást részben okozó spin-pálya kölcsönhatás úgy tekinthető, mint a spin mágneses momentumának energiája az atom belső mágneses terébe, mely az elektronok mozgásából ered. A belső tér a pályaimpulzus-momentummal, a spin mágneses momentuma a spinnel arányos, ezért:
:<math>H^{\prime}=\zeta(r)\vec{L} \vec{S}</math>
Mivel:
:<math>LS=\frac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)</math>
és S=1/2, ezért két energiaszint lesz, az j=l+1/2 energiája nagyobb mint a j=l-1/2 szinté. A felhasadás nem szimmetrikus.

==Hiperfinom felhasadás==
A spektrumvonalak az elektronok maggal való mágneses kölcsönhatásának és az atommag helyén levő elektromos tér hatására kialakuló magelektromos kvadrupól momentum hatásának következtében további felhasadásoknak lesznek kitéve. Általánosságban ezek a finomszerkezetnél még legalább egy nagyságrenddel kisebb effektusok.

===A magmágneses dipólmomentum hatása===
A magmágneses dipólmomentum kölcsönhatása a valenciaelektronok által a mag helyén keltett mágneses térrel egy nagyon kis mértékű felhasadást okoz az atomi spektrumokban. Hasonlóan a spin-pálya kölcsönhatáshoz, a hozzá tartozó Hamilton felírható ilyen alakban:

<math>\hat{H_F} = A_j \hat{I} \hat{J}</math>

Ahol a teljes impulzumomentum F=I+J. A felhasadás innen:

<math>E_F = E_j + A_j\left(F(F+1)-I(I+1)-j(j+1) \right)</math>

==Lamb shift==
A Dirac-egyenlet szerint az azonos j-khez és különböző l-ekhez tartozó nívók a hidrogén spektrumában elfajultak. Lamb és Retherford(1947) kísérletileg kimutatta, hogy a hidrogén <math>2^2S_{1/2}</math> és <math>2^2P_{1/2}</math> nívói 1058MHz frekvenciával elkülönülnek. A felhasadás máshol is jelen van, de jóval kisebb. A Lamb-shift az elektromágneses tér zérusponti energiájának fluktuációjával kapcsolatos, kvantumelektrodinamikával pontosan számolható.

==A hélium atom==
A legegyszerűbb elméleti módszer a héliumatom kezelésére a következő. A Hamilton-operátorban a két elektron taszítását H' perturbációnak tekintjük, így a Hamilton-operátor két H-atom Hamilton-operátor és egy perturbáció összege:
:<math>\mathbf{H}=\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}+\mathbf{H^{\prime}}</math>
a két H-atom operátor összegének sajátértékproblémája:
:<math>\left(\mathbf{H_1}+\mathbf{H_2}\right)\phi_k(\vec{r_1})\phi_l(\vec{r_2})=(E_k+E_l)\phi_k(\vec{r_1})\phi_l(\vec{r_2})</math>
ahol a <math>\phi_i</math>-k H-atom sajátállapotok. Ezekután a degenerált perturbációszámítás képleteit használva a szekuláris egyenlet:
:<math>\left| \begin{matrix}C-E^{(1)} & K \\K & C-E^{(1)}\end{matrix}\right| = 0</math>
Ami alajpán az energiaszintek:
:<math>E = E_k + E_l + C \pm K</math>
Coulomb-integrál:
:<math>C = \int |\phi_k(\vec{r_1})|^2|\phi_l(\vec{r_2})|^2 \frac{e^2}{r_{12}} d^3\vec{r_1} d^3\vec{r_2}</math>
Kicserélődési integrál:
:<math>K = \int \phi_k^*(\vec{r_1}) \phi_k(\vec{r_2}) \phi_l^*(\vec{r_2}) \phi_l(\vec{r_1}) \frac{e^2}{r_{12}} d^3\vec{r_1} d^3\vec{r_2}</math>
Ilyen alakú integrálok folyton előjönnek atom- és molekulafizikai számításoknál. A nulladrendű közelítés hullámfüggvényeire pedig
rendre:
:<math>\phi_+^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_k(1)\phi_l(2)+\phi_l(1)\phi_k(2))</math>
:<math>\phi_-^{(0)}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_k(1)\phi_l(2)-\phi_l(1)\phi_k(2))</math>
adódik. A spint és a Pauli-elvet figyelembe véve a következőt mondhatjuk. A szimmetrikus térbeli hullámfüggvény antiszimmetrikus spinhullámfüggvénnyel(szinglet) szorzódik:
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle-|-+\rangle\right)</math>
Az antiszimmetrikus térbeli hullámfüggvény szimmetrikus spinhullámfüggvények valamelyikével(triplet) szorzódik szorzódik:
:<math>|++\rangle</math>
:<math>|--\rangle</math>
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle+|-+\rangle\right)</math>
Alapállapotban csak a szinglet valósul meg, hiszen k=l miatt a másik esetben a helyfüggő hullámfüggvény azonosan nulla.

==Stark-effektus==
Az atom energiájának elektromos tér által bekövetkezett falhasadását Stark-effektusnak nevezzük. Az első gerjesztett állapot Stark-effektusa a perturbáció számítás első közelítésében arányos az elektromos térerősséggel, ezért lineáris Stark-effektusnak nevezzük. A lineáris Stark-effektus szimmetrikus felhasadást eredményez. A négyszeres degeneráció kétszeresre csökken. A H-atom esetében:
:<math>E_2^{(1)}=\pm 3 e E r_B, 0, 0</math>

A lineáris Stark-effektus csak hidrogénszerű állapotokra lép fel, vagyis akkor, ha az energia csak az n főkvantumszámtól függ, és az állapotok l szerint elfajultak. Az energia meváltozása a perturbációszámítás második rendjében jelenik meg:
:<math>E_{nlm}=E_nl^{(0)}+E^2(\alpha + \beta \cdot m^2)</math>
ahol <math>\alpha, \beta</math> állandók, m a mágneses kvantumszám.

==Zeeman-effektus==
A Zeeman-effektus az aránylag kis mágneses tér hatására bekövetkező, egyébként degenerált energiaszintek felhasadása. A mágneses térnek olyan értelemben kell kicsinek lennie, hogy az az alapállapot Hamilton-hoz perturbációként járuljon hozzá:

:<math>H = H_0 + K\,</math>

Ahol a perturbáció az atomi mágneses momentum és a mágneses tér szorzata:

:<math>K = -\mu B\,</math>

Az atomi mágneses momentumhoz a mag is hozzájárul, azonban ez több nagyságrendel kisebb az elektron járulékánál, így elhanyagolható. A mágnesesmomentum a teljes impulzusmomentumot tartalmazza. Ha a spin-pálya csatolás erős, akkor csak a teljes impulzusmomentum marad állandó, szemléletesen a pálya- és spin momentumok precesszálnak az állandó teljes impulzusmomentum körül. Kiátlagolva időben a két nemmegmaradó momentumot:

:<math>\overline{S} = \frac{(S \cdot J)}{J^2} J</math>

:<math>\overline{L} = \frac{(L \cdot J)}{J^2} J</math>

Ezeket beírhatjuk a mágnesesmomentum kifejezésébe, megszorozva a megfelelő giromágneses faktorokkal, és így megkapjuk az időátlagolt perturbációt. Behelyettesítve, és a ''z''-vetületet véve a perturbáció:

:<math>K = -\mu_B B m_j g_j\,</math>

Ahol <math>\mu_B</math> a Bohr-magnetron, és g_j a felhasadást a kvantumszámok függvényében megadó Landé-faktor:

:<math>g_J= g_L\frac{J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}+g_S\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}</math>

==A <math>H_2^+</math> molekulaion, kicserélődési kölcsönhatás(*)==

==Kétatomos molekulák==
===Általános megjegyzések===
* A tér szimmetrikus a két atommagon átmenő tengelyre, ezért az impulzusmomentum ezen tengelyre vett vetülete megmarad. Ezt a vetületet <math>\Lambda</math>-val szokás jelölni, és 0,1,2 értékei esetén rendre <math>\Sigma-, \Pi-, \delta</math>-termről beszélünk.
* A molekula tengelyét tartalmazó síkre való tükrözés az impulzusmomentum előjelét megfordítja(axiálvektor). Következik, hogy a <math>\Sigma</math>-termek kivételével a többi kétszeresen elfajult(ezek a sajátfüggvények az impulzusmomentum előjelében különböznek). Egy <math>\Sigma</math>-term tükrözés esetén egy állandóval szorzódhat, mivel kétszeres tükrözés azidentitással egyenlő ez az állandó <math>\pm 1</math>, ezek alapján szokás <math>\Sigma^{+}</math> és <math>\Sigma^{-}</math> termekről beszélni.

* Két azonos atomból álló molekula szimmetrikus az atommagokat összekötő szakasz felezőpontjára is. Az erre való tügrözés szerint beszélhetünk páros(h) és páratlan(u) állapotokról. Ez utóbbi az elektronkoordináták előjelének megváltoztatásakor előjelet vált. Jelölés pl.: <math>\Pi_u</math>

* Empirikus szabály: kémiailag stabil kétatomos molekulák túlnyomó többségének alapállapota teljesen szimmetrikus(a molekula minden szimmetriájára invariáns)

* Termeket ábrázolhatjuik grafikusan a magtávolság függvényében. Tétel: Csak különböző szimmetriájú termek metszhetik egymást.
===A vegyérték===
Tekintsük a <math>H_2</math> molekulát. Ennek a legalacsonyabb impulzusmomentumú lehetséges termjei az <math>^1 \Sigma</math> spinszinglett állapot és a <math>^3 \Sigma</math> spintriplett állapot. A spintriplett szimmetrikus spinhullámfüggvényt jelent, ami a Pauli-elv miatt antiszimmetrikus helyhullámfüggvényt. Azonban egy antiszimmetrikus helyhullámfüggvény <math>|\vec{r_1}|=|\vec{r_2}|</math>-nél eltűnik, így nem lehet az alapállapot. Kémiában szokásos kifejezés szerint csomósíkja van az elektronpályának. Részletes számolás szerint valóban a <math>^1 \Sigma</math> termnek a magtávolságfüggvényében minimuma van, míg a <math>^3 \Sigma</math> termnek nincs(lazító állapot), így az alapállapot a <math>^1 \Sigma</math> term. Vagyis alapállapotban a spin 0. Mind kiderül, a főcsoport elemeinek majdnem minden kémiailag stabil molekulája rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Azt, hogy az ilyen típusú, tisztán kvantummechanikai kötés(kovalens kötés, azaz mindkét atomra kiterjedő molekulapályák által alkotott kötés) a spinnel kapcsolatos, Heitler és London felfedezése volt. Ez teszi lehetővé a vegyérték fogalmának bevezetését. Egy atom vegyértéke egy atom spinjének kétszerese, ami a körülötte található elektronok spinjének összege. Atomok egyesülése során pedig a vegyértékeknek kölcsönösen telítődnie kell, vagyis egy atom minden vegyértékkötésének meg kell feleljen egy másik atom vegyértékkötése.

===A <math>H_2</math> molekula(*)===

==Molekulák rezgési és forgási spektruma==
Az eddigi leírások az áló molekulákra vonatkoztak. Egy molekula azonban végezhet forgó mozgást is, amely szintén kvantált, azaz csak diszkrét energiákat vehet fel, és csak diszkrét kvantumokban gerjeszthető. Ezenfelül a molekulákban, ha megfelelő a potenciálfelület és az molekula geometriájához képesti alapállapotbeli eltérések harmonikus oszcillátorként közelíthetőek, akkor ezek a kötések is gerjeszthetőek a rezgés módusának megfelelő energiájú fotonokkal. Tipikusan a rezgési gerjesztési hullámhossz a közép-infravörös (30–2.5 μm) tartományába esik, az ennél kisebb energiájú forgási gerejsztések kisebb energián, a távoli-infravörösben (1000–30 μm) vannak. Mivel ezek a kisenergiájú gerjesztések igen érzékenyek és specifikusak a molekula geometriájára, illetve az elektronok potenciálfelületeire, ezért egyedülállóan pontos szerkezet- és anyagmeghatározási lehetőségeket biztosítanak. Ez vezetett a megfelelő spektroszkópiák kialakulásához.

Kis gerjesztések esetén a rezgési spektrum közelíthető harmonikus oszcillátorként, kétatomos molekulákra:
:<math>E_{rezg}=\hbar \omega (n + \frac{1}{2})</math>
ahol
:<math>\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}</math>
ahol <math>\mu</math> a molekulatömeg, k a kémiai kötés erősségére jellemző erőállandó. Többatomos molekulákra a rezgési spektrum első körben több független oszcillátorral közelíthető:
:<math>E_{rezg}=\sum\limits_i \hbar \omega_i(n_i+\frac{1}{2})</math>

A forgási energia pedig első körben merev rotátorként képzelhető el. Mivel a forgási energia lényegesen kisebb a rezgésinél, ezért első körben a kettő tekinthető függetlennek.

===IR- és Raman-spektroszkópia===
Az IR (infravörös) spektroszkópia összefoglaló neve a forgási és rezgési spektrumok tanulmányozására szolgáló spektroszkópiai módszereknek. Az egyes rezgések igen határozottan specifikusak az egyes molekuláris csoportokra, illetve kötésekre, sőt a spektrumvonalak finomszerkezete az izotópokra is érzékeny. Az elméleti számolások itt igen elbonyolodnakm sokszor nem élhetünk az energiaszintek adiabatikus közelítéssel sem. A forgásispektroszkópiának további hátránya, hogy csak gázfázisban használható, mert folyadékban és gázokban az ütközések elnyomják a hatását. Továbbá szükséges hozzá (első közelítésben), hogy legyen a molekulának eredő dipólmomentuma.

Az fenti módusok gerjesztésének egyik más módszere a Raman-spektroszkópia, ez a fotonok rugalmatlan szórása a különböző gerjeszthető részeken (fononokon, molekuláris elektronfelhőn, kémiai kötéseken), aminek következtében energiát ad át az adott módusnak, amiáltal megváltozik a besugárzott foton frekvenciája és az észlelt spektrumban vonalak jelentkeznek. Ezzel párhuzamosan a felgerjesztett módus egy idő után visszatér az alapálapothoz közeli, de gerjesztett szintre. Az alapvető különbség az infravörös és a Raman-spektroszkópia között, hogy az infravörösnél beusgárzott foton elnyelődik, és közvetlenül csak a rezgést gerjeszti, míg a Raman spektroszkópiánál egy jóval magasabb szintre történő gerjesztés utáni visszaállás vezet ugyanarra az energiaszintre.

Ha az alapállapotból történő gerjesztés után a visszatérés az alapállapotba történik, az a klasszikus Rayleigh folyamat. Ha a visszatérés magasabb szintre történik, például az előbb részletezett esetben, akkor Stokes-folyamatról, ha kicsit gerjesztett állapotból mélyebb állapotba térünk vissza, akkor anti-Stokes folyamatról beszélünk.

==Alagút-effektus==
Tekintsünk egy rendszert, ahol a hullámfüggvénynek az egyik közegben exponenciálisan lecsengő megoldása van, de a közeg két végén oszcilláló megoldása. Ha a közeg egyik oldalán például felveszünk egy hullámcsomagot, ami adott sebességgel halad az exponenciálisan lecsengő régió felé, akkor véges valószínűsége lesz annak, hogy a hullámcsomag átjut a közegen, és a másik oldalon folytatja útját. Ilyen jelenség van például az atommagban az alfarészecskékkel.

{{Záróvizsga}}

Elektro- és magnetosztatika, áramkörök

2011-06-22T22:14:19Z

Birol: /* VezetőkFeynman - Mai Fizika 5: 57.9 Elektrosztatika */

==Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram==

===ELektrosztatika===

'''Sztatika''' esetén nincsen időbeli változás, tehát a [[Maxwell-egyenletek]]ben <ref>Teljes Maxwell-egyenletek: [[Elektrodinamika|itt]]</ref> szereplő, időderiváltakat tartalmazó targok 0-t adnak járulákul. Így a sztatikus Mexwell-egyenletek [[SI]]-ben:

:<math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{\varrho}{\varepsilon_{0}}</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{E}=0</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B}=\frac{\mathbf{j}}{\varepsilon_{0}c^{2}}</math>

:<math>\operatorname{div}\mathbf{B}=0</math>

ahol <math>\mathbf{E}</math> az elektromos térerősség, <math>\mathbf{B}</math> a mágneses indukció, <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség, <math>\varrho</math> az elektromos töltéssűrűség, <math>\varepsilon_{0}</math> a vákuum dielektromos állandója.

====Gauss-törvény====

[[Gauss]]-törvénynek az első [[Maxwell]]-egyenletet nevezzük. Az [[elektromos töltés]]ek, vagy [[töltéseloszlás]], és az [[elektromos tér]] kapcsolatát adja meg. Integrális formában azt mondja ki, hogy ha egy <math>q</math> töltést körbeveszünk egy zárt felülettel, akkor arra integrálva az elektromos teret (<math>\mathbf{E}</math>), a töltéssel arányos mennyiséget kapunk:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{1}{\varepsilon_0}q
</math>

Ahol <math>\varepsilon_0</math>, az arányossági tényező reciproka, a vákuum [[dielektromos állandó]]ja. Általánosabban felírhatjuk töltéseloszlásra is, aminek alesete több [[ponttöltés]]:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \varrho(\mathbf{r}) dV
</math>

Ezt nevezzük a '''Gauss-törvény integrális formájának'''. <math>\varrho(\mathbf{r})</math> a [[töltéssűrűség]], <math>V</math> pedig az <math>f</math> zárt felület által határolt térfogat. A matematikai Gauss-törvény értelmében egy vektortér divergenciájának térfogatra vett integrálja egyenlő a [[vektortér]] határfelületre vett integráljával, vagyis:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \int_V \operatorname{div} \mathbf{E} dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \varrho(\mathbf{r}) dV
</math>

Mivel az egyenlet két oldalán ugyanarra a térfogyatra integrálunk, az integrandusok is egyenlőek:

:<math>
\operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{\varrho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
</math>

Ez a '''Gauss-törvény differenciális formája'''.

====Coulomb-törvény====

Elektrosztatikában minden időderivált eltűnik: <math>\frac{\partial}{\partial t} \equiv 0</math>. Így a [[Faraday]]-törvény (egy másik Maxwell-egyenlet) így alakul:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0</math>

[[Rotáció]]mentes vektorterek előállíthatóak egy skalárfüggvény [[gradiens]]eként, ezért vezessük be a <math>\Phi</math> skalárpotenciált, amelyre igaz:

:<math>
\mathbf{E} = - \operatorname{grad} \Phi
</math>

<math>\Phi</math> skalárpotenciál dimenziója [[energia]]/[[töltés]], így adott töltés esetén arányos a potenciális energiával, és egy <math>q</math> töltést mozgatva [[elektromos tér]]ben <math>A</math> pontból <math>B</math> pontba, megadja a végzett <math>W</math> [[munkát]]:

:<math>W = \int_A^B q \mathbf{E} d\mathbf{s} = - \int_A^B q \operatorname{grad} \Phi d\mathbf{s} = q \left(\Phi(A) - \Phi(B)\right)</math>

A [[gradiens]]es egyenletet beírva a [[divergencia|divergenciásba]], kapjuk a [[Poisson]]-egyenletet:

:<math>
\operatorname{div} \operatorname{grad} \Phi = \Delta \Phi = - \frac{\varrho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
</math>

A levezetést mellőzve, [[Green-módszer]]rel megoldható az egyenlet, az általános megoldás pedig:

:<math>\Phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\varrho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}'</math>

Ha az [[Origó]]ban van egyetlen, <math>q_1</math> töltésű ponttöltésünk, akkor <math>\varrho(\mathbf{r}) = q_1\delta(\mathbf{r})</math>. Erre könnyen el lehet végezni az integrált:

:<math>\Phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{q_1\delta(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}'=\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}</math>

Az ebbe a térbe helyezett <math>q_2</math> töltésre ható erő:

:<math>
\mathbf{F}_{21} = - \mathbf{F}_{12} = \mathbf{E}_1q_2 = -grad \Phi \cdot q_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{\mathbf{r}_{12}^2} \cdot \frac{\mathbf{r}_{21}}{r_{21}}
</math>

Ezt nevezzük '''Coulomb-törvénynek'''.

A Maxwell-egyenletek [[linearitás]]a miatt egy adott pontban különböző töltések által keltett elektromos tér értéke megegyezik az egyéni töltések által létrehozott terek vektoriális összegével. Belátható, hogy ez egyenértékű azzal, hogy az egyes töltések által létrehozott skalárpotenciálok is összeadódnak. Ezt nevezzük a '''[[szuperpozíció]] elvének'''.

==Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika==

===Vezetők<ref>Feynman - Mai Fizika 5: 57.9 Elektrosztatika</ref>===

Az elektromos vezetők - általában [[fémek]] - belsejében a [[delokalizált elektron]]ok áramlása hozza létre a vezetés jelenségét. Ezt okozhatja például külső elektromos erőtér. Az így létrehozott [[áram]]ot vagy mozgásban kell tartani egy külső energiaforrással, különben amint az elektronok kisütik a kezdeti teret létrehozó forrásokat, megállnak. Tehát az elektronok addig mozognak, amíg úgy nem rendeződnek, hogy a belső elektromos tér nulla legyen. Mivel a tér belül zérus, így annak [[divergencia|divergenciája]] is nulla, és a Gauss-törvény értelmében akkor a [[töltéssűrűség]]nek is 0-nak kell lennie. Tehát a töltéseknek a vezető [[felület]]én kell lenniük. Ez képszerűen is logikus: a töltések taszítják egymást, megpróbálnak elszaladni egymás elől, így előbb-utóbb mindenki a falhoz szorulva figyeli a másikat. Ez egy stabil helyzet, amikor nagyjából maximalizálták az egymás közötti távolságot.

Továbbá a vezető felülete [[ekvipotenciális felület]], a térerősségnek itt merőlegesnek kell lennie mindenhol. Ha lenne érintőleges tag, akkor az elektronok elmozdulnának a felület mentén. A [[töltéssűrűség]] arányos a felületnél lévő [[térerősség]] nagyságával:

:<math>\varepsilon_0 \mathbf{E} = \eta.</math>

Különböző sugarú vezető gömbök esetében:

:<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{R_2}{R_1}</math>

Azaz a [[térerősség]] fordítottan arányos a sugárral, nagyobb görbületű helyeken kisebb a térerősség, végtelen kis görbület esetén nagy a térerősség. Ezt nevezzük [[csúcshatás]]nak. Ez alapján működik a [[Segner-kerék]], vagy a villámhárító, a van de Graaff-generátornál is fontos.

A vezető belsejében a térerősség zérus. Igaz ez a vezető belsejében lévő (üres) üregre is. Ez a [[Faraday-kalitka]].

===Dielektrikumok<ref>Feynman - Mai Fizika 5: 62. Dielektrikumok</ref>===

Először [[Faraday]] bácsi fedezte fel, hogy [[közeg]]ekben az [[elektromos tér]] lecsökken. A csökkenés szorzófaktorát nevezte <math>\varepsilon_r</math> [[dielektromos állandó]]nak:

:<math>\varepsilon_r := \frac{E_0}{E} > 1</math>

Ahol <math>E_0</math> az a [[térerősség]], amit ugyanilyen [[töltéseloszlás]] ugyanitt vákuumban hozna létre (pontosabban itt az abszolút értékeket osztjuk egymással). Ennek magyarázata az anyag szerkezetében keresendő. Bizonyos fajta anyagok [[molekula|molekulái]] rendelkeznek saját <math>\textbf{p}</math> [[elektromos dipólmomentum]]mal.

A dipólmomentummal rendelkező molekulákból álló anyagokat nevezzük [[dielekktrikum]]nak. Elektromos tér hatására ezek a dipólok beállnak a térrel ellentétesen, leárnyékolva (csökkentve) ezzel a teret. Ez látható az alábbi ábrán is, egy egyszerű modellen. Itt a dipólok egy szabályos rácsba helyezve ülnek az anyagban.

[[Kép:dielektrikum.png|center|thumb|400px|Dielektrikum kondenzátorban]]

Vegyünk egy [[zárt felület]]et, amibe belelóg a [[dielektrikum]] vége. Erre felírva a [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram|Gauss-törvényt]] az [[elektromos tér]] integrálja néhol pozitív lesz (ha éppen kettévágunk egy dipólsort), néhol pedig nulla (ha adott számú semleges dipólt fogtunk körbe). Mivel a [[dipól]]ok igen kicsik, és közel vannak egymáshoz, ezt egy átlaggal közelíthetjük. Ha az <math>f</math> felületen <math>N</math> [[töltés]] van, és <math>\mathbf{P} = \frac{\sum \mathbf{p}}{V}</math>, akkor ez az átlag:

:<math>\bar{q} = \frac{Nq_1 \mathbf{l} + 0 \cdot (d-l)}{d} = \frac{Nq_1 \mathbf{l}}{d} = \frac{N \mathbf{p}}{df} \cdot f = - \int \mathbf{P} d\mathbf{f}</math>

Ez akkor igaz, ha a térfogat, amire integráltunk, tartalmazza a test [[határfelület]]ét, vagyis van egy effektív, úgynevezett [[polarizációs töltés]] a felületen.
A [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram|Gauss-törvényt]] módosítva kapjuk:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\left( q_{valodi} + q_{polarizacios} \right) = \frac{1}{\varepsilon_0}q_{valodi} - \frac{1}{\varepsilon_0}\oint_f \mathbf{P} d\mathbf{f}
</math>

Ebből:

:<math>
\oint_f \left(\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \right) d\mathbf{f} = q_{valodi} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \oint_f \mathbf{D} d\mathbf{f}
</math>

Ahol <math>\mathbf{D}</math>-t nevezzük az '''[[elektromos eltolás vektor|elektromos eltolás vektorának]]'''.

[[Kísérlet]]i tapasztalatok alapján [[lineáris közeg]] esetén <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{P}</math> között helyfüggetlen [[lineáris]] kapcsolat van:

:<math>\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}</math>

Ahol <math>\chi_e</math> az [[elektromos szuszceptibilitás]]. Általános esetben <math>\varepsilon_0</math> egy szimmetrikus [[tenzor]], de [[izotrop]] anyagokban [[skalár]] (vagy felfoghatjuk egy konstans és egy egységmátrix szorzatának). Az [[elektromos eltolás vektor]] így:

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}</math>

Ekkor definíció szerint:

:<math>\left(1 + \chi_e \right) = \varepsilon_r</math>

Ahol <math>\varepsilon_r</math> a '''[[dielektromos állandó|relatív dielektromos együttható]]'''. <math>\varepsilon_r</math> és <math>\varepsilon_0</math> szorzata <math>\varepsilon</math>, a '''[[dielektromos állandó|dielektromos együttható]]''' (vagy [[dielektromos állandó|elektromos permittivitás]]).

====Kondenzátor====

Az [[elektromos töltés]] tárolására készített technikai eszközöket kondenzátornak (régies nevén „sűrítő”-nek) nevezzük. Minden kondenzátor legalább két párhuzamos vezető anyagból (fegyverzet), és a közöttük lévő szigetelő anyagból ([[dielektrikum]]) áll. Az első kondenzátor a [[leydeni palack]] volt, amelyet [[Pieter van Musschenbroek]] készített 1746-ban a leydeni egyetemen.

A kondenzátor kapacitása: <math>C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}\qquad</math>(ahol <math>A</math> a lemezek területe, <math>d</math> azok távolsága)

Kísérleti tapasztalat alapján, ha [[dielektrikum]]ot teszünk a kondenzátorba, akkor megnő a [[kapacitás]].

<math>C=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A}{d}\qquad</math>, ahol <math>\varepsilon_{r}</math> a dielektrikum [[dielektromos állandó|relatív permittivitása]].

Mivel a [[töltés]]ek nem változnak, ezért a [[feszültség]]nek kell csökkennie. Viszont ez a [[potenciál]]különbség nem más, mint a fegyverzetek közötti térerősség [[vonalintegrál]]ja. Ebből az következik, hogy a kondenzátoron belül csökkennie kellett a térerősségnek.

[[Kép:01Dielektr.png|center|thumb|400px|Dielektrikum kondenzátorban]]

Itt ugyanúgy alkalmazhatjuk a [[Gauss-tétel]]t, és az ábrán látható (bekeretezett “[[dielektrikum]]”) felületre integrálunk, akkor a leutóbbi következtetésünk alapján arra jutunk, hogy kisebb lesz a [[töltéssűrűség]]. (Olyan, mintha két kis kondenzátort kötnénk sorba.) Ez csak akkor lehet, ha a szigetelő egyik felén pozitív, másik felén negatív töltés indukálódik. (Vezető esetén tényleg ezt is várnánk...)

Ez okozza a kondenzátor [[kapacitás]]ának megnövekedését.

[[Dipólmomentum]]mal nem rendelkező szigetelők molekulái is [[dipól]]okká válhatnak külső elektromos tér hatására. Egy elég jól használható magyarázat: az [[elektron]]okra és a [[proton]]okra más irányú [[erő]]k hatnak, így torzul a részecske, és az elektronok súlypontja nem esik egybe a protonéval egy részecskén belül. Így kialakul egy [[dipól]]us.

Fontos tudni, hogy a [[polarizáció]] '''NEM''' azonos a [[megosztás]] jelenvégével. Ez utóbbiban valódi töltések keletkeznek, és ''vándorolnak'' el a vezetőben, ezzel szemben a polarizációban csak atomi méretű ''töltésszétválás'' történik!

Számos anyag van, amelyre a fenti [[lineáris]] összefüggés nem igaz, a legérdekesebbek talán az [[elektrétek]], amelyek állandó elektromos teret tartanak fenn, hasonlóan az állandó mágnesek mágneses teréhez.

====Határfeltételek====

Kérdésként merülhet fel, hogy különböző relatív dielektromos állandójú [[dielektrikum]]ok ''határán'' <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> hogyan viselkedik.

Az [[Maxwell-egyenletek]] integrális alakjából következik, hogy sztatika esetén:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{E} d \mathbf{s} = 0</math>

:<math>\operatorname{div} \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{D} d \mathbf{f} = 0</math>

Ezeket kell kielégíteni a '''határfeltételeken''' is. Felhasználva, hogy <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> megkaphatjuk a többi komponens transzformációját.

'''<math>\mathbf{E}</math> [[tangenciális]] komponense folytonosan megy át a határon.''' Az 1 és 2 közeget elválasztó határfelületen vegyünk fel egy kis (<math>\zeta</math> oldalú) [[négyzet]]et, a négyzet határfelületre [[merőleges]] oldalával tartsunk nullához. Ekkor az első összefüggésből következik, hogy:

:<math>\oint \mathbf{E} d\mathbf{s} = \mathbf{E}_1^t \zeta - \mathbf{E}_2^t \zeta = 0</math>

Azaz két különböző közeg határfelületén az <math>\mathbf{E}</math> elektromos térerősség [[érintő]] irányú komponense folytonosan halad át, a határfelület átlépése során változatlan marad:

:<math>\mathbf{E}_1^t = \mathbf{E}_2^t</math>

A <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> összefüggésből adódik, hogy <math>\mathbf{D}</math> tangenciális komponensének ugrása van a határon:

:<math>\frac{\mathbf{D}_1^t}{\mathbf{D}_2^t} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>

'''<math>\mathbf{D}</math> normál komponense folytonosan megy át a határon.''' Az 1 és 2 közeget elválasztó határfelületen vegyünk fel egy kis (<math>f</math> felületű) kockát, a kocka határfelületre merőleges oldalaival tartsunk nullához. Ekkor a második összefüggésből következik, hogy:

:<math>\oint \mathbf{D} d\mathbf{f} = \mathbf{D}_1^n f - \mathbf{D}_2^n f = 0</math>

Tehát az eltolásvektor normál komponense a két közeg határfelületén folytonosan halad át. Viszont a <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> összefüggés alapján az elektromos térerősség normál komponense ugrik:

:<math>\frac{\mathbf{E}_1^n}{\mathbf{E}_2^n} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}</math>

'''<math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> vektorok törési törvénye''': Vegyünk fel egy [[beesési merőleges]]t a közeg határán és jelöljük az <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> vektorral bezárt szögét <math>\alpha_1</math>-gyel az egyik közegben ([[beesési szög]]) és <math>\alpha_2</math>-vel a másik közegben ([[törési szög]]), ekkor a következő törvény írható fel:

:<math>\frac{\operatorname{tg} \alpha_1}{\operatorname{tg} \alpha_2} = \frac{\mathbf{E}_1^t / \mathbf{E}_1^n}{\mathbf{E}_2^t / \mathbf{E}_2^n} = \frac{\mathbf{D}_1^t / \mathbf{D}_1^n}{\mathbf{D}_2^t / \mathbf{D}_2^n} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>

===Magnetosztatika [http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetization]===

A mágneses tér jellemzésre a <math>\mathbf{H}</math> [[mágneses térerősség]]et használjuk, a [[Maxwell-egyenletek]] alapján sztatika és üres tér estén a következő egyenleteket elégíti ki:

:<math>\operatorname{div}\mathbf{B} = 0</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}</math>

Az [[divergencia|divergenciára]] vonatkozó egyenlet azt írja le, hogy nem létezik mágneses [[monopólus]], szemben az elektromos esettel.

====Mágneses tér mágnesezhető anyagok jelenlétében====

Hasonlóan mint elektromos tér esetén a [[polarizáció]], itt az közeg [[mágnesezettség]]e jelenik meg: <math>\operatorname{div}\mathbf{H} = - \mathbf{M}</math> ahol <math>\mathbf{M}</math> az anyag mágnesezettsége. Ez pici elemi mágneses dipólokból adódik. Ezt adhatják [[spin]]ek, és [[köráram]]ok. A mágneses dipól hasonlóan fogható fel, mint egy elektromos, azon kivétellel, hogy nem lehet monopólusokból előállítani, lévén azok elvileg nem léteznek. A elektrosztatikával analóg módón vezessük be a mágneses térerősség vektort:

:<math>\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}</math>

Párhuzam állítható az elektrosztatikus, és a magnetosztatikus esetek között: <math>\mathbf{E}</math> analógja <math>\mathbf{H}</math>, és <math>\mathbf{D}</math> párja <math>\mathbf{B}</math>. 

Lineáris közeg esetén a következő kapcsolat van a mágneses indukció és mágneses térerősség vektor között:

:<math>\mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0 \mu_r \mathbf{H} = \mu_0 \left(1 + \chi_m \right) \mathbf{H}</math>

Ahol <math>\mu_0</math> a vákuum [[mágneses permeabilitás]]a, <math>\mu_r</math> az anyagra jellemző relatív mágneses permeabilitás, <math>\mu</math> pedig a mágneses permeabilitás. <math>\chi_m</math> az anyag mágneses [[szuszceptibilitás]]a. Így a közeg mágnesezettsége és mágneses térerőssége közti kapcsolat:

:<math>\mathbf{M} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{H} = \mu_r \mathbf{H} - \mathbf{H} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \chi_m \mathbf{H}</math>

Az anyagok két csoportra oszthatóak, attól függően, hogy milyen <math>\chi_m</math> előjele: ha <math>\chi_m < 0</math> akkor [[diamágnes]]ről, ha <math>\chi_m > 0</math> akkor [[paramágnes]]es anyagról beszélhetünk. Diamágnes lerontja, a paramágnes pedig fölerősíti saját magában a külső mágness teret. Meg kell jegyezni, hogy <math>\chi_m</math> mindkét esetben igen kicsi szám, így a belső és a külső mágneses tér nem sokban különbözik. A [[szupravezetők]]re <math>\chi_m = -1</math>, tehát formálisan hívhatjuk őket tökéletes diamágnesnek, azaz teljesen kiszorítják magukból a mágneses teret, bennük <math>\mathbf{B} = 0</math>. Azonban a [[fizika|fizikájuk]], és <math>\chi_m</math> nagyságrendje is gyökeresen eltér a diamágnesekétől, így a kétféle anyagnak nincs sok köze egymáshoz. De ez már egy másik történet... (Vagyis másik tétel.) Diamágneses anyagok szuszceptibilitása [[hőmérséklet]]független. Paramágneses anyagoknak szuszeptibilitása fordítottan arányos a hőmérséklettel ([[Courie törvény]]). Továbbá vannak [[ferromágnes]]es anyagok, ezeknél <math>\mathbf{H}</math> és <math>\mathbf{M}</math> értéke nem arányos, hanem bonyolultabb kapcsolat figyelhető meg.

Fontos megjegyezni a következő összefüggést:

<math> \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c_0^2</math>

Ahol <math>c_0</math> a vákuumbeli [[fénysebesség]]. Közegek esetén a fény is lassabban terjed, ekkor sebessége: <math>c^2 = \frac{1}{\mu \varepsilon}</math>, így látható, hogy a [[törésmutató]] ekképp áll elő: <math>n = \frac{c_0}{c} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}</math>.

====B és H vektorok viselkedése két közeg határán====

Az [[elektrosztatika|elektrosztatikában]] felírtakhoz hasonló alakú határfeltételeket kaphatunk. Mivel a gondolatmenet kb. ugyanaz, csak röviden közlöm:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{H} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{H}_n d \mathbf{s} = 0 \Rightarrow \mathbf{H}_1^t = \mathbf{H}_2^t</math>

:<math>\operatorname{div} \mathbf{B} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{B}_n d \mathbf{f} = 0 \Rightarrow \mathbf{B}_1^n = \mathbf{B}_2^n</math>

==Stacionárius áram, áramköri törvények: Kirchhoff-törvények, Ohm-törvény==
A stacionárius [[áram]] kifejezés arra utal, hogy nincsen időbeli változása az áramnak. Ez állandó [[mágneses tér|mágneses teret]] hoz létre maga körül. Gyakran használjuk a lineáris vezető kifejezést. Ez hasonló absztrakció, mint a ponttöltés bevezetése sztatikában. Itt arra kell gondolni, hogy adott egy görbe a térben, és ennek a görbének minden pontjában egy <math>\mathbf{j}</math> áramsűrűség van, amely párhuzamos a görbe irányvektorával. Az áramot valamilyen [[potenciál]]különbség hajtja körben az áramkörben. Ezt valamilyen hatással (kémiai, mechanikai, stb.) létre kell hozni, és fenn kell tartani. Erre bevezetjük az [[elektromotoros erő]]t: ez azzal a térerősséggel egyenlő, amely a töltésszétválasztás során létrejött teret kompenzálja, ha nem folyik áram.

===Kirchhoff törvények[http://csega.homeip.net/wiki/index.php/Elektrodinamika#RLC_elemek.2C_.C3.A1ramk.C3.B6r.C3.B6k]===

A [[Kirchhoff]]-törvények a villamosságtanban a töltés és az energia megmaradását tárgyalják. Feladatok
esetén is jól alkalmazhatjuk (ablak módszer).

* [[Huroktörvény]] (energia megmaradás): Egy zárt áramköri hurokban a feszültségek előjeles összege zérus (feltéve, hogy nincs külső mágneses tér).

* [[Csomópont-törvény]] (töltésmegmaradás): Az egy áramköri csomópontban összefutó áramok előjeles összege zérus. Ez a [[kontinuitási egyenlet]] speciális esete.

===Ohm-törvény===
Általában: <math>R=\frac{U}{I}</math>

A lokális [[Ohm]]-törvény:

:<math>\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}</math>

ahol <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség, <math>\mathbf{E}</math> az elektromos térerősség, <math>\frac{1}{\rho}=\sigma</math> a fajlagos [[vezetőképesség]] és <math>\rho</math> a fajlagos [[ellenállás]]. Fontos megjegyezni, hogy ezt sem tartalmazzák a [[Maxwell-egyenletek]], tulajdonképpen ez is anyagi egyenlet. Lásd a [[Nemegyensúlyi_folyamatok_leírása#Kereszteffektusok | kereszteffektusoknál]] található levezetést.

Érdemes megyjegyezni, hogy a kontinuitási egyenlet miatt az [[áramsűrűség]] normális komponense a határfelületeken egyenlő, azonban ha két olyan anyag van a két oldalon, amelyek [[vezetőképessége]] (ellenállása) más, akkor a [[térerősség]] is különböző kell, hogy legyen, és az eredmény az, hogy a felületen töltésfelhalmozódás alakul ki.

===Mágneses hatások===
Az egyenárammal átjárt lineáris vezető egy infinitezinális darabja által létrehozott mágneses teret integrálva a vezető vonalára megkapjuk a mágneses teret. Ezt a [[Biot-Savart-törvény]] adja meg. Ez levezethető a stacionáruis állapotot leíró Maxwell-egyenletekből:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}</math>

Az eredmény:

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}</math>

Ennek egy speciális alkalmazása, amit igen sokszor használ a fizika, az egyetlen kis áramhurok által látrehozott mágneses tér. Ha a hurokban I áram folyik, akkor bevezetjük a mágneses momentumot (hasonló az elektromos dipólhoz):

:<math>\mathbf{m}=I \int df</math>

ahol az áramot a hurok által behatárolt felület nagyságával szoroztuk meg, az irányt a jobbkéz szabály adja. Ennek sehítségével a kis hurok mágneses tere:

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu}{4\pi}\left( \frac{3 (\mathbf{mr})\mathbf{r}}{r^5}\right) - \frac{\mathbf{m}}{r^3}</math>

Az így létrehozott térben a töltésekre természetesen hat a [[Lorentz-erő]]. Ennek következménye az is, hogy két párhuzamos lineáris vezető között erőhatás ébred, ha bennük áram folyik. Ennek mértéke:

:<math>\mathbf{F} = I \mathbf{L} \times \mathbf{B}</math>

Ha egy irányba folyik az áram a két vezetőben, akkor vonzzák egymást, ha ellentétesen, akkor taszítják egymást.

====Tekercsek====
Ha feltekerünk [[hélix]]be egy vezetőt, és áramot folyatunk át rajta, akkor az egyes hurkok mágneses tere összeadódik, továbbá jó közelítéssel a tekercsen belül [[homogén]] terünk lesz, ami a szélek felé egyre jobban leromlik. A létrehozott '''B''' tér egyenesen arányos az áramerősséggel, és a menetszámmal (n).

<hr />
'''Hivatkozások:'''
<references />

{{Záróvizsga}}

Egzaktul megoldható fizika problémák

2011-06-22T16:50:55Z

Birol: /* Rotátor */

==Rezgések==
===Harmonikus oszcillátor===
Az egész kvantitatív fizika legalapvetőbb megoldható rendszere a harmonikus oszcillátor. Ez egy olyan tömegpont mozgása, amely <math>V(x) = \frac{1}{2}kx^2</math> alakú potenciálban végez csillapítatlan rezgőmozgást. Ekkor:

:<math>F(x) = -\frac{dV}{dx}= -kx\,</math>

És a mozgásegyenlet:

:<math>F = m\ddot{x} = -kx\,</math>

Az általános matematikai alak:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x\,</math>

Ennek megoldása:

:<math>x(t) = A\operatorname{cos}(\omega t + \phi)\,</math>

A kezdőfeltételek határozzák meg ''A''-t és <math>\phi</math>-t, a körfrekvenciára:
:<math>\omega = \sqrt{\alpha}\,</math>

===Csillapított és gerjesztett harmonikus oszcillátor===
A fenti probléma két további, bonyolított változata is egzaktul megoldható. Hozzáadhatunk az egyenlethez, egy sebességgel arányos csillapítást:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x}\,</math>

Ekkor a megoldás:
:<math>x(t) = \operatorname{exp}\left[ \frac{1}{2}\left(-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha} \right)t\right],</math>

Három elkülönülő régió van, a négyzetgyök alatti mennyiség előjele alapján:
*Ha negatív: alulcsillapított, létrejön oszcilláció, ami lecseng,
*Ha nulla: kritikusan csillapított, egy félhullám lehet az egyensúly felé tartásban, de nincs nullátmenet,
*Ha pozitív: túlcsillapított: a kitérés mindig az egyensúlyi helyzet felé húz, hullámok nélkül.

A fenti differenciál-egynlethez állandó periodikus gerjesztőerőt is hozzáadhatunk:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x} + F(\omega_D)\, </math>

Az előbb részletezett három régió most is ugyanaz, a kezdeti állapotból a rendszer a csak csillapítottnál megfigyelhető relaxációval kerül be a gerjesztési amplitúdó és frekvencia által megszabott oszcillációhoz. Az explicit megoldásokat lásd [http://mathworld.wolfram.com/DampedSimpleHarmonicMotion.html itt].

===Regések összetétele===
Egyszerű trigonometriával belátható, hogy azonos frekvenciájú, de tetszőleges amplitudójú és fázisú harmonikus rezgőmozgások eredője is harmonikus rezgőmozgás, ugyanazzal a frekvenciával. Az amplitudóra az összegzés eredménye:

:<math>A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \operatorname{cos}(\phi_1 - \phi_2)\,</math>

és a fázisszögre:

:<math>\operatorname{tg}\delta = \frac{A_1 \operatorname{sin}\phi_1 + A_2 \operatorname{sin}\phi_2}{A_1 \operatorname{cos}\phi_1 + A_2 \operatorname{cos}\phi_2}</math>

Ezek a formulák tetszőleges számú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összeadására általánosíthatóak.

Két eltérő frekvenciájú, de azonos amplitudójú és fázisú rezgés összetételének eredménye pedig:

:<math>x(t) = 2 A \operatorname{cos}\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t \right)\cdot \operatorname{sin}\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)</math>

Az eredő amplitudó pedig:

:<math>A_E(t) = 2A \operatorname{cos} \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\,</math>

Az eredő amplitudó időbeli harmonikus változása a lebegés jelensége.

===Csatolt rezgések===
Csatolt rezgésről akkor beszélünk, hogyha a testeket nem csak az egyensúlyihelyzetükhöz, hanem egymáshoz is harmonikus erő köti. A mozgásegyenletek ekkor:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = -D_1 x_1 + k( x_2 - x_1 )</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -D_2 x_2 - k( x_2 - x_1 )</math>

Megfelelő változócserével a csatolás kitranszformálható, és két független harmonikus rezgőmozgást kapunk eredményül. Ezek összege és különbsége adja a helyfüggvényeket. Az itt megjelenő frekvenciákat ''normálfrekvenciáknak'' nevezzük. Ha megvizsgáljuk az energiaviszonyokat, akkor azt tapasztaljuk, hogy a két test harmonikus energiáján (<math>E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2}Dx^2</math>) kívül fellép egy csatolási energia is:
:<math>E_{csat} = \frac{1}{2} k (x_2 - x_1)^2</math>

A teljes energiamegmaradás ennek a három energiának az összegére érvényes. Az időfejlődés során periodikusan változik az egyik és a másik test rezgési amplitudója, szemléletesen az energia oda-vissza vándorol a két test között.

===Lineáris lánc===
Tekintsünk egy ''N'' tömepontból álló sorozatot, amelyet ideális rugók kötnek össze. Tekintsünk el a külső erőtértől. Ekkor az egyes mozgásegyenletek a következő alakúak:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = k_{12}(x_2 - x_1)</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -k_{12}(x_2 - x_1)+k_{23}(x_3 - x_2)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>m_{N-1} \ddot{x}_{N-1} = -k_{N-2, N-1}(x_{N-1} - x_{N-2})+k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>
:<math>m_N \ddot{x}_N = -k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>

Osszunk át a tömegek ''négyzetgyökével'' és vezessük be a következő jelölést: <math>y_i = x_i \cdot \sqrt{m_i}</math>. Az egyszerűség kedvéért, csak szemléltetésül az egyik középső egyenlet így alakul:

:<math>\ddot{y}_i = -\frac{k_{i-1, i}}{\sqrt{m_i}} \left( \frac{y_i}{\sqrt{m_i}} - \frac{y_{i-1}}{\sqrt{m_{i-1}}} \right) + \frac{k_{i, i+1}}{\sqrt{m_{i}}} \left( \frac{y_{i+1}}{\sqrt{m_{i+1}}} - \frac{y_{i}}{\sqrt{m_{i}}} \right)</math>

Az így kapott egyenletrendszer sokkal áttekinthetőbb, ha mátrixos alakba írjuk.

:<math>\ddot{\mathbf{Y}} = \mathbf{M}\mathbf{Y} </math>

Az itt bevezetett '''M''' mátrix tartalmazza a tömegekből, és rugóállandókból adódó konstansokat. A fenti változócserére azért volt szükség, hogy ez a mátrix szimmetrikus legyen, így a sajátértékei valósak. Ez pedig azért jó, mert ekkor a sajátértékprobléma megoldásával megkapott sajátértékek a normálfrekvenciák négyzeteit adják, a sajátvektorok pedig a rezgési módusokat (azaz, hogy az egyes pontok mekkora amplitúdóval, milyen irányba rezegnek). A mátrixnak mindig lesz egy 0 sajátértéke, ez a transzlációt írja le. Az általános megoldás most is az egyes meghatározott frekvenciák és amplitúdók által definiált harmonikus rezgőmozgások eredője, amiben a szabad paramétereket (összesen 2N darab) a kezdőfeltételek szabják meg.

==A Kepler-probléma==
A Kepler-probléma a Newtoni-gravitációs erőtörvény hatására mozgó test mozgásegyenletének vizsgálata. Ez tulajdonképpen egy centrális erőtérben történő mozgás, azonban kitüntetett jelentősége volt a csillagászat fejlődésében, hiszen jó közelítéssel írja le a Bolygók mozgását a Nap körül.

===A bolygók mozgása===
Adott a Newton-i gravitációs erőtörvény, itt most vektoros alakban felírva:

:<math>\mathbf{F} = - \gamma \frac{mM}{r^2} \frac{ \mathbf{r}}{r}</math>

itt m az adott bolygó, M a Nap tömege. Ez az erő centrális, azaz a tekintett testek középpontján keresztül hat. Ebből következik, hogy a mozgás síkmozgás, amihez tartozik egy megmaradó mennyiség, az impulzusmomentum:

:<math>r^2 \omega = \lambda \,</math>

A mozgásegyenleteket polárkoordinátákban felírva a gyorsulás radiális egyenlete:

:<math>m\ddot{r} - m r \dot{\phi}^2 = - \gamma \frac{mM}{r^2}</math>

És a síkszöghöz tartozó egyenlet:

:<math>m\ddot{\phi} = m \frac{1}{r} \frac{d}{dt} (r^2 \dot{\phi} ) = 0</math>

hiszen az erőnek nincs ilyen irányú komponense. Ezt az egyenletet az impulzusmomentum állandósága megoldja, tehát csak az első egyenlet megoldása marad hátra. Ennek érdekében az idő szerinti deriváltakat átírjuk szögszerinti deriváltakra, azaz áttértünk a szögre, mint paraméterre. Az eredményül kapható differenciál-egyenlet:

:<math>\frac{d^2}{d\phi^2} \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) = - \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) </math>

ami nem más, mint egy harmonikus oszcillátor egyenlete. Ennek ismert a megoldása, amelyből a sugár kifejezhető:

:<math>r(\phi) = \frac{\lambda ^2}{\gamma M} \frac{1}{1 + \frac{A \lambda ^2}{\gamma M}\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

A koszinuszos tag szorzófaktora az ekcentricitás, a külső tört szorzófaktora a pálya paramétere. A kapott egyenlet egy kúpszelet egyenlete.

===A Kepler-mozgások és a kúpszeletek kapcsolata===
Az előzőekben bemutattuk, hogy a Kepler-probléma kúpszelet egyenletre vezet, amelyek általános alakja:

:<math>r(\phi) = \frac{p}{1 + \epsilon\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

Ekkor három alapvetően különböző mozgás jöhet létre, amelyeket az excentricitás különböztet meg:
*<math>\epsilon < 1</math>: Ellipszis (speciálisan, 0 esetén kör),
*<math>\epsilon = 1</math>: Parabola,
*<math>\epsilon > 1</math>: Hiperbola.

Ezek kifejezhetőek az energiával is:
*<math>E < 0</math>: Ellipszis,
*<math>E = 0</math>: Parabola,
*<math>E > 0</math>: Hiperbola.

===Kozmikus sebességek===
A fenti energiák fontosak az űrkutatásban. Ha a Földről indítunk egy testet, akkor a legkisebb energiájú stabil pálya a valamely ellipszis pálya elérése. Első kozmikus sebességnek nevezzük a föld sugarával egyező körpálya eléréséhez szükséges sebességet, ez kb. 7,9 km/s. A második kozmikus sebesség a Föld gravitációs terének elhagyása, azaz a fenti esetek közül a parabolikushoz tartozó sebesség, ez kb.: 11,2 km/s. A harmadik kozmikus sebesség az előző, de a Napra viszonyítva, azaz ebben az esetben a naprendszer elhagyásáról beszélünk. Ez megközelítőleg 42,1 km/s.

==Kvantummechanikai problémák==
===Potenciálvölgy===
===Oszcillátor Sommerfeld-módszerrel===
A lineáris harmonikus oszcillátor energia operátora:

<math>\mathbf{E} = \frac{ \mathbf{p} ^{2}}{2 \mu} + \frac{ \omega^{2} \mu}{2} \mathbf{x}^{2}</math>.

Az <math>\mathbf{x}</math> operátor helyére az x szerinti szorzást, a <math>\mathbf{p}</math> helyére pedig a <math>\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}</math>-t írva a sajátérték-egyenlet:

<math> -\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{\omega^{2} \mu}{2} x^{2} \psi = E \psi </math>, ebből:

<math> \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \Bigl( E - \frac{1}{2} \mu \omega^{2} x^{2} \Bigr) \psi = 0 </math>.

Bevezetve a <math> k = \frac{2E}{\hbar \omega} </math> jelölést és x-ről áttérve a <math> \xi = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}} x </math> változóra az egyenlet a következőképpen néz ki:

<math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} + (k-\xi^{2}) \psi = 0 </math>.

Az egyenlet aszimptotikus alakja: <math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} - \xi^{2} \psi = 0 </math>. Ennek megoldása: <math> \psi_{a} = e^{-\xi^{2}/2}</math>. Az eredeti egyenlet megoldását a Sommerfeld-féle polinom-módszer segítségével szeretnénk megkapni, ezért a pontos megoldást <math> \psi = e^{-\xi^{2}/2} v(\xi) </math> alakban keressük. Ezt beírva a differenciálegyenletbe kapjuk:

<math> \frac{d^{2} v}{d\xi^{2}} - 2\xi \frac{dv}{d \xi} + (k-1) v = 0 </math>.

<math> v(\xi) = \sum_{r = 0}^{n} c_{r} \xi^{r} </math> alakban felírva képezzük <math> v(\xi) </math> első és második deriváltját:

<math> \frac{dv}{d \xi} = \sum_{r} r c_{r} \xi^{r-1} </math>,

<math> \frac{d^{2}v}{d \xi^{2}} = \sum_{r} r (r-1) c_{r} \xi^{r-2}</math>.

Ezt beírva <math>v</math> differenciálegyenletébe: <math> \sum_{r} \Bigl( (r+2)(r+1) c_{r+2} - (2r + 1-k) c_{r} \Bigr) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez akkor igaz, ha <math> \xi </math> minden hatványának együthatója 0. Így egy rekurzív összefüggést kapunk a <math> c_{r} </math> együtthatók között:

<math>c_{r+2} = \frac{2r + 1-k}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Belátható, hogy r = n fokszámtól kezdve az összes együtthatónak azonosan 0-nak kell lennie, ezért 2n + 1 = k. Az E és k közötti összefüggés alapján így az energia sajátértékek:
<math> E_{n} = \hbar \omega \Bigl( n+ \frac{1}{2} \Bigr) = h \nu \Bigl( n + \frac{1}{2} \Bigr) </math>.

Az egyes energia sajátértékekhez tartozó sajátfüggvények: <math> \psi_{n} = e^{-\xi^{2} / 2} v_{n}(\xi)</math>, ahol <math>v_{n}(\xi) = H_{n}(\xi) </math> ún. Hermite-polinom.

=== Oszcillátor léptető operátorokkal ===
A harmonikus oszcillátor Hamilton-operátora némi alakítgatás után:
:<math>\mathbf{H}=\hbar \omega \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( x^2 + \frac{1}{m^2 \omega^2} + \frac{1}{2}\right)= \hbar \omega \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega ( a^\dagger a + \frac{1}{2})</math>
A léptetőoperátorok:
:<math> a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
:<math> a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
ezek természetesen egymás adjungáltjai. A felcserélési reláció:
:<math>[a,a^\dagger]=1</math>
Legyen <math>a^\dagger a = N</math> a részecskeszám-operátor. Koncentráljunk ennek a sajátállapotaira:
:<math>N | n \rangle = n | n \rangle</math>
Könnyen megmutatható, hogy ha <math>|n \rangle</math> sajátállapota N-nek, akkor <math>a|n \rangle</math> és <math>a^{\dagger}|n \rangle</math> is:
:<math>N a | n \rangle = (n-1) a | n \rangle</math>
:<math>N a^{\prime} | n \rangle = (n+1) a | n \rangle</math>
az így kapott sajátállapotok nem normáltak. Mivel <math>a | n \rangle</math> normája n, ezért a normált állapotok:
:<math>a | n \rangle = \sqrt{n} | n-1 \rangle</math>
és hasonlóan:
:<math>a^\dagger | n \rangle = \sqrt{n+1} | n+1 \rangle</math>
Tehát elindulva egy n sajátérékről, az a eltüntető operátor n-1,n-2,... sajátértékkel generál új N sajátállapotokat. Ezek sorozata viszont nem mehet negatívba, hiszen az N sajátérétke egyben a :<math>a | n \rangle</math> normája ami nem negatív. Ez csak úgy lehet, ha n egész értékéről indulunk, majd elérünk n=0-hoz és akkor:
:<math>a | 0 \rangle = 0</math>
Ebből az egyenletből rögtön adódik az alapállapoti hullámfüggvény, a keltő operátor alkalmazással pedig a gerjesztett állapotok hullámfüggvényei. A spektrum is azonnal leolvasható.

===Rotátor===
A forgó mozgást végző tömegpontot rotátornak nevezzük. Szabadon forgó tömegpont energia sajátérték egyenlete: <math> -\frac{\hbar}{2 \mu} \Delta \psi = E \psi</math>. A problémához leginkább a térbeli polárkoordináta-rendszer illeszkedik, ugyanis a forgás centrumától mért r távolság állandó.

A Laplace-operátor polárkoordináta rendszerben: <math> \Delta = \frac{\partial^{2} }{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \Bigl( \frac{\partial^{2}}{\partial \vartheta^{2}} + \cot(\vartheta) \frac{\partial }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} \Bigr) </math>.

r = állandó, ezért <math> \psi = \psi(\vartheta, \varphi) </math> csak a szögektől függ:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} = - \frac{2 \mu r^{2}}{\hbar^{2}} E \psi </math>.

Legyen <math> \mu r^{2} = \Theta </math> (a tehetetlenségi nyomaték a forgás centrumára vonatkozóan). Az egyenlet a következő alakra módosul:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E \psi = 0 </math>.

<math> \psi(\vartheta, \varphi) = F(\vartheta)G(\varphi) </math> alakban keresve a megoldást:

<math> F^{\prime \prime}G + \cot(\vartheta) F^{\prime}G + \frac{1}{(sin(\vartheta))^{2}}F G^{\prime \prime} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E F G = 0 </math>.

Átalakítva: <math> \frac{F^{\prime \prime}}{F} (\sin(\vartheta))^{2} + \cos(\vartheta) \sin(\vartheta) \frac{F^{\prime}}{F} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E (\sin(\vartheta))^{2} + \frac{G^{\prime \prime}}{G} = 0 </math>.

A <math> \vartheta </math>-tól és a <math> \varphi </math>-től függő részek külön-külön állandók kell, hogy legyenek:

<math> \frac{G^{\prime}}{G} = -m^{2} </math>, azaz <math> G = e^{i m \varphi} </math>.

Az azimutszöget <math> 2 \pi</math>-vel növelve ugyanabba a pontba jutunk vissza, ezért meg kell követelnünk, hogy <math> e^{i m 2 \pi} = 1</math> legyen.

Az F-et meghatározó egyenletnél érdemes a <math> \xi = \cos(\vartheta) </math> változóra áttérni, így az eredeti egyenletet <math> F/(1- \xi^{2}) </math>-tel megszorozva (<math> (1-\xi^{2}) \neq 0 </math>) kapjuk:

<math> (1- \xi^{2}) \frac{\partial^{2} F}{\partial \xi^{2}} - 2 \xi \frac{\partial F}{\partial \xi} + \Bigl( \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E - \frac{m^{2}}{(1-\xi^{2})} \Bigr) F = 0 </math>.

A <math> \xi = 1</math>-ben a differenciálegyenletnek szingularitása van, hogy a megoldás itt is véges legyen, ezért <math> F(\xi) = (1-\xi^{2})^{\frac{|m|}{2}} v(\xi) </math>. Ezt visszaírva és a kapott egyenlet megoldását a polinom-módszer alapján <math> v(\xi) = \sum_{r=0} c_{r} \xi^{r} </math> alakban keresve kapjuk:

<math> \sum_{r} \left((r+2)(r+1) c_{r+2} - \Bigl[ (r+|m|)(r+|m|+1)- \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}} \Bigr] c_{r} \right) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez alapján a <math> c_{r} </math> együtthatókra egy rekurziós képletet kapunk: <math> c_{r+2} = \frac{(r+|m|)(r+|m|+1) - \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}}}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Ahhoz, hogy a sajátfüggvény reguláris legyen egy bizonyos fokszámú együtthatótól kezdve az összes értéke azonosan 0 kell hogy legyen. A lehetséges energia-sajátértékek így: <math> E_{l} = \frac{\hbar^{2}}{2 \Theta} l (l+1) </math>, ahol <math> k + |m| \ge 0</math>-t jelöltük l-el (l = 0, 1, 2, ...).

A differenciálegyenletet kielégítő polinom neve módosított Legendre-polinom, amit <math> P_{l}^{m} </math> szimbólummal jelölünk. A forgó mozgást végző tömegpont sajátfüggvényei tehát a gömbfüggvények:

<math> \psi_{lm}(\vartheta, \varphi) = Y_{lm}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}[\cos(\vartheta)]e^{i m \varphi}</math>.

A teljes energia: <math>E_l = \frac{\hbar ^2}{2\mu r^2}l(l+1).</math>

Az impulzusmomentum négyzete: <math>L^2 = \hbar ^2 l(l+1),</math> a <math>z</math> irányú vetülete pedig <math>L_z = \hbar m.</math>

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban, H-atom===

A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

===Klasszikus határesetek===

{{Záróvizsga}}

Egzaktul megoldható fizika problémák

2011-06-22T16:49:50Z

Birol: /* Rotátor */

==Rezgések==
===Harmonikus oszcillátor===
Az egész kvantitatív fizika legalapvetőbb megoldható rendszere a harmonikus oszcillátor. Ez egy olyan tömegpont mozgása, amely <math>V(x) = \frac{1}{2}kx^2</math> alakú potenciálban végez csillapítatlan rezgőmozgást. Ekkor:

:<math>F(x) = -\frac{dV}{dx}= -kx\,</math>

És a mozgásegyenlet:

:<math>F = m\ddot{x} = -kx\,</math>

Az általános matematikai alak:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x\,</math>

Ennek megoldása:

:<math>x(t) = A\operatorname{cos}(\omega t + \phi)\,</math>

A kezdőfeltételek határozzák meg ''A''-t és <math>\phi</math>-t, a körfrekvenciára:
:<math>\omega = \sqrt{\alpha}\,</math>

===Csillapított és gerjesztett harmonikus oszcillátor===
A fenti probléma két további, bonyolított változata is egzaktul megoldható. Hozzáadhatunk az egyenlethez, egy sebességgel arányos csillapítást:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x}\,</math>

Ekkor a megoldás:
:<math>x(t) = \operatorname{exp}\left[ \frac{1}{2}\left(-\beta \pm \sqrt{\beta^2 - 4\alpha} \right)t\right],</math>

Három elkülönülő régió van, a négyzetgyök alatti mennyiség előjele alapján:
*Ha negatív: alulcsillapított, létrejön oszcilláció, ami lecseng,
*Ha nulla: kritikusan csillapított, egy félhullám lehet az egyensúly felé tartásban, de nincs nullátmenet,
*Ha pozitív: túlcsillapított: a kitérés mindig az egyensúlyi helyzet felé húz, hullámok nélkül.

A fenti differenciál-egynlethez állandó periodikus gerjesztőerőt is hozzáadhatunk:

:<math>\ddot{x} = -\alpha x -\beta \dot{x} + F(\omega_D)\, </math>

Az előbb részletezett három régió most is ugyanaz, a kezdeti állapotból a rendszer a csak csillapítottnál megfigyelhető relaxációval kerül be a gerjesztési amplitúdó és frekvencia által megszabott oszcillációhoz. Az explicit megoldásokat lásd [http://mathworld.wolfram.com/DampedSimpleHarmonicMotion.html itt].

===Regések összetétele===
Egyszerű trigonometriával belátható, hogy azonos frekvenciájú, de tetszőleges amplitudójú és fázisú harmonikus rezgőmozgások eredője is harmonikus rezgőmozgás, ugyanazzal a frekvenciával. Az amplitudóra az összegzés eredménye:

:<math>A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \operatorname{cos}(\phi_1 - \phi_2)\,</math>

és a fázisszögre:

:<math>\operatorname{tg}\delta = \frac{A_1 \operatorname{sin}\phi_1 + A_2 \operatorname{sin}\phi_2}{A_1 \operatorname{cos}\phi_1 + A_2 \operatorname{cos}\phi_2}</math>

Ezek a formulák tetszőleges számú, azonos frekvenciájú harmonikus rezgés összeadására általánosíthatóak.

Két eltérő frekvenciájú, de azonos amplitudójú és fázisú rezgés összetételének eredménye pedig:

:<math>x(t) = 2 A \operatorname{cos}\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t \right)\cdot \operatorname{sin}\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)</math>

Az eredő amplitudó pedig:

:<math>A_E(t) = 2A \operatorname{cos} \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right)\,</math>

Az eredő amplitudó időbeli harmonikus változása a lebegés jelensége.

===Csatolt rezgések===
Csatolt rezgésről akkor beszélünk, hogyha a testeket nem csak az egyensúlyihelyzetükhöz, hanem egymáshoz is harmonikus erő köti. A mozgásegyenletek ekkor:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = -D_1 x_1 + k( x_2 - x_1 )</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -D_2 x_2 - k( x_2 - x_1 )</math>

Megfelelő változócserével a csatolás kitranszformálható, és két független harmonikus rezgőmozgást kapunk eredményül. Ezek összege és különbsége adja a helyfüggvényeket. Az itt megjelenő frekvenciákat ''normálfrekvenciáknak'' nevezzük. Ha megvizsgáljuk az energiaviszonyokat, akkor azt tapasztaljuk, hogy a két test harmonikus energiáján (<math>E = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2}Dx^2</math>) kívül fellép egy csatolási energia is:
:<math>E_{csat} = \frac{1}{2} k (x_2 - x_1)^2</math>

A teljes energiamegmaradás ennek a három energiának az összegére érvényes. Az időfejlődés során periodikusan változik az egyik és a másik test rezgési amplitudója, szemléletesen az energia oda-vissza vándorol a két test között.

===Lineáris lánc===
Tekintsünk egy ''N'' tömepontból álló sorozatot, amelyet ideális rugók kötnek össze. Tekintsünk el a külső erőtértől. Ekkor az egyes mozgásegyenletek a következő alakúak:

:<math>m_1 \ddot{x}_1 = k_{12}(x_2 - x_1)</math>
:<math>m_2 \ddot{x}_2 = -k_{12}(x_2 - x_1)+k_{23}(x_3 - x_2)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>m_{N-1} \ddot{x}_{N-1} = -k_{N-2, N-1}(x_{N-1} - x_{N-2})+k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>
:<math>m_N \ddot{x}_N = -k_{N-1, N}(x_N - x_{N-1})</math>

Osszunk át a tömegek ''négyzetgyökével'' és vezessük be a következő jelölést: <math>y_i = x_i \cdot \sqrt{m_i}</math>. Az egyszerűség kedvéért, csak szemléltetésül az egyik középső egyenlet így alakul:

:<math>\ddot{y}_i = -\frac{k_{i-1, i}}{\sqrt{m_i}} \left( \frac{y_i}{\sqrt{m_i}} - \frac{y_{i-1}}{\sqrt{m_{i-1}}} \right) + \frac{k_{i, i+1}}{\sqrt{m_{i}}} \left( \frac{y_{i+1}}{\sqrt{m_{i+1}}} - \frac{y_{i}}{\sqrt{m_{i}}} \right)</math>

Az így kapott egyenletrendszer sokkal áttekinthetőbb, ha mátrixos alakba írjuk.

:<math>\ddot{\mathbf{Y}} = \mathbf{M}\mathbf{Y} </math>

Az itt bevezetett '''M''' mátrix tartalmazza a tömegekből, és rugóállandókból adódó konstansokat. A fenti változócserére azért volt szükség, hogy ez a mátrix szimmetrikus legyen, így a sajátértékei valósak. Ez pedig azért jó, mert ekkor a sajátértékprobléma megoldásával megkapott sajátértékek a normálfrekvenciák négyzeteit adják, a sajátvektorok pedig a rezgési módusokat (azaz, hogy az egyes pontok mekkora amplitúdóval, milyen irányba rezegnek). A mátrixnak mindig lesz egy 0 sajátértéke, ez a transzlációt írja le. Az általános megoldás most is az egyes meghatározott frekvenciák és amplitúdók által definiált harmonikus rezgőmozgások eredője, amiben a szabad paramétereket (összesen 2N darab) a kezdőfeltételek szabják meg.

==A Kepler-probléma==
A Kepler-probléma a Newtoni-gravitációs erőtörvény hatására mozgó test mozgásegyenletének vizsgálata. Ez tulajdonképpen egy centrális erőtérben történő mozgás, azonban kitüntetett jelentősége volt a csillagászat fejlődésében, hiszen jó közelítéssel írja le a Bolygók mozgását a Nap körül.

===A bolygók mozgása===
Adott a Newton-i gravitációs erőtörvény, itt most vektoros alakban felírva:

:<math>\mathbf{F} = - \gamma \frac{mM}{r^2} \frac{ \mathbf{r}}{r}</math>

itt m az adott bolygó, M a Nap tömege. Ez az erő centrális, azaz a tekintett testek középpontján keresztül hat. Ebből következik, hogy a mozgás síkmozgás, amihez tartozik egy megmaradó mennyiség, az impulzusmomentum:

:<math>r^2 \omega = \lambda \,</math>

A mozgásegyenleteket polárkoordinátákban felírva a gyorsulás radiális egyenlete:

:<math>m\ddot{r} - m r \dot{\phi}^2 = - \gamma \frac{mM}{r^2}</math>

És a síkszöghöz tartozó egyenlet:

:<math>m\ddot{\phi} = m \frac{1}{r} \frac{d}{dt} (r^2 \dot{\phi} ) = 0</math>

hiszen az erőnek nincs ilyen irányú komponense. Ezt az egyenletet az impulzusmomentum állandósága megoldja, tehát csak az első egyenlet megoldása marad hátra. Ennek érdekében az idő szerinti deriváltakat átírjuk szögszerinti deriváltakra, azaz áttértünk a szögre, mint paraméterre. Az eredményül kapható differenciál-egyenlet:

:<math>\frac{d^2}{d\phi^2} \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) = - \left( \frac{1}{r} - \frac{\gamma M }{\lambda ^2} \right) </math>

ami nem más, mint egy harmonikus oszcillátor egyenlete. Ennek ismert a megoldása, amelyből a sugár kifejezhető:

:<math>r(\phi) = \frac{\lambda ^2}{\gamma M} \frac{1}{1 + \frac{A \lambda ^2}{\gamma M}\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

A koszinuszos tag szorzófaktora az ekcentricitás, a külső tört szorzófaktora a pálya paramétere. A kapott egyenlet egy kúpszelet egyenlete.

===A Kepler-mozgások és a kúpszeletek kapcsolata===
Az előzőekben bemutattuk, hogy a Kepler-probléma kúpszelet egyenletre vezet, amelyek általános alakja:

:<math>r(\phi) = \frac{p}{1 + \epsilon\operatorname{cos}(\phi + \alpha)}</math>

Ekkor három alapvetően különböző mozgás jöhet létre, amelyeket az excentricitás különböztet meg:
*<math>\epsilon < 1</math>: Ellipszis (speciálisan, 0 esetén kör),
*<math>\epsilon = 1</math>: Parabola,
*<math>\epsilon > 1</math>: Hiperbola.

Ezek kifejezhetőek az energiával is:
*<math>E < 0</math>: Ellipszis,
*<math>E = 0</math>: Parabola,
*<math>E > 0</math>: Hiperbola.

===Kozmikus sebességek===
A fenti energiák fontosak az űrkutatásban. Ha a Földről indítunk egy testet, akkor a legkisebb energiájú stabil pálya a valamely ellipszis pálya elérése. Első kozmikus sebességnek nevezzük a föld sugarával egyező körpálya eléréséhez szükséges sebességet, ez kb. 7,9 km/s. A második kozmikus sebesség a Föld gravitációs terének elhagyása, azaz a fenti esetek közül a parabolikushoz tartozó sebesség, ez kb.: 11,2 km/s. A harmadik kozmikus sebesség az előző, de a Napra viszonyítva, azaz ebben az esetben a naprendszer elhagyásáról beszélünk. Ez megközelítőleg 42,1 km/s.

==Kvantummechanikai problémák==
===Potenciálvölgy===
===Oszcillátor Sommerfeld-módszerrel===
A lineáris harmonikus oszcillátor energia operátora:

<math>\mathbf{E} = \frac{ \mathbf{p} ^{2}}{2 \mu} + \frac{ \omega^{2} \mu}{2} \mathbf{x}^{2}</math>.

Az <math>\mathbf{x}</math> operátor helyére az x szerinti szorzást, a <math>\mathbf{p}</math> helyére pedig a <math>\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}</math>-t írva a sajátérték-egyenlet:

<math> -\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{\omega^{2} \mu}{2} x^{2} \psi = E \psi </math>, ebből:

<math> \frac{d^{2} \psi}{dx^{2}} + \frac{2 \mu}{\hbar^{2}} \Bigl( E - \frac{1}{2} \mu \omega^{2} x^{2} \Bigr) \psi = 0 </math>.

Bevezetve a <math> k = \frac{2E}{\hbar \omega} </math> jelölést és x-ről áttérve a <math> \xi = \sqrt{\frac{\mu \omega}{\hbar}} x </math> változóra az egyenlet a következőképpen néz ki:

<math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} + (k-\xi^{2}) \psi = 0 </math>.

Az egyenlet aszimptotikus alakja: <math> \frac{d^{2} \psi}{d \xi^{2}} - \xi^{2} \psi = 0 </math>. Ennek megoldása: <math> \psi_{a} = e^{-\xi^{2}/2}</math>. Az eredeti egyenlet megoldását a Sommerfeld-féle polinom-módszer segítségével szeretnénk megkapni, ezért a pontos megoldást <math> \psi = e^{-\xi^{2}/2} v(\xi) </math> alakban keressük. Ezt beírva a differenciálegyenletbe kapjuk:

<math> \frac{d^{2} v}{d\xi^{2}} - 2\xi \frac{dv}{d \xi} + (k-1) v = 0 </math>.

<math> v(\xi) = \sum_{r = 0}^{n} c_{r} \xi^{r} </math> alakban felírva képezzük <math> v(\xi) </math> első és második deriváltját:

<math> \frac{dv}{d \xi} = \sum_{r} r c_{r} \xi^{r-1} </math>,

<math> \frac{d^{2}v}{d \xi^{2}} = \sum_{r} r (r-1) c_{r} \xi^{r-2}</math>.

Ezt beírva <math>v</math> differenciálegyenletébe: <math> \sum_{r} \Bigl( (r+2)(r+1) c_{r+2} - (2r + 1-k) c_{r} \Bigr) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez akkor igaz, ha <math> \xi </math> minden hatványának együthatója 0. Így egy rekurzív összefüggést kapunk a <math> c_{r} </math> együtthatók között:

<math>c_{r+2} = \frac{2r + 1-k}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Belátható, hogy r = n fokszámtól kezdve az összes együtthatónak azonosan 0-nak kell lennie, ezért 2n + 1 = k. Az E és k közötti összefüggés alapján így az energia sajátértékek:
<math> E_{n} = \hbar \omega \Bigl( n+ \frac{1}{2} \Bigr) = h \nu \Bigl( n + \frac{1}{2} \Bigr) </math>.

Az egyes energia sajátértékekhez tartozó sajátfüggvények: <math> \psi_{n} = e^{-\xi^{2} / 2} v_{n}(\xi)</math>, ahol <math>v_{n}(\xi) = H_{n}(\xi) </math> ún. Hermite-polinom.

=== Oszcillátor léptető operátorokkal ===
A harmonikus oszcillátor Hamilton-operátora némi alakítgatás után:
:<math>\mathbf{H}=\hbar \omega \frac{m \omega}{2 \hbar} \left( x^2 + \frac{1}{m^2 \omega^2} + \frac{1}{2}\right)= \hbar \omega \left( \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega ( a^\dagger a + \frac{1}{2})</math>
A léptetőoperátorok:
:<math> a = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x + \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
:<math> a^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}\left( x - \frac{i}{m \omega}p\right) </math>
ezek természetesen egymás adjungáltjai. A felcserélési reláció:
:<math>[a,a^\dagger]=1</math>
Legyen <math>a^\dagger a = N</math> a részecskeszám-operátor. Koncentráljunk ennek a sajátállapotaira:
:<math>N | n \rangle = n | n \rangle</math>
Könnyen megmutatható, hogy ha <math>|n \rangle</math> sajátállapota N-nek, akkor <math>a|n \rangle</math> és <math>a^{\dagger}|n \rangle</math> is:
:<math>N a | n \rangle = (n-1) a | n \rangle</math>
:<math>N a^{\prime} | n \rangle = (n+1) a | n \rangle</math>
az így kapott sajátállapotok nem normáltak. Mivel <math>a | n \rangle</math> normája n, ezért a normált állapotok:
:<math>a | n \rangle = \sqrt{n} | n-1 \rangle</math>
és hasonlóan:
:<math>a^\dagger | n \rangle = \sqrt{n+1} | n+1 \rangle</math>
Tehát elindulva egy n sajátérékről, az a eltüntető operátor n-1,n-2,... sajátértékkel generál új N sajátállapotokat. Ezek sorozata viszont nem mehet negatívba, hiszen az N sajátérétke egyben a :<math>a | n \rangle</math> normája ami nem negatív. Ez csak úgy lehet, ha n egész értékéről indulunk, majd elérünk n=0-hoz és akkor:
:<math>a | 0 \rangle = 0</math>
Ebből az egyenletből rögtön adódik az alapállapoti hullámfüggvény, a keltő operátor alkalmazással pedig a gerjesztett állapotok hullámfüggvényei. A spektrum is azonnal leolvasható.

===Rotátor===
A forgó mozgást végző tömegpontot rotátornak nevezzük. Szabadon forgó tömegpont energia sajátérték egyenlete: <math> -\frac{\hbar}{2 \mu} \Delta \psi = E \psi</math>. A problémához leginkább a térbeli polárkoordináta-rendszer illeszkedik, ugyanis a forgás centrumától mért r távolság állandó.

A Laplace-operátor polárkoordináta rendszerben: <math> \Delta = \frac{\partial^{2} }{\partial r^{2}} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \Bigl( \frac{\partial^{2}}{\partial \vartheta^{2}} + \cot(\vartheta) \frac{\partial }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}} \Bigr) </math>.

r = állandó, ezért <math> \psi = \psi(\vartheta, \varphi) </math> csak a szögektől függ:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} = - \frac{2 \mu r^{2}}{\hbar^{2}} E \psi </math>.

Legyen <math> \mu r^{2} = \Theta </math> (a tehetetlenségi nyomaték a forgás centrumára vonatkozóan). Az egyenlet a következő alakra módosul:

<math> \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \vartheta^{2}} + \cot{\vartheta} \frac{\partial \psi }{\partial \vartheta} + \frac{1}{(\sin(\vartheta))^{2}} \frac{\partial^{2} \psi }{\partial \varphi^{2}} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E \psi = 0 </math>.

<math> \psi(\vartheta, \varphi) = F(\vartheta)G(\varphi) </math> alakban keresve a megoldást:

<math> F^{\prime \prime}G + \cot(\vartheta) F^{\prime}G + \frac{1}{(sin(\vartheta))^{2}}F G^{\prime \prime} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E F G = 0 </math>.

Átalakítva: <math> \frac{F^{\prime \prime}}{F} (\sin(\vartheta))^{2} + \cos(\vartheta) \sin(\vartheta) \frac{F^{\prime}}{F} + \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E (\sin(\vartheta))^{2} + \frac{G^{\prime \prime}}{G} = 0 </math>.

A <math> \vartheta </math>-tól és a <math> \varphi </math>-től függő részek külön-külön állandók kell, hogy legyenek:

<math> \frac{G^{\prime}}{G} = -m^{2} </math>, azaz <math> G = e^{i m \varphi} </math>.

Az azimutszöget <math> 2 \pi</math>-vel növelve ugyanabba a pontba jutunk vissza, ezért meg kell követelnünk, hogy <math> e^{i m 2 \pi} = 1</math> legyen.

Az F-et meghatározó egyenletnél érdemes a <math> \xi = \cos(\vartheta) </math> változóra áttérni, így az eredeti egyenletet <math> F/(1- \xi^{2}) </math>-tel megszorozva (<math> (1-\xi^{2}) \neq 0 </math>) kapjuk:

<math> (1- \xi^{2}) \frac{\partial^{2} F}{\partial \xi^{2}} - 2 \xi \frac{\partial F}{\partial \xi} + \Bigl( \frac{2 \Theta}{\hbar^{2}} E - \frac{m^{2}}{(1-\xi^{2})} \Bigr) F = 0 </math>.

A <math> \xi = 1</math>-ben a differenciálegyenletnek szingularitása van, hogy a megoldás itt is véges legyen, ezért <math> F(\xi) = (1-\xi^{2})^{\frac{|m|}{2}} v(\xi) </math>. Ezt visszaírva és a kapott egyenlet megoldását a polinom-módszer alapján <math> v(\xi) = \sum_{r=0} c_{r} \xi^{r} </math> alakban keresve kapjuk:

<math> \sum_{r} \left((r+2)(r+1) c_{r+2} - \Bigl[ (r+|m|)(r+|m|+1)- \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}} \Bigr] c_{r} \right) \xi^{r} = 0 </math>.

Ez alapján a <math> c_{r} </math> együtthatókra egy rekurziós képletet kapunk: <math> c_{r+2} = \frac{(r+|m|)(r+|m|+1) - \frac{2 \Theta E}{\hbar^{2}}}{(r+2)(r+1)} c_{r} </math>.

Ahhoz, hogy a sajátfüggvény reguláris legyen egy bizonyos fokszámú együtthatótól kezdve az összes értéke azonosan 0 kell hogy legyen. A lehetséges energia-sajátértékek így: <math> E_{l} = \frac{\hbar^{2}}{2 \Theta} l (l+1) </math>, ahol <math> k + |m| \ge 0</math>-t jelöltük l-el (l = 0, 1, 2, ...).

A differenciálegyenletet kielégítő polinom neve módosított Legendre-polinom, amit <math> P_{l}^{m} </math> szimbólummal jelölünk. A forgó mozgást végző tömegpont sajátfüggvényei tehát a gömbfüggvények:

<math> \psi_{lm} = Y_{lm}(\vartheta, \varphi) = \sqrt{\frac{2l+1}{4 \pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos(\vartheta))e^{i m \varphi}</math>.

A teljes energia: <math>E_l = \frac{\hbar ^2}{2\mu r^2}l(l+1).</math> Az impulzusmomentum négyzete: <math>L^2 = \hbar ^2 l(l+1),</math> a <math>z</math> irányú vetülete pedig <math>L_z = \hbar m.</math>

===A Schrödinger-egyenlet megoldása Coulomb-potenciálban, H-atom===

A szögfüggő tagok leválasztása után:

:<math> \left( - \frac{\hbar ^2}{2M} \frac{1}{r} \frac{d^2}{dr^2} r + \frac{\hbar ^2 l(l+1)}{2Mr^2}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \right) R_l(r) = E \cdot R_l(r)</math>

Bevezetve <math>u=rR</math>-t:

:<math>- \frac{\hbar ^2}{2M} u\prime \prime(r) + \left( \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2Mr^2} - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - E \right) u(r) = 0 </math>

Ezek után dimenziótlanítunk. Legyen <math>\rho=r/r_B</math> és <math>\epsilon=E/Ry</math>, ahol a Bohr-sugár <math>r_B=\frac{4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 }{M_e e^2}</math> és a Rydberg-állandó <math>Ry=\frac{e^4 M_e}{(4 \pi \epsilon_0)^2 2 \hbar^2}</math>. Ekkor:

:<math>-\frac{d^2 u}{d \rho^2} + \left( \frac{l(l+1)}{\rho^2} - \frac{2}{\rho} - \epsilon \right) u = 0</math>

A szükséges határfeltételek:
* <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben u=0.

* <math>\rho \rightarrow 0</math>-ban?

Ha <math>\rho \rightarrow a \neq 0</math> akkor <math>R \propto \rho^-1</math>, erre hattatva a Laplace operátort az origóban Dirac-deltát kapunk, vagyis nem elégítjük ki a Schrödinger-egyenletet. Ezért itt is u=0 lesz a határfeltétel.

Az egyenlet megoldási módszere Sommerfeld féle polinom módszer:
* Megoldjuk az egyenletet aszimptotikusan.
Az aszimptotikus megoldás <math>\rho \rightarrow \infty</math>-ben <math>e^{\pm \alpha \rho}</math> ahol <math>\alpha = \sqrt{|\epsilon|}</math>. A norma miatt csak a negatív előjel jó.

* A megoldást <math>f(r) \cdot \psi_a(r)</math> alakban keressük, ahol <math> f(r)=\sum a_n r^n</math> hatványsor. Az f(r) eredeti egyenletbe való visszahelyettesítése után kapunk egy rekurziót az <math>a_n</math>-ekre.
* A rekurzió megoldása elrontja az aszimptotikát, az egyetlen megoldás, ha a hatványsorunk véges, vagyis valamilyen n-re <math>a_n=0</math>. Ebből a feltételből közvetlenül kapjuk az energiaszinteket. Az együtthatók kiszámolásával pedig a sajátfüggvényeket.

Az energiaszintek:

:<math>\epsilon = - \frac{1}{n^2}</math>

Minden energiaszint <math>\sum\limits_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2</math>-szeresen degenerált.

===Klasszikus határesetek===

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:39:56Z

Birol: /* Szupravezetés */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorfejtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő mágnesezettség külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó transzformátorokat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt eldisszipált hőenergiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust Weiss egy belsőtérelmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie--Weiss-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie--Weiss-törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro- és paramágneses anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ugyanolyan a spinbeállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban, méghozzá az atomtörzsek d-elektronjain, amelyeknek eltolódik az állapotsűrűsége a külső térrel való kölcsönhatás miatt: a Fermi-energia fölé kerülnek, tehát kevesebb a szabad szint, ahol a vezetési elektronok elmehetnének. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a merevlemezek kiolvasófeje, amit spinszelepnek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik. Alapvetően két fajtájuk van: első- és másodfajú szupravezetők. Az elsőfajú szupravezetőkben lejátszódó jelenséget ellentétes spinű elektron-elektron párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyeket a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyen párok jönnek létre egy Bose--Einstein-kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonnak tekinhetőek. Láthatóan a fononok főszerepet játszanak a jelenségben, amelyek viszont szobahőmérsékleten akadályozzák az elektronok mozgását. Ezért van, hogy a rosszabb vezetők válnak szupravezetővé, a jók viszont, az ezüst, réz, arany pedig nem.

Nagyon fontos tulajdonságuk a Meissner-effektus, vagyis hogy a mágneses tér kiszorul az anyagból. Ha külső tér jelenlétében folyik le a fázisátalakulás, akkor, ha veszünk egy gyűrű alakú mintát, a gyűrű belsejében mérhetünk mágneses teret, ha viszont később kapcsoljuk be azt, nem tud behatolni oda. Ezeknél ugrásszerű a normális és a szupravezető anyag közötti fázisátalakulás.

A másodfajú szupravezetők elmélete koránt sem ilyen kidolgozott, nem tudják pontosan, mi történik. Annyit tudunk, hogy bizonyos atomrétegekben folyik a szuperáram, tehát csak egy síkban jelentkezik az egykristályban a szupravezetés. Soknál a folyékony nitrogén forráspontja fölött bekövetkezik a fázisátmenet, ezek a magas hőmérsékletű szupravezetők. Ezeknél már bonyolultabb a fázisátmenet, mert létezik egy olyan fázis, ahol a mágneses tér örvényfonalakban mégis behatol az anyagba, de egy örvényfonal csak meghatározott értékű fluxust tud befogadni, ez a fluxuskvantálás.

A kritikus hőmérséklet függ az atomok tömegétől (izotópeffektus, <math>T_{\text{C}} \sim \frac{1}{\sqrt{M}}</math>), másodfajúaknál pedig a külső mágneses tértől is, egy kritikus térerősség fölött nem is következik be a fázisátalakulás. Ezen jó tulajdonságaik miatt a másodfajú szupravezetőket használják szupravezető mágnesekben, így például a CERN LHC gyorsítójában is.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:26:18Z

Birol: /* Mágneses ellenállás */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorfejtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő mágnesezettség külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó transzformátorokat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt eldisszipált hőenergiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust Weiss egy belsőtérelmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie--Weiss-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie--Weiss-törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro- és paramágneses anyagok tulajdonságai között.

===Óriás mágneses ellenállás===
Ferromágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől. Néhány nanométeres rétegekből állnak az ilyen anyagok, a ferromágneses rétegek antiferromágnesesen csatolódnak egymáshoz. Az áram a rétegekre merőlegesen folyik, a vezetési elektronok jobban szóródnak azon a rétegen, amelyiknek ugyanolyan a spinbeállása, mint nekik. A külső teret bekapcsolva minden réteg ugyanolyan irányú mágnesezettséget vesz föl, ekkor akár a felére is csökkenhet az ellenállás. Ilyenkor ugyanis csak az egyik spinbeállású elektronok szóródnak jobban, méghozzá az atomtörzsek d-elektronjain, amelyeknek eltolódik az állapotsűrűsége a külső térrel való kölcsönhatás miatt: a Fermi-energia fölé kerülnek, tehát kevesebb a szabad szint, ahol a vezetési elektronok elmehetnének. A külső térrel és nélküle mérhető ellenállás aránya a spinbeállástól függő kétfajta ellenállás mértani és számtani közepének a hányadosával egyenlő (ha csak két ferromágneses réteget vizsgálunk).

Ezen az elven működik a merevlemezek kiolvasófeje, amit spinszelepnek hívnak.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:19:33Z

Birol: /* Spinüveg */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorfejtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő mágnesezettség külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó transzformátorokat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt eldisszipált hőenergiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust Weiss egy belsőtérelmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie--Weiss-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie--Weiss-törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
A spinüvegek olyan ötvözetek, amelyek kis koncentrációban (0,1-10 %) tartalmaznak mágnesezhető atomokat nem mágnesezhető atomok között véletlenszerűen eloszlatva. Ennek következtében frusztrált állapotok alakulhatnak ki három mágnesezhető atom között: egyszerre csak két párnak kedvező energetikailag a csatolása, a harmadiknak nem, így számos metastabil állapot figyelhető meg. A véletlen eloszlás miatt bonyolult az ilyen anyagok viselkedése: felmágnesezve őket a Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret, gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak a kritikus hőmérséklet alatt, amely azonban idővel lassan, de tovább csökken. Ha viszont külső tér nélkül hűtjük őket a kritikus hőmérséklet alá és utána kapcsoljuk be a teret, hirtelen elérnek egy mágnesezettséget, ami utána lassan növekszik tovább. Ha összeadjuk a fenti két esetben kapható mágnesezettség-idő függvényt, jó közelítéssel állandót kapunk, amelynek értéke éppen a külső térrel való hűtéskor mérhető mágnesezettség. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro- és paramágneses anyagok tulajdonságai között.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:14:28Z

Birol: /* Curie-Weiss-törvény */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorfejtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő mágnesezettség külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó transzformátorokat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt eldisszipált hőenergiát (ez a vasveszteség).

==Curie--Weiss-törvény==
A fenti memóriaeffektust Weiss egy belsőtérelmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie--Weiss-törvény. A doméneknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás", afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie--Weiss-törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklettartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_{\text{C}}} H.</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns. Jó tudni, hogy ez az egydimenziós Ising-modellből is levezethető.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:12:44Z

Birol: /* Pauli-szuszceptibilitás */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorfejtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő mágnesezettség külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó transzformátorokat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt eldisszipált hőenergiát (ez a vasveszteség).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:10:17Z

Birol: /* Hiszterézis */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor át akarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és nagyságú külső tér alkalmazása után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megszűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő). Keménymágneses anyagoknak széles a hiszterézisgörbéje, tehát nagy tér tudja csak átbillenteni a mágnesezettséget, ilyenekből lehet jó állandómágneseket csinálni. A lágymágneses anyagoknak ezzel szemben nagyon keskeny a hiszterézishurka, hogy könnyű legyen őket átmágnesezni és eltűnjék az eredő mágnesezettség külső tér hiányában. Ilyenekből készíthetünk jó transzformátorokat. A hiszterézisgörbe által körbezárt terület adja meg ugyanis az egy periódus alatt eldisszipált hőenergiát (ez a vasveszteség).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:05:44Z

Birol: /* Domének */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van. Ezen felül a fölmágnesezés miatt, részben a domének forgásának következtében megváltoznak a kristály méretei, ez a magnetostrikció.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T11:00:44Z

Birol: /* Ising-modell */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Erről bővebben az [http://vattay.web.elte.hu/ itt] található Kondor Imre-féle statfiz jegyzetben olvashatunk.

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T10:59:28Z

Birol: /* Landau diamágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau-diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - exB)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keressük. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy <math>y</math>-tól és <math>z</math>-től, valamint egy <math>x</math>-től függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egyenlet megoldását, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát <math>y</math> és <math>z</math> szerint azonban még ki kell számolni, ezt az állapotsűrűség fölhasználásával tesszük. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}} (g \mu_{\text{B}})^2 \mu_0,</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T10:56:04Z

Birol: /* Pauli-szuszceptibilitás */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok paramágnességéről van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - eBx)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keresüsk. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy y, z és egy x függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egynletbeli megoldást, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát y és z szerint azonbna még ki kell számolni, ezt azonban a betöltöttségi-sűrűségből is ki tudjuk számolni. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\epsilon_F} g^2 \mu_B^2 \mu_0</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T10:55:11Z

Birol: /* Pauli-szuszceptibilitás */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok diamágneses szuszceptibilitásáról van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_{\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - eBx)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keresüsk. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy y, z és egy x függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egynletbeli megoldást, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát y és z szerint azonbna még ki kell számolni, ezt azonban a betöltöttségi-sűrűségből is ki tudjuk számolni. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\epsilon_F} g^2 \mu_B^2 \mu_0</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-15T10:54:46Z

Birol: /* Pauli szuszceptibilitás */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli-szuszceptibilitás===
A Pauli-szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin-szuszceptibilitáshoz, tehát gyakorlatilag a szabad elektronok diamágneses szuszceptibilitásáról van szó. A hőmérséklettől független, szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. Az állapotsűrűségre a Bethe--Sommerfeld-sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_{\text{B}}) ( N_{\upharpoonright} - N_{\downharpoonleft} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele van olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g {\text{B}})^2 \frac{3}{2} \mu_0 \frac{N}{V} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{\text{F}}}},</math>

ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - eBx)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keresüsk. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy y, z és egy x függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egynletbeli megoldást, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát y és z szerint azonbna még ki kell számolni, ezt azonban a betöltöttségi-sűrűségből is ki tudjuk számolni. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\epsilon_F} g^2 \mu_B^2 \mu_0</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-14T23:17:25Z

Birol: /* Atomi diamágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}\langle r^2\rangle</math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}\langle r^2\rangle H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli szuszceptibilitás===
A Pauli szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin szuszceptibilitáshoz. A hőmérséklettől független, Szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszeintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. A betöltöttségi sűrűságre a Bethe-Sommerfeld sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_B) ( N_{fel} - N_{le} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele vna olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_B)^2 \frac{3}{2} N \frac{\mu_0}{V} \frac{1}{\epsilon_F}</math>

Ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - eBx)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keresüsk. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy y, z és egy x függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egynletbeli megoldást, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát y és z szerint azonbna még ki kell számolni, ezt azonban a betöltöttségi-sűrűségből is ki tudjuk számolni. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\epsilon_F} g^2 \mu_B^2 \mu_0</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-14T23:16:49Z

Birol: /* Atomi diamágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron <math>r</math> sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhagyjuk. Itt felhasználjuk Larmor tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eB}{2m}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a felület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk fel, hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá, az elektron azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnégyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum <math>z</math> komponense <math>Z</math> rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}<r^2></math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 \mu_0}{6m}<r^2> H</math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást. (SI-ben vannak a képletek.)

===Pauli szuszceptibilitás===
A Pauli szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin szuszceptibilitáshoz. A hőmérséklettől független, Szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszeintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. A betöltöttségi sűrűságre a Bethe-Sommerfeld sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_B) ( N_{fel} - N_{le} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele vna olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_B)^2 \frac{3}{2} N \frac{\mu_0}{V} \frac{1}{\epsilon_F}</math>

Ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - eBx)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keresüsk. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy y, z és egy x függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egynletbeli megoldást, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát y és z szerint azonbna még ki kell számolni, ezt azonban a betöltöttségi-sűrűségből is ki tudjuk számolni. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\epsilon_F} g^2 \mu_B^2 \mu_0</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}

Kölcsönható rendszerek, mágneses anyagok

2011-06-14T23:13:20Z

Birol: /* Atomi paramágnesség */

==Ritka gázok állapotegyenlete==
Tekintsük a következő Hamilton-operátorral jellemezhető rendszert:

:<math>H = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{p_i^2}{2m} + \epsilon_i \right] + U(r_1, ..., r_N)</math>

Az első tag a részecskék mozgásienergiája és belső gerjesztettsége, második a kölcsönhatást jellemző potenciál. Analitikusan a következők számolhatók ki ebből:
*ritka gázok: gyenge a kölcsönhatás, és kicsi a járuléka,
*szilárd és amorf anyagok: erős a kölcsönhatás, de kicsi a hőmérséklet, ezért a részecskék a potenciál minimuma körül rezegnek.

Minket most a ritka gázok állapotegyenlete érdekel. Írjuk fel az állapotösszeget:

:<math>Z = \frac{1}{N!} \zeta ^{N} \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

ahol az impulzust kiintegráltuk:
:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p e^{-\beta \frac{p^2}{2m}} e^{-\beta f(T)}=\frac{(2\pi m k T)^{3/2}}{h^3}e^{-\beta f(T)}</math>

Azonban a potenciált nem tudjuk kiintegrálni ilyen általánosan, arról valamilyen modellt kell alkotni.
Feltesszük a következőket:
*A kölcsönhatás párkölcsönhatás, mégpedig úgy, hogy csak a két kölcsönható részecske távolságának abszolut értékétől függ.
*Valamilyen modell függényt tételezünk fel a párkölcsönhatásra. Ez lehet például Lenard-Jones, vagy a merev gömb: egy bizonyos <math>r_0</math> közelségen belül végtelenül nagy a potenciál, azaz ennél közelebb nem kerülhetnek egymáshoz a részecskék. A mostani levezetés általános, az utolsó I integrál tartalmazza ezt expliciten.

Amit tehát ki szeretnénk számolni:

:<math>z_n = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N e^{-\beta U(...)}</math>

Tekintsük egy pillanatra az átlagos potenciális energiát itt, és a kanonikus tárgyalásban a belső energiát:

:<math>\overline{U} = \int ... \int d^3r_1 ... d^3r_N U(...) \frac{e^{-\beta U(...)}}{z_n}</math>
:<math>\overline{E} = \sum_m E_m \frac{e^{-\beta E_m}}{z}</math>

Az első egyenletben szándékosan vittük be az állapotösszeget, ugyanis az így kapott tört a koordinátakonfiguráció valószínűségét jelenti, analógiában a kanonikus modellbeli mikroállapot valószínűséggel. A kanonikus tárgyalásban azonban U-t feltudtuk írni z deriváltjaként, és az analógiát felhasználva itt is megtesszük <math>z_n</math>-re:

:<math>\overline{E} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z</math>
:<math>\overline{U} = -\partial_{\beta} \operatorname{ln} z_n</math>

Ez utóbbit felintegrálva kapjuk:

:<math>\operatorname{ln} z_n = -\int_0^{\beta} d\beta^{\prime} \overline{U}(\beta^{\prime}) + c</math>

''c''-ről belátható a határokon felvett értékek alapján, hogy <math>N \operatorname{ln} V</math>.

Írjuk fel az átlagos potenciális energiát, mint párkölcsönhatások összegét is:
:<math>\overline{U} = \sum_{i < j} \overline{u}(|r_i - r_j|)= \frac{N(N-1)}{2}\overline{u} \approx \frac{N^2}{2}\overline{u}</math>

Ezt szeretnénk egyenlővé tenni az előbb megfogalmazott valószínűségi integrállal, azonban annyit már elértünk, hogy a részecskék már csak a valószínűségben vannak csatolva. A továbbiakban felírjuk a nevezőt is integrál alakban, áttérünk a helykoordináták különbségére (r), mint változóra, ekkor az integrálok fele elvégezhető, ami térfogatot ad és kiesik. A maradékot felírjuk, mint <math>\beta</math> szerinti deriváltat. Ez már igen egyszerű alakú:

:<math>\overline{U} =-\partial_{\beta} \operatorname{ln} \int d^3r e^{-\beta U(r)}</math>

Ehhez kihasználtuk azt a feltevést, hogy csak kettős ütközések vannak, a többrészecskék ütközéseket elhanyagoltuk. A továbbiakban feltesszük, hogy az <math>r_0</math>, mint a részecskék méretét jellemző paraméter sokkal kisebb mint a térfogatot jellemző méretek. Az integrált exponenciális függgvény szinte mindenütt 1 (mert az argumentuma 0), kivéve <math>r_0</math> közelében, ezért becsempészünk nullát, mint +1 -1. Az így kapott exponenciális integrál (I) csak <math>r_0</math> közelében jelentős, ezért kicsit átírva sorbafejthető. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\overline{U} = -\frac{1}{V}\partial_{\beta}I</math>

Ezt behelyettesíthetjük a párkölcsönhatások felösszegzésébe, ezután pedig az egész átlagos potenciális energiát beírjuk a kanonikus analógiából kapott <math>\operatorname{ln}z_n</math> képletbe, és elvégezzük az integrált:

:<math>\operatorname{ln}z_n = N\operatorname{ln} V + \frac{N^2}{2V}I</math>

Itt már látszik, hogy az első tag a klasszikus ideális gázhoz tartozik, a másodikaz új, korrekciós tag. Az állapotegyenletet a <math>p=kT\partial_V \operatorname{ln} z_n</math> összefüggésből számolhatjuk:

:<math>\frac{p}{kT} = \frac{N}{V}\left[ 1 - \frac{N}{2V}I\right]</math>

Az eljárás tovább folyatatható, egyre több korrekció adható az ideális gáz egyenletéhez, további integrálos együtthatók jelennek meg, amelyek N/V egyre magasabb hatványaival skáláznak.

==Viriál sorfejtés==
A fentebb levezetett nyomásképlet általános alakban az úgynevezett viriál sorfejtés, amelyet a nyomásra vezethetünk le:

:<math>\frac{p}{k_BT} = \frac{N}{V} + B_2(T) \left(\frac{N}{V}\right)^2 +B_3(T) \left(\frac{N}{V}\right)^3+ \cdots</math>

A fenti esetben csak a kétrészecske kölcsönhatásokat vettük figyelembe, a további kölcsönhatások figyelembevétele és a megfelelő viriál-együtthatók integráljainak felírása kombinatorikai feladattá növi ki magát. Az egyes viriál együtthatók továbbá mindig függnek a hőmérséklettől is. További információ [http://en.wikipedia.org/wiki/Virial_coefficient#Definition%20in%20terms%20of%20graphs itt].

==Van der Waals gázok==
A fenti ritka gázokra adott levezetéshez igen hasonló módon levezethető a Van der Waals féle valós gázok modelljének állapotegyenlete. Induljunk ki ideális gázból, amelyet N darab megkülönböztethetetlen részecske alkot. Ennek a Hamiltonja:

:<math>H = \sum_{i=1}^N \frac{p_i}{2m}</math>

Az ennek megfelelő egyrészecske állapotösszeg:

:<math>\zeta = \frac{1}{h^3} \int d^3p \int d^3r e^{-\beta H} = \frac{V}{\lambda_T^3}</math>

Itt elvégeztünk két integrált, a helyszerinti egyszerűen a térfogatot adta, az impulzus szerintit pedig Guass-intergál segítségével tudtuk elvégezni. Bevezettük továbbá a termikus hullámhossz jelölését is, ami megközelítőleg a részecskék átlagos de Brogile hullámhossza adott hőmérsékleten, ideális gázban:

:<math>\lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}} </math>

A korábbiakból a teljes állapotösszeg:

:<math>z = \frac{\zeta^N}{N!}</math>

Most továbblépünk az ideálisgázokról, és feltételezzük, hogy a részecskék között a következő párpotenciál van:

:<math>u(r) = \infty \;\;\; r < d</math>
:<math>u(r) = -\epsilon \left(\frac{d}{r}\right)^6 \;\; r \ge d</math>

''r'' két részecske távolságát jelöli, ''d'' azt a távolságot ahol két részecske éppen érinti egymást. A potenciál definíciója miatt ennél közelebb nem lehetnek egymáshoz. Ezt egyben azt is jelenti, hogy a teljes térfogat nem megengedett a részecskék számára, abból le kell vonni a potenciál által tiltott részt:

:<math>V = V_0 - N\cdot \frac{2}{3}d^3 \pi </math>

Azért kellett egy további kettes faktorral leosztani, mert különben a kizárt térfogatot duplán számoltuk volna. Továbbá bevezetjük a részecskék közötti átlagospotenciált, amit a fentiek felhasználásával egy homogén részecskesűrűségre:

:<math>\phi = \frac{N}{V}\int_d^{\infty} u(r) 4 \pi r^2 dr </math>

Ami a szokásos dr vastagságú gömbfelület darabok felösszegzése. Elvégezve az integrált bevezethetünk két konstanst, az egyiket azonosíthatjuk is a fentebbi fajlagos kirekesztett térfogattal (b):

:<math>\phi = -2 a \frac{N}{V} \quad \quad a = \epsilon \frac{2}{3}d^3\pi =\epsilon b</math>

A potenciálhoz szintén egy energia tartozik, amelyben az eloszlás Boltzmann-eloszlás, azért ezt is bevezetjük, azonban a túlszámlálás elkerülésére itt is bevezetünk egy 1/2-es faktort. A módosított térfogatot és a potenciált beírva az állapotösszegbe:

:<math>z = \frac{1}{N!} \frac{(V - Nb)^N}{\lambda_T^{3N}} e^{-\frac{\phi}{2}\beta}</math>

Ezekután érdemes az állapotösszeg logaritmusát venni, amelyből a nyomás meghatározható, a ritkagázokhoz hasonlóan:

:<math>p = kT\frac{\partial \operatorname{ln}z}{\partial V}</math>

Algebrai átalakítások után megkapjuk a Van der Waals gázok állapotegyenletét:

:<math>\left( p + \frac{N^2 a }{V^2} \right) \left( V - Nb\right) = NkT</math>

==Ising-modell==

Az Ising-modell figyelembe veszi a szomszédos spinek közötti kölcsönhatást, egy (ferromágneses) rendszer energiája így:

<math>E = -H \sum_i s_i - J \sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j\,</math>

A második összegzés csak azokra az <math>i,j</math> párokra értendő, amik elsőszomszédok. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak két állapot lehetséges, tehát az atomok spinje: <math>s_i = \pm 1</math>. Az első tag a <math>H</math> nagyságú külső mágneses térrel vett kölcsönhatás, a második tag a szomszédos spinek közötti kölcsönhatás járuléka. Ferromágnesnél az a kedvező energiájú helyzet, ha a szomszédos spinek ugyanabba az irányba mutatnak, így a <math>J</math> együttható pozitív.

Természetesen a valóságban a távolabbi spinek között is lehet kölcsönhatás, az Ising-modellnek azonban jelentős előnye, hogy 1 és 2 dimenzióban egzaktul megoldható.

===Az Ising-modell megoldása 1 dimenzióban(*)===

Az egyszerűség kedvéért periódikus határfeltételekkel számolunk ( vagyis <math>s_{N+1}=s_1</math>, de ez nem változtatja meg jelentősen a végeredményt), így a modellt úgy lehet elképzelni, hogy a <math>N</math> spin egy gyűrű mentén helyezkedik el. A rendszer energiája:

<math>E = -J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} - H \sum_{i=1}^N s_i\,</math>

A termodinamikai mennyiségek meghatározásához írjuk fel az állapotösszeget:

<math>Z = \sum_{\lbrace s_i \rbrace } \exp \left ( \beta J \sum_{i=1}^N s_i s_{i+1} + \beta H \sum_{i=1}^N s_i \right )</math>

Az összegzés az összes elképzelhető <math>s_i</math> sorozatra értendő. Az exponenciálist szorzattá lehet bontani, és a szorzást a sorozatokra vett összegzéssel fel lehet cserélni:

<math>Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta J s_i s_{i+1} + \beta H ( s_i + s_{i+1})/2}</math>

Vezessük be két spin között a következő transzfermátrixot:

<math>T_{s_i s_j} = e^{\beta J s_i s_j + \beta H (s_i + s_j)/2}</math>

Mivel <math>s_i</math> és <math>s_j</math> értéke is <math>\pm 1</math> lehet, <math>T</math> egy <math>2 \times 2</math> mátrix lesz:

<math> T = \left ( \begin{array}{cc} e^{\beta J + \beta H} & e^{-\beta J} \\ e^{-\beta J} & e^{\beta J - \beta H} \end{array} \right )</math>

Ekkor az állapotösszeg felírható a transzfermátrixszal:

<math> Z = \prod_{i=1}^N \sum_{s_i = \pm 1} T_{s_i s_{i+1}} = \operatorname{Sp} \left ( T^N \right ) = \lambda_1^N + \lambda_2^N \overset{\text{term. hat.}}{\approx} \lambda_1^N</math>

Az állapotösszeg a mátrix <math>N</math>-edik hatványának a spurja, ami kifejezhető a <math>\lambda_1</math> és <math>\lambda_2</math> sajátértékek hatványával. Mivel <math>N</math> nagyon nagy, ezért a kisebb sajátérték hatványa elhanyagolható a nagyobbhoz képest a termodinamikai határesetben. A transzfermátrix sajátértékei:

<math>\lambda_{1,2} = e^{\beta J}\operatorname{ch}(\beta H) \pm \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} }</math>

Ha nincs külső tér <math>(H = 0)</math>, az állapotösszeg: <math>Z = 2^N \operatorname{ch}^N (\beta J)</math>. A mágnesezettség külső tér esetén:

<math> M = \frac{\partial \ln Z}{\partial (\beta H)} =N \frac{ e^{\beta J} \operatorname{sh}(\beta H) }{ \sqrt{ e^{2 \beta J} \operatorname{sh}^2 (\beta H) + e^{-2 \beta J} } }.</math>

Ha <math>\beta J \rightarrow 0</math>, tehát függetlenek a spinek, akkor <math>M \rightarrow N \operatorname{th}(\beta H).</math> A szuszceptibilitás:

<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}.</math>

A korrelációs függvény:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = e^{-\frac{r}{\xi}},</math>
ahol
<math> \xi = \left|\frac{1}{\ln \operatorname{th} (\beta J)}\right|</math> a korrelációs hossz. Ez tekinthető az átlagos doménméretnek.

===Antiferromágneses Ising 1 dimenzióban(*)===

A Hamilton-függvény abban különbözik a ferromágneses esettől, hogy pozitív a <math>J</math> együttható, azaz fordítva szeretnek állni a szomszédos spinek:

<math>H = |J| \sum_{k=1}^N s_k s_{k+1} - H \sum_{l=1}^N s_l\,</math>.

Ugyanazt kapjuk, mint az előző esetben, csak <math>J</math> helyére mindenhol <math>-J</math>-t kell írni a képletekben. A korrelációs függvény változik jelentősen, mert oszcillálni fog az értéke:

<math>c_k (r) = \langle s_k s_{k+r} \rangle = (-1)^r e^{-\frac{r}{\xi}}.</math>

Érdekes módon itt már egydimenzióban megjelenik a fázisátmenet. Alapállapotban az összes spin váltakozó irányban áll, így a külső tér energiajáruléka eltűnik, hiszen <math>\sum_k s_k = 0,</math> valamint <math>E_0 = -N|J|</math>. Azonban, ferromágneses beállás mellett létezik egy olyan külső tér, ahol az energia éppen akkora, mint az antiferromágneses alapállapotban:

<math>E_0 = |J|N - H_{\text{C}}N \overset{!}{=} -|J|N \quad \Rightarrow \quad H_{\text{C}} = 2|J|.</math>

Ezen külső térnél teljesen mindegy, hogyan állnak a spinek, mindig ugyanennyi lesz az energiájuk, tehát az entrópia a végtelenhez tart termodinamikai határesetben, nulla kelvinen.

===Az Ising-modell átlagtérelmélete 2 dimenzióban(**)===

Az Ising-modell 2 dimenzióban is megoldható egzaktul, de ez nagyon bonyolult, ezért itt egy átlagtérelméleti közelítést mutatunk be. Az energia kifejezésében a spinváltozókhoz adjuk hozzá és vonjuk is le a várható értéküket, jelölje ezt <math>m \equiv \langle s_i \rangle</math>:

<math>s_i s_j = \left ( m + \left ( s_i - m \right ) \right ) \left ( m + \left ( s_j - m \right ) \right ) = m \left ( s_i + s_j \right ) - m^2 + \left ( s_i -m \right ) \left ( s_j -m \right ).</math>

Az utolsó tag az átlagtól való eltérések szorzata, amit a továbbiakban elhanyagolunk (másodrendűen kicsiny), így nem lesz két spin szorzatát tartalmazó tagunk, a rendszer úgy kezelhető, mint egy szabad spinrendszer, amire az átlagos térnek megfelelő külső tér hat. Az energia így felírva:

<math>E = \frac{1}{2} J q m^2 N - \underbrace{\left ( H + J q m \right )}_{\text{effektiv ter}} \sum_i s_i.</math>

Itt <math>q</math> az elsőszomszédok száma, amit koordinációs számnak hívnak. Az állapotösszeg:

<math>Z = e^{-\beta J q m^2 N / 2} \sum_{\lbrace s_i \rbrace} e^{ \beta ( q J m + H ) \sum_i s_i } = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \prod_i \sum_{s_i = \pm 1} e^{\beta ( q J m + H ) s_i} = </math>

<math> = e^{-\frac{\beta J q m^2 N}{2}} \left ( 2 \operatorname{ch} \left ( \beta \left ( q J m + H \right ) \right ) \right )^N.</math>

Ebből kiszámítható a mágnesezettség várható értéke:

<math>m = \langle s_i \rangle = \operatorname{th} \left [ \beta \left ( q J m + H \right ) \right ].</math>

A számolás alatt végig felhasználtunk egy <math>m</math> paramétert, mint átlagos mágnesezettséget, de ennek az értéke nem tetszőleges, hanem olyan, hogy a fenti egyenletet kielégíti. Az egyenletet érdemes grafikusan megoldani. Mindkét oldalt <math>m</math> függvényében ábrázolva, a baloldal egy <math>45^{\circ}</math> meredekségű egyenes, a jobb oldal egy tangens hiperbolikusz függvény. A két görbe metszéspontjai az egyenlet megoldásai.

[[Fájl:Imh0.png|450px|alt= text|A külső tér nélküli megoldások]]

A tangensfüggvény meredeksége viszont függ a hőmérséklettől is, így egy kritikus hőmérséklet felett csak egy, alatta viszont három megoldás van. A kritikus hőmérséklet alatt az anyag viselkedése ferromágneses, felette paramágneses, a kritikus hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás játszódik le. Ha a külső tér 0, akkor az egyik megoldás mindig az origóban van, a másik két megoldás pedig szimmetrikusan helyezkedik el. Ha a külső tér nem 0, akkor a megoldások eltolódnak, elég nagy tér melett már a ferromágneses fázisban is csak egy megoldás lesz.

[[Fájl:Imh.png|450px|alt= text|A megoldások külső tér esetén|]]

A mágnesezettséget a külső tér függvényében ábrázolva (az alábbi ábra <math>\beta q J = 2</math> paraméter mellett készült) S alakú görbét kapunk, egy kritikus külső tér érték felett már csak egy megoldás létezik, alatta három. A három megoldás közül azonban a középső instabil (a megoldások a szabadenergia szélsőértékeihez tartoznak, a két szélső megoldás minimum, a középső maximum), így a külső teret mondjuk egy magas értékről egyre csökkentve a mágnesezettség a felső görbén marad, majd a visszafordulási pontot elérve leugrik az alsó ágra. A külső teret ismét növelve a mágnesezettség az alsó ág mentén haladva növekszik, majd a felső visszafordulási pontot elérve visszaugrik a felső ágra. A mágneses teret a közbülső részben hagyva előfordulhat, hogy a rendszer a termikus fluktuációk hatására átugrik az egyik helyről a másikra. Azokat a pontokat, ahol a mágnesezettség visszafordul, spinodális pontoknak nevezik. Ez a viselkedés a valódi ferromágneses anyagokban található hiszterézishez hasonló. Egy valódi anyag azonban sok doménből áll, amik kiolthatják egymás hatását, így be lehet menni vele a 0 mágnesezettség környezetébe is. Természetesen ez csak egy közelítő leírás, ami csak a viselkedés jellegét adja vissza, így a ferromágneses anyagok hiszterézise a részletekben eltér ettől.

[[Fájl:Hm.png|450px|A mágnesezettség a külső tér függvényében]]

Két dimenzió fölött következik be fázisátalakulás: egy adott hőmérséklet fölött ferromágnesesből átvált paramágnesessé az anyag. A fázisátalakulás hőmérsékletét az határozza meg, hogy ott a tangens hiperbolikusz függvény meredeksége az origóban (a biztos metszéspontban) éppen 1, így még csak egy metszéspont létezik.
<math>\beta_{\text{C}} = \frac{1}{q J}</math>
<math> T_{\text{C}} = \frac{q J}{k}</math>

A mágnesezettség a külső tér 1/3-ik hatványával arányosan indul: <math>m \sim H^{\frac{1}{3}}</math>, a kritikus pont körül pedig a hőmérséklet gyökével változik: <math>m \sim \sqrt{T-T_{\text{C}}}</math>. Érdekes, hogy két dimenzióban éppen a kritikus pont körül használhatatlan az átlagtérelmélet, mert a fluktuációk makroszkopikussá növekednek, a szuszceptibilitás és az átlagos doménméret a végtelenhez tart.

==Mágneses anyagok típusai==
A mágnesség tárgyalásánál előbukkantak a következő mennyiségek: Mágneses térerősség (H), mágneses indukció vektor (B), mágnesezettség (M). Bevezettük a mágneses szuszceptibilitást, mint anyagi jellemzőt és arányossági tényezőt:

:<math>\mathbf{B} \ = \ \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \ = \ \mu_0(1+\chi_v) \mathbf{H} \ = \ \mu \mathbf{H}</math>

Azaz a mágneses szuszceptibilitás a mágnesezettség és a mágneses térerősség közötti kapcsolat. A szuszceptibilitás lehet pozitív és negatív is, azaz külső mágneses térbe helyezve az anyagot, az vagy erősíti azt, csak csökkenti (a mágnes vonzza, vagy taszítja őket). Utóbbi esetben az anyag diamágneses, az előbbi esetben több mechanizmust különböztetünk meg. A diamágnesség okozói a belső lezárt elektronhéjakon levő elektronok, amelyek a megváltozással szemben hatnak a mágneses momentumuk térrel szembe állításával.

===Ferro-, ferri-, és antiferromágneses anyagok===

Paramágnességről beszélünk, ha a vonzó, térerősítő hatás csak a külső mágneses tér jelenlétekor érezhető (ez a tér rendezi egyirányba a momentumokat, eltávolításával azok újra rendezetlenné válnak, és zérusra átlagolódik a hatásuk). A diamágnességgel együtt gyengének tekinthetőek. A ferro-, ferri- és antiferromágneses anyagokban a mágnesesség forrásául szolgáló atomi momentumok eleve rendezetten állnak, a különbség csak az irányban és a méretben van. Ha az atomi rendben azonos méretű és egyirányba álló momentumok vesznek részt, akkor az anyag ferromágneses, így ez állandómágneses jelleget mutat. Ha egymással ellentétesek, és kioltják egymást, akkor antiferromágneses az anyag, ha pedig ellentétes, de különböző nagyságúak a momentumok, akkor ferrimágneses az anyag.

A szilárdtestfizika több elméletet is kidolgozott ezen jelenségek mikroszkopikus magyarázatára.

===Domének===
A ferromágneses anyagoknál a domének nagy, makroszkopikus méretű azonos beállású területek. Kialakulásuk oka egyszerűen érthető: a momentumoknak kedvező, ha azonos irányba állnak be, azonban amíg a hőmozgás rendezetlenné tudja tenni a rendszert, ez nem érvényesül. Ahogy hűtjük lefelé, egy kritikus pontnál a momentumok beállása erősebb lesz a hőmozgás karakterisztikus energiájánál, és fázisátmenet következik be, a kialakult kis azonos beállású helyek hirtelen makroszkópikus méretűvé tudnak válni, hiszen egymást állítják be a rendezetlen állapotból, ugyanakkor egy másik irányba rendeződött részt nem tudnak megfordítani. Ahol a különböző irányítottságú részek összeérnek, ott lesznek a fázishatárok, vagy doménfalak az anyagban. Külső erős térrel beállítható az egész anyagban az orientáció egyirányúvá, így maximális térerősség nyerhető. Kis térerősségeknél az energetikailag kedvező mágnesezettségű domének "meghíznak" az ellenkező beállásúak rovására, doménfalmozgással történik az átmágneseződés. Nagy terek viszont képesek egész doméneket egyszerre átforgatni. A legtöbb ferromágneses anyagnál számít, hogy melyik kristálytani irányban mágnesezzük föl az anyagot, vannak könnyű és nehéz irányok. A kettő közötti átfordításhoz szükséges a mágneses anizotrópia-energia. Általában egy kristályszemcse több doménre hasad föl, a domének mérete mikrométer alatt van.

===Atomi paramágnesség===
Másnéven lokalizált parmágnesség. Tekintsük az összes impulzusmomentumot (J = L + 2S), ekkor a mágneses momentum a következőképpen írható:

:<math>\boldsymbol{\mu} = - g \mu_{\text{B}} \mathbf{J}</math>

A '''B''' külső térben ez a következő energiát jelenti:

:<math>E=-\boldsymbol{\mu}\mathbf{B}</math>

Ha feltesszük, hogy '''B''' z irányú. akkor a '''BJ''' skaláris szorzatot helyettesíthetjük <math>BJ_z</math> szorzattal. Az energia ismeretében feltudjuk írni az állapotösszeget (<math>\zeta</math>), azonban mivel az atomok függetlenek, elég egy atom járulékát vizsgálni:

:<math>\zeta = \sum_{J_z=-J}^{J} e^{-\beta g \mu_{\text{B}} B J_z}</math>

Itt csak <math>J_z</math>-ben különböznek az állapotok, ezért a kitevő többi részére bevezetjük az <math>x</math> változót, ekkor az összeg egy véges geometriai sorba megy át. A felösszegzés eredménye:

:<math>\zeta=\frac{ \operatorname{sh}\left[ \left( J + \frac{1}{2}\right)x \right]}{\operatorname{sh} \left( \frac{1}{2} x\right)}</math>

Az egyrészecske-állapotösszeg ismeretében felírható a szabadenergia:

:<math>F= -N k T \ln \zeta </math>

amelyben <math>x</math> is paraméterként fog szerepelni és a <math>\frac{\partial F}{\partial B}</math> fogja megadni a mágnesezettséget (pontosabban a mágnesezettség-sűrűséget). Az eredményben a bonyolult kotangens hiperbolikuszok helyett bevezettük a Brillouin-függvényt:

:<math>VM = N g \mu_{\text{B}} J \cdot B_J(J\cdot x)</math>

A Brillouin-függvény alakra hasonló az arkusz tangenshez, de ez a pozitív oldalon 1-hez, negatív oldalon -1-hez tart. Ebből következik, hogy a maradék szorzófaktor a maximális mágnesezettséget adja meg, a függvény alakjából pedig a szaturáció jelensége adódik, ami akkor következik be, amikor az összes mágneses momentumot azonos irányba állítottuk be. Kiszámolhatjuk a függvény <math>x \ll 1</math>, azaz <math>B \rightarrow 0</math> határesetét, amelyet behelyettesítve megkaphatjuk a szuszceptibilitást:

:<math>\chi = \frac{\partial M}{\partial H}= \frac{C}{T}</math>

Ahol a számottevő mennyiségű konstanst a <math>C</math> Curie-állandóba vontuk össze. Ez a hőmérséklettel fordítottan arányos szuszceptibilitás függés a Curie-törvény.

===Atomi diamágnesség===
Az atomi diamágnességet szemléletesen úgy magyarázzuk, hogy a külső mágneses tér hatására a keringő elektron pályája megváltozik, és ezáltal a mágneses momentuma is. Keringjen az elektron r sugarú pályán, melynek az atommagon átmenő, térre merőleges vetületének négyzetes középértéke <math>\rho^{2}</math>. A keringési frekvencia <math>\omega</math>, és legyen a külső mágneses tér '''H''' , ekkor a mag vonzó ereje és a Lorentz-erő tart ellent a centrifugális gyorsulással:

:<math>F + e \rho \omega H \mu_0 = m \rho ( \omega + \Delta \omega )^{2}\,</math>

A négyzetet felbontjuk és a másodrendűen kicsi tagot elhaggyuk. Itt felhasználjuk Larmor-tételét, amely azt állítja, hogy egy mágneses térben levő atom elektronjainak mozgása első rendű közelítésben olyan, mintha a tér nem is lenne jelen, csak a körfrekvenciára egy:

:<math>\omega_L = - \frac{eH}{2mc}</math>

precesszió szuperponálódna, ezt feleltetjük meg a fenti kis körfrekvencia-megváltozásnak. A mágnesesmomentum az áram és a fleület szorzata, az áramot pedig azzal a definícióval írjuk, fel hogy az áramirányra merőleges felületelemen mennyi töltés halad át egy másodperc alatt. Ezek alapján a mágneses momentum komponensei:

:<math>\mu_i = e \frac{\Delta \omega}{2\pi} \rho_i^{2} \pi = \frac{e \Delta \omega \rho_i^{2}}{2}</math>

A mágneses momentumhoz csak a térirányához merőleges távolságok járulnak hozzá az elektorn azonban ''r'' sugarú pályán kering, ez behoz még egy 3/2-es faktort a távolságnéegyzetek között, így a valódi teljes mágneses momentum z komponense Z rendszámú atommagra:

:<math>\mu_z = Z e \frac{\Delta \omega}{3}<r^2></math>

Behelyettesítve a Larmor-frekvenciát:
:<math>\mu_z = - \frac{Z e^2 H}{6mc}<r^2></math>

Amelyből a szuszceptibilitás már leolvasható, a negatív előjel jelenti a diamágneses hatást.

===Pauli szuszceptibilitás===
A Pauli szuszceptibilitás a parmágnesség egy másik modellje. A modell lényege, hogy a Fermi-energia környékén lévő vezetési elektronok járulnak hozzá az elektronspin szuszceptibilitáshoz. A hőmérséklettől független, Szemben a kötési elektronok paramágneses szuszceptibilitásával, amely hőmérsékletfüggő (Curie-törvény), és kb. két nagyságrenddel nagyobb, mint a Pauli-szuszceptibilitás. Ez az energiaszeintek betöltöttségi sűrűségéből számolja ki a felfelé és lefelé álló momentumok mennyiségét. A betöltöttségi sűrűságre a Bethe-Sommerfeld sorefjtést alkalmazza. Ezek ismeretében ugyanis a mágnesezettség felírható:

:<math>M = \frac{1}{V} (g \mu_B) ( N_{fel} - N_{le} )</math>

N-be a mágneses indukció is bele vna olvasztva. Eredményül a szuszceptibilitás:

:<math>\chi = (g \mu_B)^2 \frac{3}{2} N \frac{\mu_0}{V} \frac{1}{\epsilon_F}</math>

Ahol az utolsó tényezőben a Fermi-energia szerepel.

===Landau diamágnesség===
A diamágnesség ezen másik modellje már kvantummechanikai megfontolásokon alapul. Az alapötlet szerint a szabad elektornok a mágneses térben körben mozognak, amei megint mágneses teret kelt, és ez gyengíti le a külső teret. Kiindulásként a szabad elektorn mágneses térbeli Hamilton-operátora szolgál:

:<math>H = \frac{p_x^2 + (p_y - eBx)^2 + p_z^2}{2m}</math>

Azért kell kvantumosan számolni, mert klasszikusan a mágneses tér kitranszformálható, mi pedig éppen az aszerinti függést keresüsk. A rendszert jellemző hullámfüggvényt felbontjuk egy y, z és egy x függő rész szorzatára, és vizsgáljuk a Schrödinger-egynletbeli megoldást, amelyben felismerjük a harmonikus oszcillátor energiáját. Az energiát y és z szerint azonbna még ki kell számolni, ezt azonban a betöltöttségi-sűrűségből is ki tudjuk számolni. A mágnesezettséget az energia tér szerinti deriváltjából határozzuk meg, ebből pedig a szuszceptibilitás kapható meg:

:<math>\chi = -\frac{1}{2} \frac{N}{V} \frac{1}{\epsilon_F} g^2 \mu_B^2 \mu_0</math>

amely éppen a Pauli-szuszceptibilitás -1/3-a.

==Hiszterézis==
[[Kép:hyst.png|right|thumb|400px|Hiszterézis. B_R remanens teret, H_C a koercitív erőt jelenti. Bár az ábrán függőlegesen B van felmérve, teljesen hasonló az M-re kapható is.]]

A hiszterézis a ferromágneses anyagoknak az átmágnesezéssel szemben mutatott ellenállása. Másképpen megfogalmazva, amikor átakarjuk mágnesezni az anyagot, akkor az valamennyire emlékszik korábbi állapotára, ezért adott irányú és mértékű átmágnesezés után kapott remanens (visszamaradó) mágnesség különböző lehet az anyag előzetes mágnesezettségének függvényében. Legszemléletesebben ezt akkor láthatjuk ha teljesen átmágnesezzük az anyagot egyik, majd másik irányba. A bejárt út különbözik a '''H'''-'''M'''-síkon. Itt külön névvel illetjük a külső tér megűnésekor hátahagyott mágnesezettséget (ez a remanens mágnesezettség) és az anyag terét éppen kompenzáló kölső térerősséget (koercitív erő).

==Curie-Weiss-törvény==
A fenti memória effektust Weiss egy belsőtér elmélettel próbálta megmagyarázni. Eszerint a spinek egyirányú beállása okozza a visszamardó mágnesezettségi memóriát, amelyet úgy lehet figyelembe venni, hogy a mágnesezettség a külső téren kívül önmagának is függvénye. Ennek a függésnek a sorfejtéséből levezethető a Curie-Weiss törvény. A domaineknél említettek értelmében kihűlésnél megtörténik a "mágneses kifagyás" afelett azonban a termikus random orientáció dominál. A Curie-Weiss törvény leírja a szuszceptibilitás változását a kifagyási pont felett, a paramágneses hőmérséklet tartományban:

:<math>M = \frac{C}{T-T_C} H</math>

Ez a formula a kifagyás felett érvényes, az átalakulási pontban divergens, ami nyilván nem releváns.

==Speciális anyagok==
===Spinüveg===
Egyes speciális anyagokat felmágnesezve azok Curie-törvényt követik, azonban ha elvesszük a külső mágneses teret egy gyors lebomlás után egy remanens mágnesezettséget mutatnak, amely azonban idővel lassan, de tovább bomlik. Ez a viselkedés egyfajta átmenetként fogható fel a ferro és paramágneses anyagok tulajdonságai között. Magyarázata részben a vegyes ferro és antiferromágneses kötések üvegszerű amorf elhelyezkedésében rejlik.

===Mágneses ellenállás===
Ferrmágneses és nemmágneses rétegek szendvicselésével speciális vezető eszköz készíthető, amelynek ellenállása nagyban függ a külső mágneses tértől: ha kölső mágneses térben van, akkor igen kicsi az ellenállása, ha azonban nicns jelen tér, akkor igen nagy ellenállást mutat. Az effektus mértéke akár több 100% is lehet. A jelenség oka, a különböző spinű elektornokkal szmeben mutatott elelnálás, amely mögött az RKKY magspin és vezetési elektron hiperfinom mágneses csatolása áll.

===Szupravezetés===
Egyes anyagok igen alcsony hőmérsékletre hűtésekor az elektromos ellenállás egzaktul nullává válik bizonyos hőmérésklet alatt. A jelenséget elektron-elektorn párok (ún. Cooper-párok) létrejöttével sikerült értelmezni, amelyek között a rácsrezgések fononjai tartanak össze. Ilyne párokb jönnek létre egy Bose-Einstein kondenzációhoz hasonló jelenség következtében, mivel az így kialakult párok már bozonként tekinhetőek.

{{Záróvizsga}}