TételWiki - Szerkesztő közreműködései [hu]

Navier-Stokes

2011-06-27T13:37:16Z

Kofaragoka:

:<math>\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \mathbf{f} -\nabla p + \mu \Delta \mathbf{v} + (\mu+\nu) \nabla(\nabla\mathbf{v})</math>

Bővebben: [[Folytonos közegek mechanikája#Áramlások]]

Tömeghéj feltétel

2011-06-26T18:43:24Z

Kofaragoka: Új oldal, tartalma: „<math>E^2=p^2c^2+m^2c^4</math>”

Erők gyorsuló koordináta rendszerben

2011-06-26T17:00:15Z

Kofaragoka:

:<math>F - ma_0 -m\left[ \omega \times \left( \omega \times R \right)\right] - 2m\left( \omega \times v^{\prime}\right) - m\left( \frac{d \omega}{dt} \times R\right) = ma^{\prime}</math>

Az első korrekciós tag az egyenes gyorsulásnál is fellépett transzlációs tag, a második a centrifugális erő, a harmadik a Coriolis-erő, a negyedik az Euler-erő.

Erők gyorsuló koordináta rendszerben

2011-06-26T16:57:43Z

Kofaragoka: Új oldal, tartalma: „:<math>F - ma_0 -m\left[ \omega \times \left( \omega \times R \right)\right] - 2m\left( \omega \times v^{\prime}\right) - m\left( \frac{d \omega}{dt} \times R\right) = ma^…”

:<math>F - ma_0 -m\left[ \omega \times \left( \omega \times R \right)\right] - 2m\left( \omega \times v^{\prime}\right) - m\left( \frac{d \omega}{dt} \times R\right) = ma^{\prime}</math>

Nemegyensúlyi folyamatok leírása

2011-06-25T16:47:23Z

Kofaragoka: /* Master egyenlet, részletes egyensúly. */

==Irreverzibilis folyamatok==
Az irreverzibilis folyamatokban fontos szerepet játszanak az intenzív fizikai mennyiségekkel (hőmérséklet, nyomás, elektromos potenciál) kapcsolatos hajtóerők. Ezek megfigyelésével vizsgálhatjuk a nyílt rendszerek időfüggő energetikai folyamatait, illetve választ adhatunk arra is, hogy egy folyamat miért gyors vagy lassú.

Egy tetszőleges termodinamikai rendzser entrópiaváltozása két tagból tevődik össze: egy külső forrásból eredő (<math>\Delta S_k</math>) és egy belső entrópiaváltozással kapcsolatos (<math>\Delta S_b</math>). A belső entrópia változás nem a környezettel való energiacserével kapcsolatos, hanem a rendszerben lejátszódó termodinamikai folyamatok következménye. Irreverzibilis folyamatban a belső entrópia értéke mindig nő (reverzibilisnél állandó).

Nyílt rendszerre általában igaz, hogy a belső entrópia nő, de csökkenhet is. Nagyon fontos az irreverzibilis folyamatokban az idő, jellemzően a mennyiségek időderiváltjai fizikai jelentést hordoznak.

Entrópiaprodukciónak nevezzük a belső entrópia időbeli változásának gyorsaságát, vagyis:

<math>\sigma=\lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\Delta S_b}{\Delta t}=\dfrac{d S_b}{d t}</math>.

Az időegység alatti belsőentrópia-változás mértékegysége <math>J/(K*s)</math>.

Az [[entrópia]] megváltozásának teljes egyenlete:

<math>dS=\frac{\delta Q}{T}+dS_{sp}+\frac{\delta W_{irr}}{T}</math>, ahol

<math>\delta Q</math> a hőváltozás, <math>dS_{sp}</math> a spontán entrópiaváltozás (mindig nagyobb 0-nál), <math>\delta W_{irr}</math> az [[irreverzibilis]] folyamat alatt végett [[munka]], T a [[hőmérséklet]].

:Pl.: Ha veszünk egy [[zárt rendszer]]t (két kamra: egyikben gáz, másikban vákuum) és elvesszük a falat, akkor a [[gáz]] kitölti a másik térrészt is. Ekkor: Q=0, W=0, <math>\Delta S>0</math>!!

:A lényeg, hogy a rendszer önmagával legyen [[egyensúly]]ban. A fenti egy spontán irreverzibilis folyamat (kvázisztatikus rendszer folyamat). Egy ilyen során az entrópia keletkezik. Tehát az entrópia nem marad meg, de csak keletkezni “szeret”.

További példás spontán S termelődésre (ha zárt rsz. nincs egyensúlyban, akkor S nőni fog):

Pl. [[Fenomenologikus termodinamika (2010)#Reális gázok|Gay-Lussac-kísérlet]]: vákuummal szembeni tágulás: <math>\Omega(E,V,N)\rightarrow V</math> nő <math>\Rightarrow\Omega</math> nő <math>\Rightarrow</math> S nő....

Pl2. Eltérő [[hőmérséklet]]ű tartályok: <math>E_{ossz}=E_{1}+E_{2}\Longrightarrow\Omega(E_{1})=\Omega_{1}(E_{1})\Omega_{2}(E_{ossz}-E_{1})</math> ekkor <math>\Omega</math> eléri a max értéket és S spontán nőni fog...

==Master egyenlet, részletes egyensúly.==

''megjegyzés: a jobb olvashatóság érdekében az ábrán szereplő: n'=m''

Van egy rendszerünk, aminek van n [[diszkrét állapot]]a, amik között ugrál.

*<math>p_n(t):</math> - annak a [[valószínűség]]e, hogy a rendszer az n-edik állapotban van.

*Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer '''n-ből m állapotba megy át'''.

Ennek jelölése: <math>w_{m n}</math>. Nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

*Tegyük fel, hogy az átmenetek folyamata [[Markov-folyamat]], tehát létezik olyan <math>\Delta t</math>, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik <math>t + \Delta t</math>-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

<math>p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{m \ne n}w_{m n}\Delta t p_n(t) + \sum_{m \ne n}w_{n m}\Delta t p_{m}(t)\,
</math>

Azt szeretnénk megtudni, mekkora [[valószínűség]]gel lesz a rendszerünk az n. állapotban <math>t+\Delta t</math> időpillanatban. Ez szerepel az egyenlet bal oldalán.

A jobboldalon a következő tagok állank:

* 1. tag: Annak valószínűsége, hogy már t időpillanatban is az n. állapontban volt a rendszer (ezt ismertnek tekintjük)

* 2. tag: Annak valószínűsége, hogy t időpillanatban az n. állapotban volt, és <math>\Delta t</math> idő múlva ellépett onnan (ezért levonjuk)

* 3. tag: Annak valószínűsége, hogy t időpillanatban az másik állapotban volt, de <math>\Delta t</math> idő múlva az n. állapotba került.

::(<math>w_{m n}</math> és <math>w_{n m}</math> egységnyi időre vonatkozik)

Sorba fejtek <math>\Delta t</math> körül, így <math>p_{n}(t+\Delta t)=p_{n}(t)+\frac{\partial p_{n}}{\partial t}\Delta t</math>

Ezt felhasználva <math>p_n(t)</math> kiesik, majd <math>\Delta t</math>-vel egyszerűsíthetünk. Ami marad::

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}p_{m}(t)</math>
|A [[Master-egyenlet]] diszkrét állapottérben
|-
|}

Ennek kell, hogy legyen [[stacionárius]] megoldása, amihez [[relaxál]]: (<math>p_n^{(e)}</math> - egyensúlyi valószínűség)

<math>p_n^{(e)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}</math>, ahol <math>E_n</math> az n-edik állapot [[energia|energiája]].

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz.

Vizsgáljuk ezt egy egyszerű példán keresztül: [[bináris atomok rendszere]].

Két energiaszint lehetséges: <math>\epsilon_{+}</math> (ilyen atomok száma <math>p_{+}(t)</math>), <math>\epsilon_{-}</math> (ilyen atomok száma <math>p_{-}(t)</math>).

Az átmenetek valószínűsége:<math>+ \rightarrow - \quad \mu</math> ; <math>- \rightarrow + \quad \nu</math>.

Írjuk fel egy későbbi időpontban az <math>\epsilon_{+}</math> energiájú atomok számát: <math>p_{+}(t+\Delta t)=p_{+}(t)(1-\mu \Delta t)+p_{-}(t)\nu\Delta t</math>.

A jobb oldal első tagja adja meg, hány részecske nem váltott állapotot, míg a második tag azt, mennyi váltott.

Némi átrendezés után <math>\dfrac{p_{+}(t+\Delta t)-p_{+}(t)}{\Delta t}=\dfrac{d p_{+}(t)}{dt}=-\mu p_{+}(t)+\nu p_{-}(t)(=-\dfrac{p_{-}(t)}{dt})</math>.
Tételezzük továbbá fel, hogy normált az eloszlás: <math>p_{+}(t)+p_{-}(t)=1</math>.
A stacionárius megoldás a normáltsági feltétellel a következőre vezet: <math>p_{+}=\dfrac{\nu}{\mu+\nu} \quad p_{-}=\dfrac{\mu}{\mu+\nu}</math>.

Beírva a Boltzmann-faktort, a stacionárius megoldás:
<math>p_{+}=\dfrac{e^{-\beta \epsilon}}{e^{-\beta \epsilon}+e^{\beta \epsilon}}, \quad p_{-}=\dfrac{e^{\beta \epsilon}}{e^{-\beta \epsilon}+e^{\beta \epsilon}}</math>.

A kettő arányára pedig fennáll a következő: <math>\dfrac{p_{+}}{p_{-}}=e^{-2 \beta \epsilon}=\dfrac{\nu}{\mu}</math>

*Tegyük fel, hogy meg tudom úgy adni az átmeneti [[valószínűség]]eket, hogy a rendszer beugorjon az egyensúlyi állapotba.

*Hogyan kell megválasztani az átmeneti valószínűségeket?

'''Az átmeneti valószínűségek megválasztása'''
* Egyensúlyban [[időtükrözési szimmetria]] van.

[[Kép:egyensuly.png|center|thumb|A rendszer két állapota közötti átmeneti valószínűségek "kimérése"]]

Számolom, hogy (irány szerint megkülönböztetve) hányszor megy egyikből a másik állapotba a rendszer.

* Stacionárius állapotban <math>\Delta t</math> idő alatt az átmenetek száma:
:::::n-ből m-be menve: <math>w_{m n}p_n^{e}</math>
:::::m-ből n-be menve: <math>w_{n m}p_{m}^{e}</math>

*A '''részletes egyensúly''' elve azt mondja ki, hogy a két számnak meg kell egyeznie, azaz:

:{|border="1"
|<math>w_{m n}p_n^{e} = w_{n m}p_{m}^{e}</math>
|Megkötés az átmeneti valószínűségek hányadosára
|-
|}

Ha az állapotok száma véges és a rendszer minden pontjából minden másik pontjába el tudok jutni, akkor egyetlen [[stacionárius]] állapot lesz, az [[egyensúly]]i.

Csak az átmeneti [[valószínűség]]ek hányadosára van megkötés, azaz:
<math>\frac{w_{m n}}{w_{n m}} = \frac{e^{-\beta (E_{m})}}{e^{-\beta (E_{n})}} = \frac{e^{-\beta (E_{m}-E_n)}}{1} = \frac{1}{e^{-\beta (E_n-E_{m})}}</math>

Ha <math>E_{m}-E_n = \Delta E_{n m} > 0</math> (azaz az energia nő), az e-ados tag 1-nél kisebb lesz, tehát vehetem azt az átmeneti valószínűségnek. Ha csökken az [[energia]], akkor az energiacsökkenés felé vivő lépést 1 valószínűséggel lépem meg.

Bizonyítás: <math>\partial_t p_n(t) = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m} w_{n m}p_{m}(t) = 0</math> (egyensúly esetén). Tehát:
<math>0 = -\sum_{m}(w_{m n}p_n^{e}-w_{n m}p_{m}^{e})</math> Páronként kioltják egymást. Ezért hívják részletes egyensúlynak, mivel nem csak az egész összeg nulla, hanem az állapotok között páronként van egyensúly. (Ehhez egy [[gráf|összefüggő gráf]] kell)

==Entrópia és szabadenergia==
Ide még jön egy szemléletesebb magyarázat az entrópiára (pl másik tételben is szerepel.) Cz

Tulajdonképpen valószínűleg ide a Bércesék által írt Mechanika II.-ből a 550-552 oldal környéke a legrelevánsabb. [[Speciális:Szerkesztő közreműködései/94.27.225.23|94.27.225.23]] 2009. június 22., 09:14 (UTC)

===Irreverzibilis folyamatok===
Ha egy rendszert például master egyenelttel írunk le, abból is levezethető az entrópia és a szabadenergia. Az [[entrópia]] triviálisan felírható az állapotok valószínűségeiből:

:<math>S = - \sum_i p_i \operatorname{log}_2(p_i)</math>

Ebből pedig a [[szabadenergia]]:

:<math>F = \sum_i p_i E_i - T \cdot S </math>

Az [[irreverzibilis]] szabadenergia mindig nagyobb, mint a [[reverzibilis]] folyamatokban. Az entrópiára pedig továbbra is a második főtétel alkalmazható.

'''Ismétlésül:'''
A termodinamikai entrópia fogalma:
<math>\delta Q=T\delta S</math>, ahol Q a hő (azaz két különböző hőmérsékletű rendszer közötti spontán
energiacsere), dS pedig az entrópiaváltozás.
Átrendezve: <math>\delta S=\frac{\delta Q}{T}</math>

Állapotjelzők:
extenzív (összeadódik): n, belső energia, V, S
intenzív (kiegyenlítődik): p, T, <math>\mu</math>
A Termodinamika első főtétele: <math>dU=\delta Q-\delta W+\mu dN</math> (egy komponensű elegyre)

A Termodinamika második főtétele: <math>\delta Q=TdS;\qquad\delta W=pdV</math>
Fundamentális egyenlet az előző kettőből: <math>dU=TdS-pdV+\mu dN</math>
''Termodinamikai Potenciálok'': Alapvető skalár potenciálok, természetes változóikban
állandó rendszer esetén minimumra törekszenek, azaz egyensúlyban minimálisak.
U, F, H, G négy termodinamikai potenciál:
* A szabad energia definíciója: F = U - TS
* Az entalpia definíciója: H = U + pV
* A szabad entalpia definíciója: G = U + pV – TS = H - TS

A belső energiára vonatkozó fundamentális egyenletből Legendre transzformációval
további Fundamentális egyenletek kaphatóak. Pl:
<math>dF=-SdT-pdV+\mu dN</math>

A '''Boltzmann-féle entrópia''' definíciója: <math>S=k_{B}ln\Omega(E),\quad</math>
ahol <math>\Omega(E)</math> a mikroállapotok száma.

Kanonikus tárgyalásmódban az állapotösszeg: <math>z=\sum_{m}e^{-\beta E_{m}}</math>
Ezt, az első fundamentális egyenletet és a Boltzmann-entrópi definícióját felhasználva:
<math>F=-k_{B}T\ln z</math>
További sűrűn használatos, származtatható összeföggések:
<math>U=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln z;\qquad c_{V}=\frac{\partial U}{\partial T}</math>

Fundamentális egyenletekből:
<math>\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=\frac{1}{T};\qquad\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N}=\frac{p}{T};\qquad\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{V,U}=-\frac{\mu}{T}</math>
<math>\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{V,N}=-S;\qquad\left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_{T,N}=-p;\qquad\left(\frac{\partial F}{\partial N}\right)_{V,T}=\mu</math>

Ezekből felírható a Helmholtz-egyenlet: <math>F=U+T\frac{\partial F}{\partial T}</math>

==Ingadozási jelenségek==

===Brown-mozgás, Diffúzió, Brown-mozgás potenciálban===

''Alapfeltevések''
# A részecskék egymástól függetlenül mozognak.
# <math>\tau</math> <nowiki><<</nowiki> megfigyelési idő minimuma (ezen túl a mozgás az előzőektől függetlennek tekinthető)
# Az elmozdulásnak van egy valószínűségi eloszlása. A mozgás leírható [[valószínűség]]i alapon.
''Jelölések''
*<big><math>n\Phi(\Delta)d\Delta</math></big>: annak valószínűségét adja meg, hogy n darab részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt.
*<big><math>p(x,t)dx</math></big>: annak valószínűsége, hogy t időpontban alatt x-ben van a részecske.

[[Kép:bolyong.png|center|thumb|A Brown-mozgás szemléltetése egy dimenzióban]]

''' Az [[Einstein]]-féle leírás (1905)'''

:Annak [[valószínűség]]e, hogy a részecske <math>\tau</math> [[idő]] múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:
:<math>p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:Az [[egyenlet]] jobb oldalának első tagja annak [[valószínűség]]e, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy <math>\tau</math> idő múlva éppen arrébbmegy egy bármekkora <math>\Delta</math> ugrással másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valamekkora <math>\Delta</math> távolságról éppen <math>\Delta</math>-t ugorva megérkezik <math>\tau</math> idő múlva.

: Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik [[integrál]]jel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek <math>\Delta</math>-tól, ekkor:

:<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:És mivel <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1</math> (hiszen <math>\Phi(\Delta)d\Delta</math> annak [[valószínűség]]ét adja meg, hogy egy részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy <math>\Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)</math>), ennek következtében a jobb oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

:{|border="1"
|<math>p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>||Chapman-Kolmogorov egyenlet
|-
|}

A fenti egyenletet <math>\tau</math>-ban és <math>\Delta</math>-ban sorbafejtjük, az alábbiak szerint:

<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t} \tau + ...</math>

<math>p(x-\Delta,t) = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \Delta + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \Delta^2</math>

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

<math>p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont <math>\overline{\Delta}</math> értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük <math>\overline{\Delta^2}</math>-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}</math>

Ám <math>\overline{\Delta}</math> értéke nulla, mivel a <math>\Phi(\Delta)</math> függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}</math>

<math>\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}</math>-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a '''diffúziós egyenlet''' általános alakját, mely:

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial (x^2)}</math>||Dinamikai egyenlet a valószínűség időbeni változására (más néven a Fokker-Planck egyenlet).
|-
|}

'''A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése'''

A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha <math>p(x,t = 0) = \delta(x)</math> akkor ebből a megoldás:

<math>p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}</math> (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján <math><x^2></math> értékére az alábbi összefüggés születik, ahol <math>\lambda</math>-t konstansnak várjuk:

<math><x^2> = \lambda Dt = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx</math>=<math>\frac{4Dt}{\sqrt{\pi}}{\int\limits_{-\infty}^\infty y^2 e^{-y^2}dy}</math>

az utolsó egyelőségnél változó helyettesítés történt: <math>y = \frac{x}{\sqrt{4Dt}}</math>

Az integrál értéke [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions#Definite_integrals innen]<math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> így:
<math><x^2> = 2Dt</math> (azaz <math>\lambda = 2</math>)

'''Sodródás, Brown-mozgás potenciálban:'''

A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: <math>\Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)</math>

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0</math>

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

<math>p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

(<math>\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}:</math> mikroszkopikus hossz, <math>\tau:</math> mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. A fenti egyenlet jobb oldalán az első tag önmagában egy driftet ír le:
<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}</math>, ahol <math>v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}</math>

[[Kép:drift.png|center|thumb|Driftelő "csomag"]]

Például: <math>p(x,t) = \tilde{p}(x-vt)</math>. A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: <math>-v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}</math>

Viszont érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha ezt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre és közben szétterjed:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

Bevezetve az y := x-vt -t (vagyis "beleülünk" a driftelő rendszerbe), akkor <math>\tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t)</math>. Ekkor a Fokker-Planck egyenlet a következőképp múdosul:

<math>-v\frac{\partial\tilde{p}}{\partial y}+\frac{\partial\tilde{p}}{\partial t}=-v\frac{\partial\tilde{p}}{\partial y}+D\frac{\partial^{2}\tilde{p}}{\partial y}</math> Vagyis visszakapjuk a drift nélküli összefüggést: <math>\frac{\partial\tilde{p}}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}\tilde{p}}{\partial y}</math>

Tehát: <math>\tilde{p}(y,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{y^{2}}{4Dt}}\quad\longrightarrow\quad p(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{(x-vt)^{2}}{4Dt}}</math>

[[Kép:drift2.png|center|thumb|Driftelő és szétterjedő "csomag"]]

===Langevin-egyenlet===

Brown-mozgásra az általános Langevin-egyenlet: <math>m\ddot{x}=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}</math>, ahol

* <math>\tilde{\eta}</math> - a viszkozitás

* a - a részecske sugara

* X - egy véletlenszerű erő

* <math>\frac{\partial U}{\partial x}</math> - egy külső erő (potenciál)

Ha ''túlcsillapított'' esetet vizsgálunk, akkor <math>0=-6\pi\tilde{\eta}\dot{x}a+X-\frac{\partial U}{\partial x}</math>

Ekkor bevezetve a zajt - <math>\eta=\mu X</math> - fogalmát és a <math>\mu=\frac{1}{6\pi\tilde{\eta}a}</math> jelölést, az egyenlet a következőképp fog kinézni:

<math>\dot{x}=-\mu\frac{\partial U}{\partial x}+\eta</math>

Bevezetve még a <math>v(x)=-\mu\frac{\partial U}{\partial x}</math> jelölést:

<math>\dot{x}=v(x)+\eta\qquad</math> lesz a végleges forma.

Ebből jól látni, hogy túlcsillapított esetben az elmozdulás a <math>v(x)</math> determinisztikus sebesség és az <math>\eta</math> zaj összege.

Ha feltételezzük, hogy a zaj Gauss-eloszlású, és meghatározzuk az adott helyen tartózkodás valószínűségét, akkor megkapjuk a “driftet tartalmazó” Fokker-Planck egyenletet (lsd. feljebb)

<math>\frac{\partial p}{\partial t}=-v\frac{\partial p}{\partial x}+D\frac{\partial^{2}p}{\partial x^{2}}</math>

Bevezetve a valószínűségi áramot: <math>J=vp-D\frac{\partial p}{\partial x}</math>, egyensúlyi esetben (J=0) megkapjuk a Boltzmann-eloszlást:

<math>P_{e}=Ce^{-\beta U}\qquad(\beta=\frac{1}{k_{B}T})</math>

==Vezetési jelenségek==
===Drude modell===
Az elektromos vezetés jelenségét úgy tekintjük, hogy az elektronok az elektromos tér hatására gyorsulnak, azonban a vezető helyezkötött atomtörzseinek ütközve energiát veszítenek. Ez igen hamar makroszkópikus egyensúlyhoz vezet, ha a tér nem változik. Ezek a feltevések az alapjai a Drude-modellnek, amelynek eredménye az elektronokra felírható mozgásegyenlet:

:<math>m \ddot{x} = eE - m \frac{1}{\tau}v</math>

amelynek stacionárius megoldása:

:<math>m \frac{1}{\tau}v = eE </math>

Itt <math>\tau</math> az ütközések között eltellő jellemző relaxációs idő, ''v'' a drift sebesség. A ''v''-re rendezett eredményt a töltéssel (e) és az elektronsűrűséggel (n) beszorozva megkaphatjuk az Ohm-törvényt:

:<math>j = \frac{n e^2 \tau}{m}E</math>

azaz az elektromros áramsűrűség egyenesen arányos a térerősséggel, az arányossági tényező a fajlagos ellenállás reciproka, azaz a fajlagos vezetőképesség. A Drude-moell jó leírást ad több effektusra, azonban például az áram hőhatását túlbecsli. Kevés jó modell van az elektronok ütközésének leírására, ez a terület ma is aktív kutatás tárgya.

===Kereszteffektusok===
(* A levezetés csak a kitekintés kedvéért szerepel)

A kereszteffektusok bevezetéséhez a nemegyensúlyi statisztikus fizika eszköztárához kell fordulnunk. Ebben a tárgyalásban most a vezetési jelenségekre korlátozódva jellemezze a vizsgált rendszerünket az f betöltési függvény, amely a pozíció, idő, és a hullámvektor függvénye. Írjuk fel a teljes idő differenciát, amely a Liouville-tétel értelmében zérus:

:<math>0 = \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}\mathbf{\dot{r}} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{k}}\mathbf{\dot{k}} - X</math>

itt X az ütközések miatti változást jelöli. A felírt egyenlet lényegébena Boltzmann-egyenlet, csak impulzus helyett hullámszámra felírva. A következő feltevéseket tehetjük:

*Egyensúlyban a betöltést a Fermi-Dirac statisztika írja le:
:<math>f_0(r, k) = \frac{1}{ e^{ \beta (E(k) - E_F)} + 1}</math>

vigyázat, <math>\beta</math>-ban T függhet a helytől is.

*A perturbációk időfüggését elhanyagoljuk, azaz f időderiváltja zérus.

*A rendszerben hullámcsomagokat akarunk leírni. Jó leírást kapunk, ha a sebességre a csoportsebességet vezetjük be:
:<math>\mathbf{\dot{r}} = \mathbf{v} = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{k}}</math>

*Az impulzusmegváltozással analóg tagra írjuk be a klasszikus elektromágneses erőhatást:
:<math>\mathbf{\dot{k}} = \frac{e}{\hbar} \left( \mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{H} \right) </math>

*Az ütközési tagra tegyük azt a durva közelítést, hogy az egyensúlytól való eltéréssel egyenesen, és a relaxációs idővel fordítottan arányos:
:<math>X = -\frac{f - f_0}{\tau(\mathbf{k}) }</math>

*Az eloszlásfüggvény helyszerinti gradiense a hőmérséklet függésen keresztül is kifejezhető:
:<math>\frac{ \partial f }{ \partial \mathbf{r} } = \frac{ \partial f }{ \partial T }\frac{ \partial T }{ \partial \mathbf{r} }</math>

A fentiek ismeretében a Boltzmann-egyenlet a következő alakra kerül:

:<math>\mathbf{v} \frac{ \partial f }{ \partial T }\frac{ \partial T }{ \partial \mathbf{r} } + \frac{e}{\hbar} \left( \mathbf{E} + \frac{1}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{H} \right) \frac{ \partial f}{\partial \mathbf{k}} = -\frac{f - f_0}{\tau(\mathbf{k}) } </math>

A deriválásokat egy '''D''' differenciál-operátorba összevonva az egyenlet:
:<math>\mathbf{D} f = -\frac{f - f_0}{ \tau (\mathbf{k})}</math>

Ennek a megoldása felírható soralakban, így különböző rendű korrekciók nyerhetőek:

:<math>f = f_0 -\tau \mathbf{D} f_0 + (\tau \mathbf{D})^2 f_0 ...</math>

Ezt visszahelyettesítve elsőrendben a következő megoldást kapjuk:

:<math>f = f_0 + \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau \mathbf{v} \left[ \left( \frac{E - E_F}{T} + \frac{\partial E_F}{\partial T} \right) \frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}} - eE \right]</math>

A legszembetűnőbb eredmény, hogy a mágneses tér kiesett, azaz csak a magasabb rendű korrekciók függnek tőle. Ha bevezetjük az elektromos áramsűrűséget, és a hőáramsűrűséget:

:<math>j_e = \frac{e}{4\pi^3} \int_{Bz} \mathbf{v} f d^3\mathbf{k}</math>
:<math>j_Q = \frac{1}{4\pi^3} \int_{Bz} (E - E_F)\mathbf{v} f d^3\mathbf{k}</math>

és bevezetve egy egyesített potenciált: <math>\mu = E_F + e\Phi</math>, megkaphatjuk az áramokra vonatkozó egyenleteket:

:<math>j_e = L^{11} \frac{\partial \mu}{\partial \mathbf{r}} + L^{12} \frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}}</math>
:<math>j_Q = L^{21} \frac{\partial \mu}{\partial \mathbf{r}} + L^{22} \frac{1}{T}\frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}}</math>

Az '''L''' együtthatók másodrendű tenzorok, itt most annyi elég róluk, hogy:
*<math>L^{12} = L^{21}</math>, ez az Onsager-reláció a termodinamikában,
*Mindegyikük tartalmazza az egyensúlyi eloszlás energia szerinti deriváltját, és <math>\tau</math>-t,
*Az <math>L^{11}</math> tenzor ezen felül az elektromos töltést,
*<math>L^{12}, L^{21}</math> tartalmazza <math>E-E_F</math>-et,
*<math>L^{22}</math> pedig <math>(E-E_F)^2</math>-et.

Ezek segítségével kifejezhetőek a következők:
*Homogén anyagban, homogén hőmérsékleteloszlás esetén visszakapjuk az Ohm-törvényt:
:<math>j_e = \sigma E, \; \; \sigma = -eL^{11}</math>

*Homogén anyagban, ha nincs elektromos áram visszakapjuk a hővezetés egyenletét:
:<math>j_Q = -\kappa \frac{\partial T}{\partial \mathbf{r} }, \; \; \kappa = \frac{1}{T}\left( L^{22}-L^{12}(L^{11})^{-1} L^{12}\right)</math>

és az elektrokémiai potenciál, valamint a hőmérsékletgradiens kapcsolatát:
:<math>-\frac{\mu_e}{\mathbf{r}} = S \frac{\partial T}{\partial \mathbf{r}}, \; \; S = \frac{1}{T}(L^{11})^{-1} L^{12}</math>

Ezek kombinálásával lehet értelmezni a további effektusokat (ekkor már elhagyható a fenti megkötések egy része):

*Seebeck-effektus: a hőmérsékletkülönbség elektromos áramot hoz létre.
*Peltier-effektus: két fém határfelületén átfolyó áram hőmérsékletkülönbséget hoz létre a két fémen.
*Thomson-effektus: áram alatt levő vezető, amelyen hőmérsékletkülönbség van, lehűl, vagy felmelegszik.

Ezen effektusok arányossági tényezői között fennáll a következő két Thomson-összefüggés:

:<math>\Pi = T \cdot S</math>
:<math>\mu = T \frac{dS}{dT}</math>

ahol ''T'' a hőmérséklet, <math>\Pi</math> a Peltier-együttható, ''S'' a Seebeck-együttható és <math>\mu</math> a Thomson-együttható.

Az eloszlásfüggvény további korrekcióinak figyelembevételével megkaphatjuk a másodrendű effektusokat, akkor már a mágneses hatás is beleszól a folyamatokba. Ezek közül a legjelentősebb a Hall-effektus. Itt elektromos áram, és rá merőleges mágneses tér hatására az előző kettőre merőleges elektromos potenciálkülönbség alakul ki a vezetőben.

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:32:22Z

Kofaragoka: /* Vékony lencse leképezése */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>\color{red}M_R\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>\color{red}M_L\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = \color{red}-\color{black}M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a [[tárgytávolságnyi]] szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_{ok}}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:29:17Z

Kofaragoka: /* Mikroszkóp és felbontóképesség */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>\color{red}M_R\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>\color{red}M_L\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = \color{red}-\color{black}M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_{ok}}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:18:37Z

Kofaragoka: /* Vékony lencse fókusza */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>\color{red}M_R\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>\color{red}M_L\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = \color{red}-\color{black}M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:17:01Z

Kofaragoka: /* Vékony lencse fókusza */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>\color{red}M_R\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>\color{red}M_L\color{black} = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:13:06Z

Kofaragoka: /* Összefoglalva */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>M_R = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:12:11Z

Kofaragoka: /* Visszaverődés gömbfelületről */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\color{red}-\color{black}\frac{2n}{R} & \color{red}-\color{black}1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>M_R = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:09:31Z

Kofaragoka: /* Ami az analógiából hiányzik */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}\color{red}\mathbf{\dot{r}}\color{black} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>M_R = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T13:01:09Z

Kofaragoka: /* Az eikonál közelítés */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = \color{red}- \color{black}A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>M_R = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Geometriai optika és alkalmazásai

2011-06-21T12:58:10Z

Kofaragoka: /* Az eikonál közelítés */

''Megjegyzés:'' ez a tétel nagyon erősen követi Cserti József "Optika és Relativitáselmélet" tárgyra készített diáit, lényegében azok kivonata a tétel tematikáját figyelembe véve. Ezekből a diákból is nagyon jól lehet tanulni, megtalálhatóak Cserti József honlapján.<ref>Cserti József [http://complex.elte.hu/~cserti/]</ref>
==Bevezető, fény, fénysugár==
A geometriai optika nem foglalkozik a fény hullám, vagy részecske tulajdonságával. Pusztán a fény viselkedését írja le olyan távolság- és időértékeknél, melyek jóval nagyobbak, mint a fény néhány mennyiségi jellemzője.

Alapfeltevései <ref>Feynman: Mai fizika 3., 7-8. old.</ref>:
* a fény egyenes vonalban terjed, ha homogén közegben halad és semmi sincs az útjában
* közeghatárokon megtörik és/vagy visszaverődik
* visszaverődésnél a beesési és visszaverődési szög megegyezik
* törésnél a beesési és törési szög közötti összefüggést a Snellius-Descartes törvény adja meg:
<math>sin \vartheta_b = n sin \vartheta_t</math>, ahol <math>\vartheta_b</math> a beesési, <math>\vartheta_t</math> a törési (transzmissziós szög), n egy arányszám, az adott közeg (vákuumhoz viszonyított) törésmutatója.
* a fénysugarak közt egymásra hatás nem mutatkozik

==A Fermat-elv==
A Fermat-elv, vagy legrövidebb idő elve azt mondja ki, hogy két pont között a fény az összes lehetséges út közül azt választja, aminek megtételéhez a legrövidebb időtartam szükséges.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 10-12. old.</ref>

Közegben a fény sebessége: <math>\frac{c_0}{n}</math>, ahol n a fent említett törésmutató (mely függhet anyagtól, helytől, vagy a fény színétől), <math>c_0</math> pedig a vákuumbeli fénysebesség, értéke a Maxwell-egyenletek alapján:
<math>c_0 = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}</math>, ahol <math>\epsilon_0 = 8.85 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2}</math> a vákuum dielektromos állandója. <math>\mu_0 = 4 \pi 10^{-7} \frac{Vs}{Am}</math> a vákuum permeabilitása. A fentiek alapján: <math>c_0 = 299792458 \frac{m}{s}</math>.

A Fermat-elv tehát azt mondja ki, hogy a fény két pont között a legrövidebb idő alatt megtehető utat teszi meg. Kicsit pontosabban a fénysugár pályáját sok más szomszédos, csaknem azonos időt igénylő terjedési út közül választja.<ref>Feynman: Mai fizika 3., 16-17. old.</ref> Ennek kiszámítása a következőképpen történik:
[[Kép:optpalya.png|center|200px]]
A fenti pályára vett integrálnak (ahol n('''r''') helyfüggő változó) szélsőértéket kell adnia. <math>\int_A^{B} n(\mathbf{r})ds = extremum</math>, ahol '''r''' a helyvektor<ref>Optika és relativitáselmélet, 1. előadás, 16. oldal, [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-1.pdf]</ref>. Pl.:
[[Kép:Fenyut.png|center|500px|Fényút]]

==Az eikonál közelítés==
{| {{széptáblázat}}
| || Homogén eset || Inhomogén eset
|-
| Hullámegyenlet || <math>\frac{\partial^2 \phi(\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2 \triangle \phi</math> || <math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = c^2(\mathbf{r})\triangle \phi</math>
|-
| Megoldása || <math>\phi(\mathbf{r},t) = Ae^{i(\mathbf{kr}-\omega t)}</math> || <math>\phi(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r},t)e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>
|}

Az inhomogén esetben felírt megoldás csak a lassan változó amplitudójú (A), és gyorsan változó fázisú (<math>\phi</math> - <math>\lambda</math> távolságon <math>2 \pi</math>-t változik) síkhullámokra vonatkozik. Lassan változó alatt azt értem, hogy a karakterisztikus hossz <math>\left(L \sim \frac{1}{\nabla n}\right)</math> jóval nagyobb, mint a hullámhossz (<math>\lambda</math>). Tehát inhomogén esetben, lassan változó amplitudó és gyorsan változó fázis esetén <math>\varphi (\mathbf{r},t)</math> hordozza az információt, ez a geometriai optika. <ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>

[[File:lassu_valt.png|thumb|Lassan változó közeg<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 2. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>]]

Írjuk be a fenti inhomogén megoldást a hullámegyenletbe!

:<math>\frac{\partial \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( Ae^{i\varphi} \right) = \left(\frac{\partial A}{\partial t} + iA\frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)e^{i\varphi}</math>

Tehát:

:<math>\frac{\partial^2 \phi (\mathbf{r},t)}{\partial t^2} = \left[\frac{\partial^2 A}{\partial t^2} + 2i\frac{\partial A}{\partial t}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + iA\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} - A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2\right]e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))} \approx -A\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2e^{i(\varphi (\mathbf{r},t))}</math>

:<math>c^2(\mathbf{r})\triangle \phi = - A c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2 e^{i\varphi(\mathbf{r},t)}</math>

A fentiek alapján tehát:
:{| {{széptáblázat}} border="1"
|<math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right)^2 = c^2(\mathbf{r})(\operatorname{grad}\varphi)^2</math> || Ez az eikonál-egyenlet.
|-
|}

Ahol <math>c(\mathbf{r}) = \frac{c_0}{n(\mathbf{r})}</math>, <math>n(\mathbf{r})</math> pedig a lokális (helyfüggő) törésmutató. A <math>\varphi = const</math> felületek adják meg az állandó fázisú felületeket, vagyis a hullámfrontokat. Az eikonál-egyenlet ezek mozgását írja le.

Fejtsük sorba a fázist: <math>\varphi (\mathbf{r},t) = \varphi_0 + \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{r}} \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t + ...</math>

Majd írjuk be <math>\phi (\mathbf{r},t)</math> helyére: <math>\phi (\mathbf{r}, t) = Ae^{i\varphi} = Ae^{i\varphi_0}e^{i\left( \nabla \varphi \mathbf{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} t \right)} \sim Ae^{i(\mathbf{kr} - \omega t)}</math>

A fentiek fényében:

:{| {{széptáblázat}}
|<math>\mathbf{k}(\mathbf{r},t) = \operatorname{grad}\varphi(\mathbf{r},t)</math>
|-
|<math>\omega(\mathbf{r},t) = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math>
|-
|}

Az eikonál-egyenlet egyszerűsödik, ha <math>\omega</math> állandó, ekkor: <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r})</math>. Az jobb oldal utolsó tagjának neve "rövidített eikonál".

:<math>\frac{\partial \varphi}{\partial t} = -\omega(\mathbf{r},t)</math>

És:

:<math>\operatorname{grad}\varphi = \operatorname{grad}\psi</math>

E kettőből jön ez:

:<math>\omega^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 (\operatorname{grad}\psi)^2 = \left( \frac{c_0}{n(\mathbf{r})} \right)^2 \mathbf{k}^2(\mathbf{r})</math>

====Az eikonál közelítés korlátai====
A levezetés során a következő közelítéseket használtuk ki:
*Az amplitudó változása a hullámhosszal szorozva kisebb az amplitudónál,
*A hullámfelület görbületi sugara sokkal nagyobb a hullámhossznál,
*Az amplitudófelület görbületi sugara és a hullámhossz aránya sokkal nagyobb a hullámhossz és az amplidutó arányánál,
*A hullámfront lineáris méretei sokkal nagyobbak a hullámhossznál.

Ezek fényében az eikonál közelítés nem használható például fényforrások illetve fókuszpontok közelében, fény-árnyék határán. Továbbá mindezen feltételek erősen függenek a tekintett hullám hullámhosszától.

==Analógia a klasszikus mechanikával==
A fentiek fényében itt csak egy rövid táblázatban foglalnám össze a legfontosabbakat<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 4. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>:

{| {{széptáblázat}}
| || Pontmechanika || || Geometriai optika ||
|-
| Hatásintegrál || <math>S(\mathbf{r},t) = \int\limits_{P_0}^P L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) dt</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t)</math> || Eikonál
|-
| || <math>\mathbf{p} = gradS</math> || || <math> \mathbf{k} = grad\varphi</math> ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} \sim \mathbf{k}</math> || ||
|-
| || || <math>\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}</math> || ||
|-
| || <math>E = -\frac{\partial S}{\partial t}</math> || || <math>\omega = -\frac{\partial \varphi}{\partial t}</math> ||
|-
| || || <math>E \sim \omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| || || <math>E = \hbar\omega \mathbf{}</math> || ||
|-
| Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>-\frac{\partial S}{\partial t} = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>-\frac{\partial \phi}{\partial t} = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \phi)</math> || Eikonál-egyenlet
|-
| || <math>E = H(\mathbf{r}, \mathbf{p})</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k})</math> || Diszperziós reláció
|-
| E mozgásállandó || <math>S(\mathbf{r},t) = -Et + S_0 (\mathbf{r})</math> || || <math>\varphi(\mathbf{r},t) = -\omega t + \psi (\mathbf{r}) </math> || <math>\omega</math> mozgásállandó
|-
| Rövidített Hamilton-Jacobi egyenlet || <math>E = H(\mathbf{r},\mathbf{p} = grad S)</math> || || <math>\omega = \Omega(\mathbf{r},\mathbf{k} = grad \varphi)</math> || Rövidített eikonál-egyenlet
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{r} = \frac{\partial H(\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial{p}}</math> || || <math>\dot{r} = \frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial{k}}</math> || Csoportsebesség
|-
| Hamilton-féle kanonikus egyenletek || <math>\dot{p} = -\frac{\partial H (\mathbf{r},\mathbf{p})}{\partial \mathbf{r}}</math> || || <math>\dot{k} = -\frac{\partial \Omega (\mathbf{r},\mathbf{k})}{\partial \mathbf{r}}</math> || Hamilton-féle sugáregyenletek
|-
| Maupertius-elv || <math>\delta \int \mathbf{p} dr = 0</math> || || <math>\delta \int \mathbf{k} dr = 0 = \frac{\omega}{c_0} \delta \int n(\mathbf{r}) dl \sim \delta \int n(\mathbf{r}) dl = 0 </math> || Optikai úthossz ~ Fermat-elv
|}

A Hamilton-féle sugáregyenletekből paraxiális közelítésben levezethető a lencsetörvény.

''Megjegyzés:'' ugyanez Cserti József diáján megvan, (szerintem) kicsit átláthatóbban, ezért ezt az oldalt beszúrtam képként.

[[File:dia.png|thumb|alt=Alt text|Analógia a klasszikus mechanikával<ref>Optika és relativitáselmélet, 6. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-6.pdf]</ref>|1000 px|center]]

===Ami az analógiából hiányzik===
Pontmechanikában a Lagrange-függvény:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}} - H</math>, ahol <math>\mathbf{p} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}}</math> és <math>H = \mathbf{p}\mathbf{\dot{r}}-L = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{r}}} - L</math>

Keressük meg ugyanezt az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \mathbf{k}\mathbf{\dot{r}} - \Omega</math>, ahol <math>\Omega = c(\mathbf{r})\left| k \right|</math> és <math>\mathbf{\dot{r}} = \frac{\partial \Omega}{\partial \mathbf{k}} = c(\mathbf{k})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|}</math>

A fentiek alapján a Lagrange-függvény az optikában:

<math>L(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}}) = \left( c(\mathbf{r})\frac{\mathbf{k}}{\left| \mathbf{k} \right|} \right)\mathbf{k} - c(\mathbf{r})\left| \mathbf{k} \right| \equiv 0</math>
A Lagrange-függvény az optikában azonosan nulla.

A mechanikai törésmutató meghatározásánál figyelni kell arra, hogy az analógiát ne a Fermat-elvből levezetett <math>\omega \delta \int \frac{1}{c(\mathbf{r})} dl</math> és ennek mintájára felírt <math>\delta \int \frac{1}{v(\mathbf{r})} dl</math> egyenlet között vegyük, mert <math>c(\mathbf{r})</math> a fázissebesség, a mechanikai analógiában látott <math>\frac{1}{v(\mathbf{r})}</math>-ben a <math>v(\mathbf{r})</math> a csoportsebességnek feleltethető meg, melynek értéke az optikában: <math>\mathbf{v}_g = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}</math>.
A helyes analógia a Fermat-elv és a Maupertius-elv közötti megfeleltetés. Ezt végigszámolva a mechanikában a törésmutató értékére a következőt kapjuk: <math>0 = \delta \int \mathbf{p}(\mathbf{r}) d\mathbf{r} = \delta \int \left| p \right| dl = \delta \int \sqrt{2m(E-V(\mathbf{r}))}dl</math>, mivel <math>E = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} - V(\mathbf{r})</math>.
Ennek nyomán a törésmutató analogonja a mechanikában: <math>n(\mathbf{r}) = \sqrt{E-V(\mathbf{r})}</math>. <math>V(\mathbf{r}) = eU(\mathbf{r})</math> alkalmas megválasztásával elektrosztatikus lencsék/tükrök készíthetőek.

:{| {{széptáblázat}}
| Részecske || Optika
|-
|<math>n(E,\mathbf{r})</math> függ a részecske energiájától, diszperzív közeg || <math>n(\omega,\mathbf{r})</math> diszperzió
|-
|Éles képhez monoenergetikus nyaláb kell. || Éles képhez monokromatikus fény kell.
|-
|<math>n(\mathbf{r})</math>-re nincs korlát || n > 1, mert <math>c < c_0</math>
|}

==Paraxiális közelítés==
Paraxiális közelítésben hengerszimmetrikus, tengelyközeli rendszereket vizsgálunk<ref>Optika és relativitáselmélet, 7. előadás, 5. oldal [http://complex.elte.hu/~cserti/okt/O_SpR-7.pdf]</ref>.
*A tengelytől való távolság kisebb, mint bármilyen releváns fókusztávolság, vagy rendszerméret.
*A sugarak szögei kicsik a tengelyhez képest. <math>\left( \vartheta \ll 1 \right)</math>

Ebben a közelítésben: <math>sin\vartheta \approx tg\vartheta \approx \vartheta</math>

A fénysugarakat az optikai tengelytől mért (előjeles!) y távolsággal, és szintén az optikai tengellyel bezárt (előjeles!<ref>Negatív: óramutató járásával megegyező, pozitív: óramutató járásával ellentétes.</ref>) szöggel jellemezzük.

[[Kép:paraxialis.png|center|300px|Paraxiális közelítés]]

==Mátrix reprezentáció, leképezési törvények==
Tetszőleges paraxiális rendszerben a fény terjedése leírható mátrix-, és vektorműveletekkel<ref>A teljes fejezet az Optika és relativitáselmélet 7. órájának fóliáiból lett összeálltva</ref>:

<math>\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}y^{,}\\n_2\vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\n_1 \vartheta\end{array} \right)</math>

Három alapesetre felírhatunk mátrixokat, amiket aztán építőkövekként használhatunk összetett rendszerek leírására. Az alapesetek:

====Szabad terjedés====

A fény adott, <math>n</math> törésmuattójú közegben <math>d</math> távolságot tesz meg. Ilyenkor a szög és a törésmutató nyilván nem változik (vagyis kettejük szorzata sem). Viszont <math>y</math> <math>\vartheta</math> függvényében igen, mégpedig a következőképpen:

:<math>y' = y + d \operatorname{tg} \vartheta \approx y + d \vartheta = y + \frac{d}{n} n \vartheta</math>

Ebből már könnyű felírni a szabad terjedés mátrixát:

:<math> \mathbf{M}_{szab} =
\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}
</math>

====Törés gömbfelületen====

A fény egy gömb felületű közeghatáron halad keresztül az ábra szerint. <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math>.

[[File:gomb.png|thumb|Fény törése gömbfelületen|center|400 px]]

A Snellius-Descartes-törvény kis szögekre: <math>n_1(\vartheta - \alpha) \approx n_2(\vartheta' - \alpha)</math>

Vagyis: <math>n_2\vartheta' = \frac{n_1 - n_2}{R}y + n_1\vartheta</math>

A törés mátrixa így:

:<math> \mathbf{M}_{tores} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Fontos észrevenni, hogy egy konvenciót hazsnáltunk: <math>R</math> előjele a görbület irányától függően lehet pozitív, és negatív. Ha az ábrán látott eset áll fenn, akkor <math>R</math> pozitív. Ha az ellenkező (a gömb középpontja a másik oldalon van), akkor negatív. Ez nem függ a fénysugár irányától! Ha a fénysugár megfordul, akkor is ugyanezt a konvenciót kell használni!

Mégegy megjegyzendő, hogy látszik, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetre visszakapjuk az egységmátrixot. Ennek így is kell lennie, hiszen ez a sík törőfelület, ahogy <math>y</math> és <math>n\vartheta</math> is állandó.

====Visszaverődés gömbfelületről====

Ez az eset hasonlít az elsőre (jelölések szempontjából is) azzal a kivétellel, hogy a fénysugár nem megtörik, hanem visszaverődik, és ugyanabban közegben halad tovább.

Szintén igazak az előbbi <math>\alpha \approx -\frac{y}{R}</math>, és <math>y' = y</math> összefüggések, ám <math>\alpha - \vartheta' = \vartheta - \alpha</math>. Így:

:<math>n\vartheta' = - \frac{2n}{R}y - n\vartheta</math>

Így a visszaverő gömbfelület mátrixa:

:<math> \mathbf{M}_{tukor} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}
</math>

Itt is lehet látni, hogy <math>R \rightarrow \inf</math> esetben a síktükröt kapjuk vissza.

====Összefoglalva====

{| {{széptáblázat}}
| Szabad terjedés || Törés gömbfelületen || Visszaverődés gömbfelületről
|-
| <math>\begin{pmatrix}
1 & \frac{d}{n} \\
0 & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{n_1 - n_2}{R} & 1
\end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\frac{2n}{R} & 1
\end{pmatrix}</math>
|}

A mátrix reprezentációnál a fénysugarat követve a mátrixokat balról jobbra szorozzuk össze, így megkapjuk a teljes rendszert leíró optikai mátrixot. (Fontos, hogy a fénysugarat kövessük, mert menet közben pl. meg is fordulhat.) Tetszőleges paraxiális optikai rendszerre igaz, hogy <math>detM = \pm 1</math>.

===A leképezés fogalmai===
*'''Fókuszpont''': minden párhuzamos fénysugarat egy pontba gyűjtünk össze, y y'-től függetlenül valahol nulla lesz.
*'''Leképezés''': egy pont leképezése során a pontból kiinduló fénysugarat <math>\vartheta</math>-tól függetlenül egy másik pontba gyűjtjük össze.

===A gömbtükör fókusza===
A rendszer leképezési mátrixa egy szabad terjedési mátrixból és egy visszaverődési mátrix szorzatából áll, balról jobbra összeszorozva:
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \mathbf{M}\left( \begin{array}{c}y\\0 \end{array} \right), \mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2d}{R} & \frac{d}{n}\\-\frac{2n}{R} & -1\end{array} \right)</math> (Theta azért nulla, mert a tengellyel párhuzamosan érkeznek a sugarak:
[[Kép:gombfok.png|center|300px|Gömbtükör fókusza]]
<math>\left( \begin{array}{c}y^{,}\\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}\left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y\\-\frac{2n}{R}y \end{array} \right) \rightarrow y^{,} = \left( 1 + \frac{2d}{R} \right)y</math>
És mivel a fókuszpontban y' = 0, ezért <math>d \equiv f = -\frac{R}{2}</math>

===A gömbtükör leképezési törvénye===
A rendszer leképezési mátrixa most egy tárgytól a tükörig tartó szabad terjedésből, egy visszaverődésből, és egy tükörtől a leképezésig tartó szabad terjedésből áll. A terjedési mátrix e három szorzata: <math>\mathbf{M} = \left( \begin{array}{cc}1 + \frac{2k}{R} & k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t \\-\frac{2}{R} & -1-\frac{2t}{R}\end{array} \right)</math>

Mivel y' a leképezésnél független <math>\vartheta</math>-tól, ezért a mátrix első sorának második eleme nullát ad, így (a gömbtükör fókuszára voantkozó összefüggés felhasználásával) megkapjuk a már ismert leképezési törvényt:
<math>k + \left( 1 + \frac{2k}{R} \right)t = k + \left( 1 - \frac{k}{f} \right)t = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>

===Vékony lencse fókusza===
Egy vékony lencsénél két törőfelületről beszélhetünk, melyek két, <math>R_1</math> és <math>R_2</math> sugarú gömbfelületből állnak. A lencse anyagának törésmutatója n, a lencsét körülvevő közegé 1. A bal oldali törőfelület mátrixa <math>M_L</math>, a jobb oldalié <math>M_R</math>:

[[Kép:lencsefok.png|center|200px]]

<math>M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{n-1}{R_2} & 1\end{array} \right)</math>
<math>M_R = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\\frac{1-n}{R_1} & 1\end{array} \right)</math>

Ezek szorzata a rendszert leíró mátrix ezek szorzata (balról jobbra haladva, előjelesen):

<math>M = M_R M_L = \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\(n - 1)\left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) & 1\end{array} \right)</math>

Az optikai tengellyel párhuzamosan beérkező fénysugár változása a rendszeren való áthaladás után:

<math>\left( \begin{array}{c}y^{,} \\ \vartheta^{,} \end{array} \right) = M\left( \begin{array}{c}y \\\vartheta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}y \\yM_{21} \end{array} \right)</math>

És mivel:
[[Kép:sugarmenet.png|center|500px]]

Így <math>M_{21} = -\frac{1}{f}</math>, tehát a fókusztávolság: <math>\frac{1}{f} = M_{21} = (n-1)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)</math>.

===Vékony lencse leképezése===
A vékony lencse leképezésének leírásához három mátrixot kell figyelembe vennünk, egyszer a képtávolságnyi szabad terjedés mátrixát, egyszer a törés mátrixát (a fent megismert összefüggés alapján), egyszer pedig a lencsétől a képtávolságig terjedő szabad terjedés mátrixát. Ezeket összeszorzova kapjuk meg a teljes optikai rendszer mátrixát, ami a következőképpen néz ki:

<math>M = \left( \begin{array}{cc}1 & k\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & 0\\-\frac{1}{f} & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t\\0 & 1\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}1 - \frac{k}{f} & k + t - \frac{kt}{f}\\-\frac{1}{f} & 1 - \frac{t}{f}\end{array} \right)</math>

Mivel leképezésnél <math>y^{,}</math> független <math>\vartheta</math>-tól, ezért <math>M_{12} = 0 \rightarrow k + t - \frac{kt}{f} = 0 \rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{k} + \frac{1}{t}</math>. Azaz itt is igaz a leképezési törvény.

===Összetett optikai rendszerek===
Összetett optikai rendszereknél nem mindig igaz elsőre a leképezési törvény, de mint látni fogjuk, kis trükkel újra igazzá tehetjük.
*Sok egymás melletti vékony lencse esetén esetén a dioptriák <math>\left( D = \frac{1}{f} [1/m] \right)</math> összeadódnak.
*Vastag lencsék esetén szükség van az úgynevezett fősíkok bevezetésére. A fősíkok (lásd lejjebb) használatával a leképezési törvény újra igazzá tehető:

[[Kép:vastaglencse.png|center|300px]]

A tárgy-, és a képtávolságot a fősíkoktól mérve a leképezési törvény ismét igaz lesz. A fősíkok kiszámítása a következőképpen történik:

<math>t_0 = f\frac{d}{R_2}\frac{n-1}{n}, k_0 = -f\frac{d}{R_1}\frac{n-1}{n}</math>

A fókusztávolságot vastag lencsék esetén a következő összefüggés adja meg (ez a lencsekészítők alapképlete). Egyébként ez három mátrix összeszorzásából ered: a vékony lencse jobb-, és bal oldali törőmátrixa közé be kell iktatni egy n törésmutatójú közegben történő szabad terjedés mátrixát (ezzel jelezzük, hogy vastag lencséről van szó). E három mátrix szorzatából lehet megkapni a vastag lencse, mint optikai rendszer mátrixát.

A fókusztávolságot lencsékre a rendszermátrix második sorának első eleméből lehet megkapni (mint fentebb láthattuk): <math>\frac{1}{f} = (1 - n)\left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + d\frac{n - 1}{nR_1 R_2} \right)</math>

===Általános leképezés===
Teljesen általános leképezés esetén a leképezési mátrix: <math>M = \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right)</math>. Ezzel az a probléma, hogy nem lehet tudni, hogy hol a rendszer eleje és vége. Így módosítjuk egy kicsit: <math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & k_0\\0 & 1\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}M_{11} & M_{12}\\M_{21} & M_{22}\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}1 & t_0\\0 & 1\end{array} \right)</math>
<math>k_0</math> és <math>t_0</math> alkalmas megválasztásával (és kihasználva azt a tényt, hogy '''tetszőleges paraxiális optikai rendszer leképezési mátrixának determinánsa <math>detM = \pm 1</math>):''' <math>t_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{22} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{22} \right), k_0 = \frac{1}{M_{21}} \left( detM - M_{11} \right) = \frac{1}{M_{21}} \left( \pm 1 - M_{11} \right)</math>

Így <math>M^{,}</math> a következőképpen egyszerűsödik:

<math>M^{,} = \left( \begin{array}{cc}1 & \frac{1 - detM}{M_21}\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>, ami - mivel <math>detM = \pm 1</math> - <math>M^{,}\left( \begin{array}{cc}1 & 0\\M_{21} & 1\end{array} \right)</math>. Láttuk, hogy vékony lencséknél a mátrix éppen így néz ki, így meg tudjuk mondani a fókusztávolságot: <math>\frac{1}{f} = -M_{21}</math>.

==Optikai eszközök (távcső, mikroszkóp), felbontóképesség==
Az optikai eszközök közül néhányról csak említés szintjén, és a címben szereplő távcsőről és mikroszkópról részletesebben fogok írni.

===Vetítő, fényképező, nagyítólencse, szemüveg===
*Vetítő: egy egyszerű lencse (és egy tükör) segítségével a tárgyról távoli, nagyított képet állít elő.
*Fényképező: távoli tárgyról készít kicsinyített, valódi képet tükrök, lencsék és blendék (fényerőszabályzók) használatával. A képek felvétele fényérzékeny anyagra, vagy újabban CCD-chipek segítségével valamilyen digitális tárolóegységre (általában memóriakártya) történik.
*Nagyítólencse (lupe): nagyított, virtuális (k < 0) képet készít a fókusztávolságnál ''közelebb'' lévő tárgyakról:
[[Kép:lupe.png|center|400px|Lupe]]
A lupe nagyító tulajdonságát két szempontból is érdemes megvizsgálni, az egyik a '''laterális nagyítás''' (képméret/tárgyméret):
<math>N = \frac{y_k}{y_t} = \frac{-k}{t} = \frac{f}{f - t}</math>
A másik a szögnagyítás:
<math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_k}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_k}{tg\theta_t} = \frac{y_k/(-k)}{y_t/L_0} = \frac{-k}{t}\frac{L_0}{-k} = \frac{L_0}{t} \approx \frac{L_0}{f}</math>, mivel <math>k > L_0 \gg f \rightarrow t \approx f</math>

A lupe azért hasznos, mert a tisztánlátás távolsága körülbelül <math>L_0 \sim 25 cm \mathbf{}</math> (viszonylag szubjektív adat), a lupe segítségével pedig ennél nagyobb távolságú tárgyakat is tisztán láthatóvá tehetünk.
*Szemüveg: korrekciós lencse a szemlencse elé (a szemlencse kb. 60-64 dioptriás). ''Rövidlátás'' esetén a fénytörés túl erős, a kép a retina előtt fókuszálódik, ''szórólencse'' kell (D < 0). ''Távollátás'' esetén a fénytörés nem elég erős, a kép a retina mögött fókuszálódik, ''gyűjtőlencse'' kell (D > 0).

===Mikroszkóp és felbontóképesség===
A lupe - bár sokmindenre jól használható - alapproblémája az, hogy nem tudjuk elég közel helyezni a szemünket. Ennek megoldására használjuk két lencsét, az egyik levetíti a képet (objektív), a másik pedig a lupe (okulár).
[[Kép:mikroszkop.png|center|700px|A mikroszkóp vázlatos felépítése]]

Egy mikroszkópban az objektív és az okulár fókuszsíkjai egymástól a mikroszkóp felépítése által meghatározott, állandó távolságban vannak. Ez az optikai tubushossz <math>(\overline{F^{,}_{obj} F_{ok}} = \Delta)</math>. Egy mikroszkópban ennek szabványos értéke 160 mm.<ref>Havancsák Károly: Mérések a klasszikus fizika laboratóriumban, 188. old.</ref>

Az objektív laterális nagyítása: <math>N_{obj} = \frac{y_k}{y_t} = \frac{k}{t} = \frac{k - f_{obj}}{f_{obj}}</math>.
A mikroszkóp szögnagyítása: <math>N_{sz\ddot{o}g} = \frac{\theta_{obj}}{\theta_t} \approx \frac{tg\theta_{obj}}{tg\theta_t} = \frac{y_k/f_{ok}}{y_t/L_0} = \frac{y_k}{y_t}\frac{L_0}{f_{ok}} = \frac{\Delta}{f_{obj}}\frac{L_0}{f_ok}</math>

A tipikus nagyítás nagyságrendileg 1000 * 10.

====Felbontóképesség====
Az optikai eszközök felbontóképességét a hullámoptika közelíthetősége határolja be. Tökéletes leképezést feltételezve a Fermat-elv szerint minden képalkotásban résztvevő fényút optikai úthossza megegyezik. A hullámoptika szerint mindenféle pályán haladhat a fény, de '''ott lesz nagy az amplitudó, ahol körülbelül azonos fázisban érkeznek a hullámok.'''
[[Kép:felbontokep.png|center|500px|Tökéletesen leképező lencse felbontóképessége]]

Szögnagyítás: <math>\frac{\delta}{L} < \frac{\lambda}{D}</math>. Azaz minden lencse megfelel egy résnek, amely <math>\frac{\lambda}{D}</math> nagyságú diffrakciót okoz. Ez azt jelenti, hogy a mikroszkóp maximális felbontása: <math>f\frac{\lambda}{D}</math>. A lencsére jellemző <math>\frac{D}{f}</math> hányadost numerikus apertúrának nevezik. (Vannak más definíciók is a numerikus apertúrára, pl: <math>n sin\alpha \mathbf{}</math>, ahol <math>tg\alpha = \frac{D}{f}</math>. D/f tipikus értéke 0,3 körüli, de a maximálisan elérhető felbontóképesség akár a hullámhossz nagyságrendjébe esik.

===Távcső===
A távcsövek konfokális (egybeeső fókuszponttal rendelkező) összetett lencserendszerek. A tárgy a végtelenben van, a kép is egy végtelen távoli pontban keletkezik. Laterális nagyításról tehát nincs értelme beszélni, csak szögnagyításról.

Mátrixoptikával úgy lehet leírni, hogy egy fókuszálás, majd szabad terjedés, majd még egy fókuszálás megy végbe, ez három mátrix szorzataként írható fel. Formálisan a fókusztávolság végtelen, ha a két lencse közötti távolság <math>d = f_1 + f_2</math>.

Szögnagyítás: <math>|M_{22}| = \frac{f_2}{f_1}</math>

Távcső felbontása: <math>\frac{\lambda}{D}</math>, ahol D a távcső lencséjének átmérője (csillagászati távcsöveknél 10 m nagyságrendű).

A különböző típusú távcsövekről:
*Kepler távcső (csillagászati távcső): két gyűjtőlencse, <math>d = f_{obj} + f_{ok}</math>
[[Kép:keplertavcso.png|center|300px]]

*Galilei-féle távcső (színházi távcső): az objektívje gyűjtőlencse, az okulárja szórólencse, és <math>d = f_{obj} - f_{ok}</math>, egyébként ugyanaz, mint az előző.

*Newton-távcső: hasonló elvi elrendezésa fentiekhez, ám ezúttal tükrökkel megvalósítva.
[[Kép:newtontavcso.png|center|300px]]

*Cassegrian-távcső: szintén tükrös távcső, az alábbi elrendezéssel.
[[Kép:cassegriantavcso.png|center|300px]]

A tükrös távcsövek előnyei a lencsésekkel szemben, hogy olcsóbban, nagyobb átmérőjű tükrök állíthatóak elő, ezáltal jobb felbontást lehet elérni. Valamint ugyanolyan felbontást kisebb méretű távcsővel lehet elérni.

==Optikai jelenségek a természetben, kausztikák==
Először ejtsünk néhány szót a kausztikákról. A kausztika jelentése: görbesereg burkolója. Az optikában kausztikák akkor alakulnak ki, ha (közel) párhuzamos fénysugarak esnek egy nem sík felületre. Emiatt alakul ki a szivárvány, a tavakon naplementekor látható fényes sávok, valamint a henger alakú üvegalkalmatosságok alján látható furcsa fényfoltok.
[[Kép:kausztika.png|center|thumb|300px|Kausztika egy pohár aljánál]]

*A szivárvány: feltételezzük, hogy a vízcseppek gömb alakúak (nem teljesen igaz, de a jelenség lényegileg nem változik sokat a gömbtől eltérő cseppalak esetén sem). Ha sok párhuzamos fénynyaláb érkezik rá egy irányból, akkor ezek a csepp határán megtörnek, majd a cseppben haladnak, annak falán (akár többször is) visszaverődnek, ezáltal (mivel a különböző színű (frekvenciájú) fénysugarak egy kicsit eltérően törnek ugyanolyan törésmutatójú közegben is) a különböző színek szétválnak, máshol lépnek ki cseppből néhány visszaverődés után. Ha sok ilyen cseppre esnek ugyanolyan irányból érkező párhuzamos fénysugarak, akkor a cseppekből a fény nagy része ugyanolyan irányban jut ki, ezt látjuk szivárványnak.
[[Kép:szivarvany.png|center|thumb|300px|A szivárvány kialakulásának vázlatos képe és egy látható szivárvány]]

*Nagyobb tavaknál, például már a Balatonnál is lehet látni naplementekor a következő jelenséget: ha a vízre nézük, fényes csíkot látunk rajta, mintha a Nap ráfolyt volna a vízre egy sávon. Ennek oka, hogy a víz hullámzik, így a fénysugarak különböző irányba verődnek vissza a felületéről, ahogy azt az alábbi ábra is szemlélteti:
[[Kép:fenysav.png|center|300px|thumb]]

A fényes sávot azért látjuk, mert minden hullámnak van olyan része, ami a szemünk irányába veri vissza a fényt, így a sok különböző helyről szemünkbe jutó napfényt egy összefüggő fényes sávnak látjuk.

<hr />
<references />

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-15T12:05:35Z

Kofaragoka: /* Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek, a kevés hiányosságot Einstein általános relativitáselmelete pótolta. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100 MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy univerzum homogén és izotrop.
* Megfigyelések szerint az univerzum tágul (a Hubble-törvénynek megfelelően), ha ezt a folyamatot időben megfordítjuk, akkor eljutunk az ősrobbanás alap gondolatához.
Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)
* Kozmikus háttérsugárzás

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben:

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto a^{-4}</math> és <math>a \propto t^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto a^{-3}</math> és <math>a \propto t^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==
A galaxisok főleg hidrogénből és héliumból keletkeztek a saját gravitációjuk hatására. Két elmélet létezik:

* Felülről lefelé elmélet: A csillagközi H-ből és He-ból nagy a mai galaxisok méretével összemérhető felhők alakultak ki a saját gravitációjuk miatt, majd ezekben születtek meg a csillagok, amikortól már galaxisnak tekinthetők ezek a képződmények.

* Alulról felfelé elmélet: A csillagközi H és He kis méretű felhőkké állt össze, ezekben születtek az első csillagok. Majd ezek a kis méretű galaxisok ütköztek, és így álltak össze nagy galaxisokká.

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}\sim{M^{-2,5}}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-15T09:39:16Z

Kofaragoka: /* Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben:

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto a^{-4}</math> és <math>a \propto t^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto a^{-3}</math> és <math>a \propto t^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==
A galaxisok főleg hidrogénből és héliumból valamint sötét anyagból keletkeztek a saját gravitációjuk hatására. Két elmélet létezik a galaxisok keletkezésére:

* Felülről lefelé elmélet: A csillagközi H-ből és He-ból nagy a mai galaxisok méretével összemérhető felhők alakultak ki a saját gravitációjuk miatt, majd ezekben születtek meg a csillagok, amikortól már galaxisnak tekinthetők ezek a képződmények.

* Alulról felfelé elmélet: A csillagközi H és He kis méretű felhőkké állt össze, ezekben születtek az első csillagok. Majd ezek a kis méretű galaxisok ütköztek, és így álltak össze nagy galaxisokká.

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}\sim{M^{-2,5}}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-15T09:20:36Z

Kofaragoka: /* A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben:

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto a^{-4}</math> és <math>a \propto t^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto a^{-3}</math> és <math>a \propto t^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}\sim{M^{-2,5}}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-15T09:13:49Z

Kofaragoka: /* Friedmann-egyenletek szemléletes értelme */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben:

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto a^{-4}</math> és <math>a \propto t^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto a^{-3}</math> és <math>a \propto t^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-15T09:02:22Z

Kofaragoka: /* Friedmann-egyenletek szemléletes értelme */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnégyzet függ a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben :

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-15T08:53:18Z

Kofaragoka: /* Friedmann-egyenletek szemléletes értelme */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben :

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

ahol <math>\rho_{krit}</math> értékét úgy kaphatjuk meg, hogy az első Friedmann egyenletben vesszük a <math>\Lambda=0</math> és <math>k=0</math> esetet. Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T21:41:23Z

Kofaragoka: /* Friedmann-egyenletek szemléletes értelme */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben :

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai. Ezért felelős az úgynevezett sötét energia, amiről ma még nem tudjuk, hogy mi is valójában.

<math>k</math> a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

Ma úgy gondoljuk, hogy <math>\rho=\rho_{krit}</math>, tehát <math>\Omega=1</math>, amit fel lehet írni az univerzum különböző összetevőinek az összegeként:

:<math>\Omega = \Omega_{radiation}+\Omega_{matter}+\Omega_k+\Omega_\Lambda</math>

ahol ma <math>\Omega_k\simeq{0}</math>, <math>\Omega_{radiation}<<1</math>, <math>\Omega_{matter}=0,3</math> és <math>\Omega_\Lambda=0,7</math>. Itt az <math>\Omega_{matter}</math>-be tartozik mind a látható, mind a sötét anyag (<math>\Omega_{darkmatter}=0,25</math>).

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T21:19:19Z

Kofaragoka: /* Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

Az ősrobbanás modelljének legfontosabb bizonyítékai:
* Hubble-törvény
* Kozmikus háttérsugárzás
* Könnyű elemek előfordulási gyakorisága (75% H és 25% He)

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T21:13:38Z

Kofaragoka: /* Friedmann-egyenletek szemléletes értelme */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha az univerzum homogén és izotróp, akkor a Robertson-Walker metrika használható, ahol a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró Friedmann-egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-paraméter, amely az univerzum tágulását jellemzi és aminek a mai értéke a Hubble-konstans, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{\rho}{\rho_{krit}}=\frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T21:09:51Z

Kofaragoka:

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

==A csillagok energiatermelése:==

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T19:46:16Z

Kofaragoka: /* A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése ==
Ahhoz, hogy egy csillag keletkezzen egy gázfelhőből a sűrűségének meg kell haladnia egy kritikus értéket. Ez történhet úgy, hogy egy szupernova robbanás összenyomja a környező gázt vagy a galaxiskarokban, amik haladó sűrűséghullámok vagy pedig galaxisok ütközésekor. A galaxisok ütközésekor nagyon kicsi annak a valószínűsége, hogy a konkrét csillagok ütközzenek, de a galaxisban lévő gázfelhők ütköznek, és ezekben sok új csillag születhet.

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A csillagok energiatermelése:

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T19:40:38Z

Kofaragoka: /* Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A csillagok energiatermelése:

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>L=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T19:40:08Z

Kofaragoka: /* Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A csillagok energiatermelése:

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{L}{4\pi r^2}</math> a fluxus és L a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>l=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T19:39:36Z

Kofaragoka: /* A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<4 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra. Ha a H elfogy egy csillagban, akkor a gravitáció összehúzza, így felmelegszik, és ezért beindul a He fúziója is, majd ha az is elfogy akkor ugyanúgy a gravitáció összehúzza, és beindulnak a magasabb elemek fúziója is egészen a vasig. Egy kis tömegű csillag (<4 <math>M_{Nap}</math>) esetében a He a legmagasabb, ami tud fuzionálni, amikor ez is elfogy az összehúzódás utáni melegedés miatt keletkező fotonok miatt ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillag megmaradt részéből fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szívhat el társcsillagáról, és amikor a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>4 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (>60 <math>M_{Nap}</math> tömegű csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely. A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

A csillagok luminozitása és a tömege között kapcsolat van (<math>L</math>~<math>{M^{3,5}}</math>), a csillag élettartamára pedig igaz, hogy

<math>t\sim\frac{M}{L}</math>

Tehát minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A csillagok energiatermelése:

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{l}{4\pi r^2}</math> a fluxus és l a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>l=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T16:54:12Z

Kofaragoka: /* A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak, csillagok energiatermelése ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<8 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

Ha egy kistömegű (<8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörösóriássá válik, majd ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillagból fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szipkázhat el társcsillagáról, és amikor a a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (ált. 30-50 naptömeg feletti csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

Általánosságban igaz, hogy minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A csillagok energiatermelése:

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

<math>^{12}C+^1H\rightarrow{^{13}N}+\gamma</math>

<math>^{13}N\rightarrow{^{13}C}+e^++\nu</math>

<math>^{13}C+^1H\rightarrow{^{14}N}+\gamma</math>

<math>^{14}N+^1H\rightarrow{^{15}O}+\gamma</math>

<math>^{15}O\rightarrow{^{15}N}+e^++\nu</math>

<math>^{15}N+^1H\rightarrow{^{12}C}+^4He</math>

A folyamatban a C, a N, és az O csak katalizátorként vesznek részt. A CNO ciklus a nagyobb csillagokra jellemző.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{l}{4\pi r^2}</math> a fluxus és l a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>l=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T13:32:38Z

Kofaragoka: /* A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<8 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

Ha egy kistömegű (<8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörösóriássá válik, majd ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillagból fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szipkázhat el társcsillagáról, és amikor a a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (ált. 30-50 naptömeg feletti csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

Általánosságban igaz, hogy minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

A csillagok energiatermelése:

p-p lánc:

<math>^1H+^1H\rightarrow{^2D}+e^++\nu</math>

<math>^2D+^1H\rightarrow{^3He}+\gamma</math>

<math>^3He+^3He\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math>

Tehát összességében: <math>6^1H\rightarrow{^4He}+^1H+^1H</math> + melléktermékek

Ez jellemző a kisebb csillagokra, pl a Nap magjában is ez a fontos.

CNO ciklus:

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{l}{4\pi r^2}</math> a fluxus és l a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>l=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T12:55:05Z

Kofaragoka: /* Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<8 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

Ha egy kistömegű (<8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörösóriássá válik, majd ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillagból fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szipkázhat el társcsillagáról, és amikor a a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (ált. 30-50 naptömeg feletti csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

Általánosságban igaz, hogy minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{(F)}</math>, ahol <math>F=\frac{l}{4\pi r^2}</math> a fluxus és l a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>l=\frac{dE}{dt}</math>.

Két csillag fluxus-arányából a magnitúdó-arányuk:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Azért van ott a mínusz jel és a 2,5-ös szorzó faktor, hogy az ókori görögök skálájához hasonlót kapjunk. A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív (látszólagos) és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi az a fényesség, amit akkor látnánk, ha az objektum 10 pc-re lenne. Az előző képletben <math> m_1 </math> és <math> m_2</math> a látszólagos magnitúdók. A Nap látszólagos magnitúdója -27, abszolút magnitúdója pedig +4,83. Egy csillag abszolút fényessége és látszólagos fényessége között a következő összefüggés áll fent:

<math>m-M=-2,5\log \left(\frac{10}{r}\right)^2=5 \log (r) - 5</math>

ahol <math>m</math> a látszólagos magnitúdó, <math>M</math> az abszolút magnitúdó és <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem tágulása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és a Hubble-törvénynek megfelelően minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}

Az asztrofizika alapjai

2011-06-14T12:04:46Z

Kofaragoka: /* Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény */

==Newton-féle gravitációs erőtörvény==
A gravitáció négy alapvető kölcsönhatás egyike az univerzumban, és az egyetlen amely a nagyskálás szerkezetet meghatározza. A legkorábbi kvantitatív megfogalamzása Newton-hoz köthető:

:<math>F = \gamma\frac{M_1 M_2}{r^2}</math>

azaz az elektrosztatikus Coulomb-törvényhez hasonló alakú, reciproknégyzetes lecsengésű erő, amely azonban csak vonzó formában ismert. A Newton-i erőtörvény igen jó leírását adta a gravitációs jelenségeknek egészen addig, amíg Einstein általános relativitáselmelete létre nem jött. Ez utóbbi határeseteként tartalmazza a Newton-i erőtörvényt.

== Az ősrobbanás elmélet alapvető feltevései ==
A Big Bang modell a kozmológia Standard modellje. Elsősorban megfigyelésekre és az általános relativitáselméletre épül.
* Az univerzum megfigyelések szerint nagy skálán (100MPc felett) homogén (az anyag eloszlása egyenletes), erre alapul a kozmológiai elv, vagyis az a feltételezés, hogy létezik olyan vonatkoztatási rendszer, melyben az univerzum homogén és izotrop(abszolút vonatkoztatási rendszer).
* A Hubble-törvény úgy interpretálható, hogy az univerzum tágul. Ha ezt extrapoláljuk korai időszakokra, akkor az energiamegmaradás miatt az univerzumnak korábban nagyobb volt az energiasűrűsége, az univerzum nem sztatikus.
* A tágulásból és az energiamegmaradásból az ősrobbanás még nem következik. Hiszen elképzelhető lenne pl. az is hogy az u energiasűrűség valami véges értékhez konvergál a végtelenben. Mivel az univerzumban az egyetlen ismert nagy hatótávolságú erő a gravitációs erő, ezért annak az elméletéből kell kiindulni, ez pedig az általános relativitáselmélet. Ennek az eddigi alapelvekre való alkalmazásából már következik az ősrobbanás.

== Friedmann-egyenletek szemléletes értelme ==
Az univerzum tágulásának tárgyalásakor elengedhetetlen az általános relativitás elmélet kereteiben történő tárgyalás. Tömören összefoglalva a tér-idő távolságokat magábanfoglaló ívelemnégyzet (lásd [[A_relativitás_elmélet_alapjai#Relativisztikus_fizika | itt]]) függ a helytől, és ez a függés kapcsolatban van a tömegekkel. A helyfüggést leíró görbületi tenzor, és az anyag állapotegyenletét magábanfoglaló feszültségtenzor között az Einstein-egyenletek teremtenek kapcsolatot. Ha a tágulást egy skálafaktorral (a) jellemezzük az ívelemben:

:<math>ds^2 = a(t)\cdot ds_3(k) - dt^2 </math>

itt <math>ds_3(k)</math> a háromdimenziós ívelemnézgyet a térkoordinátáktól, ami különböző geometriájú unierzumoknak felel meg, ezeket ''k'' paraméterezi. A fenti ívelemmel az univerzum tágulását leíró egyenletek homogén, izotrop közelítésben (az Eistein-egyenletekből 10 egyenlet származtatható (szimmetrikus négyestenzorok...), de az izotrópia miatt a tenzoroknak csak két független komponense lesz):

:<math>H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

:<math>\dot{H} + H^2 = \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4 \pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}</math>

Ezek a kozmológia alapegyenletei.
''H'' a Hubble-állandó, amely az univerzum tágulását jellemzi, ''G'' a gravitációs konstans, <math>\Lambda</math> a kozmológiai konstans, ''c'' a fénysebesség, ''k'' az univerzum görbületét jellemző mennyiség (sík, gömb, vagy hiperbolikus felület). A kozmológiai állandó olyan, hogy pozitív energiasűrűséghez negatív nyomást rendel. Ezzel magyarázzák ma a gyorsuló tágulást, és ezt tartalmazzák a Friedmann egyeletek legjobboldalibb tagjai.

Az Univerzum fejlődésének az energiamegmaradásra, a kozmológiai elvre és a általános relativitás elvére épülő, <math>\Lambda=0</math> választással felírt modellje a standard kozmológiai modell. Ekkor az egyenletek:

:<math>\frac{8 \pi G}{3c^2}u=\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2+ k\frac{c^2}{a^2}</math>

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(ua^3)+P \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(a^3)=0</math>

A <math>k=\mathrm{sgn}R</math> szorzó a téridő általános geometriáját adja meg:

*A <math>k=+1</math> megfelel a pozítív görbületű, zárt térnek, mely határtalan, de véges. Az ilyen geometriájú táguló Univerzum két dimenzióban felfúvódó léggömbbel szemléltethető. Az ilyen térben a háromszög szögeinek összege több, mint 180 fok.

*<math>k=-1</math> esetben negatív görbületű, nyílt, végtelen térről beszélünk, melynek kétdimenziós megfelelője a nyeregfelület. Ilyen térben a háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180 fok.

*<math>k=0</math>-nál sík, euklidészi térről van szó.

A már említett <math>a(t)</math> skálafaktort <math>|k|=1</math> esetben a következő összefüggés adja meg:

:<math>ka^2=\frac{c}{R}</math>

Tehát ez a négydimenziós térben adott ponthoz simuló négydimenziós gömb sugara (lokális görbületi sugár). Abszolút vonatkoztatási rendszerben bármely két pont távolsága arányos <math>a(t)</math>-vel. <math>k=0</math> esetben a fenti definíció nem érvényes, ekkor <math>a</math>-t egyszerűen bármely két, abszolút rendszerben rögzített pont távolságaként határozzuk meg.

Az egyenletet átalakítva relativisztikus és nem relativisztikus esetekben a következő arányosságokat kaphatjuk:

a, Relativisztikus esetben (sugárzás dominálta univerzum) felhasználva, hogy a nyomás és a sűrűség között a <math>p = 3\rho</math> összefüggés áll fenn:

<math>\rho \propto R^{-4}</math> és <math>R \propto t^{1/2}</math>

Ekkkor a skálafaktor időfüggése:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{1/2}</math>

b, Nem relativisztikus esetben (anyag dominálta univerzum) esetén pedig <math>p = 0</math> összefüggés teljesülése mellett:

<math>\rho \propto R^{-3}</math> és <math>R \propto t^{2/3}</math>

Ebben az esetben a skálafaktor:

<math>a(t)=a_0 \left(\frac{t}{t_o}\right)^{2/3}</math>

Definiálhatjuk az <math>\Omega</math> sűrűség paramétert. Ez szemléletesen az univerzum időfejlődését paraméterezi, ha 1-nél kisebb az univerzum örökké tágul, ha 1-el egyenlő akkor a végtelenségig lassul a tágulás, ha nagyobb, akkor egy időután újra összeroppan.

:<math>\Omega = \frac{8 \pi G \rho}{3H^2}</math>

== Galaxisok kialakulása, morfológiája, Hubble törvény ==

A galaxisok osztályozását a Hubble diagram szemlélteti:
[[Fájl:hubble_villa.jpg]]

A villa nyelén vannak az elliptikus galaxisok E0-tól E7-ig. Itt a számot az ellipszis tengelyeinek hosszából számolják a <math>10(a-b)/a</math> képlettel. Ez természetesen függ attól, hogy a galaxist milyen irányból látjuk. A fölső és az alsó ágon vannak a spirálgalaxisok. Az alsón az úgy nevezett küllős spirál galaxisok (spiral with bar, innen jön az SB rövidítés), ezeknél a spirál karnak van egy egyenes szakasza a maghoz közel. Az S0 az átmenet az elliptikus és a spirál galaxis között, ezt szokták lencse alakúnak vagy lentikulásrisnak nevezni. A mag/korong arány csökken az Sa-tól az Sc-ig, a karok nyílásszöge és a kontrasztossága pedig nő az Sa-tól az Sc-ig. A Hubble-féle osztályozásba a galaxisok 95%-át be lehet sorolni, a maradék 5% az irreguláris galaxisok. Ilyenek például az ütköző galaxisok, érdekesség, hogy a nagyon messzi galaxisoknak az 50%-a irreguláris.

Hubble-törvény: <math>v=Hr</math> ahol H a Hubble-állandó (71 km/s/Mpc). A Hubble-állandó pontos mérése nagyon fontos, mert a Hubble-törvényben szerelő sebességet a vörös eltolódás alapján meg tudják mérni, és így ez alapján lehet egy galaxis távolságát meghatározni. Sokáig viszont nem tudták pontosan megmérni a Hubble-állandót, csak nagyságrendileg tudták meghatározni, ezért azt mondták, hogy <math>H=100h</math> km/s/Mpc, és <math>h</math>-t meghagyták a képletekben paraméterként.

== A HR diagram és a csillagfejlődés szemléletes képe, kompakt objektumok: fehér törpék, neutroncsillagok, fekete lyukak ==

A Hertzsprung-Russel Diagram (HRD) a csillagok hőmérsékletét és a hozzátartozó fényességet szemlélteti. A diagramon kirajzolódó ágak azokat a csillagfejlődési állapotokat mutatják, ahol a csillagok huzamosabb időt eltöltenek. A csillagok fejlődésük során változtatják a helyüket a HRD-n, attól függően, hogy kis (<8 <math>M_{Nap}</math>), vagy nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillagokról beszélünk, más-más fejlődési utat járnak be.

[[Kép:HRD.jpg|center|500px]]

A főágon tartózkodó csillagokban H-fúzióval történik az energiatermelés, amikor viszont a a H elfogyott, nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, a csillag vörös-óriássá válik, és átkerül az óriás ágra.

A HRD vízszintes tengelyén a színképosztályok is szerepelhetnek például, ezeket a hőmérséklet alapján osztották fel. A legfőbb osztályok: O, B, A, F, G, K, M. Ezeken belül 0-tól 9-ig vannak alosztályok is felvéve. A Nap a G2-es osztályba tartozik.

Ha egy kistömegű (<8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörösóriássá válik, majd ledobja légkörét egy planetáris ködöt hagyva maga után, illetve a csillagból fehér törpe lesz, ami lassacskán kihűl. Amennyiben a csillagnak volt társa, a fehér törpe anyagot szipkázhat el társcsillagáról, és amikor a a tömege eléri a Chandrasekar-határt (1,4 naptömeg), akkor Ia típusú szupernóvarobbánsban felrobban.

Ha nagytömegű (>8 <math>M_{Nap}</math>) csillag elfejlődik, akkor vörös szuperóriás lesz belőle. A csillag magjában az egyre nehezebb elemek fúziója kezdődik meg, egészen a vasig (ez van a potenciálgödör mélyén, eddig mehet a fúzió). A fúzió leállása miatt a hidrosztatikai egyensúly felborul, neutrínók visszapattannak a vasmagról, lökéshullám keletkezik, és II. típusú szupernóva robbanás következik be. A maradvány csillag lehet egy neutroncsillag, vagy fekete lyuk, tömegtől függően (ált. 30-50 naptömeg feletti csillagokból lesz fekete-lyuk, ezalatt pedig neutroncsillag). A neutroncsillagok egy gyorsan forgó változata a pulzár, ahol nem esik egybe a forgástengely és a mágneses tengely.

[[Kép:csillagok_fejlodese.jpg|center|500px]]

Általánosságban igaz, hogy minél nagyobb a csillag tömege, annál gyorsabban elfejlődik, élettartama annál rövidebb.

A fehér törpéket és a neutroncsillagokat a degenerált Fermi-gáz nyomása stabilizálja, ez áll ellen a gravitációnak.

== Megfigyelés alapjai: luminozitás, magnitúdó, vöröseltolódás ==
Pogson képlet:

<math>m_1-m_2=-2,5 \log \frac{F_1}{F_2}</math>

Ez adja még két csillag fluxus-arányából (<math> F_1</math> és <math> F_2 </math>)a fényesség-arányukat(<math> m_1 </math> és <math> m_2</math>).

Magnitúdó: csillagászati fényességskála egysége: <math>m=-2.5\log{F}</math>, ahol F a fluxus. <math>F=\frac{l}{4\pi r^2}</math> ahol l a luminozitás. Ez utóbbi pedig az égitest által kisugárzott energia minden irányban: <math>l=\frac{dE}{dt}</math>

A magnitúdóskála fordított, tehát minél fényesebb egy csillag, annál kisebb szám a magnitúdója. Létezik relatív és abszolút magnitúdó. Előbbi a Földről nézve egy objektum fényessége, utóbbi 10 parszekről nézve. Egy csillag abszolút fényessége és látszó fényessége között a következő összefüggés áll fent (a Pogson-képletből):

:<math>m-M=5 \log r - 5</math>

<math>m-M</math> a távolságmodulus, <math>r</math> a csillag tőlünk mért távolsága pc-ben. Tehát, ha valamilyen módon meghatározhatjuk az objektum abszolút fényességét, akkor a képlet segítségével kiszámolhatjuk a távolságot (a látható fényesség mérhető). Az abszolút fényesség meghatározására több módszer is létezik (periódus-fényesség reláció Cefeidákra és RR Lyr-ekre, SN-k, stb...).

Vöröseltolódás: ld. Doppler-effektus. Akkor lép fel, ha egy objektum távolodik tőlünk, színe egyre vörösebb lesz, a színképvonalai a hosszabb hullámhosszak felé tolódnak el. A világegyetem távolodása miatt a kozmikus objektumnál ez a jelenség lép fel, és természetesen minél távolabb van egy objektum, annál nagyobb a vöröseltolódása. Ezen a jelenségen épp ezért távolságmeghatározási módszerek is alapulnak. A vöröseltolódás ellentettje a kékeltolódás, amikor egy égitest közeledik felénk (pl. Androméda-galaxis, a Tejútrendszer spirálgalaxis szomszédja).

{{Záróvizsga}}