A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer forrásának megtekintése

== Statisztikus fizikai szimulációk alapjai ==
Legyen egy sokaságunk, aminek az energiája <math>E=E(\vec{r})</math>, ahol <math>\vec{r}</math> az összes szabadsái fokot tartalmazza (mechanikai rendszerre <math>\vec{r} = (\vec{q}, \vec{p})</math>). Ha a rendszer követi a Boltzmann-statisztikát, akkor a rendszer <math>[\vec{r}, \vec{r}+d \vec{r}]</math> intervallumban való megtalálási valószínűsége:

<math>P(\vec{r})d\vec{r} = \frac{e^{-\beta E(\vec{r})}}{Z}d\vec{r}</math>

Egy ''A'' mennyiség átlagát a sokaságon a következőképp számoljuk (PS = phase space = fázistér):

<math>\langle A \rangle = \int_{PS} A(\vec{r}) \frac{e^{-\beta E(\vec{r})}}{Z}d\vec{r}</math>

Az integrált csak akkor tudjuk egzaktul kiszámolni, ha a fázistér minden pontjára kiértékeljük a függvényt, és úgy átlagolunk. A Monte-Carlo integrálással ezt a problémát oldhatjuk meg. Az <math>\int d\vec{r}</math> helyére <math>\frac{1}{N} \sum</math> írunk, így egy véges összeget kell elvégeznünk. A pontok számát (N) az határozza meg, hogy mekkora pontossággal akarjuk az integrált meghatározni. Az integrál dimenziójától függetlenül a hiba <math>1/\sqrt{N}</math> szerint csökken, vagyis 10x nagyobb pontossághoz 100x annyi pontot kell kiszámolni.

== Molekuladinamika ==
A molekuladinamika a részecskék mikroszkopikus dinamikájának követésével foglalkozik. Valódi rendszerben 10<sup>23</sup> nagyságrendű részecske van, ezt a mai számítógépekkel szimulálni lehetetlen. Azonban ennél kevesebb részecskét is elég szimulálnunk ahhoz, hogy a termodinamikai tulajdonságokat vizsgálhassuk. A szimulációkban a párkölcsönhatásokat vesszük figyelembe, ám lehetséges közelítéseket tenni. A részecskék közt a Van der Waals erő hat, ami elég gyorsan lecseng, így távoli részecskék közt elhanyagolható (ezen a pontot különbözik a molekuladinamika és a gravitációs N-test szimuláció, ahol az 1/r<sup>2</sup>-es erő miatt nem hanyagolható el a kölcsönhatás). 

A szimulációban van tehát N darab részecske, melyekre a Newton-törvények alapján kiszámítjuk a rájuk ható erőt, majd léptetjük a rendszert. Mivel a kezdőállapotokat általában nem a termodinamikai egyensúlyból indítjuk, meg kell várni, hogy a rendszer beálljon abba. Hogy mikor állt be, azt az ekvipartíció segítségével mutathatjuk ki:

<math>\left \langle \frac{1}{2}mv^2 \right \rangle = \frac{3}{2}kT</math>

Ha a rendszer elérte az egyensúlyi állapotát, mérhetővé válnak a termodinamikai változók (hőmérséklet, nyomás, hőkapacitás, stb.)

===Fizikai mennyiségek mérése a szimulációkban===
====Pillanatnyi hőmérséklet====
Bár azt mondtuk, hogy a rendszert az egyensúlyi állapotában vizsgáljuk, a nem egyensúlyi állapotban is bevezethetünk egy ''pillanatnyi hőmérsékletnek'' nevezett mennyiséget. Termikus egyensúlyban igaz az ekvipartíció:

<math>3(N-1) \cdot \frac{1}{2}k_BT = \left \langle \frac{m}{2} \sum_{i=1}^N v_i^2 \right \rangle</math>,

ahol 3(N-1) a szabadsági fokok száma (a TKP 3 koordinátája van levonva). A nem egyensúlyi helyzetben, bár nem igaz az ekvipartíció, ezt a képletet alkalmazhatjuk a hőmérséklet meghatározására.

====Teljes energia====
<math>E = \frac{m}{2} \sum_{i=1}^N v_i^2 + \sum_{i \neq j} U(|r_i - r_j|)</math>

====Hőkapacitás====
Fluktuáció-disszipáció tétel alapján:

<math>C_V = \frac{1}{k_BT^2}[\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2]</math>

====Nyomás====
A nyomást a viriál-tétel segítségével fejezhetjük ki:

<math>pV = Nk_BT + \frac{1}{3} \left \langle \sum_{i<j} r_{ij} \cdot F_{ij} \right \rangle</math>

===Verlet-algoritmus===
Molekuladinamikai szimulációkban legtöbbször a Verlet-algoritmust használják a diffegyenletek megoldására. A Runge-Kuttával szemben több előnye van:
* gyorsabb, mert egy lépésben csak egyszer kell a gyorsulásokat számolni
* majdnem olyan pontos, mint a RK4 (<math>O(\tau^4) \text{vs.} O(\tau^5)</math>)
* jól megőrzi az energiát
* időtükrözésre nem változik (ez a részleges egyensúly feltétele miatt fontos)

A Verlet-algoritmus egy lépése ('''R(t)''' a koordináták, '''V(t)''' a sebességek, '''A(t)''' a gyorsulások):

<math>R_{n+1} = 2R_n - R_{n-1} + \tau^2 A_n + O(\tau^4)\,</math>

<math>V_n = \frac{R_{n+1} - R_{n-1}}{2\tau} + O(\tau^2)</math>

Hátrányai:
* két előző lépést használ, így nem indítható 1 kezdeti feltételből
* a sebesség és a pozíció nem egyszerre frissítődik, a sebesség "le van maradva"

Megoldás: velocity-Verlet algoritmus:

<math>R_{n+1} = R_n + \tau V_n + \frac{\tau^2}{2} A_n + O(\tau^3)</math>

<math>V_{n+1} = V_n + \frac{\tau}{2} (A_{n+1} + A_n) + O(\tau^3)</math>

* R-ben már csak <math>O(\tau^3)</math> pontosságú
* ez már nem 2 előző lépést használ
* koordináták és sebességek egyszerre frissülnek
* sebesség is <math>O(\tau^3)</math> pontosságú

== A Metropolis algoritmus ==
A Metropolis algoritmus egy eljárás, amivel bonyolult valószínűségi eloszlások mintavételezhetőek. Másképp megfogalmazva szeretnénk előállítani egy <math>P</math> eloszlást, a kérdés az, hogy milyen átmeneti valószínűségekkel <math>(W)</math> vezérelt folyamat (egészen pontosan Markov-folyamat) vezet ilyenre? A módszer kihasználja a részletes egyensúly elvét, ez esetünkben azt jelenti, hogy:

:<math>P_i W_{ij} = P_j W_{ji}\,</math> teljesül minden <math> i, j</math>-re.

Ez még kevés feltétel az átmeneti valószínűségekre, ezért a Metropolisz megkötés a következő:

:<math>W_{ij} = \mathrm{min}\left[1, \frac{P_j}{P_i} \right]</math>

Bár általánosan tetszőleges eloszlás előállítható, fizikában általában valamilyen egyensúlyi eloszlást szeretnénk előállítani. Például, ha termális egyensúlyt szeretnénk, akkor <math>P \propto \exp\left( -\beta E \right)</math>, és a Metropolisz megkötésben szereplő hányados is exponenciális alakban írható. A <math>P</math>-t előállító eljárás a következő:

# Induljunk ki egy A konfigurációból.
# Állítsuk elő a megváltoztatott B konfigurációt.
# Számoljuk ki erre a két konfigurációra a megkötésben szereplő hányadost.
# Generáljunk egy 0-1 intervallumon vett egyenletes eloszlású véletlen számot: X.
# Ha <math>W_{AB} > X </math> akkor a B konfigurációt fogadjuk el, ellenkező esetben marad az A.
# Ismételjük 1-től.

== A Monte-Carlo módszer ==
A Monte-Carlo módszernek nevezzük az olyan eljárásokat, amelyek a problémákat random számok és valószínűségek felhasználásával oldják meg. Az eljárás során ismétlődően kiértékelünk egy determinisztikus modellt, random számokat használva inputnak. Akkor használják, ha a feladat nagyon összetett, nemlineáris, bonyolultak a határfeltételei, vagy nagyon sok paramétertől függ, illetve sok dimenziós.

Használata:
# Állítsuk föl a modellt: y = f(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>q</sub>)
# Generáljunk random számokat inputnak: x<sub>i1</sub>, x<sub>i2</sub>, ..., x<sub>iq</sub>
# Értékeljük ki a modellt, az eredményt tároljuk el y<sub>i</sub>-ben
# Ismételjük a 2. és 3. lépéseket n-szer
# Elemezzük az eredményeket hisztogram, összesítő statisztikák, stb. segítségével

{{MSc záróvizsga}}