Elektro- és magnetosztatika, áramkörök forrásának megtekintése

==Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram==

===ELektrosztatika===

'''Sztatika''' esetén nincsen időbeli változás, tehát a [[Maxwell-egyenletek]]ben <ref>Teljes Maxwell-egyenletek: [[Elektrodinamika|itt]]</ref> szereplő, időderiváltakat tartalmazó targok 0-t adnak járulákul. Így a sztatikus Maxwell-egyenletek [[SI]]-ben: 

:<math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\frac{\varrho}{\varepsilon_{0}}</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{E}=0</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B}=\frac{\mathbf{j}}{\varepsilon_{0}c^{2}}</math>

:<math>\operatorname{div}\mathbf{B}=0</math>

ahol <math>\mathbf{E}</math> az elektromos térerősség, <math>\mathbf{B}</math> a mágneses indukció, <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség, <math>\varrho</math> az elektromos töltéssűrűség, <math>\varepsilon_{0}</math> a vákuum dielektromos állandója.

====Gauss-törvény====

[[Gauss]]-törvénynek az első [[Maxwell]]-egyenletet nevezzük. Az [[elektromos töltés]]ek, vagy [[töltéseloszlás]], és az [[elektromos tér]] kapcsolatát adja meg. Integrális formában azt mondja ki, hogy ha egy <math>q</math> töltést körbeveszünk egy zárt felülettel, akkor arra integrálva az elektromos teret (<math>\mathbf{E}</math>), a töltéssel arányos mennyiséget kapunk:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{1}{\varepsilon_0}q
</math>

Ahol <math>\varepsilon_0</math>, az arányossági tényező reciproka, a vákuum [[dielektromos állandó]]ja. Általánosabban felírhatjuk töltéseloszlásra is, aminek alesete több [[ponttöltés]]:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \varrho(\mathbf{r}) dV
</math>

Ezt nevezzük a '''Gauss-törvény integrális formájának'''. <math>\varrho(\mathbf{r})</math> a [[töltéssűrűség]], <math>V</math> pedig az <math>f</math> zárt felület által határolt térfogat. A matematikai Gauss-törvény értelmében egy vektortér divergenciájának térfogatra vett integrálja egyenlő a [[vektortér]] határfelületre vett integráljával, vagyis:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \int_V \operatorname{div} \mathbf{E} dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \varrho(\mathbf{r}) dV
</math>

Mivel az egyenlet két oldalán ugyanarra a térfogyatra integrálunk, az integrandusok is egyenlőek:

:<math>
\operatorname{div} \mathbf{E} = \frac{\varrho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
</math>

Ez a '''Gauss-törvény differenciális formája'''.

====Coulomb-törvény====

Elektrosztatikában minden időderivált eltűnik: <math>\frac{\partial}{\partial t} \equiv 0</math>. Így a [[Faraday]]-törvény (egy másik Maxwell-egyenlet) így alakul:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0</math>

[[Rotáció]]mentes vektorterek előállíthatóak egy skalárfüggvény [[gradiens]]eként, ezért vezessük be a <math>\Phi</math> skalárpotenciált, amelyre igaz:

:<math>
\mathbf{E} = - \operatorname{grad} \Phi
</math>

<math>\Phi</math> skalárpotenciál dimenziója [[energia]]/[[töltés]], így adott töltés esetén arányos a potenciális energiával, és egy <math>q</math> töltést mozgatva [[elektromos tér]]ben <math>A</math> pontból <math>B</math> pontba, megadja a végzett <math>W</math> [[munkát]]:

:<math>W = \int_A^B q \mathbf{E} d\mathbf{s} = - \int_A^B q \operatorname{grad} \Phi d\mathbf{s} = q \left(\Phi(A) - \Phi(B)\right)</math>

A [[gradiens]]es egyenletet beírva a [[divergencia|divergenciásba]], kapjuk a [[Poisson]]-egyenletet:

:<math>
\operatorname{div} \operatorname{grad} \Phi = \Delta \Phi = - \frac{\varrho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}
</math>

A levezetést mellőzve, [[Green-módszer]]rel megoldható az egyenlet, az általános megoldás pedig:

:<math>\Phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{\varrho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}'</math>

Ha az [[Origó]]ban van egyetlen, <math>q_1</math> töltésű ponttöltésünk, akkor <math>\varrho(\mathbf{r}) = q_1\delta(\mathbf{r})</math>. Erre könnyen el lehet végezni az integrált:

:<math>\Phi (\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{q_1\delta(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} d^3\mathbf{r}'=\frac{q_1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{r}</math>

Az ebbe a térbe helyezett <math>q_2</math> töltésre ható erő:

:<math>
\mathbf{F}_{21} = - \mathbf{F}_{12} = \mathbf{E}_1q_2 = -grad \Phi \cdot q_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1q_2}{\mathbf{r}_{12}^2} \cdot \frac{\mathbf{r}_{21}}{r_{21}}
</math>

Ezt nevezzük '''Coulomb-törvénynek'''.

A Maxwell-egyenletek [[linearitás]]a miatt egy adott pontban különböző töltések által keltett elektromos tér értéke megegyezik az egyéni töltések által létrehozott terek vektoriális összegével. Belátható, hogy ez egyenértékű azzal, hogy az egyes töltések által létrehozott skalárpotenciálok is összeadódnak. Ezt nevezzük a '''[[szuperpozíció]] elvének'''.

==Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika==

===Vezetők<ref>Feynman - Mai Fizika 5: 57.9 Elektrosztatika</ref>===

Az elektromos vezetők - általában [[fémek]] - belsejében a [[delokalizált elektron]]ok áramlása hozza létre a vezetés jelenségét. Ezt okozhatja például külső elektromos erőtér. Az így létrehozott [[áram]]ot vagy mozgásban kell tartani egy külső energiaforrással, vagy amint az elektronok kisütik a kezdeti teret létrehozó forrásokat, megállnak. Tehát az elektronok addig mozognak, amíg úgy nem rendeződnek, hogy a belső elektromos tér nulla legyen. Mivel a tér belül zérus, így annak [[divergencia|divergenciája]] is nulla, és a Gauss-törvény értelmében akkor a [[töltéssűrűség]]nek is 0-nak kell lennie. Tehát a töltéseknek a vezető [[felület]]én kell lenniük. Ez képszerűen is logikus: a töltések taszítják egymást, megpróbálnak elszaladni egymás elől, így előbb-utóbb mindenki a falhoz szorulva figyeli a másikat. Ez egy stabil helyzet, amikor nagyjából maximalizálták az egymás közötti távolságot.

Továbbá a vezető felülete [[ekvipotenciális felület]], a térerősségnek itt merőlegesnek kell lennie mindenhol. Ha lenne érintőleges tag, akkor az elektronok elmozdulnának a felület mentén. A [[töltéssűrűség]] arányos a felületnél lévő [[térerősség]] nagyságával:

:<math>\varepsilon_0 \mathbf{E} = \eta.</math>

Különböző sugarú vezető gömbök esetében:

:<math>\frac{E_1}{E_2} = \frac{R_2}{R_1}</math>

Azaz a [[térerősség]] fordítottan arányos a sugárral, nagyobb görbületű helyeken kisebb a térerősség, végtelen kis görbület esetén nagy a térerősség. Ezt nevezzük [[csúcshatás]]nak. Ez alapján működik a [[Segner-kerék]], vagy a villámhárító, a van de Graaff-generátornál is fontos.

A vezető belsejében a térerősség zérus. Igaz ez a vezető belsejében lévő (üres) üregre is. Ez a [[Faraday-kalitka]].

===Dielektrikumok<ref>Feynman - Mai Fizika 5: 62. Dielektrikumok</ref>===

Először [[Faraday]] bácsi fedezte fel, hogy [[közeg]]ekben az [[elektromos tér]] lecsökken. A csökkenés szorzófaktorát nevezte <math>\varepsilon_r</math> [[dielektromos állandó]]nak:

:<math>\varepsilon_r := \frac{E_0}{E} > 1</math>

Ahol <math>E_0</math> az a [[térerősség]], amit ugyanilyen [[töltéseloszlás]] ugyanitt vákuumban hozna létre (pontosabban itt az abszolút értékeket osztjuk egymással). Ennek magyarázata az anyag szerkezetében keresendő. Bizonyos fajta anyagok [[molekula|molekulái]] rendelkeznek saját <math>\textbf{p}</math> [[elektromos dipólmomentum]]mal.

A dipólmomentummal rendelkező molekulákból álló anyagokat nevezzük [[dielektrikum]]nak. Elektromos tér hatására ezek a dipólok beállnak a térrel ellentétesen, leárnyékolva (csökkentve) ezzel a teret. Ez látható az alábbi ábrán is, egy egyszerű modellen. Itt a dipólok egy szabályos rácsba helyezve ülnek az anyagban.

[[Kép:dielektrikum.png|center|thumb|400px|Dielektrikum kondenzátorban]]

Vegyünk egy [[zárt felület]]et, amibe belelóg a [[dielektrikum]] vége. Erre felírva a [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram|Gauss-törvényt]] az [[elektromos tér]] integrálja néhol pozitív lesz (ha éppen kettévágunk egy dipólsort), néhol pedig nulla (ha adott számú semleges dipólt fogtunk körbe). Mivel a [[dipól]]ok igen kicsik, és közel vannak egymáshoz, ezt egy átlaggal közelíthetjük. Ha az <math>f</math> felületen <math>N</math> [[töltés]] van, és <math>\mathbf{P} = \frac{\sum \mathbf{p}}{V}</math>, akkor ez az átlag:

:<math>\bar{q} = \frac{Nq_1 \mathbf{l} + 0 \cdot (d-l)}{d} = \frac{Nq_1 \mathbf{l}}{d} = \frac{N \mathbf{p}}{df} \cdot f = - \int \mathbf{P} d\mathbf{f}</math>

Ez akkor igaz, ha a térfogat, amire integráltunk, tartalmazza a test [[határfelület]]ét, vagyis van egy effektív, úgynevezett [[polarizációs töltés]] a felületen.
A [[Elektro- és magnetosztatika, áramkörök#Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram|Gauss-törvényt]] módosítva kapjuk:

:<math>
\oint_f \mathbf{E} d\mathbf{f} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0}\left( q_{valodi} + q_{polarizacios} \right) = \frac{1}{\varepsilon_0}q_{valodi} - \frac{1}{\varepsilon_0}\oint_f \mathbf{P} d\mathbf{f}
</math>

Ebből:

:<math>
\oint_f \left(\varepsilon_0 \mathbf{E} +  \mathbf{P} \right) d\mathbf{f} = q_{valodi} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \oint_f \mathbf{D} d\mathbf{f}
</math>

Ahol <math>\mathbf{D}</math>-t nevezzük az '''[[elektromos eltolás vektor|elektromos eltolás vektorának]]'''.

[[Kísérlet]]i tapasztalatok alapján [[lineáris közeg]] esetén <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{P}</math> között helyfüggetlen [[lineáris]] kapcsolat van:

:<math>\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E}</math>

Ahol <math>\chi_e</math> az [[elektromos szuszceptibilitás]]. Általános esetben <math>\varepsilon_0</math> egy szimmetrikus [[tenzor]], de [[izotrop]] anyagokban [[skalár]] (vagy felfoghatjuk egy konstans és egy egységmátrix szorzatának). Az [[elektromos eltolás vektor]] így:

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E} = \varepsilon_0 \left(1 + \chi_e \right) \mathbf{E}</math>

Ekkor definíció szerint:

:<math>\left(1 + \chi_e \right) = \varepsilon_r</math>

Ahol <math>\varepsilon_r</math> a '''[[dielektromos állandó|relatív dielektromos együttható]]'''. <math>\varepsilon_r</math> és <math>\varepsilon_0</math> szorzata <math>\varepsilon</math>, a '''[[dielektromos állandó|dielektromos együttható]]''' (vagy [[dielektromos állandó|elektromos permittivitás]]).


====Kondenzátor====

Az [[elektromos töltés]] tárolására készített technikai eszközöket kondenzátornak (régies nevén „sűrítő”-nek) nevezzük. Minden kondenzátor legalább két párhuzamos vezető anyagból (fegyverzet), és a közöttük lévő szigetelő anyagból ([[dielektrikum]]) áll. Az első kondenzátor a [[leideni palack]] volt, amelyet [[Pieter van Musschenbroek]] készített 1746-ban a leideni egyetemen.

A kondenzátor kapacitása: <math>C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}\qquad</math>(ahol <math>A</math> a lemezek területe, <math>d</math> azok távolsága)

Kísérleti tapasztalat alapján, ha [[dielektrikum]]ot teszünk a kondenzátorba, akkor megnő a [[kapacitás]].

<math>C=\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}A}{d}\qquad</math>, ahol <math>\varepsilon_{r}</math> a dielektrikum [[dielektromos állandó|relatív permittivitása]].

Mivel a [[töltés]]ek nem változnak, ezért a [[feszültség]]nek kell csökkennie. Viszont ez a [[potenciál]]különbség nem más, mint a fegyverzetek közötti térerősség [[vonalintegrál]]ja. Ebből az következik, hogy a kondenzátoron belül csökkennie kellett a térerősségnek. 

[[Kép:01Dielektr.png|center|thumb|400px|Dielektrikum kondenzátorban]] 

Itt ugyanúgy alkalmazhatjuk a [[Gauss-tétel]]t, és az ábrán látható (bekeretezett “[[dielektrikum]]”) felületre integrálunk, akkor a leutóbbi következtetésünk alapján arra jutunk, hogy kisebb lesz a [[töltéssűrűség]]. (Olyan, mintha két kis kondenzátort kötnénk sorba.) Ez csak akkor lehet, ha a szigetelő egyik felén pozitív, másik felén negatív töltés indukálódik. (Vezető esetén tényleg ezt is várnánk...)

Ez okozza a kondenzátor [[kapacitás]]ának megnövekedését.

[[Dipólmomentum]]mal nem rendelkező szigetelők molekulái is [[dipól]]okká válhatnak külső elektromos tér hatására. Egy elég jól használható magyarázat: az [[elektron]]okra és a [[proton]]okra más irányú [[erő]]k hatnak, így torzul a részecske, és az elektronok súlypontja nem esik egybe a protonéval egy részecskén belül. Így kialakul egy [[dipól]]us.

Fontos tudni, hogy a [[polarizáció]] '''NEM''' azonos a [[megosztás]] jelenvégével. Ez utóbbiban valódi töltések keletkeznek, és ''vándorolnak'' el a vezetőben, ezzel szemben a polarizációban csak atomi méretű ''töltésszétválás'' történik! 

Számos anyag van, amelyre a fenti [[lineáris]] összefüggés nem igaz, a legérdekesebbek talán az [[elektrétek]], amelyek állandó elektromos teret tartanak fenn, hasonlóan az állandó mágnesek mágneses teréhez.

====Határfeltételek====

Kérdésként merülhet fel, hogy különböző relatív dielektromos állandójú [[dielektrikum]]ok ''határán'' <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> hogyan viselkedik.

Az [[Maxwell-egyenletek]] integrális alakjából következik, hogy sztatika esetén:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{E} d \mathbf{s} = 0</math>

:<math>\operatorname{div} \mathbf{E} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{D} d \mathbf{f} = 0</math>

Ezeket kell kielégíteni a '''határfeltételeken''' is. Felhasználva, hogy <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> megkaphatjuk a többi komponens transzformációját.


'''<math>\mathbf{E}</math> [[tangenciális]] komponense folytonosan megy át a határon.''' Az 1 és 2 közeget elválasztó határfelületen vegyünk fel egy kis (<math>\zeta</math> oldalú) [[négyzet]]et, a négyzet határfelületre [[merőleges]] oldalával tartsunk nullához. Ekkor az első összefüggésből következik, hogy:

:<math>\oint \mathbf{E} d\mathbf{s} = \mathbf{E}_1^t \zeta - \mathbf{E}_2^t \zeta = 0</math>

Azaz két különböző közeg határfelületén az <math>\mathbf{E}</math> elektromos térerősség [[érintő]] irányú komponense folytonosan halad át, a határfelület átlépése során változatlan marad:

:<math>\mathbf{E}_1^t = \mathbf{E}_2^t</math>

A <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> összefüggésből adódik, hogy <math>\mathbf{D}</math> tangenciális komponensének ugrása van a határon:

:<math>\frac{\mathbf{D}_1^t}{\mathbf{D}_2^t} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>


'''<math>\mathbf{D}</math> normál komponense folytonosan megy át a határon.''' Az 1 és 2 közeget elválasztó határfelületen vegyünk fel egy kis (<math>f</math>  felületű) kockát, a kocka határfelületre merőleges oldalaival tartsunk nullához. Ekkor a második összefüggésből következik, hogy:

:<math>\oint \mathbf{D} d\mathbf{f} = \mathbf{D}_1^n f - \mathbf{D}_2^n f = 0</math>

Tehát az eltolásvektor normál komponense a két közeg határfelületén folytonosan halad át. Viszont a <math>\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}</math> összefüggés alapján az elektromos térerősség normál komponense ugrik:

:<math>\frac{\mathbf{E}_1^n}{\mathbf{E}_2^n} = \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}</math>

'''<math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> vektorok törési törvénye''': Vegyünk fel egy [[beesési merőleges]]t a közeg határán és jelöljük az <math>\mathbf{E}</math> és <math>\mathbf{D}</math> vektorral bezárt szögét <math>\alpha_1</math>-gyel az egyik közegben ([[beesési szög]]) és <math>\alpha_2</math>-vel a másik közegben ([[törési szög]]), ekkor a következő törvény írható fel:

:<math>\frac{\operatorname{tg} \alpha_1}{\operatorname{tg} \alpha_2} = \frac{\mathbf{E}_1^t / \mathbf{E}_1^n}{\mathbf{E}_2^t / \mathbf{E}_2^n} = \frac{\mathbf{D}_1^t / \mathbf{D}_1^n}{\mathbf{D}_2^t / \mathbf{D}_2^n} = \frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}</math>

===Magnetosztatika [http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetization]===

A mágneses tér jellemzésre a <math>\mathbf{H}</math> [[mágneses térerősség]]et használjuk, a [[Maxwell-egyenletek]] alapján sztatika és üres tér estén a következő egyenleteket elégíti ki:

:<math>\operatorname{div}\mathbf{B} = 0</math>

:<math>\operatorname{rot}\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}</math>

Az [[divergencia|divergenciára]] vonatkozó egyenlet azt írja le, hogy nem létezik mágneses [[monopólus]], szemben az elektromos esettel.


====Mágneses tér mágnesezhető anyagok jelenlétében====

Hasonlóan mint elektromos tér esetén a [[polarizáció]], itt az közeg [[mágnesezettség]]e jelenik meg: <math>\operatorname{div}\mathbf{H} = - \operatorname{div}\mathbf{M}</math> ahol <math>\mathbf{M}</math> az anyag mágnesezettsége. Ez pici elemi mágneses dipólokból adódik. Ezt adhatják [[spin]]ek, és [[köráram]]ok. A mágneses dipól hasonlóan fogható fel, mint egy elektromos, azon kivétellel, hogy nem lehet monopólusokból előállítani, lévén azok elvileg nem léteznek. A elektrosztatikával analóg módón vezessük be a mágneses térerősség vektort:

:<math>\mathbf{H} := \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}</math>

Párhuzam állítható az elektrosztatikus, és a magnetosztatikus esetek között: <math>\mathbf{E}</math> analógja <math>\mathbf{H}</math>, és <math>\mathbf{D}</math> párja <math>\mathbf{B}</math>. <!--Történeti véletlen, hogy először <math>\mathbf{E}</math>-t és <math>\mathbf{B}</math>-t tekintették alapmennyiségeknek.-->

Lineáris közeg esetén a következő kapcsolat van a mágneses indukció és mágneses térerősség vektor között:

:<math>\mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0 \mu_r \mathbf{H} = \mu_0 \left(1 + \chi_m \right) \mathbf{H}</math>

Ahol <math>\mu_0</math> a vákuum [[mágneses permeabilitás]]a, <math>\mu_r</math> az anyagra jellemző relatív mágneses permeabilitás, <math>\mu</math> pedig a mágneses permeabilitás. <math>\chi_m</math> az anyag mágneses [[szuszceptibilitás]]a. Így a közeg mágnesezettsége és mágneses térerőssége közti kapcsolat:

:<math>\mathbf{M} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{H} = \mu_r \mathbf{H} - \mathbf{H} \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \chi_m \mathbf{H}</math>

Az anyagok két csoportra oszthatóak, attól függően, hogy milyen <math>\chi_m</math> előjele: ha <math>\chi_m < 0</math> akkor [[diamágnes]]ről, ha <math>\chi_m > 0</math> akkor [[paramágnes]]es anyagról beszélhetünk. Diamágnes lerontja, a paramágnes pedig fölerősíti saját magában a külső mágness teret. Meg kell jegyezni, hogy <math>\chi_m</math> mindkét esetben igen kicsi szám, így a belső és a külső mágneses tér nem sokban különbözik. A [[szupravezetők]]re <math>\chi_m = -1</math>, tehát formálisan hívhatjuk őket tökéletes diamágnesnek, azaz teljesen kiszorítják magukból a mágneses teret, bennük <math>\mathbf{B} = 0</math>. Azonban a [[fizika|fizikájuk]], és <math>\chi_m</math> nagyságrendje is gyökeresen eltér a diamágnesekétől, így a kétféle anyagnak nincs sok köze egymáshoz. De ez már egy másik történet... (Vagyis másik tétel.) Diamágneses anyagok szuszceptibilitása [[hőmérséklet]]független. Paramágneses anyagoknak szuszeptibilitása fordítottan arányos a hőmérséklettel ([[Courie törvény]]). Továbbá vannak [[ferromágnes]]es anyagok, ezeknél <math>\mathbf{H}</math> és <math>\mathbf{M}</math> értéke nem arányos, hanem bonyolultabb kapcsolat figyelhető meg.

Fontos megjegyezni a következő összefüggést:

<math> \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0} = c_0^2</math>

Ahol <math>c_0</math> a vákuumbeli [[fénysebesség]]. Közegek esetén a fény is lassabban terjed, ekkor sebessége: <math>c^2 = \frac{1}{\mu \varepsilon}</math>, így látható, hogy a [[törésmutató]] ekképp áll elő: <math>n = \frac{c_0}{c} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}</math>.

====B és H vektorok viselkedése két közeg határán====

Az [[elektrosztatika|elektrosztatikában]] felírtakhoz hasonló alakú határfeltételeket kaphatunk. Mivel a gondolatmenet kb. ugyanaz, csak röviden közlöm:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{H} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{H}_n d \mathbf{s} = 0 \Rightarrow \mathbf{H}_1^t = \mathbf{H}_2^t</math>

:<math>\operatorname{div} \mathbf{B} = 0 \Rightarrow \oint \mathbf{B}_n d \mathbf{f} = 0 \Rightarrow \mathbf{B}_1^n = \mathbf{B}_2^n</math>

==Stacionárius áram, áramköri törvények: Kirchhoff-törvények, Ohm-törvény==
A stacionárius [[áram]] kifejezés arra utal, hogy nincsen időbeli változása az áramnak. Ez állandó [[mágneses tér|mágneses teret]] hoz létre maga körül. Gyakran használjuk a lineáris vezető kifejezést. Ez hasonló absztrakció, mint a ponttöltés bevezetése sztatikában. Itt arra kell gondolni, hogy adott egy görbe a térben, és ennek a görbének minden pontjában egy <math>\mathbf{j}</math> áramsűrűség van, amely párhuzamos a görbe irányvektorával. Az áramot valamilyen [[potenciál]]különbség hajtja körben az áramkörben. Ezt valamilyen hatással (kémiai, mechanikai, stb.) létre kell hozni, és fenn kell tartani. Erre bevezetjük az [[elektromotoros erő]]t: ez azzal a térerősséggel egyenlő, amely a töltésszétválasztás során létrejött teret kompenzálja, ha nem folyik áram.

===Kirchhoff törvények[http://csega.homeip.net/wiki/index.php/Elektrodinamika#RLC_elemek.2C_.C3.A1ramk.C3.B6r.C3.B6k]===

A [[Kirchhoff]]-törvények a villamosságtanban a töltés és az energia megmaradását tárgyalják. Feladatok
esetén is jól alkalmazhatjuk (ablak módszer).

* [[Huroktörvény]] (energia megmaradás): Egy zárt áramköri hurokban a feszültségek előjeles összege zérus (feltéve, hogy nincs külső mágneses tér).

* [[Csomópont-törvény]] (töltésmegmaradás): Az egy áramköri csomópontban összefutó áramok előjeles összege zérus. Ez a [[kontinuitási egyenlet]] speciális esete.

===Ohm-törvény===
Általában: <math>R=\frac{U}{I}</math>

A lokális [[Ohm]]-törvény: 

:<math>\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}</math>

ahol <math>\mathbf{j}</math> az áramsűrűség, <math>\mathbf{E}</math> az elektromos térerősség, <math>\frac{1}{\rho}=\sigma</math> a fajlagos [[vezetőképesség]] és <math>\rho</math> a fajlagos [[ellenállás]]. Fontos megjegyezni, hogy ezt sem tartalmazzák a [[Maxwell-egyenletek]], tulajdonképpen ez is anyagi egyenlet. Lásd a [[Nemegyensúlyi_folyamatok_leírása#Kereszteffektusok | kereszteffektusoknál]] található levezetést.

Érdemes megyjegyezni, hogy a kontinuitási egyenlet miatt az [[áramsűrűség]] normális komponense a határfelületeken egyenlő, azonban ha két olyan anyag van a két oldalon, amelyek [[vezetőképessége]] (ellenállása) más, akkor a [[térerősség]] is különböző kell, hogy legyen, és az eredmény az, hogy a felületen töltésfelhalmozódás alakul ki.

===Mágneses hatások===
Az egyenárammal átjárt lineáris vezető egy infinitezinális darabja által létrehozott mágneses teret integrálva a vezető vonalára megkapjuk a mágneses teret. Ezt a [[Biot-Savart törvény]] adja meg. Ez levezethető a stacionáruis állapotot leíró Maxwell-egyenletekből:

:<math>\operatorname{rot} \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}</math>

Az eredmény:

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{j}(r^{\prime}) \times (r-r^{\prime})}{|r-r^{\prime}|^3}d^3r^{\prime}</math>

Ennek egy speciális alkalmazása, amit igen sokszor használ a fizika, az egyetlen kis áramhurok által látrehozott mágneses tér. Ha a hurokban I áram folyik, akkor bevezetjük a mágneses momentumot (hasonló az elektromos dipólhoz):

:<math>\mathbf{m}=I \int df</math>

ahol az áramot a hurok által behatárolt felület nagyságával szoroztuk meg, az irányt a jobbkéz szabály adja. Ennek sehítségével a kis hurok mágneses tere:

:<math>\mathbf{B}=\frac{\mu}{4\pi}\left( \frac{3 (\mathbf{mr})\mathbf{r}}{r^5}\right) - \frac{\mathbf{m}}{r^3}</math>

Az így létrehozott térben a töltésekre természetesen hat a [[Lorentz-erő]]. Ennek következménye az is, hogy két párhuzamos lineáris vezető között erőhatás ébred, ha bennük áram folyik. Ennek mértéke:

:<math>\mathbf{F} = I \mathbf{L} \times \mathbf{B}</math>

Ha egy irányba folyik az áram a két vezetőben, akkor vonzzák egymást, ha ellentétesen, akkor taszítják egymást.

====Tekercsek====
Ha feltekerünk [[hélix]]be egy vezetőt, és áramot folyatunk át rajta, akkor az egyes hurkok mágneses tere összeadódik, továbbá jó közelítéssel a tekercsen belül [[homogén]] terünk lesz, ami a szélek felé egyre jobban leromlik. A létrehozott '''B''' tér egyenesen arányos az áramerősséggel, és a menetszámmal (n).



<hr />
'''Hivatkozások:'''
<references /> 

{{Záróvizsga}}