Csega: Új oldal, tartalma: „==A mechanika elvei== A klasszikus mechanika alapvető törvényeinek megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyanezek az elvek megfogalmazhatóak számos, a Newton-i…”

2009-08-14T16:48:46Z

Új oldal, tartalma: „==A mechanika elvei== A klasszikus mechanika alapvető törvényeinek megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyanezek az elvek megfogalmazhatóak számos, a Newton-i…”

Új lap

==A mechanika elvei==
A klasszikus mechanika alapvető törvényeinek megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyanezek az elvek megfogalmazhatóak számos, a Newton-i axiómákkal ekvivalens, azonban matematikailag más alakban, ami sokszor szemléletesebb, illetve egyszerűbb tud lenni. Ezek a mechanika elvei, amelyek nem bizonyítható axiómák, ezek helyességét a tapasztalatok adják.

==A virtuális munka elve==
Vegyünk egy N anyagi pontból álló mechanikai rendszert, amelynek koordinátái <math> x_i </math>, <math> y_i </math>, <math> z_i </math>, a ható erőt pedig <math>F_i</math> jelöli. Legyen <math>\delta r_i</math> az i-edik anyagipontnak a kényszerek által megengedett infinitezimális és '''virtuális''' elmozdulása. Itt a virtuális alatt azt értjük, hogy nem tartozik ezen elmozulásokhoz időtartam. A tárgyalt rendszer akkor lesz egyensúlyban, ha a ható erők virtuális munkája zérus:

:<math>\sum_{i=1}^{N}F_i \delta r_i\,=0</math>

Szabad mozgás esetén minden <math>\delta r_i</math> tetszőleges, tehát az erővektoroknak kell zérusnak lenniük. Ha van N pontunk, akkor azokhoz 3N darab koordináta tartozik, és ennél kevesebb kényszerfeltétel lehet adott, különben nincs mozgás. Itt most feltesszük, hogy a kényszereink egy felületre korlátozzák a rendszert, és ezért alakjuk így írható:

:<math>\phi( r_1, r_2, ..., r_N ) = 0\,</math>

A kényszerfeltételek a virtuális elmozdulások alatt is kell, hogy teljesüljenek, ebből valamint egy infinitezimális elmozduláshoz tartozó Taylor-sorfejtésből belátható, hogy a kényszerfeltételek a kövektező általános alakba írhatóak:

:<math>\sum_{i=1}^{N}\operatorname{grad}_i \phi_k \delta r_i\,=0</math> <math>\,k = 1, ..., s<3N</math>

Ezeket a Lagrange-multiplikátorok módszerével vehetjük figyelembe: egy ismeretlen <math>\lambda_k</math> szorzóval hozzáadjuk őket a virtuális munka egyenlethez:

:<math>\sum_{i=1}^{N} \left( F_i+\sum_{k=1}^{s}\lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k \right)\delta r_i\,=0</math>

Most a szabad esettel szemben csak (3N-s) darab együttható lesz zérus, de a többinél a Lagrange-multiplikátorokat választjuk úgy, hogy a maradék együtthatók is eltűnjenek. Ekkor úgy tekinthetjük, mintha a virtuális elmozdulások függetlenek lennének, ezért az egyenlőség teljesüléséhez az erők összegének kell zérusnak lennie, ezért:

:<math>F_i + \sum_{k=1}^{s}\lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k \,=0</math>

A második tagot elnevezhetjük kényszererőknek, és ekkor a az egyensúly feltétele, hogy a szabad és kényszererők összege zérus legyen. A <math>\lambda grad \phi</math>-s definícióból az is látható, hogy felületen mozgásnál a kényszererő merőleges a felületre (mivel grad<math>\phi</math> a felületi normális irányába mutat).

==d'Alembert elv és a Lagrange-féle elsőfajú egyenletek==
Jean le Rond d'Alembert a virtuális munka elvéhez hasonló kifejezést vezetett be, de az nem csak az egyensúlyt írja le, hanem egyben mozgástörvény is:

:<math>\sum_{i=1}^{N} \left( \mathbf{F}_i-\dot{\mathbf{p}_i} \right) \delta \mathbf{r}_i=0</math>

A mechanikai rendszer az elv értelmében úgy mozog, hogy a fenti kifejezés minden időpillanatban teljesül. Szabad rendszerre ez a Newton mozgásegyenletet adja, hiszen tetszőleges :<math>\delta \mathbf{r}_i</math>-re el kell tűnnie a zárójelnek, azaz <math>\mathbf{F}_i=\dot{\mathbf{p}_i}</math>.
Ha kényszerek is jelen vannak, akkor ismér a Lagrange-multiplikátoros átalakítást végezzük el:

:<math>\sum_{i=1}^{N} \left( \mathbf{F}_i + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k-\dot{\mathbf{p}_i} \right) \delta \mathbf{r}_i=0</math>

A virtuális munka elvéhez hasonlóan itt is formálisan függetlenként kezelhetők a megváltozások, így

:<math>\dot{\mathbf{p}_i} = \mathbf{F}_i + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k</math>

Ha feltesszük, hogy a tömeg állandó, akkor <math>\dot{\mathbf{p}_i}=m_i\ddot{\mathbf{r}_i}</math>, tehát:

:<math>m_i\ddot{\mathbf{r}_i} = \mathbf{F}_i + \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \operatorname{grad}_i \phi_k</math>

Ezt az egyenletet nevezzük a Lagrange-féle elsőfajú egyenleteknek (N darab van belőlük).
Mivel ezek vektor egyenletek, így tulajdonképpen 3N darab egyenletünk van, és ezenkívül az ''s'' darab kényszeregyenlet. Ez éppen annyi, mint az ismeretlenek száma: 3N darab térkoordináta az idő függvényében, és az ''s'' darab multiplikátor.

==A Gauss-féle legkisebb kényszer==
Gauss bevezette a kényszer mértékét:

:<math>Z = \sum_{i=1}^{3N}\frac{1}{m_i} \left( m_i\ddot{x}_i-X_i\right)^{2}</math>

Itt <math>X_i</math> szabaderő. A zárójelben tehát a szabad mozgástól való eltérés áll a kényszerek hatására. Gauss elve a következőt mondja: a kényszerek által megengedett gyorsulásváltozások közül a legkisebb valósul meg. Variációs módszerrel alakítható ez tovább, amikoris csak a gyorsulást variáljuk. Holonom-szkleronom kényszerekre <math>\sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}\delta x_i =0</math>. Ez időderiválás után: <math>\sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}\delta \ddot{x_i} =0</math>.
Ugyanakkor a kényszert is megvariáljuk:

:<math>2 \cdot \sum_{i=1}^{3N} \left( m_i \ddot{x}_i - X_i \right) \delta \ddot{x_i} = 0</math>

Ehhez hozzáadva a szokásos módon Lagrange multiplikátorral a kényszereket:

:<math>\sum_{i=1}^{3N} \left( m_i \ddot{x}_i - X_i - \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i} \right) \delta \ddot{x_i} = 0</math>

Ismét a megszokott módon a megválasztás független, illetve ahol nem, ott a Lagrange együtthatókat választjuk meg, tehát:

:<math>m_i \ddot{x}_i = X_i - \sum_{k=1}^{s} \lambda_k \frac{\partial \phi_k}{\partial x_i}</math>

==Általános koordináták és a Lagrange-féle másodfajú mozgástörvény==
Az eddigi tárgyalásokban a kényszerek, mint független egyenletek voltak figyelembe véve. Ha azonban olyan koordinátákra térünk át, amelyek illeszkednek a kényszerekhez, akkor ezekben ezek a feltételek eltűnnek, így egyszerűbb alakot kapunk a mozgásegyenletekre. Az állítás az, hogy ilyen transzformációk léteznek, az ilyen áttéréssel kapott új koordinátákat általános koordinátáknak nevezzük, és <math>q_k</math>-val jelöljük, az általános sebességeket pedig <math>\dot{q_k}</math>-val. Itt kell megjegyezni, hogy ezek nem feltétlen hosszúság illetve sebesség dimenziójú változók.

A koordináta transzformációs függvények deriváltjaival és kis megváltozásaival átírható a d'Alembert-elv varióciós módszerrel. Ha bevezetjük a <math>Q_k = \sum_{l=1}^{3N}X_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}</math> általánosított erőt, amely nem feltétlen erő dimenziójú, de a <math>\sum_{i} Q_i \delta q_i</math> munka dimenziójú. Továbbá bevezetjük a mozgásienergiát: <math>K=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{3N} m_i \dot{x_i}^{2}</math>. Ezekkel átírva a d'Alembert-elv a következő alakú lesz:

:<math>\sum_{k=1}^{f} \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q_k}}-\frac{\partial K}{\partial q_k}-Q_k \right)\delta q_k = 0</math>

Itt f a szabadsági fokok száma (a 3N szabadság az ''s'' darab kényszerrel csökkentve). A tetszőleges variáció miatt:

<math>\frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial K}{\partial q_k} = Q_k, k=1, ..., f</math>

Ezek a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletek. Ha az erők konzervatívak, akkor felírhatók potenciál deriváltjaként, és ekkor minden K helyére K-V írandó, amelyet elnevezhetünk Lagrange-függvénynek, így a képlet a jól ismert alakot ölti:

<math>\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0, k=1, ..., f</math>

Ezek felhasználásával általános módszert adhatunk a mechanikai problémák megoldására: Ismerjük fel a rendszert jellemző általános koordinátákat, és írjuk fel a transzformációs függvényeket. Az így definiált általános koordinátákkal fejezzük ki a potenciált (V), az általános sebességekkel pedig a kinetikus energiát (K). Végül írjuk fel a Lagrange-függvényt (L = K - V), és belőle a Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenleteket. Az így kapott mozgásegyenlet pedig elvileg megoldható.

==Hamilton-féle variációs elv és az Euler-Lagrange egyenletek==
A Hamilton által kimondott variációs elv, az eddigieken azért mutat túl, mert nem csupán a mechanikai problémák általános megfogalmazásában használható, hanem az optika és a kvantummechanika törvényeit is egyszerűen meg lehet általa fogalmazni. Konzervatív rendszerre az állítás a következő:

:<math>S = \int\limits_{t1}^{t2} L dt =</math>extrémum

Itt ''S'' a hatás, ''L'' a Lagrange-függvény. Az állítás az, hogy ebből <math>q_k(t)</math> meghatározható. A problémát variációszámítási módszerekkel lehet megoldani, amely egy funkcionált szélsőértékbe vívő függvényeket határozza meg. Ez pont az itteni probléma, hiszen a Lagrange az általánosított koordinátáktól, sebességektől és esetleg az időtől függ, és mi az általánosított koordinátákat keressük. A variációs módszerből adódó egyenletk a következőek:

:<math> \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} = 0, k=1, ..., f</math>

Ezek az Euler-Lagrange egyenletek.

==Kanonikus egyenletek, Hamilton-függvény==
Az eddig használt Lagrange leírásban másodrendű differenciálegyenletket kaptunk. Az úgynevezett kanonikus egyenletek azzel szemben elsőrendű differenciálegyenleteket szolgáltatnak, amelyek a másodrendűekkel egyenértékűek, azonban kétszer annyi van belőlük. Bevezetjük a kanonikusan konjugált impulzust:

:<math>p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}}</math>

És bevezetjük a Hamilton-függvényt:

:<math>H = \sum_{k=1}^{f} p_k \dot{q_k} - L </math>

Az Euler-Lagrange egyenletek figyelembevételével, és a Hamilton-függvény teljes differenciájának felhasználásával kapjuk a kanonikus egyenleteket:

:<math>\dot{q_k} = \frac{\partial H}{\partial p_k}</math>
:<math>\dot{p_k} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}</math>

Továbbá:

:<math>\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}</math>

Ha a rendszer konzervatív, és az általánosított koordinátákra való áttérés időfüggetlen, akkor a Hamilton-függvény a mechanikai energiát adja. Ennek a formalizmusnak kiemelkedő szerepe van a kvantummechanika és a kvantumtéreleméletek tágyalásánál.

==Ciklikus koordináták, kanonikus transzformáció==
Ha a Hamilton-függvény nem függ valamely koordinátától, akkor az ahhoz a koordinátához tartozó konjugált impulzus állandó a kanonikus egyenletek miatt, és azonnal megoldást szolgáltat a mozgásegyenletre (<math>q_k(t)=\dot{q_k}\cdot t + c = \frac{\partial H}{\partial p_k}\cdot t + c</math>). Az ilyen tulajdonságú koordinátát ciklikus koordinátának nevezzük.
Értelemszerűen minél több ciklikus kooridnátánk van, annál egyszerűbb megoldani az adott problémát. Ezért érdemes foglalkozni azokkal a transzformációkkal, amelyek változatlanul hagyják a kanonikus egyenleteket, de ciklikus koordinátákra térhetünk át segítségükkel. Ezek a transzformációk tehát olyan koordináták között visznek át, amelyek teljesítik a kanonikus egyenletket továbbá a variációs elvnek is eleget tesznek (a kanonikus egyenletek is abból származtathatóak). Ezek alapján belátható, hogy a variált funkcionálban van egy szabadságunk egy tetszőleges függvény időszerinti deriváltjának erejéig. Ezt a függvény nevezzük alkotó függvénynek, mert segítségével kifejezhetőek a transzformációs szabályok. Az alapján, hogy az alkotó függvényt melyik két változóval fejezzük ki a négy (régi és új koordináta, régi és új impulzus) közül, különböző összefüggéseket kapunk a koordináták és az alkotó függvény között, valamint megkapjuk a Hamilton-függvény transzformácóját is.

== Maupertuis-elv (*) ==
A Maupertuis-elv energiamegmaradó rendszerekre vonatkozik, vagyis a Lagrange-függvény nem függ explicite az időtől. Az elv kimondja, hogy a rendszer által megtett út olyan, hogy a rövidített hatás
:<math>S_0 = \int p dq = min.</math>
ahol az integrált a pályára vett vonalintegrálként kell érteni.

==A Hamilton-Jacobi egyenlet==
A mozgásegyenletek megoldhatóak egy szélsőséges tanszformációval is, amennyiben a a Hamilton-függvényt zérusra transzformáljuk. Ekkor mind a koordináták, mind az impulzusok deriváltjai nullával egyenlőek a kanonikus egyenletek értelmében. A Hamilton-függvényre vonatkozó transzformációs egyenlet az alkotófüggvénnyel kifejezve a következő:

:<math>\bar{H} = H + \frac{\partial W}{\partial t}</math>

Mivel a végső Hamiltonnak zérust szeretnénk, ezzel a feltétellel egy speciális alkotófüggvényt definiálhatunk, amely a következő egyenletet elégíti ki:

:<math>0 = H + \frac{\partial S}{\partial t}</math>

A Hamilton-függvény a koordináták, az impulzus és az idő függvénye lehet. Ezek közül az alkotó függvénnyel az impulzus is kifejezhető, ezért:

:<math>0 = H\left(q_k, \frac{\partial S}{\partial q_k}, t \right) + \frac{\partial S}{\partial t}</math>

Ez a Hamilton-Jacobi egyenlet, és S a hatásfüggvény, amelyet már korábban bevezettünk a Hamilton-féle variációs elvnél. A Hamilton-Jacobi egyenlet abban különbözik az eddigiektől, hogy parciális differenciálegyenlet, ezért határfeltételek is kellenek hozzá, és nehezebb megoldani, ennek ellenére ha nem közvetlenül a mozgásegyenletet akarjuk megkapni, csak összefüggéseket a hatás és a koordináták között, akkor sokfelé jól használható.

==A Liouville-tétel(*)==
A Hamilton-i mechanikai rendszerekre kimondható a Liouville-tétel, ami azt fogalmazza meg, hogy nem-disszipatív rendszerre a fázistérfogat állandó marad. Ha <math>\rho</math> a fázistérbeli eloszlás függvény, és a rendszer d dimenziós:

:<math>\frac{d \rho}{dt} = \frac{ \partial \rho}{\partial t } + \sum_{i=1}^d \left( \frac{\partial \rho }{\partial q^i} \dot{q^i} + \frac{\partial \rho }{\partial p^i} \dot{p^i}\right) = 0 </math>

Ez azért fontos egyenlet, mert nem csak egyensúlyi szituációkban használható, hanem sokrészecskés bonyolult dinamikai problémákra is, ezért alapvető fontosságú a statisztikus jelenségek tárgyalásában.

==Megmaradási tételek, mint szimmetriák következményei==
A közismert és a klasszikus mechanikában előbukkanó megmaradási tételek igen egyszerűen következnek a Hamilton-függvényes formailzmusból.

===Impulzusmegmaradás===
Az impulzusmegmardás a tárgyalási koordinátarendszer eltolásával szembeni invarianciából vezethető le. Ez tulajdonképpen a tér homogenitása: mindegy hogy hova tesszük a mechanikai rendszert, a Hamiltonja ugyanaz, és az események ugyanúgy zajlanak.

===Impulzusmomentum megmaradása===
Az impulzusmomentum megmaradása a koordinátarendszer elforgatásával szembeni invarianciából vezethető le. Ez tulajdonképpen a tér izotrópiája: mindegy hogy hogyan forgatjuk el a mechanikai rendszert, a Hamiltonja ugyanaz, és az események ugyanúgy zajlanak.

===Energiamegmaradás===
Ez az időbeli eltolásból következik, azaz mindegy, hogy egy adott kísérletet mikor végzünk el, a lefolyása ugyanaz, a Hamiltonja ugyanaz.

===Noether-tétel(*)===
A Noether-tétel azt mondja, hogy a Lagrange-függvény szimmetriáihoz hogyan lehet megmaradó mennyiséget rendelni.

<b>Állítás:</b>Ha a Lagrange-függvénynek szimmetriája a:
:<math>q_i \rightarrow q_i^{\prime} = q_i + \epsilon f_i(q,\dot{q})</math>
:<math>\dot{q_i} \rightarrow \dot{q_i^{\prime}} = \dot{q_i} + \epsilon \dot{f_i}(q,\dot{q})</math>
akkor a következő mennyiség megmaradó:
:<math>\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}f_i</math>

<b>Bizonyítás:</b>
:<math>L(q_i+\epsilon f_i, \dot{q_i}+\epsilon \dot{f_i})-L(q_i, \dot{q_i})=\sum \frac{\partial L}{\partial q_i}\epsilon f_i+\sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\epsilon \dot{f_i} = \sum \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) \epsilon fi + \sum \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\epsilon \dot{f_i} = \epsilon \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}f_i\right) = 0</math>

{{Záróvizsga}}

A klasszikus mechanika elméleti tárgyalása - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „==A mechanika elvei== A klasszikus mechanika alapvető törvényeinek megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyanezek az elvek megfogalmazhatóak számos, a Newton-i…”