A relativitás elmélet alapjai - Laptörténet

Bertalan, 2011. június 19., 11:51-n

2011-06-19T11:51:51Z

Jeffrey, 2009. szeptember 12., 17:54-n

2009-09-12T17:54:19Z

Változtatások megtekintése

84.3.248.174: /* Részecskék ütközése */

2009-09-12T16:28:26Z

‎Részecskék ütközése

84.3.248.174: /* Részecskék ütközése */

2009-09-12T16:26:10Z

‎Részecskék ütközése

84.3.248.174: /* Részecskék ütközése */

2009-09-12T16:25:32Z

‎Részecskék ütközése

84.3.248.174: /* Részecskék ütközése */

2009-09-12T16:24:11Z

‎Részecskék ütközése

84.3.248.174: /* Részecskék ütközése */

2009-09-12T16:22:49Z

‎Részecskék ütközése

84.3.248.174: /* Négyesimpulzus, impulzusmegmaradás */

2009-09-12T15:24:03Z

‎Négyesimpulzus, impulzusmegmaradás

84.3.248.174, 2009. szeptember 12., 15:22-n

2009-09-12T15:22:53Z

84.3.248.174: /* 4-es formalizmus, kinematika */

2009-09-12T13:50:06Z

‎4-es formalizmus, kinematika

← Régebbi változat		A lap 2011. június 19., 11:51-kori változata
1. sor:		1. sor:
		+	==Alapgondolatok==
		+
		+	Az idő és a távolság csak absztrakt fogalmak.
		+	Attól függ, ki nézi. :)
		+
	==Vonatkoztatási rendszer==		==Vonatkoztatási rendszer==
	Amikor egy test pozícióját, vagy pályáját akarjuk megadni, valamihez azt viszonyítanunk kell. Viszonyítási alapként felveszünk egy koordinátarendszert (origó, és bázisvektorok, illetve a rendszer időfejlődése, pl.: mozgása, forgása) és ebben tárgyaljuk a mozgásokat. Vannak kitüntetett vonatkoztatási rendszerek, ezeket Newton első törvényével tüntetjük ki: ahol a tehetetlenségi axióma teljesül, azok inerciarendszerek. Különböző mozgású koordinátarendszerekben fellépnek egyéb nemfizikai erők is, az inerciarendszerekben definícióból kifolyólag ilyenek nincsenek. A többi Newton-törvény is inerciarendszerekre érvényes.		Amikor egy test pozícióját, vagy pályáját akarjuk megadni, valamihez azt viszonyítanunk kell. Viszonyítási alapként felveszünk egy koordinátarendszert (origó, és bázisvektorok, illetve a rendszer időfejlődése, pl.: mozgása, forgása) és ebben tárgyaljuk a mozgásokat. Vannak kitüntetett vonatkoztatási rendszerek, ezeket Newton első törvényével tüntetjük ki: ahol a tehetetlenségi axióma teljesül, azok inerciarendszerek. Különböző mozgású koordinátarendszerekben fellépnek egyéb nemfizikai erők is, az inerciarendszerekben definícióból kifolyólag ilyenek nincsenek. A többi Newton-törvény is inerciarendszerekre érvényes.

@@ 211. sor: / 211. sor: @@
 Ez a tömegközépponti rendszerben érvényes, ha a bomló részecske a labor koordinátarendszeréhez képest mozgott, akkor egy Lorentz-transzformáció kell végezni, és a végeredményben az energia a szórási szögtől is függ.
-Ennek a fordított folyamata az, amikor két részecske ütközik, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora tömegű részecske tud maximálisan keletkezni. Érdemes kihasználni, hogy a rendszer összes  impulzusmomentumának az abszlútértéknégyzete a rendszer nyugalmi tömegét adja: <math> M = \sqrt{p_{\mu} p^{\mu}}</math>. Két azonos energiájú nyalábot összeütköztetve, az így elérhető maximális tömeg a nyalábenergia kétszerese. Ezzel szemben, ha egy álló (<math>m_2</math> tömegű részecskékből álló) céltárgyra lövünk egy <math>m_1</math> tömegű, <math>E_1</math> energiájú részecskékből álló nyalábot, az összimpulzus (két részecske ütközése után): <math>p = \left ( E_1 + m_2, \mathbf{p_1} \right ). Kihasználva, hogy <math>p_1^2 = E_1^2 - m_1^2</math> adódik, hogy:
+Ennek a fordított folyamata az, amikor két részecske ütközik, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora tömegű részecske tud maximálisan keletkezni. Érdemes kihasználni, hogy a rendszer összes  impulzusmomentumának az abszlútértéknégyzete a rendszer nyugalmi tömegét adja: <math> M = \sqrt{p_{\mu} p^{\mu}}</math>. Két azonos energiájú nyalábot összeütköztetve, az így elérhető maximális tömeg a nyalábenergia kétszerese. Ezzel szemben, ha egy álló (<math>m_2</math> tömegű részecskékből álló) céltárgyra lövünk egy <math>m_1</math> tömegű, <math>E_1</math> energiájú részecskékből álló nyalábot, az összimpulzus (két részecske ütközése után): <math>p = \left ( E_1 + m_2, \mathbf{p_1} \right )</math>. Kihasználva, hogy <math>p_1^2 = E_1^2 - m_1^2</math> adódik, hogy:
-<math>M = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 E_1 m_2}</math>. Ha a kísérleteket <math> 1 \, \mathrm{GeV}</math> tömegű protonokkal végezzük, <math> 7 \, \mathrm{TeV}</math> nyalábenergiával, akkor az álló céltárgyas esetben <math>M=118 \, \mathrm{GeV)</math> adódik, ami kevesebb, mint a százada a két nyaláb ütköztetésénél elérhető <math>14 \, \mathrm{TeV}</math>-nek.
+<math>M = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 E_1 m_2}</math>. Ha a kísérleteket <math> 1 \, \mathrm{GeV}</math> tömegű protonokkal végezzük, <math> 7 \, \mathrm{TeV}</math> nyalábenergiával, akkor az álló céltárgyas esetben <math>M=118 \, \mathrm{GeV}</math> adódik, ami kevesebb, mint a százada a két nyaláb ütköztetésénél elérhető <math>14 \, \mathrm{TeV}</math>-nek.
 ==Relativisztikus fizika==

@@ 199. sor: / 199. sor: @@
 <math>
-\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \\
+\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \quad
 M = E_1 + E_2
 </math>
@@ 206. sor: / 206. sor: @@
 <math>
-E_1 = \frac{m_1^2 - m_2^2 + M^2}{2 M} \\
+E_1 = \frac{m_1^2 - m_2^2 + M^2}{2 M} \quad
 E_2 = \frac{m_2^2 - m_1^2 + M^2}{2 M} </math>

@@ 199. sor: / 199. sor: @@
 <math>
-\begin{multline}
+\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \\
-\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \\ M = E_1 + E_2
+M = E_1 + E_2
 </math>

@@ 198. sor: / 198. sor: @@
 A négyesimpulzus megmaradását felírva:
-<math>\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \\ M = E_1 + E_2</math>
+<math>
 Legyen a bomlástermékek nyugalmi tömege <math>m_1</math> és <math>m_2</math>. A négyesimpulzus korábbi bevezetéséből látszik, hogy <math>m_1 < E_1</math> és <math>m_2 < E_2</math>, ezt a négyesimpulzus megmaradásával összevetve látszik, hogy a bomlás feltétele, hogy a <math>M > m_1 + m_2</math> egyenlőtlenség teljesüljön, ami azt is jelenti, hogy a klasszikus értelemben vett tömeg nem marad meg, úgy lehet értelmezni, hogy egy része a bomlástermékek mozgási energiájává alakul (egy atomerőműben ebből keletkezik a hő, amit felhasználnak). A hármas impulzus megmaradására vonatkozó egyenletet négyzetre emelve és a <math>p^2 = E^2 - m^2</math> egyenlőséget kihasználva az <math>m_1^2 - m_2^2 = E_1^2 - E_2^2 = (E_1 + E_2) (E_1 - E_2)</math> összefüggést kapjuk, ahonnan az energiamegmaradásra vonatkozó egyenlőség felhasználásával az energiák kifejezhetőek:

← Régebbi változat		A lap 2009. szeptember 12., 16:22-kori változata
183. sor:		183. sor:
	===Részecskék ütközése===		===Részecskék ütközése===

		+	Ebben a szakaszban a négyesimpulzus megmaradásából következő összefüggéseket vizsgáljuk. Természetesen egy ilyen folyamat teljes leírásához ismernünk kellene a részecskék között ható kölcsönhatásokat, itt csak azt vizsgáljuk meg, hogy mi következik csak az impulzusmegmaradásból, a részecskék közötti kölcsönhatást csak az ütközési pont kis környezetére korlátozva (a részleteket elhanyagolva).

		+	Rugalmas ütközésről akkor beszélhetünk, ha az ütközés után kijövő részecskék megegyeznek a bemenő részecskékkel (nem játszódik le például magreakció), így a nyugalmi tömegek nem változnak.
		+	(itt sok nagy képlet van a jegyzetemben, amiknek nincs igazán szemléletes jelentése)

		+	Rugalmatlan ütközésnél a kijövő részecskék mások lehetnek (részecskék annihilálódhatnak, és új részecskék keletkezhetnek), így a nyugalmi tömegek is változnak. A legegyszerűbb eset az, amikor egy részecske elbomlik két másikra. Az eseményt a bomló részecske nyugalmi rendszeréből nézve, a kezdeti négyesimpulzus:
		+
		+	<math>p = \left ( M, 0, 0, 0 \right ) </math>
		+
		+	A bomlástermékek impulzusa:
		+
		+	<math>p_{(1)} = \left ( E_1, \mathbf{p}_1 \right ) \quad p_{(2)} = \left ( E_2, \mathbf{p}_2 \right ) </math>
		+
		+	A négyesimpulzus megmaradását felírva:
		+
		+	<math>\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \\ M = E_1 + E_2</math>
		+
		+	Legyen a bomlástermékek nyugalmi tömege <math>m_1</math> és <math>m_2</math>. A négyesimpulzus korábbi bevezetéséből látszik, hogy <math>m_1 < E_1</math> és <math>m_2 < E_2</math>, ezt a négyesimpulzus megmaradásával összevetve látszik, hogy a bomlás feltétele, hogy a <math>M > m_1 + m_2</math> egyenlőtlenség teljesüljön, ami azt is jelenti, hogy a klasszikus értelemben vett tömeg nem marad meg, úgy lehet értelmezni, hogy egy része a bomlástermékek mozgási energiájává alakul (egy atomerőműben ebből keletkezik a hő, amit felhasználnak). A hármas impulzus megmaradására vonatkozó egyenletet négyzetre emelve és a <math>p^2 = E^2 - m^2</math> egyenlőséget kihasználva az <math>m_1^2 - m_2^2 = E_1^2 - E_2^2 = (E_1 + E_2) (E_1 - E_2)</math> összefüggést kapjuk, ahonnan az energiamegmaradásra vonatkozó egyenlőség felhasználásával az energiák kifejezhetőek:
		+
		+	<math>
		+	E_1 = \frac{m_1^2 - m_2^2 + M^2}{2 M} \\
		+	E_2 = \frac{m_2^2 - m_1^2 + M^2}{2 M} </math>
		+
		+	Ez a tömegközépponti rendszerben érvényes, ha a bomló részecske a labor koordinátarendszeréhez képest mozgott, akkor egy Lorentz-transzformáció kell végezni, és a végeredményben az energia a szórási szögtől is függ.
		+
		+	Ennek a fordított folyamata az, amikor két részecske ütközik, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora tömegű részecske tud maximálisan keletkezni. Érdemes kihasználni, hogy a rendszer összes impulzusmomentumának az abszlútértéknégyzete a rendszer nyugalmi tömegét adja: <math> M = \sqrt{p_{\mu} p^{\mu}}</math>. Két azonos energiájú nyalábot összeütköztetve, az így elérhető maximális tömeg a nyalábenergia kétszerese. Ezzel szemben, ha egy álló (<math>m_2</math> tömegű részecskékből álló) céltárgyra lövünk egy <math>m_1</math> tömegű, <math>E_1</math> energiájú részecskékből álló nyalábot, az összimpulzus (két részecske ütközése után): <math>p = \left ( E_1 + m_2, \mathbf{p_1} \right ). Kihasználva, hogy <math>p_1^2 = E_1^2 - m_1^2</math> adódik, hogy:
		+	<math>M = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 E_1 m_2}</math>. Ha a kísérleteket <math> 1 \, \mathrm{GeV}</math> tömegű protonokkal végezzük, <math> 7 \, \mathrm{TeV}</math> nyalábenergiával, akkor az álló céltárgyas esetben <math>M=118 \, \mathrm{GeV)</math> adódik, ami kevesebb, mint a százada a két nyaláb ütköztetésénél elérhető <math>14 \, \mathrm{TeV}</math>-nek.

	==Relativisztikus fizika==		==Relativisztikus fizika==

@@ 163. sor: / 163. sor: @@
 <math>p^{\mu} = m u^{\mu} = \left ( \frac{m c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right ) = \left ( \frac{E}{c}, \mathbf{p} \right )</math>
-Az itt nem részletezett elméleti (Lagrange-féle) tárgyalásból következik, hogy a nulladik komponens a részecske energiája (a fénysebességgel osztva), a három térszerű komponens pedig a hármas impulzus. A fenti képleten egyértelműen látszik, hogy ezeknek az értéke természetesen nem egyezik meg a klasszikus mechanikában használt energiával és impulzussal (bár a fogalom hasonló), az hármas imulzusnál az eltérés a nevezőben levő gyökös kifejezés. Ha bevezetjük az <math>m^* = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> effektív tömeget (és az eredeti, eddig szereplő <math>m</math> tömeget nyugalmi tömegnek hívjuk), akkor az így adódó <math> \mathbf{p} = m^* \mathbf{v}<\math> képlet alakja megegyezik a klasszikus esetben használt összefüggéssel, ezt szokás úgy értelmezni, hogy a részecskék tömege mozgás közben megnő. Ez az értelmezés bizonyos esetekben szemléletes, más esetekben viszont elbonyolíthatja a számolásokat (hiszen számon kell tartani, hogy <math>m^*</math> is változik, és például a deriválások elvégzésekor nem szabad elfelejteni a gyökös kifejezésben szereplő <math>v^2</math>-et is deriválni, illetve vannak elméletek, ahol egy másfajta effektív tömeget kell bevezetni), így a továbbiakban ezt a jelölést nem használjuk, a képletekben szereplő <math>m</math> mindig a nyugalmi tömeget jelöli, aminek az értéke állandó, megelégszünk azzal, hogy a 4-es sebesség és -impulzusok közötti összefüggés alakja ugyanaz, mint klasszikus esetben (ott természetesen a nyugalmi tömeg szerepel). Természetesen, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi (a klasszikus határesetben), akkor a gyökös kifejezés értéke majdnem <math>1</math>, így határesetben a klasszikus képletet kapjuk.
+Az itt nem részletezett elméleti (Lagrange-féle) tárgyalásból következik, hogy a nulladik komponens a részecske energiája (a fénysebességgel osztva), a három térszerű komponens pedig a hármas impulzus. A fenti képleten egyértelműen látszik, hogy ezeknek az értéke természetesen nem egyezik meg a klasszikus mechanikában használt energiával és impulzussal (bár a fogalom hasonló), az hármas imulzusnál az eltérés a nevezőben levő gyökös kifejezés. Ha bevezetjük az <math>m^* = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> effektív tömeget (és az eredeti, eddig szereplő <math>m</math> tömeget nyugalmi tömegnek hívjuk), akkor az így adódó <math> \mathbf{p} = m^* \mathbf{v}</math> képlet alakja megegyezik a klasszikus esetben használt összefüggéssel, ezt szokás úgy értelmezni, hogy a részecskék tömege mozgás közben megnő. Ez az értelmezés bizonyos esetekben szemléletes, más esetekben viszont elbonyolíthatja a számolásokat (hiszen számon kell tartani, hogy <math>m^*</math> is változik, és például a deriválások elvégzésekor nem szabad elfelejteni a gyökös kifejezésben szereplő <math>v^2</math>-et is deriválni, illetve vannak elméletek, ahol egy másfajta effektív tömeget kell bevezetni), így a továbbiakban ezt a jelölést nem használjuk, a képletekben szereplő <math>m</math> mindig a nyugalmi tömeget jelöli, aminek az értéke állandó, megelégszünk azzal, hogy a 4-es sebesség és -impulzusok közötti összefüggés alakja ugyanaz, mint klasszikus esetben (ott természetesen a nyugalmi tömeg szerepel). Természetesen, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi (a klasszikus határesetben), akkor a gyökös kifejezés értéke majdnem <math>1</math>, így határesetben a klasszikus képletet kapjuk.
 A négyesimpulzus abszolútértéknégyzete (kihasználva, hogy a négyessebességé <math>c^2</math>):

← Régebbi változat		A lap 2009. szeptember 12., 15:22-kori változata
153. sor:		153. sor:

	(ez egy jól követhető, szemléletes példa lenne az előző szakaszban bevezetett fogalmakra és gyakorlati alkalmazásukra)		(ez egy jól követhető, szemléletes példa lenne az előző szakaszban bevezetett fogalmakra és gyakorlati alkalmazásukra)
		+
		+
		+	==Dinamika, részecskék ütközése==
		+
		+	===Négyesimpulzus, impulzusmegmaradás===
		+
		+	A nemrelativisztikus esethez hasonlón bevezetjük a részecskék négyesimpulzusát:
		+
		+	<math>p^{\mu} = m u^{\mu} = \left ( \frac{m c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right ) = \left ( \frac{E}{c}, \mathbf{p} \right )</math>
		+
		+	Az itt nem részletezett elméleti (Lagrange-féle) tárgyalásból következik, hogy a nulladik komponens a részecske energiája (a fénysebességgel osztva), a három térszerű komponens pedig a hármas impulzus. A fenti képleten egyértelműen látszik, hogy ezeknek az értéke természetesen nem egyezik meg a klasszikus mechanikában használt energiával és impulzussal (bár a fogalom hasonló), az hármas imulzusnál az eltérés a nevezőben levő gyökös kifejezés. Ha bevezetjük az <math>m^* = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> effektív tömeget (és az eredeti, eddig szereplő <math>m</math> tömeget nyugalmi tömegnek hívjuk), akkor az így adódó <math> \mathbf{p} = m^* \mathbf{v}<\math> képlet alakja megegyezik a klasszikus esetben használt összefüggéssel, ezt szokás úgy értelmezni, hogy a részecskék tömege mozgás közben megnő. Ez az értelmezés bizonyos esetekben szemléletes, más esetekben viszont elbonyolíthatja a számolásokat (hiszen számon kell tartani, hogy <math>m^*</math> is változik, és például a deriválások elvégzésekor nem szabad elfelejteni a gyökös kifejezésben szereplő <math>v^2</math>-et is deriválni, illetve vannak elméletek, ahol egy másfajta effektív tömeget kell bevezetni), így a továbbiakban ezt a jelölést nem használjuk, a képletekben szereplő <math>m</math> mindig a nyugalmi tömeget jelöli, aminek az értéke állandó, megelégszünk azzal, hogy a 4-es sebesség és -impulzusok közötti összefüggés alakja ugyanaz, mint klasszikus esetben (ott természetesen a nyugalmi tömeg szerepel). Természetesen, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi (a klasszikus határesetben), akkor a gyökös kifejezés értéke majdnem <math>1</math>, így határesetben a klasszikus képletet kapjuk.
		+
		+	A négyesimpulzus abszolútértéknégyzete (kihasználva, hogy a négyessebességé <math>c^2</math>):
		+
		+	<math>p_{\mu} p^{\mu} = \frac{E^2}{c^2} - p^2 = m^2 c^2</math>
		+
		+	Ezt az összefüggést átalakítva, az energia és impulzus (illetve a sebesség) közötti összefüggéseket kapjuk:
		+
		+	<math>E = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2}</math>
		+
		+	Álló részecskére a híres <math>E = m c^2</math> képlet adódik. Abban az esetben, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest nagyon kicsi, az energia sebességtől függését adó képletet sorbafejthetjük:
		+
		+	<math>E \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2</math>
		+
		+	Az összeg első tagja az olyan reakciókban, amik nem járnak a részecskék átalakulásával, állandó, így klasszikusan nem mérhető, a második tag a klasszikus mechanikából ismert mozgási energia.
		+
		+	A klasszikus mechanika energia- és impulzusmegmaradási tételéhez hasonlóan a négyesimpulzus megmaradó mennyiség; egy zárt rendszer teljes négyesimpulzusa megmarad. Ez azt jelenti, hogyha egy rögzített inerciarendszerből nézünk egy eseményt, akkor a négyesimpulzus mindegyik komponense megmarad. Természetesen, ha áttérünk egy másik inerciarendszerbe, a négyesimpulzus komponenseit egy Lorentz-transzformációval kell áttranszformálni (így a komponensek transzformálódnak, egy rendszer energiája a különböző mozgó koordinátarendszerekből nézve nem ugyanaz), az viszont igaz, hogy a négyesimpulzus abszolútértéke (a részecske vagy rendszer nyugalmi tömege) minden inerciarendszerből nézve ugyanaz.
		+
		+	===Részecskék ütközése===
		+
		+
		+

	==Relativisztikus fizika==		==Relativisztikus fizika==

← Régebbi változat		A lap 2009. szeptember 12., 13:50-kori változata
148. sor:		148. sor:

	A négyessebesség abszolútértékére kapott egyenlőség deriválásával könnyen belátható a <math>a_{\mu} u^{\mu} = 0</math> összefüggés is.		A négyessebesség abszolútértékére kapott egyenlőség deriválásával könnyen belátható a <math>a_{\mu} u^{\mu} = 0</math> összefüggés is.
		+
		+
		+	===Egyenletesen gyorsuló mozgás===
		+
		+	(ez egy jól követhető, szemléletes példa lenne az előző szakaszban bevezetett fogalmakra és gyakorlati alkalmazásukra)

	==Relativisztikus fizika==		==Relativisztikus fizika==