Csega: Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: $n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$ Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”

2009-08-14T16:28:44Z

Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math> Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”

Új lap

==Stirling-formula==
Nagy n esetén közelítőleg:

<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math>

Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő, vagyis a hányadosuk végtelenben vett határértéke 1. Általában a formulát a következőképpen használjuk ki:

<math> \ln(n!) \sim n \cdot (\ln(n) - 1)</math>

==Néhány integrál==
Gauss-integrál (precízen az alábbi formula a = 1 esetét nevezik Gauss-integrálnak):

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>

Gamma-függvény:

<math>\int\limits_{0}^\infty t^{z-1} e^t dt = \Gamma(z)</math>

<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \pi^{\frac{1}{2}}
</math>

<math>\Gamma(x+1) = x\, \Gamma(x)
</math>

<math>\Gamma(n) = \,(n-1)!
</math>

Egy r sugarú, d dimenziós gömb térfogata:

<math>V = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(1+d/2)}r^d</math>

A Bose-Einstein kondenzációhoz kell a következő integrál:

<math>\int\limits_{0}^\infty x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{e^x-1} dx = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \zeta\left(\frac{3}{2}\right)
</math>

Ehhez hasonló integrálok gyakran bukkannak elő a statisztikus fizikában és a szilárdtest fizikában, általános alakjuk:

<math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}\,dx = \Gamma{\left(n+1\right)} \zeta(n+1) </math>

ahol <math>Re(n) > 0 </math>, illetve

<math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x+1}\,dx = \Gamma{\left(n+1\right)} \zeta(n+1) (1-2^{-n}) </math>

ahol <math>Re(n) > -1 </math>.

Ami, mint könnyen látható, a Fermi-Dirac statisztikával kapcsolatos számításokban bukkan fel gyakran.

== Sorfejtések ==
=== Magas hőmérsékletű kvantumkorrekciók ===

... Ezt a részt majd átrakom máshova...

A <math>pV = NkT</math> ideális gázegyenlet első kvantumkorrekcióját keressük, a közelítés: <math>e^{\beta \mu} \ll 1</math>. Ehhez a következő sorfejtést használjuk:

<math>\frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)} \pm 1} = e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \sum\limits_{0}^{\infty} (\mp)^l e^{-l \beta (\epsilon - \mu)} \approx e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \mp e^{-2\beta (\epsilon - \mu)} </math>

=== Bethe-Sommerfeld sorfejtés ===
Fermionokra használható alacsony hőmérsékleten.

A statisztikus fizika matematikai apparátusa - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”

Csega: Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: $n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$ Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”