Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok - Laptörténet

Adrian: /* Állítás: y_t korrelálatlan */

2011-06-16T11:26:57Z

‎Állítás: y_t korrelálatlan

Adrian: /* Állítás: y_t átlaga 0 */

2011-06-16T11:20:22Z

‎Állítás: y_t átlaga 0

Csega, 2011. június 8., 15:11-n

2011-06-08T15:11:03Z

WikiSysop: /* A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell */

2011-06-07T16:32:24Z

‎A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell

WikiSysop: /* A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell */

2011-06-07T16:31:50Z

‎A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell

WikiSysop: /* ARCH, GARCH modellek */

2011-06-07T16:08:48Z

‎ARCH, GARCH modellek

WikiSysop: /* Állítás: y_t korrelálatlan */

2011-06-07T15:27:03Z

‎Állítás: y_t korrelálatlan

WikiSysop: /* Állítás: y_t korrelálatlan */

2011-06-07T15:21:50Z

‎Állítás: y_t korrelálatlan

WikiSysop: /* Állítás: y_t átlaga 0 */

2011-06-07T15:18:19Z

‎Állítás: y_t átlaga 0

WikiSysop, 2011. június 7., 15:12-n

2011-06-07T15:12:53Z

@@ 38. sor: / 38. sor: @@
 Kiszámolhatjuk <math>y_t^2</math> és <math>y_t^4</math> átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk):
-<math>E \left(y_t^2 \right) = >\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}</math>
+<math>E \left(y_t^2 \right) = \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}</math>
 <math>E(y_t^4 ) = \frac{3\alpha_0^2}{(1-\alpha_1 )^2} \frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}</math>

@@ 29. sor: / 29. sor: @@
 Biz.: legyen <math>Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}</math>, ekkor, mivel <math>y_t</math> csak <math>y_{t-1}</math>-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:
-<math>E \left(y_t \right) = E \left(y_t│Y_t \right) = E \left(y_t│y_{t-1} \right) = 0</math>
+<math>E \left(y_t \right) = E \left( y_t | Y_t \right ) = E \left( y_t | y_{t-1} \right ) = 0</math>
 ==Állítás: <math>y_t</math> korrelálatlan==

← Régebbi változat		A lap 2011. június 8., 15:11-kori változata
72. sor:		72. sor:

	A –ln(L) minimuma fogja megadni az <math>\alpha_0</math> és <math>\alpha_1</math> paramétereket.		A –ln(L) minimuma fogja megadni az <math>\alpha_0</math> és <math>\alpha_1</math> paramétereket.
		+
		+	{{MSc záróvizsga}}

@@ 59. sor: / 59. sor: @@
 A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell a következő:
-<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j y_{t-j}^2 + \sum_{j=1}^r \beta_j \simga_{t-j}^2</math>
+<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j y_{t-j}^2 + \sum_{j=1}^r \beta_j \sigma_{t-j}^2</math>
 Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):
-<math>\hat{\sigma}_{t+1}^2 = \hat{\alhpa}_0 + \sum_{j=1}^m \hat{\alpha}_j y_{t+1-j}^2 + \sum_{j=1}^r \hat{\beta}_j \hat{\sigma}_{t+1-j}^2</math>
+<math>\hat{\sigma}_{t+1}^2 = \hat{\alpha}_0 + \sum_{j=1}^m \hat{\alpha}_j y_{t+1-j}^2 + \sum_{j=1}^r \hat{\beta}_j \hat{\sigma}_{t+1-j}^2</math>
 Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood:

@@ 56. sor: / 56. sor: @@
 ==A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell==
-−
 Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):
-Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood
+Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood:
 az f() függvény az <math>y_t</math> feltételes eloszlása: <math>N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)</math>
 A –ln(L) minimuma fogja megadni az <math>\alpha_0</math> és <math>\alpha_1</math> paramétereket.

@@ 7. sor: / 7. sor: @@
 A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:
-<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t </math> (1)
+<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t</math> (1)
 <math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2</math> (2)

@@ 34. sor: / 34. sor: @@
 Bizonyítás:
-<math>cov \left(y_{t+h},y_t \right) = E\left(y_t y_{t+h} \right) = E \left(y_t y_{t+h} \vline Y_{t+h-1} \right) = E \left(y_t E\left(y_{t+h} \vline Y_{t+h-1} \right) \right) = 0</math>, ha <math>h \neq 0</math>
+<math>cov \left(y_{t+h},y_t \right) = E\left(y_t y_{t+h} \right) = E \left(y_t y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) = E \left(y_t E\left(y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) \right) = 0</math>, ha <math>h \neq 0</math>
 Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:
-Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eo. kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.
+Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eloszlás kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.
 ==ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re==

@@ 32. sor: / 32. sor: @@
 ==Állítás: <math>y_t</math> korrelálatlan==
-Biz.:
+Bizonyítás:
-cov(y_(t+h),y_t )=E(y_t y_(t+h) )=E(y_t y_(t+h)│Y_(t+h-1) )=E(y_t E(y_(t+h)│Y_(t+h-1) ))=0, ha h≠0
 Kiszámolhatjuk yt2 és yt4 átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk):

@@ 27. sor: / 27. sor: @@
 ==Állítás: <math>y_t</math> átlaga 0==
-Biz.: legyen <math>Y_s = \{y_s, y_s-1, \ldots, y_0}<\math>, ekkor, mivel yt csak yt-1-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:
+Biz.: legyen <math>Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}</math>, ekkor, mivel <math>y_t</math> csak <math>y_{t-1}</math>-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:
-E(y_t )=E(y_t│Y_t )=E(y_t│y_(t-1) )=0
-Áll.: yt korrelálatlan
+<math>E \left(y_t \right) = E \left(y_t│Y_t \right) = E \left(y_t│y_{t-1} \right) = 0</math>
 Biz.:
 cov(y_(t+h),y_t )=E(y_t y_(t+h) )=E(y_t y_(t+h)│Y_(t+h-1) )=E(y_t E(y_(t+h)│Y_(t+h-1) ))=0, ha h≠0

@@ 7. sor: / 7. sor: @@
 A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:
-<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t </math>
+<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t </math> (1)
-<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2</math>
+<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2</math> (2)
-<math>y_t</math> az idősor értéke t-ben, <math>\sigma_t<math> a szórás t-ben, <math>\epsilon_t<math> standard normál eloszlásból származó zaj, <math>\alpha_1<math> legyen nemnegatív.
+<math>y_t</math> az idősor értéke t-ben, <math>\sigma_t</math> a szórás t-ben, <math>\epsilon_t</math> standard normál eloszlásból származó zaj, <math>\alpha_1</math> legyen nemnegatív.
-A <math>\sigma_t^2<math>-re AR modellt írtunk fel.
+A <math>\sigma_t^2</math>-re AR modellt írtunk fel.
 Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.
-<math>y_t<math> feltételes eloszlása gaussi: <math>y_t</math> | <math>y_{t-1} \sim N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_t-12)<>
+<math>y_t</math> feltételes eloszlása gaussi: <math>y_t | y_{t-1} \sim N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)</math>
 Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:
-Állítás: yt átlaga 0.
+<math>y_t^2=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}^2+\sigma_t^2 (\epsilon_t^2-1)</math>
-Biz.: legyen Ys = {ys, ys-1, …, y0}, ekkor, mivel yt csak yt-1-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:
 E(y_t )=E(y_t│Y_t )=E(y_t│y_(t-1) )=0
 Áll.: yt korrelálatlan
@@ 36. sor: / 40. sor: @@
 Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eo. kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.
-ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re:
+==ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re==
-y_t=σ_t ϵ_t
+<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t</math>
-σ_t^2=α_0+α_1 y_(t-1)^2+α_2 y_(t-2)^2+⋯+α_m y_(t-m)^2
-yt feltételes eloszlása ismét gaussi: yt | yt-1 ~ N(0, α0+α1yt-12+α2yt-22+…+αmyt-m2)
+<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2+\alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2</math>
-A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell:
+==A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell==
 Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):
 Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood
-az f() függvény az yt feltételes eloszlása: N(0, α0+α1yt-12)
+az f() függvény az <math>y_t</math> feltételes eloszlása: <math>N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)</math>
-A –ln(L) minimuma fogja megadni az α0 és α1 paramétereket.