Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok '12 - Laptörténet

Tama13s, 2012. június 13., 12:17-n

2012-06-13T12:17:02Z

Tama13s, 2012. június 13., 11:17-n

2012-06-13T11:17:23Z

Tama13s, 2012. június 13., 11:06-n

2012-06-13T11:06:03Z

Tama13s, 2012. június 13., 11:04-n

2012-06-13T11:04:23Z

Tama13s, 2012. június 13., 11:03-n

2012-06-13T11:03:45Z

CzGabe: Új oldal, tartalma: „==ARCH, GARCH modellek== *ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokt…”

2012-06-05T21:40:11Z

Új oldal, tartalma: „==ARCH, GARCH modellek== *ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokt…”

Új lap

==ARCH, GARCH modellek==

*ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokták alkalmazni, a volatilitás a használt kifejezés

*GARCH: generalized ARCH

A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:

<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t</math> (1)

<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2</math> (2)

<math>y_t</math> az idősor értéke t-ben, <math>\sigma_t</math> a szórás t-ben, <math>\epsilon_t</math> standard normál eloszlásból származó zaj, <math>\alpha_1</math> legyen nemnegatív.

A <math>\sigma_t^2</math>-re AR modellt írtunk fel.

Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.

<math>y_t</math> feltételes eloszlása gaussi: <math>y_t | y_{t-1} \sim N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)</math>

Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:

<math>y_t^2=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}^2+\sigma_t^2 (\epsilon_t^2-1)</math>

Ez egy nem-gaussi AR(1) modell az <math>y_t^2</math>-re felírva.

==Állítás: <math>y_t</math> átlaga 0==

Biz.: legyen <math>Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}</math>, ekkor, mivel <math>y_t</math> csak <math>y_{t-1}</math>-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:

<math>E \left(y_t \right) = E \left( y_t | Y_t \right ) = E \left( y_t | y_{t-1} \right ) = 0</math>

==Állítás: <math>y_t</math> korrelálatlan==
Bizonyítás:

<math>cov \left(y_{t+h},y_t \right) = E\left(y_t y_{t+h} \right) = E \left(y_t y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) = E \left(y_t E\left(y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) \right) = 0</math>, ha <math>h \neq 0</math>

Kiszámolhatjuk <math>y_t^2</math> és <math>y_t^4</math> átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk):

<math>E \left(y_t^2 \right) = \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}</math>

<math>E(y_t^4 ) = \frac{3\alpha_0^2}{(1-\alpha_1 )^2} \frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}</math>

Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:

<math>\kappa = \frac{E\left(y_t^4\right)}{\left[E\left(y_t^2\right)\right]^2} = 3\frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}</math>

Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eloszlás kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.

==ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re==
<math>y_t = \sigma_t \epsilon_t</math>

<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2+\alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2</math>

<math>y_t</math> feltételes eloszlása ismét gaussi: <math>y_t | y_{t-1} \sim N \left(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2 + \alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2\right)</math>

==A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell==

A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell a következő:

<math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j y_{t-j}^2 + \sum_{j=1}^r \beta_j \sigma_{t-j}^2</math>

Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):

<math>\hat{\sigma}_{t+1}^2 = \hat{\alpha}_0 + \sum_{j=1}^m \hat{\alpha}_j y_{t+1-j}^2 + \sum_{j=1}^r \hat{\beta}_j \hat{\sigma}_{t+1-j}^2</math>

Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood:

<math>L\left(\alpha_0,\alpha_1|y_1\right) = \prod_{t=2}^n f_{\alpha_0,\alpha_1}\left(y_t|y_{t-1}\right)</math>

az f() függvény az <math>y_t</math> feltételes eloszlása: <math>N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)</math>

A –ln(L) minimuma fogja megadni az <math>\alpha_0</math> és <math>\alpha_1</math> paramétereket.

{{MSc 2012 záróvizsga}}

@@ 10. sor: / 10. sor: @@
 <math> X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} ,</math>
-ahol <math> \mu </math> az idősor átlaga, <math> \epsilon _t, \epsilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math> \theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
+ahol <math> \mu </math> az idősor átlaga, <math> \epsilon _t, \epsilon _{t-1},... </math> fehér zaj, <math> \theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
 ARMA(p,q) - autoregresszív mozgó átlag modell, az előző kettő ötvözete:
 <math> X_t = c + \epsilon _t + \sum _{i=1}^p \phi _i X_{t-i} + \sum _{i=1}^q \theta _i \epsilon _{t-i} .</math>
 ==ARCH, GARCH modellek==
@@ 77. sor: / 79. sor: @@
 <math>\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j y_{t-j}^2 + \sum_{j=1}^r \beta_j \sigma_{t-j}^2</math>
 Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 ==AR(p), MA(q), ARMA(p,q)==
 AR(p) - autoregressive modell
-<math> X_t=c+\phi _1 X_{t-1}+\cdots + \phi _p X_{t-p}+\epsilon _t  </math>,
+<math> X_t=c+\phi _1 X_{t-1}+\cdots + \phi _p X_{t-p}+\epsilon _t , </math>
 ahol <math>c </math> egy konstans, <math> \phi _1,..., \phi_p </math> paraméterek, és <math> \epsilon _t </math> fehér zaj.
 MA(q) - moving avarage
-<math> X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} </math>,
+<math> X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} ,</math>
 ahol <math> \mu </math> az idősor átlaga, <math> \epsilon _t, \epsilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math> \theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
 ==ARCH, GARCH modellek==

@@ 4. sor: / 4. sor: @@
 <math> X_t=c+\phi _1 X_{t-1}+\cdots + \phi _p X_{t-p}+\epsilon _t  </math>,
-ahol <math>c</math> egy konstans, <math>\phi _1,..., \phi_p </math> paraméterek, és <math>\epsilon _t </math> fehér zaj.
+ahol <math>c </math> egy konstans, <math> \phi _1,..., \phi_p </math> paraméterek, és <math> \epsilon _t </math> fehér zaj.
 MA(q) - moving avarage
-<math>X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} </math>,
+<math> X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} </math>,
-ahol <math>\mu </math> az idősor átlaga, <math>\epsilon _t, \epsilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math>\theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
+ahol <math> \mu </math> az idősor átlaga, <math> \epsilon _t, \epsilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math> \theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
 ==ARCH, GARCH modellek==

@@ 9. sor: / 9. sor: @@
 <math>X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} </math>,
-ahol <math>\mu </math> az idősor átlaga, <math>\epsilon _t, \espilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math>\theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
+ahol <math>\mu </math> az idősor átlaga, <math>\epsilon _t, \epsilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math>\theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
 ==ARCH, GARCH modellek==

← Régebbi változat		A lap 2012. június 13., 11:03-kori változata
1. sor:		1. sor:
		+	==AR(p), MA(q), ARMA(p,q)==
		+
		+	AR(p) - autoregressive modell
		+	<math> X_t=c+\phi _1 X_{t-1}+\cdots + \phi _p X_{t-p}+\epsilon _t </math>,
		+
		+	ahol <math>c</math> egy konstans, <math>\phi _1,..., \phi_p </math> paraméterek, és <math>\epsilon _t </math> fehér zaj.
		+
		+	MA(q) - moving avarage
		+	<math>X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} </math>,
		+
		+	ahol <math>\mu </math> az idősor átlaga, <math>\epsilon _t, \espilon _{t-1},... </math> (gauss) fehér zaj, <math>\theta _1,..., \theta _q </math> a modell paraméterei.
		+
	==ARCH, GARCH modellek==		==ARCH, GARCH modellek==