Atom- és molekulafizika - Laptörténet

WikiSysop: /* A tárgyhoz kapcsolódó dokumentumok */

2014-12-04T14:45:19Z

‎A tárgyhoz kapcsolódó dokumentumok

WikiSysop: /* A tárgyhoz kapcsolódó dokumentumok */

2014-12-04T14:45:10Z

‎A tárgyhoz kapcsolódó dokumentumok

157.181.137.65: /* Többelektornos rendszerek */

2009-10-13T12:40:54Z

‎Többelektornos rendszerek

Csega, 2009. október 11., 10:16-n

2009-10-11T10:16:04Z

195.228.232.83: /* Hélium-szerű gerjesztett állapotok */

2009-10-10T12:41:03Z

‎Hélium-szerű gerjesztett állapotok

195.228.232.83: /* Hélium-szerű gerjesztett állapotok */

2009-10-10T12:40:16Z

‎Hélium-szerű gerjesztett állapotok

195.228.232.83: /* A alapállapoti perturbálatlan eset */

2009-10-10T12:36:22Z

‎A alapállapoti perturbálatlan eset

195.228.232.83: /* A alapállapoti perturbálatlan eset */

2009-10-10T12:35:17Z

‎A alapállapoti perturbálatlan eset

195.228.232.83: /* A alapállapoti energia szintek számolása */

2009-10-10T12:34:12Z

‎A alapállapoti energia szintek számolása

Jeffrey, 2009. október 10., 12:05-n

2009-10-10T12:05:50Z

← Régebbi változat		A lap 2014. december 4., 14:45-kori változata
5. sor:		5. sor:

	[http://www.complex.elte.hu/~csordas/eloadas4.pdf Vetített diák 2.]		[http://www.complex.elte.hu/~csordas/eloadas4.pdf Vetített diák 2.]
−
−	~~asdf~~

	==Gyakorlati összefoglaló==		==Gyakorlati összefoglaló==

← Régebbi változat		A lap 2014. december 4., 14:45-kori változata
5. sor:		5. sor:

	[http://www.complex.elte.hu/~csordas/eloadas4.pdf Vetített diák 2.]		[http://www.complex.elte.hu/~csordas/eloadas4.pdf Vetített diák 2.]
		+
		+	asdf

	==Gyakorlati összefoglaló==		==Gyakorlati összefoglaló==

@@ 28. sor: / 28. sor: @@
 <math>\Phi_{nlm}(\mathbf{r}) = R_{nl}(r) \cdot Y_l^m(\theta, \phi)</math>
-===Többelektornos rendszerek===
+===Többelektronos rendszerek===
 ====A alapállapoti perturbálatlan eset====

← Régebbi változat		A lap 2009. október 11., 10:16-kori változata
98. sor:		98. sor:
	* Beírjuk <math>\frac{1}{r_{12}}</math> helyére a gömbfüggvények szerinti összegképletet. Bevisszük az integrálokat a szumma alá, és csoportosítjuk az azonos argumentumú gömbfüggvényeket. Ezeket vagy a norma, vagy az ortogonalitás segítségével elvégezzük. Az összegző kvantumsázmok értéke meghatározódik, és helyükbe a meghatározandó gerjesztett pálya kvantumszámai írhatóak.		* Beírjuk <math>\frac{1}{r_{12}}</math> helyére a gömbfüggvények szerinti összegképletet. Bevisszük az integrálokat a szumma alá, és csoportosítjuk az azonos argumentumú gömbfüggvényeket. Ezeket vagy a norma, vagy az ortogonalitás segítségével elvégezzük. Az összegző kvantumsázmok értéke meghatározódik, és helyükbe a meghatározandó gerjesztett pálya kvantumszámai írhatóak.
	* A hátramaradó integrálok <math>\int x^n e^{-x}</math> alakúak, és elvégezhetőek.		* A hátramaradó integrálok <math>\int x^n e^{-x}</math> alakúak, és elvégezhetőek.
		+
		+	[[Kategória: Atom- és molekulafizika]]
		+	[[Kategória: MSc]]

@@ 71. sor: / 71. sor: @@
 <math> \Psi_b(2) = \Phi_{2lm}(\mathbf{r_2}) </math>
-Ez azért jogos, mert ha mindkettő magasabb szinten lenne, az már nem lenne kötött állapot. Ekkor már tlejesíthető a Pauli-elv két féle kombináció esetén: szimmetrikus a helyfüggvény és antiszimmetrikus a spin függvény(szinglet) VAGY antiszimmetrikus a helyfüggvény és szimmetrikus a spin függvény(triplet).
+Ez azért jogos, mert ha mindkettő magasabb szinten lenne, az már nem lenne kötött állapot. Ekkor már tlejesíthető a Pauli-elv két féle kombináció esetén: szimmetrikus a helyfüggvény és antiszimmetrikus a spin függvény(szinglet, mert csak egyilyen spinállapot van) VAGY antiszimmetrikus a helyfüggvény és szimmetrikus a spin függvény(triplet, mert három ilyen spinllapot van).
 A hullámfüggvény alakja tehát triplet esetben:
@@ 78. sor: / 78. sor: @@
 A hullámfüggvény alakja szinglet esetben:
 <math>\Psi_{0, szinglet} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) + \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^1\chi(s_1, s_2)</math>
 ====A perturbálatlan eset====

@@ 71. sor: / 71. sor: @@
 <math> \Psi_b(2) = \Phi_{2lm}(\mathbf{r_2}) </math>
-Ez azért jogos, mert ha mindkettő magasabb szinten lenne, az már nem lenne kötött állapot. Ekkor már tlejesíthető a Pauli-elv két féle kombináció esetén: szimmetrikus a helyfüggvény és antiszimmetrikus a spin függvény VAGY antiszimmetrikus a helyfüggvény és szimmetrikus a spin függvény.
+Ez azért jogos, mert ha mindkettő magasabb szinten lenne, az már nem lenne kötött állapot. Ekkor már tlejesíthető a Pauli-elv két féle kombináció esetén: szimmetrikus a helyfüggvény és antiszimmetrikus a spin függvény(szinglet) VAGY antiszimmetrikus a helyfüggvény és szimmetrikus a spin függvény(triplet).
-A hullámfüggvény alakja tehát szimmetrikus esetben:
+A hullámfüggvény alakja tehát triplet esetben:
-<math>\Psi_{0, szimm} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) - \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^3\chi(s_1, s_2)</math>
+<math>\Psi_{0, triplet} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) - \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^3\chi(s_1, s_2)</math>
-A hullámfüggvény alakja antiszimmetrikus esetben:
+A hullámfüggvény alakja szinglet esetben:
-<math>\Psi_{0, antiszimm} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) + \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^1\chi(s_1, s_2)</math>
+<math>\Psi_{0, szinglet} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) + \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^1\chi(s_1, s_2)</math>
 A szimmetrikus esetben három különböző spinfüggvény létezik, ezért három féle <math>\Psi</math> állítható elő, ezért ez az állapot triplett, az antiszimmetrikus esetben csak egy létezik, ezért ez szinglett.

@@ 31. sor: / 31. sor: @@
 ====A alapállapoti perturbálatlan eset====
-A több elektront tartalmazó atomok elektronszerkezetét elsőrendű perturbációs módszerrel kezeljük, ahol az elektronok kölcsönhatása adja a perturbációs Hamilton operátort. He atomra:
+A több elektront tartalmazó atomok elektronszerkezetét elsőrendű perturbációs módszerrel kezeljük, ahol az elektronok kölcsönhatása adja a perturbációs Hamilton operátort. He szerű atomra:
 <math>H = H_0 + H_1 = H_0 + \frac{e_0^2}{r_{12}}</math>

@@ 18. sor: / 18. sor: @@
 <math>H = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta -\frac{Ze_0^2}{r_0} \,</math>
-ahol ''Z'' a rendszám, <math>e_0</math> a redukált töltés, ''m'' az elektron tömege, ''Z'' a mag rendszáma. Az alapállapoti energia sajátértékek:
+ahol ''Z'' a rendszám, <math>e_0</math> a redukált töltés, ''m'' a redukált tömeg, közelítőleg az elektron tömege, ''Z'' a mag rendszáma. Az alapállapoti energia sajátértékek:
 <math>E_{nlm} = -\frac{1}{2}\frac{Z^2 e_0^2}{a_0}\frac{1}{n^2}</math>

← Régebbi változat		A lap 2009. október 10., 12:05-kori változata
5. sor:		5. sor:

	[http://www.complex.elte.hu/~csordas/eloadas4.pdf Vetített diák 2.]		[http://www.complex.elte.hu/~csordas/eloadas4.pdf Vetített diák 2.]
		+
		+	==Gyakorlati összefoglaló==
		+
		+	===A alapállapoti energia szintek számolása===
		+
		+	Az atomok energiaszintjeit a Schrödinger-egyeneltből számoljuk:
		+
		+	<math>H\Phi = E\Phi \,</math>
		+
		+	A Hidrogén-szerű egyrészecske Hamilton operátorban kinetikus enrgia szerepel és Coulomb-potenciál:
		+
		+	<math>H = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta -\frac{Ze_0^2}{r_0} \,</math>
		+
		+	ahol ''Z'' a rendszám, <math>e_0</math> a redukált töltés, ''m'' az elektron tömege, ''Z'' a mag rendszáma. Az alapállapoti energia sajátértékek:
		+
		+	<math>E_{nlm} = -\frac{1}{2}\frac{Z^2 e_0^2}{a_0}\frac{1}{n^2}</math>
		+
		+	ahol ''n'' a főkvantumszám, értéke 0, 1, 2, ..., ''l'' a mellékkvantumszám, értéke 0-tól (n-1)-ig lehetséges, egyesével, és ''m'' a mágneses kvantunmszám, értéke (-''l'')-től (+''l'')-ig lehetséges egyesével.
		+
		+	A hullámfüggvényt sugár- és szögfüggő tényezőkre szeparálhatjuk:
		+
		+	<math>\Phi_{nlm}(\mathbf{r}) = R_{nl}(r) \cdot Y_l^m(\theta, \phi)</math>
		+
		+	===Többelektornos rendszerek===
		+	====A alapállapoti perturbálatlan eset====
		+
		+	A több elektront tartalmazó atomok elektronszerkezetét elsőrendű perturbációs módszerrel kezeljük, ahol az elektronok kölcsönhatása adja a perturbációs Hamilton operátort:
		+
		+	<math>H = H_0 + H_1 = H_0 + \frac{e_0^2}{r_{12}}</math>
		+
		+	A többrészecskés esetben a perturbálatlan Hamilton:
		+
		+	<math>H_0 = \sum_{i=1}^{N} -\frac{\hbar^2}{2m_i} \Delta_i -\frac{Ze_0^2}{r_i}</math>
		+
		+	Az alapállapoti hullámfüggvényt kereshetjük ismét szorzat alakban, azonban vegyük figyelembe a spint is:
		+
		+	<math>\Psi_0 = \Phi_{100}(\mathbf{r_1}) \cdot \Phi_{100}(\mathbf{r_2}) \cdot \chi( s_1, s_2 ) </math>
		+
		+	Alapállapotban ez megtehető, mert a spintényező antiszimmetrikus, a hely- és szögfüggő rész szimmetrikus (ez kötelező alapállapotban), így az eredő hullámfüggvény antiszimmetrikus összhangban a Pauli-elvvel. Továbbá, mivel a tekintett Hamilton-operátor nem függ a spintől, ezért a számolások során ez mindig kihozható az integrálok alól, és a skaláris szorzat számolása során az ortonormalitás miatt 1-et ad.
		+
		+	Az alapállapoti energia ekkor:
		+
		+	<math>E_0 = \langle\Psi_0\|H\|\Psi_0\rangle = \langle\Psi_0\|H_0\|\Psi_0\rangle + \langle\Psi_0\|H_1\|\Psi_0\rangle = E_0^0 + E_0^1 \,</math>
		+
		+	Az első tag a két Hidrogén-szerű alapállapot (n=1) energiasajátértékének összege, ezért:
		+
		+	<math>E_0^0 = 2 \cdot -\frac{1}{2}\frac{Z^2 e_0^2}{a_0}</math>
		+
		+	====A alapállapoti perturáció====
		+	Az elektron-elektron kölcsönhatási perturbáció számolása:
		+
		+	<math>E_0^1 = \langle\Psi_0\|H_1\|\Psi_0\rangle = \int d^3 r_1 \int d^3 r_2 \Phi_{100}(\mathbf{r_1})^* \Phi_{100}(\mathbf{r_2})^* \frac{e_0^2}{r_{12}} \Phi_{100}(\mathbf{r_1}) \Phi_{100}(\mathbf{r_2})</math>
		+
		+	ahol a spint már kiösszegeztük. A további lépések:
		+	* Beírjuk a szorzat alakú hullámfüggvényt.
		+	* A <math>d^3 r</math> integrálási változók helyett gömbi koordinátákra térünk át: <math>dr r^2 d\Omega\,</math>
		+	* Beírjuk <math>\frac{1}{r_{12}}</math> helyére a gömbfüggvények szerinti összegképletet. Ebben a kifejtésben a gömbfüggvények különböző argumentummal szerepelnek a szumma alatt, ezért beviszünk mindkettőhöz 1-1 hozzátartozó argumentumú gömbfüggvényt a hullámfüggvényekből, és a szumma alatt kiintegráljuk, ami az ortonormalitás miatt Kronecker-deltákat eredményez, így a szummák elvégezhetőek, és ''l'' konkrét értéket vesz fel. A kint maradt gömbfüggvények m=0,l=0 értékekhez tartoznak, azaz értékük <math>\frac{1}{\sqrt{4\pi}}</math>
		+	*Ekkor már csak a sugár függő integrálok maradnak, amelyek <math>\int x^2 e^{-x}</math> alakúak, és analitikusan kiszámolhatóak.
		+
		+	===Hélium-szerű gerjesztett állapotok===
		+	A kételektron rendszereknek azon gerjesztéseit tekintjük, amelyeknél csak az egyik elektron van az alapállapotnál magasabban, a másik alapállapotban:
		+
		+	<math> \Psi_a(1) = \Phi_{100}(\mathbf{r_1}) </math>
		+
		+	<math> \Psi_b(2) = \Phi_{2lm}(\mathbf{r_2}) </math>
		+
		+	Ez azért jogos, mert ha mindkettő magasabb szinten lenne, az már nem lenne kötött állapot. Ekkor már tlejesíthető a Pauli-elv két féle kombináció esetén: szimmetrikus a helyfüggvény és antiszimmetrikus a spin függvény VAGY antiszimmetrikus a helyfüggvény és szimmetrikus a spin függvény.
		+
		+	A hullámfüggvény alakja tehát szimmetrikus esetben:
		+	<math>\Psi_{0, szimm} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) - \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^3\chi(s_1, s_2)</math>
		+
		+	A hullámfüggvény alakja antiszimmetrikus esetben:
		+	<math>\Psi_{0, antiszimm} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_a(1)\Phi_b(2) + \Phi_a(2)\Phi_b(1) \right) \cdot ^1\chi(s_1, s_2)</math>
		+
		+	A szimmetrikus esetben három különböző spinfüggvény létezik, ezért három féle <math>\Psi</math> állítható elő, ezért ez az állapot triplett, az antiszimmetrikus esetben csak egy létezik, ezért ez szinglett.
		+
		+	====A perturbálatlan eset====
		+	A perturbálatlan eset most is a Hidrogén-szerű energiaértékekből számolható:
		+
		+	<math>E_1^0 = E_{100} + E_{200} = -\frac{Z^2 e_0^2}{2a_0}\left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} \right)</math>
		+
		+	====A perturbált eset====
		+	A főbb lépések:
		+
		+	* A spin ismét kiösszegezhető, és 1-et ad.
		+	* Az hullámfüggvényben levő összeget (vagy különbséget) felbontjuk négy tagra a skalárszorzatban. Ebből a vegyes tagok azonosak egy változó csere erejéig, ezért összevonhatóak, hasonlóan a négyzetes tagok is, így két integrált kapunk: egy Kicserélődési és egy Coulomb integrált:
		+
		+	<math>C_{ab} = e_0^2 \int d^3 r_1 \int d^3 r_2 \frac{\|\Phi_{a1}\|^2 \|\Phi_{b2}\|^2}{r_{12}}</math>
		+
		+	<math>K_{ab} = e_0^2 \int d^3 r_1 \int d^3 r_2 \frac{\Phi_{a1}^* \Phi_{b1} \Phi_{b2}^* \Phi_{a2}}{r_{12}}</math>
		+
		+	* Beírjuk a szorzat alakú hullámfüggvényt.
		+	* A <math>d^3 r</math> integrálási változók helyett gömbi koordinátákra térünk át: <math>dr r^2 d\Omega\,</math>
		+	* Beírjuk <math>\frac{1}{r_{12}}</math> helyére a gömbfüggvények szerinti összegképletet. Bevisszük az integrálokat a szumma alá, és csoportosítjuk az azonos argumentumú gömbfüggvényeket. Ezeket vagy a norma, vagy az ortogonalitás segítségével elvégezzük. Az összegző kvantumsázmok értéke meghatározódik, és helyükbe a meghatározandó gerjesztett pálya kvantumszámai írhatóak.
		+	* A hátramaradó integrálok <math>\int x^n e^{-x}</math> alakúak, és elvégezhetőek.