Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés - Laptörténet

Jeffrey: /* Sztochasztikus szökés */

2011-06-16T15:06:50Z

‎Sztochasztikus szökés

Jeffrey: /* Sztochasztikus szökés */

2011-06-16T15:06:29Z

‎Sztochasztikus szökés

Jeffrey: /* Zaj dominált rendszerek */

2011-06-12T19:53:05Z

‎Zaj dominált rendszerek

Jeffrey: /* Káosz disszipatív rendszerekben */

2011-06-12T19:24:21Z

‎Káosz disszipatív rendszerekben

Jeffrey: /* Káosz disszipatív rendszerekben */

2011-06-12T19:22:34Z

‎Káosz disszipatív rendszerekben

Adrian, 2011. június 10., 22:22-n

2011-06-10T22:22:02Z

Adrian, 2011. június 10., 15:08-n

2011-06-10T15:08:47Z

Adrian, 2011. június 10., 13:11-n

2011-06-10T13:11:51Z

Jeffrey, 2011. június 9., 13:16-n

2011-06-09T13:16:39Z

Jeffrey: Új oldal, tartalma: „== Dinamikus rendszerek elmélete == == Determinisztikus káosz == == Káosz disszipatív rendszerekben == == Diffúzió == Ismét sokadszorra:) == Zaj dominált rendszer…”

2011-06-09T13:05:28Z

Új oldal, tartalma: „== Dinamikus rendszerek elmélete == == Determinisztikus káosz == == Káosz disszipatív rendszerekben == == Diffúzió == Ismét sokadszorra:) == Zaj dominált rendszer…”

Új lap

== Dinamikus rendszerek elmélete ==
== Determinisztikus káosz ==
== Káosz disszipatív rendszerekben ==
== Diffúzió ==
Ismét sokadszorra:)

== Zaj dominált rendszerek ==

@@ 62. sor: / 62. sor: @@
 :<math>P \propto \mathrm{e}^{-\beta \Delta V}</math>
-ahol <math>\beta ~ 1 / A</math>, ahol A a külső zaj amplitudója, <math>\Delta V</math> a potenciál gát magassága.
+ahol <math>\beta \propto 1 / A</math>, ahol A a külső zaj amplitudója, <math>\Delta V</math> a potenciál gát magassága.
 === Sztochasztikus rezonancia ===

@@ 62. sor: / 62. sor: @@
 :<math>P \propto \mathrm{e}^{-\beta \Delta V}</math>
-ahol <math>\beta</math> a külső zaj amplitudója, <math>\Delta V</math> a potenciál gát magassága.
+ahol <math>\beta ~ 1 / A</math>, ahol A a külső zaj amplitudója, <math>\Delta V</math> a potenciál gát magassága.
 === Sztochasztikus rezonancia ===
 Tekintsünk egy két minimumú potenciálgödröt, amelyben mozgó részecskére zaj is hat, továbbá a potenciál minimumait perturbáljuk meg egy adott frekvenciájú amplitudóval. A zaj legyen olyan erős, hogy idnként át tudja lökni a rendszert egyik minimumból a másikba.

← Régebbi változat		A lap 2011. június 12., 19:53-kori változata
54. sor:		54. sor:


−	== ~~Zaj dominált~~ rendszerek ==	+	== Zajjal kölcsönható rendszerek ==
		+	Ha egy egyébként determinisztikus rendszerhez egy külső zajt csatolunk, akkor azt áltlaánosan sztochsztikus rendszernek is nevezhetjük. Ezek számos helyen felbukkanhatnak, amikor bizonyos a rendszert érő hatásokat nem tudunk, vagy nem akarunk zárt alakban csatolni a leírásunkhoz, hanem csak valószínűségi változóként akarjuk a hatásukat figyelembe venni.

		+	===Sztochasztikus szökés===
		+	Tekintsünk egy részecskét, amely egy potenciál metastabil állapotában van, tehát létezik alacsonyabb állapotú helyzete, de azt egy potenciálgát miatt nem éri el. Ha erre a rendszerre egy külső zajforrást kapcsolunk, akkor ez bizonyos valószínűséggel fedezni tudja a gát legyőzéséhez szükséges energiakülönbséget, ezáltal a részecske el tudja hagyni a metastabil állapotot. Nem meglepő, hogy a metastabil potenciálgödröt harmonikus formában közelítve a szökés valószínűségére:
		+
		+	:<math>P \propto \mathrm{e}^{-\beta \Delta V}</math>
		+
		+	ahol <math>\beta</math> a külső zaj amplitudója, <math>\Delta V</math> a potenciál gát magassága.
		+	=== Sztochasztikus rezonancia ===
		+	Tekintsünk egy két minimumú potenciálgödröt, amelyben mozgó részecskére zaj is hat, továbbá a potenciál minimumait perturbáljuk meg egy adott frekvenciájú amplitudóval. A zaj legyen olyan erős, hogy idnként át tudja lökni a rendszert egyik minimumból a másikba.
		+
		+	Amikor a zaj hatására történő minimum váltás tipikus periódusideje egyezik a perturbáció periódusidejével, akkor rezonancia lép fel: a külső zaj és a perturbáció hatására a részecske mindig el tud jutni az optimálisabb helyzetbe és periódusideje követi a potenciál változásának periódusát. Túl alcsony zajszintnél a rendszer beragad az egyik minimumba, túl magas zajszintnél elnyomja a külső gerjesztés hatását.
		+
		+	Hasonló folyamattal magyarázható esetleg a jégkorszakok közti változás: mind az eljegesedett, mind a jégmentes állapot stabil lenne (a plussz hő vagy elnyelődik az óceánokban, vagy visszaverődik a hóról), de a beeső sugárzás perioikusan változhat a Föld pályaelemeinek változásával, így előállhat a fenti időnként átbeillenő folyamat.

	{{MSc záróvizsga}}		{{MSc záróvizsga}}

@@ 40. sor: / 40. sor: @@
 A disszipációt tehát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy <math>\vec{\nabla} \cdot \dot{\vec{x}} < 0</math>
-Hosszú idő elteltével a disszipáció egyedüli hatásként oda vezet, hogy a rendszer beáll egy infinitezinális pontba a fázistérben. Ha más hatás is van, az bizonyos irányokban ezt ellensúlyozhatja. Példa erre a Naprendszer(-ek) kialakulása: az összesűrűsödő porfelhő kezdetben gömbszimmetrikusan húzódik össze, azonban mivel csökken a tehetetlensége, forgása (ami kicsi mindig van a fluktuációk miatt) felgyorsul a perdületmegmaradás miatt. A növekvő sűrűség miatt azonban a surlódás (elemi rugalmatlan ütközések rátája) is nő, ezért egyre erősebb disszipáció lesz jellemző. A forgás és a disszipáció együtt oda vezet, hogy a fázitérfogatcsökkenés leghamarabb a forgás által kijelölt tengely mentén megy végbe, mert itt nincsenek ezt ellensúlyozó erőhatások. Ennek eredményeképpen jönnek létre a protoplanetáris korongok.
+Hosszú idő elteltével a disszipáció egyedüli hatásként oda vezet, hogy a rendszer beáll egy infinitezinális pontba a fázistérben. Ha más hatás is van, az bizonyos irányokban ezt ellensúlyozhatja. Példa erre a Naprendszer(-ek) kialakulása: az összesűrűsödő porfelhő kezdetben gömbszimmetrikusan húzódik össze, azonban mivel csökken a tehetetlensége, forgása (ami kicsi mindig van a fluktuációk miatt) felgyorsul a perdületmegmaradás miatt. A növekvő sűrűség miatt azonban a surlódás (elemi rugalmatlan ütközések rátája) is nő, ezért egyre erősebb disszipáció lesz jellemző. A forgás és a disszipáció együtt oda vezet, hogy a fázitérfogatcsökkenés leghamarabb a forgás által kijelölt tengely mentén megy végbe, mert itt nincsenek ezt ellensúlyozó erőhatások. Ennek eredményeképpen jönnek létre a protoplanetáris korongok. Ez a tulajdonság általánosabb érvényű: a disszipáció redukálja a fázistér elérhető dimenzióinak számát.
 == Diffúzió ==

← Régebbi változat		A lap 2011. június 12., 19:22-kori változata
39. sor:		39. sor:

	A disszipációt tehát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy <math>\vec{\nabla} \cdot \dot{\vec{x}} < 0</math>		A disszipációt tehát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy <math>\vec{\nabla} \cdot \dot{\vec{x}} < 0</math>
		+
		+	Hosszú idő elteltével a disszipáció egyedüli hatásként oda vezet, hogy a rendszer beáll egy infinitezinális pontba a fázistérben. Ha más hatás is van, az bizonyos irányokban ezt ellensúlyozhatja. Példa erre a Naprendszer(-ek) kialakulása: az összesűrűsödő porfelhő kezdetben gömbszimmetrikusan húzódik össze, azonban mivel csökken a tehetetlensége, forgása (ami kicsi mindig van a fluktuációk miatt) felgyorsul a perdületmegmaradás miatt. A növekvő sűrűség miatt azonban a surlódás (elemi rugalmatlan ütközések rátája) is nő, ezért egyre erősebb disszipáció lesz jellemző. A forgás és a disszipáció együtt oda vezet, hogy a fázitérfogatcsökkenés leghamarabb a forgás által kijelölt tengely mentén megy végbe, mert itt nincsenek ezt ellensúlyozó erőhatások. Ennek eredményeképpen jönnek létre a protoplanetáris korongok.

	== Diffúzió ==		== Diffúzió ==

@@ 21. sor: / 21. sor: @@
 A valós folyamatok leírásában (egyszerű rendszerekre, pl.: kettős inga) fel tudjuk írni a rendszert mozgató differenciálegyenleteket, viszont a kezdőfeltételeket csak valamekkora hibával ismerjük. Mivel a kaotikus mozgás hibaerősítő, a mozgást a rövid előrejelzési időn túl követve a bizonytalanság eléri az egész attraktor méretét. Az ilyen mozgás tehát előre jelezhetetlen,rendszerint a fázistér fraktálalakzataihoz kötött, és hosszú távú leírása egy időfüggetlen valószínűségeloszlással lehetséges.
-A legismertebb példája a determinisztikus káosznak a logisztikus leképzés. Ezt nem differenciálegyenlettel írjuk le, hanem a másik lehetséges módon, leképezés formában, ami a következő: <math>x_{n+1} = r\,x_n(1-x_n)</math>. Az x változó a [0:1] tartományon értelmezhető, az r paraméter pedig [0:4] lehet. A leképezést populációdinamikai modellekben szokták használni, ahol x a populáció hányada a teljes lehetséges populációhoz, az r pedig a szaporodási és a pusztulási ráta kombinációja.
+A legismertebb példája a determinisztikus káosznak a logisztikus leképzés. Ezt nem differenciálegyenlettel írjuk le, hanem a másik lehetséges módon, leképezés formában, ami a következő: <math>x_{n+1} = r\,x_n(1-x_n)</math>. Az x változó a [0:1] tartományon értelmezhető, az r paraméter pedig [0:4] lehet. A leképezést populációdinamikai modellekben szokták használni, ahol x a populáció hányada a teljes lehetséges populációhoz, az r pedig a szaporodási és a pusztulási ráta kombinációja. Az x<sub>n</sub> sorozat viselkedését az r paraméter határozza meg. Ha r<3, akkor 1 fixpont van, ha 3<r<3.4, akkor 2 fixpont van, stb. Hogy melyik r értéknél milyen viselkedést tapasztalunk, a [http://en.wikipedia.org/wiki/File:LogisticMap_BifurcationDiagram.png bifurkációs diagramról] olvashatjuk le. Még több a logisztikus leképezésről [http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map itt].
 == Káosz disszipatív rendszerekben ==
 == Diffúzió ==
-Ismét sokadszorra:)
+<!--A determinisztikus diffúziót elő lehet állítani az alábbi módon (ugyanazt a leképezést egy egyenesre rakjuk egymás után):
 == Zaj dominált rendszerek ==

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-== Dinamikus rendszerek elmélete ==
+== Dinamikai rendszerek elmélete ==
 A dinamikai rendszerek elmélete csatolt differenciálegyenletek tulajdonságával foglalkozik, amiknek az időfejlődését néhány paraméter határozza meg. A rendszer időfejlődésének vizsgálata a paraméterek állapotterében zajlik.
@@ 10. sor: / 10. sor: @@
 A rendszer időfejlődését, főleg ha az d>3 dimenziós, nagyon nehéz grafikusan ábrázolni. Ezért a fázistérnek és egy síknak a metszetét vizsgáljuk. Ha egy közel periodikus pálya metszi a síkot (a fázistér egy ''alterét''), akkor egy periódusidő múlva újra metszeni fogja, közel az előző ponthoz. Belátható, hogy egy pálya akkor periodikus, ha a Poincaré-metszetnek fixpontja.
 ====Ljapunov-exponens====
-A Ljapunov-exponenssel az számszerűsíthetjük, hogy a fázistérben két közeli trajektória milyen gyorsan távolodik egymástól. Ha kezdetben <math>\delta Z_0</math> távolságra voltak, akkor az időben a távolságuk <math>|\delta Z_0(t)| \approx e^{\lambda t}|\delta Z_0|</math> szerint növekszik (vagy csökken, ha <math>\lambda<0</math>).
+A Ljapunov-exponenssel az számszerűsíthetjük, hogy a fázistérben két közeli trajektória milyen gyorsan távolodik egymástól. Ha kezdetben <math>\delta Z_0</math> távolságra voltak, akkor az időben a távolságuk <math>|\delta Z_0(t)| \approx e^{\lambda t}|\delta Z_0|</math> szerint növekszik.
 == Determinisztikus káosz ==
 == Káosz disszipatív rendszerekben ==
 == Diffúzió ==

← Régebbi változat		A lap 2011. június 9., 13:16-kori változata
6. sor:		6. sor:

	== Zaj dominált rendszerek ==		== Zaj dominált rendszerek ==
		+
		+
		+	{{MSc záróvizsga}}