Einstein-féle leírás - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „===Einstein-féle leírása (1905)=== Annak valószínűsége, hogy a részecske $\tau$ idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet: :
2009-08-23T15:31:50Z

Új oldal, tartalma: „===Einstein-féle leírása (1905)=== Annak valószínűsége, hogy a részecske <math>\tau</math> idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet: :<mat…”

Új lap
===Einstein-féle leírása (1905)===

*Annak valószínűsége, hogy a részecske <math>\tau</math> idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:
:<math>p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:Az egyenlet bal oldalának első tagja annak valószínűsége, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy <math>\tau</math> idő múlva éppen arrébbmegy egy másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valahonnan máshonnan a megadott tartományra érkezik <math>\tau</math> idő múlva.

: Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik integráljel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek <math>\Delta</math>-tól, ekkor:

:<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:És mivel <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1</math> (hiszen <math>\Phi(\Delta)d\Delta</math> annak valószínűségét adja meg, hogy egy részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy <math>\Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)</math>), ennek következtében a bal oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

:{|border="1"
|<math>p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>||Chapman-Kolmogorov egyenlet
|-
|}

A fenti egyenletet <math>\tau</math>-ban és <math>\Delta</math>-ban sorbafejtjük ([[Kramers-Moyal sorfejtés]]), ekkor a következő egyenletet kapjuk:

<math>p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont <math>\overline{\Delta}</math> értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük <math>\overline{\Delta^2}</math>-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}</math>

Ám <math>\overline{\Delta}</math> értéke nulla, mivel a <math>\Phi(\Delta)</math> függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}</math>

<math>\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}</math>-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a '''diffúziós egyenlet''' általános alakját, mely:

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial (x^2)}</math>||Dinamikai egyenlet a <u>valószínűség</u> időbeni változására (más néven a <u>Fokker-Planck egyenlet</u>).
|-
|}

===Becslés a diffúziós együttható értékére===
<math>D = \frac{\overline{\Delta^2}}{\tau} \approx \frac{10^{-12} m^2}{1 s} = 10^{-12} \frac{m^2}{s}</math>

===A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése===
A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha <math>p(x,t = 0) = \delta(x)</math> akkor ebből a megoldás:

<math>p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}</math> (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján:

<math><x^2> = (Dt) = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx</math> --> Változó helyettesítés:
<math>\frac{x}{\sqrt{2Dt}} = y</math>

Ennek hatására a fenti egyenlet a következőképp módosul:

<math>2Dt\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{y^2}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2}dy</math>

Az integrál értéke 1 (táblázatból Bronstein-ből stb. kinézhető), így:
<math><x^2> = 2Dt</math>

[[Véletlen fizikai folyamatok/Érdekesség|Érdekesség: A Pitagorasz-tétel levezetése dimenzióanalízis alapján]]

===Sodródás===
A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: <math>\Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)</math>

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0</math>

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

<math>p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

(<math>\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}:</math> mikroszkopikus hossz, <math>\tau:</math> mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. Ha a fenti egyenlet bal oldalán az első tag nem nulla, a következő tag jóval kisebb, mégis érdemes megtartani, mert az első tag gyakorlatilag csak egy driftet ír le:
<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}</math>, ahol <math>v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}</math>

[[Kép:drift.png|center|thumb|Driftelő "csomag"]]

Például: <math>p(x,t) = \tilde{p}(x-vt)</math>. A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: <math>-v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}</math>

Emiatt érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha azt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre, közben szétterjed:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

Bevezetve a <math>\tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t)</math> átalakítást az egyenlet a következőképpen módosul:

<math>-v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y}</math> Innen:

<math>\tilde{p}(y,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{y^2}{4Dt}}</math> --> <math>p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{(x-vt)^2}{4Dt}}</math>

[[Kép:drift2.png|center|thumb|Driftelő és szétterjedő "csomag"]]

[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]