Elsőrendű és folytonos fázisátalakulások - Laptörténet

Jeffrey: /* Az Ising-modell */

2011-06-16T17:31:22Z

‎Az Ising-modell

Jeffrey: /* Folytonos (másodrendű) fázisátalakulások jellemzői */

2011-06-16T09:12:41Z

‎Folytonos (másodrendű) fázisátalakulások jellemzői

Jeffrey: /* Elsőrendű fázisátalakulások jellemzői */

2011-06-16T09:10:28Z

‎Elsőrendű fázisátalakulások jellemzői

Jeffrey: /* Az Ising-modell */

2011-06-14T15:48:29Z

‎Az Ising-modell

Jeffrey: /* Az Ising-modell */

2011-06-14T15:03:46Z

‎Az Ising-modell

Jeffrey, 2011. június 14., 14:22-n

2011-06-14T14:22:42Z

Jeffrey: /* Kritikus exponensek és skálatörvények */

2011-06-13T10:41:29Z

‎Kritikus exponensek és skálatörvények

Jeffrey: /* Kritikus exponensek és skálatörvények */

2011-06-13T10:40:30Z

‎Kritikus exponensek és skálatörvények

Jeffrey: /* Kritikus exponensek és skálatörvények */

2011-06-13T10:38:45Z

‎Kritikus exponensek és skálatörvények

Jeffrey: /* Clausius–Clapeyron-egyenlet */

2011-06-13T10:06:08Z

‎Clausius–Clapeyron-egyenlet

@@ 158. sor: / 158. sor: @@
 A stabilitás feltételére némi algebra után azt kapjuk, hogy:
-:<math>m_i = \sinh\left(2 \frac{T_c}{T}m\right) \ge 2 \frac{T_c}{T}m</math>
+:<math>\sinh\left(2 \frac{T_c}{T}m\right) \ge 2 \frac{T_c}{T}m</math>
 ami minden pozitív m-re teljesül, tehát ez a rendeződés is stabil.

@@ 29. sor: / 29. sor: @@
 == Folytonos (másodrendű) fázisátalakulások jellemzői ==
-A folytonos fázisátalakulásokat általában a szimmetria megváltozása váltja ki: a rendszer egy rendezettebb és egy rendezetlenebb állapot között vált. A külső paraméterek függvényében a ez például valamelyik potenciál minimumainak megváltozásából eredhet (a könnyen látható esetben a negyedfokú görbe két minimuma egybe tud ovlasdni eggyé). Ezt a szuszceptiblitás divergenciája, a korrelációk végtelenné válása jelzi.
+A másodrendű fázisátalakulások esetén valamilyen külső paraméter függvényében egy termodinamikai potenciál szélsőértéke elveszti stabilitását, másik szélsőérték lesz stabil. Tehát az első derivált 0 és az is marad, de a második derivált előjele megváltozik.
-Az átmenetet a rend-paraméter jellemzi: nullától eltérő várhatóértéke jelzi az új fázis megjelenését. A rendparaméter a hőmérséklet folytonos függvénye. Például mágneses rendszerekben a mágnesezettség a rendparaméter. Ide tartozik még a konjugált-tér fogalma: ez az a tér, amivel a rendparaméter értéke eltolható. Mágneses rendszereben ez a mágneses tér.
+A folytonos fázisátalakulásokat általában a szimmetria megváltozása váltja ki: a rendszer egy rendezettebb és egy rendezetlenebb állapot között vált. A külső paraméterek függvényében a ez például valamelyik potenciál minimumainak megváltozásából eredhet (a könnyen látható esetben a negyedfokú görbe két minimuma egybe tud olvadni eggyé). Ezt a szuszceptiblitás divergenciája, a korrelációk végtelenné válása jelzi.
 ===Kritikus exponensek és skálatörvények===

← Régebbi változat		A lap 2011. június 16., 09:10-kori változata
1. sor:		1. sor:
	== Elsőrendű fázisátalakulások jellemzői ==		== Elsőrendű fázisátalakulások jellemzői ==
		+	Az elsőrendű fázisátalakulást úgy definiálhatjuk, hogy valamilyen termodinamikai változó folytonosan változik mindenütt, kivéve a fázisátalakulási pontban, ahol viszont ugrása van.
		+
	Az elsőrendű fázisátalakulásoknál tipikusan fellép valamilyen látens hő a folyamat során, amelyet a rendszer lead, vagy felvesz. Mindeközben azonban a rendszer hőmérséklete állandó. Az ilyen átmeneteket általában két fázis koegzisztenciája jellemzi: az egyik fázis még nem kezdte meg az átalakulást, miközben a másik már befejezte. Termodinamikailag az nyomás, térfogat, szabadenergia stb. folytonosak az átalakulási pontban, de deriváltjaik szakadással, vagy más szingularitással rendelkeznek.		Az elsőrendű fázisátalakulásoknál tipikusan fellép valamilyen látens hő a folyamat során, amelyet a rendszer lead, vagy felvesz. Mindeközben azonban a rendszer hőmérséklete állandó. Az ilyen átmeneteket általában két fázis koegzisztenciája jellemzi: az egyik fázis még nem kezdte meg az átalakulást, miközben a másik már befejezte. Termodinamikailag az nyomás, térfogat, szabadenergia stb. folytonosak az átalakulási pontban, de deriváltjaik szakadással, vagy más szingularitással rendelkeznek.

← Régebbi változat		A lap 2011. június 14., 15:48-kori változata
128. sor:		128. sor:
	Ami fontos: a dimenzió függvényében <math>d=1\,</math>-nél nincs fázisátalakulás, nem alakul ki hosszú távú rendeződés <math>T > 0</math> hőmérsékleten: a legkisebb fluktuációk is kiterjednek az egész rendszerre és szétverik a rendeződést. <math>d>=2\,</math> esetén van hosszútávú rendeződés, de analitikusan ez csak 2D-ben számolható ki, magasabb dimenziókban egzisztencia tételek és közelítő módszerek vannak.		Ami fontos: a dimenzió függvényében <math>d=1\,</math>-nél nincs fázisátalakulás, nem alakul ki hosszú távú rendeződés <math>T > 0</math> hőmérsékleten: a legkisebb fluktuációk is kiterjednek az egész rendszerre és szétverik a rendeződést. <math>d>=2\,</math> esetén van hosszútávú rendeződés, de analitikusan ez csak 2D-ben számolható ki, magasabb dimenziókban egzisztencia tételek és közelítő módszerek vannak.

		+	Tekintsük most általános esetben a fázisátalakulást. Nagyon magas hőmérsékleten minden esetben rendezetlen rendszer az egyensőlyi állapot: ez a paramágneses fázis, a hőmérsékleti fluktuációk sokkal erősebbek a csatolásnál, ezért a spinek véletlenszerűen orientálódnak. Ezzel szemben megfelelőe alacsony hőmérsékleten a csatolás dominál, és ferromágneses esetben azonos beállásúra rendezi a spineket.
		+
		+	Adott fázis stabilitását a szuszceptibilitás pozitivitása adja. A szuszceptibilitásra levezethető kifejezés:
		+
		+	:<math>\chi^{-1}_{ij} = \frac{\partial h_i}{\partial m_j} = kT \frac{\delta_{ij}}{1-m_i^2} - J_{ij} \ge 0</math>
		+
		+	A külső tér nélküli paramágneses fázis stabilitása ekkor Fourier-térben:
		+
		+	:<math>\chi^{-1}(q_c) = k(T-T_c) \ge 0</math>
		+
		+	azaz a kritikus hőmérséklet felett kell lennünk, amit a csatolás maximuma definiál:
		+
		+	:<math>kT_c = J(q_c) = \operatorname{max}_q( J(q) )</math>
		+
		+	Ez egyben azt is jelenti, hogy a kritikus hőmérséklet alatt kialakuló első rendezettség tipikus hullámszáma <math>q_c</math>.
		+
		+	Ha a ferromágneses fázis egyensúlyát keressük, akkor <math>m_i = m \ne 0</math>, ekkor a stabilitás:
		+	:<math>\chi^{-1}(q_c) = \frac{kT}{1-m^2} - kT_c \ge 0</math>
		+
		+	Továbbá felhasználjuk a kvöetkezőt: kezelhetünk 1 spint egzaktan úgy, hogy az összes többit az átlagtérrel befagyasztjuk. Ebben az eesetben ennek az egy spinnek a várhatóértéke:
		+	:<math>m_i = \langle s_i \rangle = \tanh \left[ \beta\left( h_i + \sum_j J_{ij}m_j\right) \right] </math>
		+
		+	Esetünkben külső mágneses tér hiányában <math>h =0</math>, továbbá azt is tudjuk, hogy a rnedezett esetben a csatolás Fourier-transzformáltjának a maximuma <math>q_c = 0</math> kell legyen, mert ebben az állapotban teljesen homogén a rendszer (végtelen nagy a moduláltság hullámhossza), ezért: <math>J(q_c) = J(0) = kT_c\,</math>, és <math>m = \tanh \left[ \beta J(0) m \right] </math>.
		+
		+	A stabilitás feltételére némi algebra után azt kapjuk, hogy:
		+
		+	:<math>m_i = \sinh\left(2 \frac{T_c}{T}m\right) \ge 2 \frac{T_c}{T}m</math>
		+
		+	ami minden pozitív m-re teljesül, tehát ez a rendeződés is stabil.
		+
		+	=== Számítógépes modellezés ===
		+	Az Ising-modell a statisztikus fizikai számítógépes szimulációk egyik alap modellje, mer tigen könnyen implementálható. Például legegyszerűbben a Metropolis-algoritmussal való léptetés is jól használható megvalósításra vezet:
		+
		+	# Kiválasztunk egy spint véletlenszerűen.
		+	# Kiszámoljuk azt az energia különbzéget, ami a spin jelenlegi állapota és a fordítitt állapota között van.
		+	# Ha az energiakülönbség kisebb, vagy egyenlő nullánál (kedvezőbb állapotba kerülünk), akkor ezt mindig elfogadjuk.
		+	# Ha ez nem teljesül, akkor <math>\exp\left( -\beta \Delta E \right)\,</math> valószínűséggel fordítjuk meg a spint.
		+	# Ismételjük 1-től.
		+
		+	A rendszert érdemes véletlenszerű állapotból indítani. Továbbá érdemes tudni, hogy a kritikus pont körül az egyensúlyi helyzet elérése egyre hosszabb időt (egyre több spinfordítást) igényel. A termális egyensúly beállta például a teljes mágnesezettség konstans értékre történő beállásából látszik.

	{{MSc záróvizsga}}		{{MSc záróvizsga}}

← Régebbi változat		A lap 2011. június 14., 15:03-kori változata
107. sor:		107. sor:

	== Az Ising-modell ==		== Az Ising-modell ==
		+	Az Ising-modell a ferromágnesség statisztikus fizikai modellje. Alapja egy négyzetrács (annyi dimenziós, ahányban éppen szeretnénk vizsgálni a rendszert), amelynek minden rácspontjában <math>S_i = +/- 1</math> érték lehetséges. Ez felel meg a spin-fel, illetve spin-le állapotoknak. A rendszer energiája ekkor:
		+
		+	:<math>\mathcal{H} = -J \sum_{\langle i j \rangle}S_i S_j - H\sum_i S_i</math>
		+
		+	ahol <math>H</math> a külső mágneses tér, <math>J</math> a spinek közötti csatolás, és a kettős összegzés a szomszédos spinekre értendő. Ha a csatolás pozitív, akkor az azonos beállás preferált, ekkor csatolás ferromágneses, fordított esetbe az ellentétes spinbeállás preferált, ekkor antiferromágneses a csatolás. A továbbiakban a ferormágneses esetet vizsgáljuk.
		+
		+	Mágneses tér hiányában az alapállapot az, hogy minden spin egyirányban áll. Ez lehet a felfelé vagy a lefelé, mert külső tér hiányában az egész rendszer szimmetrikus a spin tükrözésre.
		+
		+	Az Ising-modellben a rendparaméter a mágnesezettség, ami a spinbeállás várhatóértéke:
		+
		+	:<math>m_i = \langle s_i \rangle = \frac{1}{Z}\exp\left( -\beta E\right) = ... = -\frac{\partial F}{\partial h_i}</math>
		+
		+	A rendparaméter konjugált tér szerinti deriváltja a szuszceptibilitás:
		+	:<math>\chi_{ij} = \frac{\partial m_i}{\partial h_j} = ... = \beta C_{ij}</math>
		+
		+	ahol <math>C_{ij}</math> a korrelációs-függvény:
		+	:<math>C_{ij} =\langle \left(S_i - \langle S_i \rangle \right)\left(S_j - \langle S_j \rangle \right) \rangle </math>
		+
		+	Ez nem más, mint a fluktuáció-válsz tétel alkalmazása.
		+	Ami fontos: a dimenzió függvényében <math>d=1\,</math>-nél nincs fázisátalakulás, nem alakul ki hosszú távú rendeződés <math>T > 0</math> hőmérsékleten: a legkisebb fluktuációk is kiterjednek az egész rendszerre és szétverik a rendeződést. <math>d>=2\,</math> esetén van hosszútávú rendeződés, de analitikusan ez csak 2D-ben számolható ki, magasabb dimenziókban egzisztencia tételek és közelítő módszerek vannak.
		+

	{{MSc záróvizsga}}		{{MSc záróvizsga}}

← Régebbi változat		A lap 2011. június 14., 14:22-kori változata
105. sor:		105. sor:

	azaz <math> d < 4 </math>-re a fluktuációk végtelen nagyra nőnek a rendszerben! Ez az egész azonban csak rövid távú kölcsönhatásokra igaz hosszú távú kölcsönhatások esetén a kritikus dimenzió lejjebb is csúszhat. 3D-ben azonban az is probléma, hogy a kritikus pont körüli aszimptotikus viselkedést is rosszul adja meg az elmélet. Mindezek ellenére létezik olyan tartomány, ahol a Landau-leírás már jó a fenti értelemben és a sorfejtés pontossága is elégséges, nevezetesen a szupravezető átalakulások leírása. Ezen a téren az elmélet jelentős sikereket ért el.		azaz <math> d < 4 </math>-re a fluktuációk végtelen nagyra nőnek a rendszerben! Ez az egész azonban csak rövid távú kölcsönhatásokra igaz hosszú távú kölcsönhatások esetén a kritikus dimenzió lejjebb is csúszhat. 3D-ben azonban az is probléma, hogy a kritikus pont körüli aszimptotikus viselkedést is rosszul adja meg az elmélet. Mindezek ellenére létezik olyan tartomány, ahol a Landau-leírás már jó a fenti értelemben és a sorfejtés pontossága is elégséges, nevezetesen a szupravezető átalakulások leírása. Ezen a téren az elmélet jelentős sikereket ért el.
		+
		+	== Az Ising-modell ==

	{{MSc záróvizsga}}		{{MSc záróvizsga}}

@@ 61. sor: / 61. sor: @@
 Ezeken felül, még egy úgynevezett hiperskála-törvény is érvényben van, amely a fluktuációk méretére adható becslésen alapszik (l. alább), ez már függ a rendszer dimenziójától:
-:<math>d \dot \nu - \gamma - 2\beta = 0\,</math>
+:<math>d \cdot \nu - \gamma - 2\beta = 0\,</math>
 Ezek alapján végül csak 2 független exponens marad! A rendszerek a kritikus exponenseik alapján pedig univerzalitási osztályokba sorolhatóak: mindegy, hogy milyen fizikai folyamat, de ha 2 exponens ugyan az, akkor a két rendszer kritikus pont körüli viselkedése azonos (legfeljebb konstans faktorokban tér el). Ezen összefüggséek teljes tisztázását és értelmezését a Renormalizációs-csoportelmélet tette meg, amely alapjainak megvetése Wilson nevéhez köthető.

@@ 46. sor: / 46. sor: @@
 Az első összefüggésre a kritikus-exponenske között a Rushbrooke-egyenlőtlenség vetett fényt. Ez az állandó hőmésrékleten mért és az állandó nyomáson mért hőkapacitásra vonatkozó pozitivitási kritérium (ami a termodinamikai stabilitást jelenti) analógiáját vitte át mágneses rendszerekre. Ekkor az állandó mágneses tér esetében mért, és az állandó mágnesezettség esetén mért hőkapacitás kifejezéséből kapott egy egyenlőtlenséget:
-:<math>C_H - C_M = T \left(\frac{\parital M}{\partial T}\right)_H^2 \left(\frac{\parital M}{\partial H}\right)_T</math>
+:<math>C_H - C_M = T \left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)^2_H \left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_T</math>
 amibe ha beírjuk a megfelelő kitevők definícióit, akkor a következő kapcsolatot kapjuk:
@@ 61. sor: / 61. sor: @@
 Ezeken felül, még egy úgynevezett hiperskála-törvény is érvényben van, amely a fluktuációk méretére adható becslésen alapszik (l. alább), ez már függ a rendszer dimenziójától:
-:<math>d \nu - \gamma - 2\beta = 0\,</math>
+:<math>d \dot \nu - \gamma - 2\beta = 0\,</math>
 Ezek alapján végül csak 2 független exponens marad! A rendszerek a kritikus exponenseik alapján pedig univerzalitási osztályokba sorolhatóak: mindegy, hogy milyen fizikai folyamat, de ha 2 exponens ugyan az, akkor a két rendszer kritikus pont körüli viselkedése azonos (legfeljebb konstans faktorokban tér el). Ezen összefüggséek teljes tisztázását és értelmezését a Renormalizációs-csoportelmélet tette meg, amely alapjainak megvetése Wilson nevéhez köthető.

← Régebbi változat		A lap 2011. június 13., 10:38-kori változata
32. sor:		32. sor:

	===Kritikus exponensek és skálatörvények===		===Kritikus exponensek és skálatörvények===
		+	A megfigyelések és számolások arra a következtetésre vezettek, hogy a másodrendű fázisátalakulások a kritikus pont környékén a legkülönbözőbb mérhető mennyiségekben hatványfüggvény alakú skálázást mutatnak, amelyek alakja. Néhány ilyen kitevő:
		+
		+	:<math>m \propto \|t\|^\beta \quad \, </math> ha <math>t>0\,</math> és <math>H=0\,</math>
		+	:<math>\chi \propto \|t\|^{-\gamma} \quad \, </math> ha <math>t>0\,</math> v. <math>t<0\,</math> és <math>H=0\,</math>
		+	:<math>H \propto m^{\delta} \quad \, </math> ha <math>t=0\,</math> és <math>H\ne0\,</math>
		+	:<math>C_{H=0} \propto \|t\|^{-\alpha} \quad \, </math> ha <math>t>0\,</math> v. <math>t<0\,</math> és <math>H=0\,</math>
		+	:<math>\xi \propto \|t\|^{-\nu} \quad \, </math> ha <math>t>0\,</math> v. <math>t<0\,</math> és <math>H=0\,</math>
		+	:<math>\xi \propto H^{-\mu} \quad \, </math> ha <math>t=0\,</math> és <math>H\ne0\,</math>
		+	:<math>C(q) \propto \frac{1}{q^{2-\eta}} \quad \, </math> ha <math>t=0\,</math> és <math>H=0\,</math>
		+
		+	ahol <math>t = \frac{T-T_c}{T_c}</math>. A kritikus exponensek kiemelkedő fontosságúak a számolások és mérések, illetve különböző modellek jóslatainak összehasonlításául, mert dimenziótlan és sok más paramétertől független, könnyen számszerűsíthető, ugyanakkor jól összehasonlítható mérhető mennyiségeket jelentenek. Felmerült azonban a kérdés, hogy ezek függetlenek-e egymástól? Illetve bizonyos kísérletek arra utaltak, hogy egymástól teljesne különböző fizikai tartalmú modellekben nagyon hasonló, lényegében a mérési hiba környékén egyező kitevőket kaptak eredményül.
		+
		+	Az első összefüggésre a kritikus-exponenske között a Rushbrooke-egyenlőtlenség vetett fényt. Ez az állandó hőmésrékleten mért és az állandó nyomáson mért hőkapacitásra vonatkozó pozitivitási kritérium (ami a termodinamikai stabilitást jelenti) analógiáját vitte át mágneses rendszerekre. Ekkor az állandó mágneses tér esetében mért, és az állandó mágnesezettség esetén mért hőkapacitás kifejezéséből kapott egy egyenlőtlenséget:
		+
		+	:<math>C_H - C_M = T \left(\frac{\parital M}{\partial T}\right)_H^2 \left(\frac{\parital M}{\partial H}\right)_T</math>
		+
		+	amibe ha beírjuk a megfelelő kitevők definícióit, akkor a következő kapcsolatot kapjuk:
		+
		+	:<math>2\beta + \gamma + \alpha \ge 2</math>
		+
		+	Érdekes módon, minden egzaktul kiszámolható modellben ez egyenlőségként teljesül, és a kísérleti eredmények is erre utalnak!
		+	Különböző módokon több hasonló kapcoslat vezethető le a kritikus exponensek között. Így például a skála-hipotézisből (a termodinamikai mennyiségek különböző léptékeken hasonló alakjából):
		+
		+	:<math>\gamma = \nu(2-\eta)\,</math>
		+	:<math>\beta = \frac{\nu}{\mu} - \gamma\,</math>
		+	:<math>\frac{1}{\delta} = \frac{\mu\beta}{\nu}\,</math>
		+
		+	Ezeken felül, még egy úgynevezett hiperskála-törvény is érvényben van, amely a fluktuációk méretére adható becslésen alapszik (l. alább), ez már függ a rendszer dimenziójától:
		+
		+	:<math>d \nu - \gamma - 2\beta = 0\,</math>
		+
		+	Ezek alapján végül csak 2 független exponens marad! A rendszerek a kritikus exponenseik alapján pedig univerzalitási osztályokba sorolhatóak: mindegy, hogy milyen fizikai folyamat, de ha 2 exponens ugyan az, akkor a két rendszer kritikus pont körüli viselkedése azonos (legfeljebb konstans faktorokban tér el). Ezen összefüggséek teljes tisztázását és értelmezését a Renormalizációs-csoportelmélet tette meg, amely alapjainak megvetése Wilson nevéhez köthető.

	===A Landau-elmélet===		===A Landau-elmélet===

@@ 20. sor: / 20. sor: @@
 :<math>\frac{dP}{dT} = \frac{L}{T\Delta V}</math>
-ahol <math>P</math> a nyomás, <math>T</math> a hőmérséklet, <math>L</math> a látens hő, <math>/Delta V</math> a térfogatváltozás. Speciálisan például a folyadék-gőz átmenetre az ideális gáz közelítést alkalmazva elvégezhetjük az integrálást, és egy praktikusabb alakot kaphatunk:
+ahol <math>P</math> a nyomás, <math>T</math> a hőmérséklet, <math>L</math> a látens hő, <math>\Delta V</math> a térfogatváltozás. Speciálisan például a folyadék-gőz átmenetre az ideális gáz közelítést alkalmazva elvégezhetjük az integrálást, és egy praktikusabb alakot kaphatunk:
 :<math>\ln\left( \frac{P_2}{P_1} \right) = \frac{\Delta H}{R}\left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right)</math>