Csega: Új oldal, tartalma: „== A Hamilton-egyenletek == A Lagrange-formalizmussal szemben, amely a klasszikus fizika általános koordináták és sebességek szerinti megfogalmazása, a Hamilton-for…”

2009-08-23T15:54:52Z

Új oldal, tartalma: „== A Hamilton-egyenletek == A Lagrange-formalizmussal szemben, amely a klasszikus fizika általános koordináták és sebességek szerinti megfogalmazása, a Hamilton-for…”

Új lap

== A Hamilton-egyenletek ==
A Lagrange-formalizmussal szemben, amely a klasszikus fizika általános koordináták és sebességek szerinti megfogalmazása, a Hamilton-formalizmusnál a rendszer leírásához az általános koordinátákat és impulzusokat használjuk. Ez különösen pl. a mechanika általános kérdéseinek vizsgálatában előnyös. Az alapegyenleteket a <b>Hamilton-függvény</b> segítségével fogalmazzuk meg, amely definíció szerint a Lagrange-függvény Legendre-transzformáltja:

<math>H(p,q,t) = \sum{\dot{p_i} q_i} - L </math>

ahol <math>p_i = \frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}}</math> az általános impulzusokat jelöli. Az alapegyenletek levezetéséhez a Lagrange-függvény teljes differenciálja:

<math>dL = \sum\frac{\partial{L}}{\partial{q_i}} dq_i + \sum\frac{\partial{L}}{\partial{\dot{q_i}}} \dot{dq_i} = \sum \dot{p_i} dq_i + \sum p_i \dot{dq_i}</math>

ahol kihasználtuk a Lagrange-egyenletet. Ennek a második tagját

<math>\sum p_i \dot{dq_i} = d(\sum p_i \dot{q_i}) - \sum \dot{q_i} dp_i</math>

alakban írva:

<math>d(\sum p_i \dot{q_i} - L) = - \sum{\dot{p_i}dq_i}+\sum{\dot{q_i}dp_i}</math>

Amiből már leolvashatók a <b>Hamilton-egyenletek</b>, a kanonikus formalizmus alapegyenletei:

<math> \dot{q_i}=\frac{\partial{H}}{\partial{p_i}} </math>

<math> \dot{p_i}=-\frac{\partial{H}}{\partial{q_i}} </math>

==A Hamilton-függvény==
A Hamilton-függvény nem más, mint az anyagi rendszer energiája (lásd: [[Megmaradási tételek]]). A teljes időderiváltja:

<math> \frac{dH}{dt} = \frac{\partial{H}}{\partial{t}} + \sum{\frac{\partial{H}}{\partial{q_i}}}\dot{q_i} + \sum{\frac{\partial{H}}{\partial{p_i}}}\dot{p_i} = \frac{\partial{H}}{\partial{t}} </math>

ahol kihasználtuk a Hamilton-egyenleteket. Ha a Hamilton-függvény expliciten nem függ az időtől akkor ez az energiamegmaradást adja. Ha a Lagrange- és a Hamilton-függvények valamilyen <math>\lambda</math> paramétertől függnek:

<math>\frac{\partial{H}}{\partial{\lambda}}=-\frac{\partial{L}}{\partial{\lambda}}</math>

ami a teljes derivált felírásából látható. Speciálisan amikor <math>\lambda = t</math>, akkor is igaz.

== Routh-függvény ==

== Poisson-zárójelek ==

== Kanonikus transzformációk ==

== A szimplektikus csoport ==

== Liouville-tétele ==

== Hamilton-Jacobi egyenlet ==

== Adiabatikus invariánsok ==

== Hatás- és szögváltozók, invariáns tórusz ==

Kanonikus formalizmus - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „== A Hamilton-egyenletek == A Lagrange-formalizmussal szemben, amely a klasszikus fizika általános koordináták és sebességek szerinti megfogalmazása, a Hamilton-for…”