Kristályos anyagok fizikája - Laptörténet

Abalogh: /* Debye-féle fajhő */

2014-06-23T08:52:15Z

‎Debye-féle fajhő

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */ Kijavítottam, hogy a Bloch-függvények az elektronprobléma megoldásából kaphatóak, nem a rácsproblémából.

2011-06-26T16:33:55Z

‎Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás.: Kijavítottam, hogy a Bloch-függvények az elektronprobléma megoldásából kaphatóak, nem a rácsproblémából.

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */

2011-06-26T16:23:02Z

‎Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás.

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */

2011-06-26T16:21:55Z

‎Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás.

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */ Átírtam egy kicsit átláthatóbbá és változtattam a hullámfüggvények jelölésén.

2011-06-26T16:20:59Z

‎Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás.: Átírtam egy kicsit átláthatóbbá és változtattam a hullámfüggvények jelölésén.

Birol: /* Szimmetriák */

2011-06-26T15:01:22Z

‎Szimmetriák

Birol: /* Szimmetriák */

2011-06-26T15:00:48Z

‎Szimmetriák

Csega: Új oldal, tartalma: „==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. == ''Rácsvektor ( $\underline{R}_{n}$ )'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át…”

2009-08-19T21:04:19Z

Új oldal, tartalma: „==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. == ''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át…”

Új lap

==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. ==

''Rácsvektor (<math>\underline{R}_{n}</math>)'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át. (ez a transzlációs vektor is)

[[Kép:01Pontracs.png|right|thumb|A rácsvektor szemléltetése]]

Ez felbontható elemi rácsvektorok lineáris kombinációjára: <math>\underline{R}_{n}=n_{1}\underline{a}_{1}+n_{2}\underline{a}_{2}+n_{3}\underline{a}_{3}</math>

Az ilyen <math>\underline{R}_{n}</math> vektorral való eltolását ''transzlációs műveletnek'' nevezzük. Az ilyen műveletek összessége a transzlációs csoportot alkot.

''Pontrács'': pontok olyan háló szerű elrendeződése, amelyben minden kiszemelt pont környezete minden szempontból azonos akármelyik másik pont környezetével.

''Kristályszerkezet''et akkor kapunk, ha a rács minden pontjában azonos összetételű irányítású atomcsoportot helyezünk el.

''Ideális kristály'': olyan test, amelynek atomjai rácsszerűen úgy helyezkednek el, hogy létezik három (<math>\underline{a}_{1},\underline{a}_{2},\underline{a}_{3}</math>)vektor, hogy az atomi elrendeződés minden pontból ugyanolyannak látszik.

''Elemi cella'': elemi rácsvektorok által kifeszített paralellepipedon. <math>\underline{a}_{1}(\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3})</math> Az elemi cella ''primitív'', ha csak a csúcsaiban tartalmaz rácspontot. Wigner-Seitz cella: Azon pontok halmaza, melyek közelebb vannak egy adott rácsponthoz, mint bármely másikhoz. (Ha a kristálynak van valamilyen szimmetriája, akkor ez a WS-cellának is megvan, míg az elemi cellának nincs!)

''Reciprok rács'': <math>\underline{K}(h_{1},h_{2},h_{3})=h_{1}\underline{b}_{1}+h_{2}\underline{b}_{2}+h_{3}\underline{b}_{3}</math>, ahol <math>\underline{b}_{1}=2\pi\frac{\underline{a}_{2}\times\underline{a}_{3}}{\left(\underline{a}_{1}\times\underline{a}_{2}\right)\underline{a}_{3}}</math>

===Szimmetriák===

1. ''Transzláció'': létezik az <math>\underline{R}_{n}</math> transzlációs vektor

2. ''Forgatás'': (inverz forgatás is megengedett)

[[Kép:02Forgat.png|right|thumb|A forgatás szemléltetése. Az alap (alsó) szakaszt forgatjuk el fi szöggel a bal csúcs körül. Ebből kapjuk a trapéz egyik oldalát. Ha megengedett az inverz forgatás, akkor megkapjuk a másik oldalt is. Ekkor a két új pont távolsága (a trapéz felső éle) kifejezhető a szöggel, lásd a táblázatban.]]

Ha egy kiszemelt tengely körüli <math>\frac{2\pi}{n}</math> szögű forgatás egy testet önmagába visz át, akkor az ilyen tengelyt ''n-fogású'' forgástengelynek nevezik:

<math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>
<math>m=1-2\cos\varphi</math>
<math>\cos\varphi=\frac{1-m}{2}</math>
<math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|align=center|'''m'''
|align=center| -1
|align=center| 0
|align=center| 1
|align=center| 2
|align=center| 3
|-
|align=center|'''<math>\varphi</math>'''
|align=center| <math>0\pi,2\pi</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\frac{\pi}{2}</math>
|align=center| <math>\frac{2\pi}{3}</math>
|align=center| <math>\pi</math>
|-
|align=center|'''n'''
|align=center| 1
|align=center| 6
|align=center| 4
|align=center| 3
|align=center| 2
|}

(kvázi kristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)

3. ''Inverzió'': (tükrözés) r = -r

4. ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).

5. ''Csavartengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd a tengely irányába való eltolás.

1-5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

===Bravais-rácsok===

230 tércsoport és 32 pontcsoport (7 osztályba sorolva) létezik 3D-ben, 10 pontcsoport 2D-ben

14 Bravais rács létezik 3D-ben, 7 Bravais rács létezik 2D-ben

A jelölések<ref>Wikipédiáról: http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice</ref>:

• Primitív elrendezés (P): rácspontos a cellák csúcsaiban

• Tércentrált elrendezés (I): +1 rácspont a cella közepén

• Lapcentrált elrendezés (F): minden oldallap közepén +1 rácspont

• Egy oldalpáron lapcentrált (A,B vagy C): csak két (szemközti) oldal közepén van +1-1 rácspont

{| align=center border=1 style=margin-left:1em
|'''A 7 kristályszimmetria'''
|colspan=4 align=center| '''A 14 Bravais rács '''
|-
|rowspan=2 align=center| Triklin
|align=center| P
|-
|| [[Kép:01129px-Triclinic.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Monoklin
|align=center| P
|align=center| C
|-
|| [[Kép:02114px-Monoclinic.png|70px|P]]
|| [[Kép:03114px-Monoclinic-base-centered.png|70px|C]]
|-
|rowspan=2 align=center| Ortorombos
|align=center| P
|align=center| C
|align=center| I
|align=center| F
|-
|| [[Kép:04108px-Orthorhombic.png|70px|P]]
|| [[Kép:05108px-Orthorhombic-base-centered.png|70px|C]]
|| [[Kép:06108px-Orthorhombic-body-centered.png|70px|I]]
|| [[Kép:07108px-Orthorhombic-face-centered.png|70px|F]]
|-
|rowspan=2 align=center| Tetragonális
|align=center| P
|align=center| I
|-
|| [[Kép:08108px-Tetragonal.png|70px|P]]
|| [[Kép:09108px-Tetragonal-body-centered.png|70px|I]]
|-
|rowspan=2 align=center| Trigonális
|align=center| P
|-
| [[Kép:10139px-Rhombohedral.png|70px|P]]
|-
|rowspan=2 align=center| Hexagonális
|align=center| A
|-
| [[Kép:11100px-Hexagonal_lattice.png|70px|A]]
|-
|rowspan=2 align=center| Köbös
|align=center| P (pcc)
|align=center| I (bcc)
|align=center| F (fcc)
|-
|| [[Kép:12109px-Cubic.png|70px|P (pcc)]]
| [[Kép:13109px-Cubic-body-centered.png|70px|I (bcc)]]
| [[Kép:14109px-Cubic-face-centered.png|70px|F (fcc)]]
|}

===Fontosabb kristályszerkezetek<ref>Képforrások: Kojnok József - Kondenzált anyagok fizikája gyakorlat fóliáiból (http://szft.elte.hu/~kojnok/szilfiz/szilfiz_gy.htm)</ref>===

1. '''Egyszerű köbös (SC)''': Po

A WS cellája is kocka.

2. '''Lapcentrált köbös (FCC)''': Cu, Al, Au, Ag, Ni, Pt ((Ez a legsűrűbb rács))

[[Kép:03Elemicell.png|center|thumb|150px|FCC elemi cellája]]

[[Kép:04FCC.png|center|thumb|400px|FCC]]

3. '''Tércentrált köbös (BCC)''': Fe, W, Mo

[[Kép:05BCC.png|center|thumb|400px|BCC]]

4. '''Gyémánt rács''': <math>C_{gy}</math>, Si, Ge

FCC rács az alapja (és minden második nyolcad kockában van atom).

[[Kép:06Diamond1.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács tetraéderes szerkezete]]

[[Kép:07Diamond2.png|center|thumb|150px|Gyémánt rács FCC rácsból]]

5. '''NaCl szerkezet''': (két egymásba tolt FCC)

[[Kép:08NaCl.png|center|thumb|150px|Sókristály rácsserkezetel]]

6. '''Hexagonális''' (szoros illeszkedésű szerkezet): Zn, Nb

4 atom tetraédert alkot. Ha szabályos ez a tetraéder, akkor teljesen szoros az illeszkedés.

[[Kép:09HCP.png|center|thumb|400px|HCP]]

===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.

''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}(\underline{R}_{I})</math>

Azaz az ionokra csak a saját mozgásukat írtuk fel a saját potenciáljukban, ebben a közelítésben az elektronok hatását elhanyagoljuk.

''Elektronok:'' <math>\underline{r}_{i};\quad\underline{p}_{i}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{r}_{i}}</math>

:: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>

Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.

Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
:<math>\mathcal{H}\psi=E\psi\,</math>

A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:

<math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\phi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\phi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\phi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\phi=E\phi\varphi</math>

Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>

1 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>

Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>

Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:

:<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>

Ez akkor teljesül, ha:

:<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>

Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.

A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.

==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

===Röntgen-diffrakció===

(a) ''Röntgencső''

Karakterisztikus és fékezési sugárzás; Sok fékezési sugárzás, kicsi az energia.

<math>\mathbf{eU}=\hbar\omega=\hbar\mathbf{ck}=\frac{\hbar\mathbf{c}}{\lambda}</math>

[[Kép:10Rontg1.png|center|thumb|200px|Röntgen cső vázlata]]

[[Kép:11Rontg2.png|center|thumb|150px|Röntgen-sugárzás esetén a tipikus átmenetek az energianívók közt]]

(b) ''Szinkrotronsugárzás''

Az elektronokat fölgyorsítjuk, majd „megrázzuk” (csak fékezési sugárzás lesz)

Előnye a röntgencsőhöz képest, hogy monokróm és nagy intenzitás, de nagy a mérete és drága.

Észlelés: fotólemez, számlálócső, CCD, Imaging Plate

[[Kép:12Szinkrotron.png|center|thumb|150px|Gyorsító vázlata]]

===Elektronok===

Elektronokkal is lehet diffrakciót létre hozni, és ezt vizsgálni (hasonló eljárássokkal, mint a röntgen-diffrakciót), viszont pontosabb és célravezetőbb, ha ''elektronmikroszkópot'' használunk anyagvizsgálatra:

[[Kép:13ElektrMikro.png|center|thumb|200px|Elektronmikroszkóp vázlata]]

<math>eU=\frac{p^{2}}{2m};\quad p=\frac{h}{\lambda}</math>

Leképezés: <math>\frac{1}{k}+\frac{1}{t}=\frac{1}{f}</math>, ha k=f, akkor diffrakció van.

Röntgenhez képest hátrány:

- A lencserendszer miatt numerikus apertúra: <math>10^{-4}-10^{-5}</math> (ami elég rossz)

- bonyolult mintapreparáció

- feltöltődik a nemfém minta, elektron erősen kölcsönhat az atommal (erős rugalmas és rugalmatlan szórás)

- nem elég pontos pl. rácsparaméterek mérésére

Előny:

- sokmindent látni vele

- szűkíthető látótér

- korlátozott területű diffrakció valósítható meg

===Szórás kinetikus elmélete===

Röntgen sugárzás esetén <math>\rightarrow</math> Thomson-szórás

(1) Rugalmas szórás: <math>\lambda</math> változatlan, <math>E_{ki}=E_{be}</math>

(2) Koherens

(3) Gyenge szórás: egyenes szórások…

''Fraunhofer interferencia:''

A bemenő-kimenő hullámszám = <math>\rho(\underline{r})</math>: ha nagy, nagy a szóródás; ha kicsi, kicsi a szóródás az adott pontban. (Röntgennél elektron-sűrűség, el.-mikroszkópnál el.- pot. sűrűség, neutronnál magsűrűség). A fáziskülönbség:

[[Kép:14FazisKul.png|center|thumb|300px|Szóródás]]

<math>\underline{k}_{0}\underline{r}=|\underline{k}_{0}|s_{1}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{1}\quad;\quad\Delta s=s_{1}-s_{2}</math>

<math>\underline{k}\underline{r}=|\underline{k}|s_{2}=\frac{2\pi}{\lambda}s_{2}\quad;\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\left(s_{1}-s_{2}\right)</math>

<math>\Delta\varphi=\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}\longrightarrow A(\underline{k})\simeq\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r</math>

A(k) a szóródás, nem tudjuk mérni. A fenti integrál a sűrűségfv Fourier-transzformáltja.

Intenzitás: <math>I(\underline{k})=|A(\underline{k})|^{2}</math>

Bevezetjül az '''Ewald-szerkesztést''': reciprokrácson berajzoljuk a beeső nyaláb k vektorát, majd húzunk a k vektor kezdőpontjából egy |k| sugarú gömböt, ez az ''Ewald-gömb''.

[[Kép:15Ewald.png|center|thumb|200px|Ewald-gömb]]

::Jelölés: <math>\underline{R}_{n}</math>- rácsvektor; <math>\underline{K}_{n}</math>- reciprokrácsvektor

Mindezt felhasználva, a kristályos anyag elhajlási képe:

<math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r\quad;\quad\rho(\underline{r})=\rho(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\rho(\underline{r}^{,})</math>

A fentiekből: <math>A(\underline{k})=\int\rho(\underline{r^{,}})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)(\underline{r}^{,}-\underline{R}_{n})}d^{3}r=e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\int\rho(\underline{r})e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{r}}d^{3}r=A(\underline{k})\cdot e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}</math>

Tehát: <math>A(\underline{k})\left(1-e^{i\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}}\right)=0</math>

Azt szeretnénk, hogy A(k) ne legyen 0 (mivel azt keressük). Így a másik tagnak kell 0-nak lennie. Ezekből adódnak a következő tulajdonságok:

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)\underline{R}_{n}=2\pi k;\quad(k\in\mathbb{Z})</math>

- <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)\neq0\longrightarrow</math> elhajlási irány

- <math>A\left(\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> kioltás

- <math>A\left(nem\underline{K}_{n}\right)=0\longrightarrow</math> teljesülnie kell, különben nincs interferencia

===Bragg-feltétel===

Az Ewald-szerkeztésből tudjuk, hogy <math>\left(\underline{k}_{0}-\underline{k}\right)=\underline{K}_{n}</math>

Továbbá tudjuk, hogy <math>\measuredangle\left(\underline{k}_{0}\underline{k}\right)=2\vartheta</math>

Tehát: <math>\underline{K}_{n}=2|\underline{k}_{0}|\sin\vartheta</math>

Az ábra alapján pedig látható, hogy: <math>2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\vartheta=\frac{2\pi}{d}n</math>

Amelyből átrendezéssel kapható a ''Bragg-feltétel:'' <math>2d\sin\vartheta=n\lambda\longrightarrow</math> erősítés csak ebben az esetben lesz!

[[Kép:14Bragg.png|center|thumb|200px|Különböző síkokról visszaverődés]]

==Különbség az elektron- és röntgendiffrakció között==
A mai korszerű mikroszkópokban az elektronok energiája kb. 300keV, az elektronok hullámhossza <math>2.2 \cdot 10^{-3}nm</math>, ami nagyságrendekkel kisebb, mint a szokásos röntgenhullámhosszak. Ennek az a következménye, hogy a reciproktérban az Ewald-gömb sugara jóval nagyobb, így a Bragg-szög kicsi. A reciprokrács helyén az Ewald-gömb síknak tekinthető, ezért az elektrondiffrakciós felvételeken mindig a reciprokrács egy síkmetszetét láthatjuk, ellentétben a röntgendiffrakcióval, ahol a diffrakció képen köröket, illetve körszeleteket látunk. Azt, hogy tényleg több pont legyen diffrakciós helyzetben, az elektronmikroszkóp esetében az biztosítja, hogy a minta vékony, ezért a rácspontok Fourier-térbeli képe kiszélesedik(végtelen rácsnál lenne az pontszerű). Ez a kiszélesedés a röntgendiffrakciónál nem jelentős. Ott a Bragg-feltétel kielégítéséhez több módszer lehetséges. Pl. porszerű mintát használnak így a diffrakciós képen két kör metszéspontja lesz(hiszen a kristályok minden irányba orientáltak, így a reciprokrács is "velük forog"), vagy nem monokromatikus forrást használnak(Laue-elrendezés), hanem folytonos spektrumút, így a különböző hullámhosszak küllönböző rácsvektorokat hoznak diffrakciós helyzetbe.

==Rácsrezgések termikus hatásai. ==

===Debye-féle fajhő===

:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)

:Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

Foton: az elektromágneses sugárzási tér energiakvantuma.

Fonon: a kvantált rugalmas hullám vagy rácsrezgés energiakvantuma (a fotonhoz hasonlóan definiálva).

Debye-közelítésben <math>\omega_{k}</math> és <math>\underline{k}</math> között a kapcsolatot nem a dinamikai összefüggésekből határozzuk meg, hanem a makroszkópikus kristály mozgásegyenletéből.

A belső energia várható értéke a következőképp adható meg: <math>\left(\beta=\frac{1}{kT}\right)</math>

<math>\left\langle E\right\rangle =E_{0}+\sum_{i}\frac{\hbar\omega_{i}}{e^{\beta\hbar\omega_{i}}-1}=E_{0}+\int\frac{\hbar\omega}{e^{\beta\hbar\omega}-1}D(\omega)d\omega</math>

<math>\hbar\omega_{D}=kT_{D}</math>, ahol <math>T_{D}</math> a Debye-hőmérséklet.

[[Kép:16Debye.png|center|thumb|300px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

===Hővezetés===

A hővezetőképesség definíció szerint:

<math>Q=\kappa\frac{\partial T}{\partial x}</math>, ahol

:Q - a termikus energiaáram

:<math>\kappa</math>- a hővezetőképességi együttható

:<math>\frac{\partial T}{\partial x}</math>- a hőmérsékletgradiens

Tehát a termikus energia terjedése sztochasztikus folyamat és diffundálva terjed.

A kinetikus-gázelmélet alapján:

<math>\kappa=\frac{1}{3}Cu\Lambda</math>, ahol

:C - az egységnyi térfogatra eső fajhő

:u - a részecske átlagsebessége

:<math>\Lambda</math>- részecske szabad úthossza (két ütközés között)

Debye ezt az összefüggést szilárd dielektrikumokra alkalmazta. Ekkor C a rácsrezgésekből (fononokból) adódó fajhő, u a hang terjedési sebessége és <math>\Lambda</math> a fononok szabad úthossza.

(pl a vákuum rövid távon rossz, hosszútávon jó hővezető)

===Hőtágulás===

A hőtágulást a (potenciális energiában szereplő) nem lineáris tagok hozzák létre. (Pl: A kvarc erősen lineáris anyag – kevésbé hőtágul)

Az ábráról jól látható: ahogy nő a hőmérséklet, jobban rezegnek a részecskék, megnő az energia és így eltolódik a középpont, tehát távolabb kerülnek egymástól a részecskék. Ez a hőtágulás.

[[Kép:17Hotag.png|center|thumb|200px|Fajhő a hőmérséklet függvényében]]

<references />

{{Záróvizsga}}

@@ 198. sor: / 198. sor: @@
 <math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}\chi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\chi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\chi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\chi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+</math>
-<math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\phi=E\chi\varphi</math>
+<math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\chi=E\chi\varphi</math>
 Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:

@@ 190. sor: / 190. sor: @@
 Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
-:<math>\mathcal{H}\psi=E\psi\,</math>
+:<math>\mathcal{H}\Psi=E\Psi\,</math>
 A megoldást pedig keressük szorzatfüggvény alakban:
-<math>\Psi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i}) = \underbrace{\varphi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})}_{\text{ion}}\underbrace{\chi(\underline{R}_{I})}_{\text{elektron}}.</math>
+<math>\Psi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i}) = \underbrace{\varphi(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})}_{\text{elektron}}\underbrace{\chi(\underline{R}_{I})}_{\text{ion}}.</math>
 <math>\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\frac{\partial^{2}\chi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}+V_{I}\chi\right]\varphi+\left[-\sum_{I}\frac{\hbar^{2}}{2M_{I}}\left(2\frac{\partial\chi}{\partial\underline{R}_{I}}\frac{\partial\varphi}{\partial\underline{R}_{I}}+\chi\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\underline{R}_{I}^{2}}\right)\right]+</math>

@@ 62. sor: / 62. sor: @@
 (kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)
-. ''Inverzió'': (tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>
+. ''Inverzió'': (középpontos tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>
 . ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).
-. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4} \, \overline{6}</math> létezik.
+. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4}, \, \overline{6}</math> létezik.
 -5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

@@ 345. sor: / 345. sor: @@
 ===Debye-féle fajhő===
-:A rács termikous rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)
+:A rács termikus rezgéseit alacsony hőmérsékleten az Einstein-modell nem írja le elég jól, hiszen ez a modell minden atomot független oszcillátornak tekint. (Ezen számítások alapján az összenergia exp 0-hoz kellene, hogy tartson)
 :Másik megközelítésben a rács normálrezgéseit a <math>\underline{k}</math> hullámszám-vektorral komponenseivel írjuk le. MInden részecskéhez hozzárendelhető egy ilyen vektor, és minden értékhez tartozik 3 módus (melyeknek más a polarizációs irányuk és ortogonálisak). Tehát egy N részecskéből álló redszerben 3N rezgési módus van (leszámítva a test mozgásából adódó 6 szabadsági fokot), melyeknek energiái kvantáltak <math>\left(E_{k}=n_{k}\hbar\omega_{k}\right)</math>.

@@ 175. sor: / 175. sor: @@
 ===Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. ===
-Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 m/s</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 m/s</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.
+Adiabatikus szétcsatolás ötlete Born és Oppenheimer nyomán alakult ki, akik rámutattak, hogy az elektronokra jellemző sebesség szilárd anyagokban, a Fermi-sebesség (<math> \approx 10^6 \frac{\text{m}}{\text{s}}</math>) lényegesen nagyobb, mint a közegbeli hangsebesség (<math> \approx 10^3 \frac{\text{m}}{\text{s}}</math>), ami az ionok jellemző sebessége. A következtetés tehát az, hogy az ionok szemszögéből az elektronok követhetetlenül gyorsan mogoznak, az elektronok pedig úgy érzik, mintha az ionok helyben állnának. Ez igen jelentős egyszerűsítéseket tesz lehetővé, amelyeket a nem csak a szilárdtestfizika de a molekulafizika is gyakran alkalmazni tud.
 ''Ionok:'' <math>\underline{R}_{I};\quad\underline{P}_{I}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\underline{R}_{I}}</math>
@@ 187. sor: / 187. sor: @@
 :: A Hamilton-fv: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}(\underline{r}_{i})+v_{ei}(\underline{R}_{I},\underline{r}_{i})</math>
-Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.
+Ekkor az elektronokra szintén a saját mozgásuk és az önmaguk által keltett potenciáljuk hat, az ionok hatását egy külön kölcsönhatási potenciálban csatoljuk csak hozzájuk. Ez a két Hamilton-függvény adja együtt a rendszer Hamilton-függvényét.
 Az egyensúlyi megoldás érdekében írjuk fel a sajátértékegyenletet:
@@ 200. sor: / 200. sor: @@
 <math>+\left[-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial r_{i}^{2}}+v_{e}\varphi+v_{ei}\varphi\right]\chi=E\chi\varphi</math>
-Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak a rácsproblémát, azaz az első tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra a rácsproblémát, álló ionok terében:
+Az első tag tehát az ionok terében az elektronok problémája (rácsprobléma), a második az elektronok-fononok kölcsönhatási problémájára vezet (Fonon: kvázirészecske, szilárd testek rezgési átmeneteinek energiakvantumai<ref>Fonon: http://hu.wikipedia.org/wiki/Fonon</ref>). A harmadik tag az elektron probléma. Most csak az elektronproblémát, azaz az harmadik tagot tárgyaljuk. Írjuk fel (sok) elektronra az elektronproblémát, álló ionok terében:
-:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi</math>
+:<math>\mathcal{H}\varphi=E\varphi.</math>
 elektronra: <math>\mathcal{H}=-\frac{\hbar^{2}\Delta}{2m_{e}}+V(\underline{r})</math>
@@ 208. sor: / 208. sor: @@
 Sok elektronra: <math>\mathcal{H}=-\sum_{i}\frac{\hbar^{2}\Delta_{i}}{2m}+\sum_{i}V(\underline{r}_{i})+\sum_{i<j}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{|r_{i}-r_{j}|}</math>
-Itt az első tag a kinetikus energia, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:
+Itt az első tag az elektronok kinetikus energiája, második az ionok által keltett fix külső potenciál, a harmadik tag az elektronok saját Coulomb-potenciálja. <math>\mathcal{H}</math>-nak invariánsnak kell lennie a rácsperiódusú eltolásra:
 :<math>\mathcal{H}(\underline{r}+\underline{R}_{n})=\mathcal{H}(\underline{r})</math>
@@ 216. sor: / 216. sor: @@
 :<math>\varphi(\underline{r}+\underline{R}_{n})=e^{i\underline{k}\underline{R}_{n}}\varphi(\underline{r})</math>
-Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük.
+Ez a Bloch-tétel, ami pedig végeredményül kijött, azt Bloch-függvénynek nevezzük. Vagyis az elektron hullámfüggvénye tükrözi a rács szimmetriáit.
-A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszórzással, így más (főtengely transzformáció) módszert kell alkalmaznunk, de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.
+A fentiek csak degenerált esetben érvényesek. Nem degenerált esetben az eltolásnál gond van a skalárszorzással, így más módszert kell alkalmaznunk (főtengelytranszformációt), de így is megkapjuk végeredményül a Bloch-függvényt.
 ==Röntgen- és elektrondiffrakció. Diffrakció, kinetikus elmélet. Ewald-szerkesztés. Bragg-feltétel. ==

@@ 30. sor: / 30. sor: @@
 <math>ma=a+2a\sin(\varphi-\frac{\pi}{2})</math>
 <math>m=1-2\cos\varphi</math>
-<math>\cos\varphi=\frac{1-m}{2}</math>
+<math>m=1-2\cos(\varphi)</math>
 <math>\varphi=\arccos\left(\frac{1-m}{2}\right)</math>
@@ 57. sor: / 60. sor: @@
 |}
-(kvázi kristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)
+(kvázikristályoknál - ahol nincs periodikus szerk. - lehet 5 forgású)
-. ''Inverzió'': (tükrözés) r = -r
+. ''Inverzió'': (tükrözés) <math>\mathbf{r} = -\mathbf{r}</math>
 . ''Csúszósík'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> tükrözés, majd a tengely irányába való eltolás (az eltolás a fele a tengely irányába eső ismétlődési hossznak).
-. ''Csavartengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd a tengely irányába való eltolás.
+. ''Tükörtengely'': összetett szimmetria művelet <math>\rightarrow</math> forgatás, majd inverzió: <math>\overline{n}</math> az <math>n</math> fogású tükörtengely jele, <math>\overline{1}</math> a közönséges inverzió, <math>\overline{2}, \, \overline{4} \, \overline{6}</math> létezik.
 -5-ig az elemi szimmetriaműveletek matematikai csoportot alkotnak, mivel ezek egymásutáni elvégzése is szimmetriaművelet (csoport szorzás művelete). A pontcsoportok a teljes ortogonális O(3) csoport diszkrét alcsoportjai, és 1-5 műveletek tetszőleges kombinációiból állnak.

Kristályos anyagok fizikája - Laptörténet

Abalogh: /* Debye-féle fajhő */

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */ Kijavítottam, hogy a Bloch-függvények az elektronprobléma megoldásából kaphatóak, nem a rácsproblémából.

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */

Birol: /* Bloch tétel, adiabatikus szétcsatolás. */ Átírtam egy kicsit átláthatóbbá és változtattam a hullámfüggvények jelölésén.

Birol: /* Szimmetriák */

Birol: /* Szimmetriák */

Csega: Új oldal, tartalma: „==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. == ''Rácsvektor (\underline{R}_{n})'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át…”

Csega: Új oldal, tartalma: „==Pontcsoportok, Bravais-rácsok, szimmetriák. == ''Rácsvektor ( $\underline{R}_{n}$ )'': olyan vektor, mely mentén ha eltoljuk a rácsot, önmagába megy át…”