Csega: Új oldal, tartalma: „==Bevezetés, ideális gázok, Fermi- és Bose-eloszlás== Egy sokrészecskés kvantummechanikai rendszert a hullámfüggvénye ír le, ami összes részecske összes koo…”

2009-08-19T20:57:52Z

Új oldal, tartalma: „==Bevezetés, ideális gázok, Fermi- és Bose-eloszlás== Egy sokrészecskés kvantummechanikai rendszert a hullámfüggvénye ír le, ami összes részecske összes koo…”

Új lap

==Bevezetés, ideális gázok, Fermi- és Bose-eloszlás==

Egy sokrészecskés kvantummechanikai rendszert a hullámfüggvénye ír le, ami összes részecske összes koordinátájától, és egyéb, belső szabadsági fokot leíró változójától (pl.: spin) is függ. Egy fizikai mennyiség várható értéke az operátorával vett szendiccsel számítható ki: <math> \langle \Psi | \hat{A} | \Psi \rangle </math>. Bármilyen hullámfüggvény kifejezhető például az időfüggetlen Scrödinger-egyenlet megoldásaival, amik a rendszer energiasajátállapotai. Véges méretű rendszernél ezekből általában megszámlálhatóan sok van, így a hullámfüggvény egy (véges vagy végtelen) összeggel adható meg: <math> \Psi = \sum_n c_n \Psi_n </math> Itt <math> p_n \equiv | c_n |^2 </math> a valószínűsége annak, hogy a rendszeren mérést végezve azt az <math>n</math>-edik sajátállapotban találjuk. Így ha megadjuk a rendszer hullámfüggvényét egy pillanatban, akkor azzal megadtuk a rendszert leíró valószínűségeloszlást is. A rendszer entrópiája a klasszikus rendszerekhez hasonlóan <math> S = -k \sum_n p_n \ln p_n </math>
A klasszikus rendszerekkel szemben, ahol a rendszer energiája egy tartományon belül folytonosan változhatott, itt az energia (és így a rendszert leíró többi mennyiség is) megszámlálhatóan sok diszkrét értéket vehet fel. Sokrészecskés rendszernél általában az energiasajátértékek degeneráltak, és nagyon sok van belőlük, így az összegzést gyakran integrállal lehet helyettesíteni.

A továbbiakban kölcsönhatás nélküli kvantumgázokkal foglalkozunk. Ekkor a részecskék közül mindegyikre ugyanaz az egyrészecskés Schrödinger-egyenlet vonatkozik, az ennek megoldásaként adódó egyrészecskés energiasajátállapotok minden részecskére ugyanazok, így (mivel a részecskék megkülönböztethetetlenek) a rendszer leírásához elég azt leírni, hogy melyik egyrészecske sajátállapotban hány részecske van. Fermionoknál ehhez hozzá kell tenni még azt a feltételt, hogy egy energiasajátállapotban legfeljebb egy részecske lehet, bozonoknál akármennyi. A kvantumgázoknál általában nagykanonikus sokaságban érdemes dolgozni, mert így az állapotösszeg és a belőle számítható mennyiségek kiszámításakor nem kell a részecskék számára vonatkozó mellékfeltételt figyelembe venni, ami egyszerűsíti a számításokat. Ekkor a részecskeszámot és a többi mennyiséget is a kémiai potenciál függvényében kell kiszámítani, az így kapott eredményekből a kémiai potenciál kiküszöbölésével lehet a gáz állapotegyenletét meghatározni, ez azonban analítikusan nem végezhető el.

===A Bose-Einstein-eloszlás===
<math>n_l = \frac{1}{e^{\beta (\varepsilon_l - \mu )} -1}</math>
megadja az <math>\varepsilon_l</math> energiájú állapotban levő részecskék várható értékét.
Ahhoz, hogy ez sehol se divergáljon és a részecskék száma pozitív legyen, az szükséges, hogy a kémiai potenciál kisebb legyen a legalacsonyabb energiaszintnél (így a nevezőben mindig egy pozitív szám lesz).

===A Fermi-Dirac-eloszlás===
<math>n_l = \frac{1}{e^{\beta (\varepsilon_l - \mu )} +1}</math>
megadja az <math>\varepsilon_l</math> energiájú állapotban levő részecskék várható értékét.
A Fermi-eloszlás értéke mindig egy 0 és 1 közötti szám.

===Ideális gázok===

Egy <math>L</math> oldalú kockába zárt ideális gáznál az energisajátállapotok:
<math>\varepsilon (r_1,r_2,r_3) = \frac{\hbar^2}{4 L^2 2 m} \left (r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 \right )</math>
Itt a három <math>r</math> egész értékeket vehet fel.
Az eloszlásfüggvények segítségével kiszámíthatjuk a részecskeszámot és az energiát.

<math>N = \sum_l n_l</math>
<math>E = \sum_l \varepsilon_l n_l</math>

A nyomás a nagykanonikus potenciálból származtatható:

<math>p V = \pm k T \sum_l \ln \left ( 1 \pm e^{\beta (\mu - \varepsilon_l)} \right)</math>

A felső előjel vontatkozik a fermionokra, az alsó a bozonokra.

A fenti összegzések (azt feltételezve, hogy nagyon sok energiaszint van és ezek egymáshoz közel helyezkednek el) integrállal közelíthetőek, az eredmények:

<math>N = (2 s + 1) \frac{2 V \pi}{h^3} (2 m)^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{\varepsilon}}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} \pm 1 } \mathrm{d} \varepsilon</math>

<math>E = (2 s + 1) \frac{2 V \pi}{h^3} (2 m)^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\varepsilon^{3/2}}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} \pm 1 } \mathrm{d}^3 p</math>

<math>p V = \pm (2 s + 1) \frac{2 V \pi}{h^3} (2 m)^{3/2} k T \int_0^{\infty} \sqrt{\varepsilon} \ln \left ( 1 \pm e^{\beta (\mu - \varepsilon_l)} \right) \mathrm{d} \varepsilon</math>

Itt <math>s</math> a részecskék spinje, <math>V</math> a gáz térfogata, és <math>\varepsilon(p) = \frac{p^2}{2 m}</math> egy részecske energiája. A nyomás kifejezését parciálisan integrálva kapjuk, hogy:

<math> p V = \frac{2}{3} E </math>

===A klasszikus határeset===

Mindkét eloszlásnak a klasszikus határesete a Boltzmann eloszlás. Ha a számlálóban levő exponenciális tag nagy, akkor mellette az 1 elhanyagolható, és pont a Boltzmann eloszlást kapjuk. (Természetesen ekkor mindegyik állapotban a részecskék számának várható értéke nagyon kicsi, majdnem 0.) Legyen az alapállapot energiája <math>\varepsilon_0 = 0</math> (az alapállapoti energiát tetszőlegesen eltolhatjuk, mert nem mérhető), a részecskék energiája: <math>\varepsilon \geq 0</math>. Ekkor annak a feltétele, hogy az eloszlásban szereplő exponenciális értéke minden energiaszintre nagy legyen annak felel meg, hogy <math>e^{-\beta \mu} \gg 1</math> teljesüljön. Klasszikus ideális gázra:
<math> e^{\beta \mu} = \frac{N}{V} \left ( \frac{h^2}{2 \pi m k T} \right )^{3/2}</math>

Ezzel az előző feltétel:
<math>1 \gg \frac{N}{V} \left ( \frac{h^2}{2 \pi m k T} \right )^{3/2}</math>

Azaz az előző feltétel annak felel meg, hogy elég magas legyen a hőmérséklet és elég kicsi legyen a gáz sűrűsége. Ugyanezt az eredményt kapjuk a határozatlansági reláció felhasználásával is. Klasszikus esetben <math> \Delta x \Delta p \gg h </math>, a koordináta és impulzusbizonytalanságokról pedig feltételezzük, hogy kisebbek, mint azok átlagos értékei:

<math>\Delta x \ll R = \left ( \frac{V}{N} \right )^{1/3}</math>
<math>\Delta p \ll p_T = \sqrt{2 m k T}</math>

Ezeket behelyettesítve a határozatlansági relációba és mindkét oldal harmadik hatványát véve pont az előbbi feltételt kapjuk.

==Bose-Einstein kondenzáció==

A Bose-kondenzáció lényege, hogy a hőmérsékletet csökkentve egy megmaradó számú részecskéből álló Bose-gázban makroszkópikusan sok részecske lesz a legalsó energiaszinten (mivel az egy energiaszinten levő részecskék számát semmi sem korlátozza), a <math>T = 0</math> hőmérsékletű határesetet véve az összes részecske a legalsó szinten lenne.

Legyen egy dobozba zárt ideális Bose-gázunk (ahol a részecskék száma megmarad), és kezdjük el hűteni. Mivel a részecskék száma megmarad, a sűrűségnek is állandónak kell lennie. A sűrűség:

<math>\frac{N}{V} = \frac{4 \pi}{h^3} \int_0^{\infty} \frac{p^2 \mathrm{d} p}{e^{\beta \left (\frac{p^2}{2 m} - \mu \right )} - 1 } = 2 \pi \left ( \frac{2 m k T}{h^2} \right )^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \mathrm{d} x}{e^{x+\alpha} - 1}</math>

Itt felhasználtuk a <math>x \equiv \frac{\beta p^2}{2 m}</math> és a <math>\alpha \equiv - \beta \mu</math> helyettesítéseket. Mivel itt a legalsó energiaszintet 0-nak vettük, így <math>\alpha \geq 0 </math>. Az integrál szorzója egy véges szám, ami a hőmérsékletet csökkentve egyre csökken, így ahhoz, hogy a sűrűség állandó maradjon, az integrál értékének nőnie kell. Az integrál az <math>\alpha = - \beta \mu</math> paraméter függvénye, így az integrál növekedése a kémiai potenciál változtatásával érhető el. Megvizsgálva az integrál eredményéül adódó függvényt azt kapjuk, hogy az <math>\alpha</math>-nak a monoton csökkenő függvénye, és <math>\alpha = 0</math>-nál is véges értéket vesz fel.

[[Fájl:Int.png|400px]]

Mivel az integrál előtti szorzó tetszőlegesen kis értéket felvehet a hőmérsékletet csökkentve, ezért az integrál értékének növekedése ezt csak egy ideig tudja kompenzálni, egy kritikus hőmérséklet alatt (ahol <math>\alpha</math> eléri a 0-t) a részecskeszám elkezd csökkenni, és a hőmérséklettel 0-hoz tartva az integrállal számolt részecskeszám is 0-hoz tart, ami ellentmond annak a feltevésnek, hogy a rendszerben a részecskék száma megmarad.

Az ellentmondás abból fakad, hogy a részecskeszám integrállal kiszámítása csak egy közelítés, a valóságban diszkrét állapotok vannak, és ezekre összegzést kell végezni. A legalacsonyabb energiaszinten levő részecskék száma:

<math>N_0 = \frac{1}{e^{\beta ( \varepsilon_0 - \mu )} - 1}</math>

A fenti esetben <math>\varepsilon_0 = 0</math> és így az exponenciális függvény kitevőjében pont <math>\alpha</math> áll. Abban az esetben, ha <math>\alpha</math> 0-hoz tart (azaz a kémiai potenciál tart a legalacsonyabb energiájú állapothoz), <math>N_0</math> értéke divergál, a legalacsonyabb állapotban levő részecskék száma akármilyen nagy lehet. Az első gerjesztett állapotban levő részecskék száma már véges, nagyságrendekkel kisebb lesz, így az a többi állapottal együtt integrállal kezelhető. Így a részecskeszám kiszámításához a kritikus hőmérséklet alatt a legalsó energiaszinten levő részecskék számát külön kell venni, a többi részecskét lehet integrállal számolni (<math>\alpha = 0</math>-val számolva). A részecskék száma a kritikus hőmérsékleten:

<math>N = 2 \pi V \left ( \frac{2 m k T_C}{h^2} \right )^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \mathrm{d} x}{e^{x} - 1}</math>

A kritikus hőmérséklet alatt:

<math>N = N_0 + 2 \pi V \left ( \frac{2 m k T}{h^2} \right )^{3/2} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x} \mathrm{d} x}{e^{x} - 1}</math>

Itt <math>N_0</math> adja a legalsó szinten levő részecskék számát, az integrálos tag pedig a magasabb energiaszinteken levő részecskéket. Ha a gáz hűtése közben a részecskék száma megmarad, akkor a két részecskeszám megegyezik és ebből <math>N_0</math> kifejezhető:

<math>N_0 = N \left ( 1 - \left ( \frac{T}{T_C} \right )^{3/2} \right )</math>

[[Fájl:Bk.png|400px]]

A természetben ritka alkáli gőzökben (<math> ^{23} \mathrm{Na}</math> és <math> ^{87} \mathrm{Rb}</math>) figyeltek meg Bose-kondenzációt, pár <math> \mu \mathrm{K} </math> hőmérsékleten, mágneses csapdákban lehűtve. Az elsőre szóba jövő jelölt <math> ^4 \mathrm{He}</math>-nél azon a hőmérsékleten és sűrűségen, ahol Bose-kondenzációra lehetne számítani, már folyadék halmazállapotba kerül, ahol már nem elhanyagolható a részecskék közötti kölcsönhatás, a Bose-kondenzáció helyett a szuperfolyékonyság jelenik meg, ami szintén egy makroszkópikus kvantumeffektus.

==Hőmérsékleti sugárzás, Stefan-Boltzmann törvény==

Vizsgáljuk meg egy (az egyszerűség kedvéért kocka alakú) kályhában kialakuló sugárzást! A kályha falait tökéletesen tükrözőnek (tökéletes vezető fémnek) feltételezve a Maxwell-egyenletek megoldásaként adódó állóhullámok felelnek meg a rendszer energiasajátállapotainak. A kályhában véges sok állóhullám módus alakulhat ki, egy módus frekvenciája:

<math>\omega = \frac{\pi c}{L} \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}</math>

Itt <math>L</math> a kocka élhossza, <math>c</math> a fénysebesség (a hullámok terjedési sebessége), <math>n_1, \, n_2</math> és <math>n_3</math> egész számok. Klasszikusan egy módus energiája bármennyi lehetne. A kvantumos tárgyalásban viszont az <math>\omega</math> frekvenciájú módus energiája <math>n \hbar \omega</math>, ahol <math>n</math> egész szám. Így a rendszer 0 tömegű, <math>\varepsilon = c p</math> egyrészecske energiájú bozonokként kezelhető, melyekből egy módusban akárhány lehet. Ezeket a részecskéket nevezzük fotonoknak. A fotonokra nincsen részecskeszám megmaradást megkövetelő törvény, így a kémiai potenciáljuk 0, számukat csak a hőmérséklet határozza meg. A rendszer energiája:

<math>E = V \int_0^{\infty} \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} \frac{\hbar \omega \mathrm{d} \omega}{e^{\beta \hbar \omega} - 1}</math>

Az integrálban az első tag az <math>\omega</math> és <math>\omega + \mathrm{d} \omega</math> közötti módusok száma, a második tag az Bose-eloszlás az oszcillátor energiájával súlyozva. Az <math>x \equiv \beta \hbar \omega</math> helyettesítéssel az integrálból a hőmérséklet kiemelhető, és az integrál a hőmérséklettől függetlenül elvégezhető, az eredményül adódó energiasűrűség:

<math>\frac{E}{V} = \frac{8 \pi}{(h c)^3} (k T)^4 \frac{\pi^4}{15} = 7,56 \cdot 10^{-16} \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}^4 \mathrm{m}^3} \cdot T^4</math>

Ez a Stefan-Boltzmann törvény. A fotongáz nyomása:

<math>p = \frac{1}{3} \frac{E}{V}</math>

Ez az <math>\varepsilon = c p</math> diszperziós reláció következménye, fermionokra is fennálna, a szabadenergia felírásával és parciális integrálással történő átalakításával könnyen belátható.

==Fononok, szilárdtestfizikai alkalmazások (diszperziós reláció)==

Első közelítésben a szilárd testek rezgései is szabad Bose-gázként kezelhetőek. Az atomok kis rezgéseinek sajátértékproblémáját (például az atomokat rugókkal összekötött golyóknak képzelve, és lineáris közelítéssel számolva) megoldva a foton problémához hasonlóan állóhullám módusokat kapunk, fontos különbség az, hogy itt a hullámhossz nem lehet a rácsállandónál kisebb, így véges sok módust kapunk (szemben azzal, hogy a hőmérsékleti sugárzás hullámhossza tetszőlegesen kicsi lehet). Feltételezve, hogy egy módus energiája <math>n \hbar \omega</math> lehet, ahol <math>n</math> egész szám, az atomok rezgéseit kvázirészecskékkel lehet helettesíteni, amiket fononoknak nevezünk. A számítás a fotonokéhoz hasonló, fontos különbség, hogy az állapotsűrűség kifejezése más (bonyolultabb) és az, hogy csak véges sok módust kell összeadni.
<math>E = \int_{\mathbf{k} \in \mathrm{BZ}} \frac{g(\mathbf{k}) \varepsilon(\mathbf{k}) \mathrm{d}^3 \mathbf{k}}{ e^{\beta \varepsilon(\mathbf{k})} - 1}</math>

A fenti integrálban a <math>g(\mathbf{k})</math> függvény az állapotsűrűség és <math>\varepsilon(\mathbf{k})</math> a módus energiája. Ezek általános esetben függhetnek a <math>\mathbf{k}</math> hullámszámvektor irányától is.

Egy szilárd testre az <math>\varepsilon(\mathbf{k})</math> diszperziós reláció általában valamilyen bonyolult függvény, de kis frekvenciákon általában lineáris közelítéssel lehet élni. Alacsony hőmérsékleten csak a kis energiájú módusok gerjesztődnek, így az egész spektrumot vehetjük jó közelítéssel lineárisnak, mert ahol ez már nem teljesülne, azok a módusok már nem (vagy elhanyagolhatóan keveset gerjesztődnek). A diszperziós relációnak általában több ága van, az origóból induló 3 akusztikus ág mellett létezik egy optikai ág is, amiben a 0 hullámszámhoz is véges frekvencia tartozik. A Bruillen-zóna szélénél az optikai és akusztikus ágak találkoznak. Az ehhez tartozó frekvenciára tehetünk egy becslést lineáris közelítésben, <math>\omega = c k</math> diszperziós relációt feltételezve. A kristályrács rácsállandója <math>a \approx 10^{-10} \mathrm{m}</math> nagyságrendű, a hangsebesség <math>c \approx 10^3 \mathrm{m} / \mathrm{s}</math>, így a maximális frekvencia <math>\omega_{\mathrm{max}} \approx c/a \approx 10^{13} \mathrm{s}^{-1}</math>. Az ennek megfelelő hőmérséklet (a Debye-hőmérséklet):
<math>\hbar \omega_{max} \equiv k T_{\mathrm{D}} \rightarrow T_{\mathrm{D}} \approx 100 \mathrm{K}</math>

A Debye-hőmérsékletnél jóval alacsonyabb hőmérsékleten úgy tehetünk, mintha az egész spektrum lineáris lenne, és a módusokat a véges <math>\omega_{\mathrm{max}}</math> helyett végtelenig számoljuk, mert az <math>\omega_{\mathrm{max}}</math> körüli módusok már nem tudnak gerjesztődni, így a számolás teljesen ugyanaz lesz, mint a hőmérsékleti sugárzásnál. Vegyük még figyelembe, hogy a hanghullámoknak két transzverzális és egy longitudinális módusa is lehetséges, amiknek a terjedési sebessége általában különbözik, ennek a kezelésére vezessük be az effektív hangsebességet:
<math>\frac{3}{c^3} \equiv \frac{1}{c_l^3} + \frac{2}{c_{tr}^3}</math>
Ezzel a képletek a hőmérsékleti sugárzáshoz hasonlóak lesznek. Az energia és a fajhő:
<math>E = \frac{V \pi^2 (k T)^4}{10 (\hbar c)^3}</math>

<math>c_V = \frac{2 \pi^2 k^4 V}{5 (\hbar c)^3} T^3</math>

A lineáris spektrumra jellemző, hogy a fajhő a hőmérséklet harmadik hatványától függ, szilárd testeknél alacsony hőmérsékleten a fajhő ezt a viselkedést mutatja. A fenti képletek csak alacsony (<math>T \ll T_D</math>) hőmérsékleten érvényesek, amíg csak azok a módusok gerjesztődnek, ahol még érvényes az itt alkalmazott közelítés.

A Debye-hőmérsékletnél jóval magasabb hőmérsékleten már az összes módus gerjesztődik, viszont az összes módusra teljesül, hogy <math>\varepsilon(\mathbf{k}) \ll k T</math>, így a <math>e^{\beta \varepsilon(\mathbf{k})} -1 \approx \beta \varepsilon (\mathbf{k})</math> közelítést alkalmazhatjuk, amivel az energia:
<math>E = \int k T g(\mathbf{k}) \mathrm{d}^3 \mathbf{k} = 3 N k T</math>
Felhasználtuk, hogy az állapotsűrűség integrálja az összes módus számát adja, így az adódott eredményül, hogy elég magas (sok anyagra már szobahőmérsékletnél) hőmérsékleten teljesül az ekvipartíció, minden módusra <math> k T</math> energia jut, a fajhő nem függ a hőmérséklettől.

A Debye hőmérséklet közelében is elvégezhetünk egy közelítést. Tegyük fel, hogy a spektrum a maximális hullámszámig lineáris, de nem a valódi maximális hullámszámot használjuk, hanem egy olyan effektív értéket, ami biztosítja, hogy a módusok száma megfeleljen a valóságnak:

<math>\int_0^{k_{max}} \frac{3 V k^2 \mathrm{d} k}{2 \pi^2} \equiv 3 N</math>

Ezzel felírva az energia:

<math>E = 3 N k T \operatorname{D} \left ( \frac{T_D}{T} \right )</math>

Ebben a magas hőmérsékleten számolt eredmény a Debye-függvénnyel van megszorozva:

<math>\operatorname{D} (x) \equiv \frac{3}{x} \int_0^x \frac{z^3 \mathrm{d} z}{e^z -1}</math>

A Debye-függvény alacsony hőmérsékleten a hőmérséklet köbével arányosan indul, magas hőmérsékleten viszont 1-hez tart, ez megfelel a korábban számolt két határesetnek.

[[Fájl:D1.png|400px]]

[[Fájl:D2.png|400px]]

==Degenerált Fermi-gáz==

A <math>T \rightarrow 0</math> határesetet véve a Fermi-eloszlásfüggvény lépcsőfüggvénybe megy át: a kémiai potenciál alatti állapotok be vannak töltve, a felette levőkben nincs részecske. Így 0 hőmérsékleten az integrálok könnyen elvégezhetőek, ez az alacsony hőmérsékletű Fermi-gázokra jó közelítés lehet. A kémiai potenciált 0 hőmérsékleten Fermi-energiának is nevezik: <math>\varepsilon_F \equiv \mu</math>. A részecskeszám számítása:

<math>N = (2s + 1) \frac{2 \pi V (2 m)^{3/2}}{h^3} \int_0^{\varepsilon_F} \sqrt{\varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon = (2s + 1) \frac{4 \pi V (2 m)^{3/2}}{3 h^3} \varepsilon_F^{3/2}</math>

Az energia hasonlóan számolható, az eredmény:

<math>\frac{E}{N} = \frac{3}{5} \varepsilon_F</math>

Annak a feltétele, hogy ez a közelítés jó legyen felírható úgy is, hogy a hőmérséklet jóval kisebb legyen a Fermi-energiának megfelelő Fermi-hőmérsékletnél: <math>k T \ll \varepsilon_F</math>. Fémek vezetési elektronjaira a Fermi-hőmérséklet <math>T_F \approx 10^5 \mathrm{K}</math>, így ott ez egy elég jó közelítés.

==Elektronfajhő, kvantumkorrekciók. {Bethe-Sommerfeld sorfejtés, Landau-paramágnesség}==

Alacsony hőmérsékletű rendszereknél alkalmazható módszer a Bethe-Sommerfeld sorfejtés, aminek a lényege az, hogy a Fermi-eloszlást tartalmazó integrált <math>T = 0</math> körül sorbafejtjük.
Legyen a kiszámítandó integrál:

<math>I = \int_0^{\infty} g(\varepsilon) f(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon</math>

A fenti képletben <math>f(\varepsilon)</math> a Fermi-eloszlás és legyen <math>g = G^{\prime} </math> (azaz a <math>g</math> függvény integrálja ismert, ami a 0 hőmérsékletű határesetnek felel meg. Ekkor parciálisan integrálva, majd a <math>G</math> függvény a kémiai potenciál körül sorbafejtve a következőt kapjuk:

<math>I = -\int_0^{\infty} G(\varepsilon) f^{\prime} (\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon = G(\mu) - \sum_{k=1}^{\infty} G^{(k)} (\mu) \int_0^{\infty} (\varepsilon - \mu)^k f^{\prime} (\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon</math>

Az első tag a 0 hőmérsékletű határeset, az összegzésben a páratlan tagok 0-t adnak a páros tagokban az integrál elvégezhető, az eredmény:

<math>I = G(\mu) + \sum_{k=1}^{\infty} G^{(2k)} (\mu) (kT)^{2k} \left ( 2 - 2^{-2k} \right ) \zeta (2k) \approx G(\mu) + (kT)^2 \frac{\pi^2}{6} G^{\prime \prime} (\mu)</math>

Sokszor elég csak a legelső tagot megtartani, az eredeti jelölésekkel:

<math>\int_0^{\infty} \frac{g(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon}{e^{\beta (\varepsilon - \mu)} + 1} \approx \int_0^{\mu} g(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon + \frac{\pi^2}{6} (kT)^2 g^{\prime} (\mu)</math>

Ezzel például meghatározhatjuk a fémek fajhőjéhez az elektronok által adott járulékát (az elektronokat szabad Fermi-gáznak tekintve). A fémeknél a szobahőmérséklet nagyon kicsi a Fermi-hőmérséklethez képest, így elég csak az első tagot megtartani. Az a hőmérséklet négyzetétől függ, így a belőle számolt fajhőjárulék lineáris lesz. A pontos eredmény:

<math>c_V = \frac{\pi^2}{2} \frac{k T}{\varepsilon_F} N k</math>

Ez (mivel <math>k T / \varepsilon_F \approx 3 \cdot 10^{-3}</math>) szobahőmérsékleten a fononok fajhőjéhez képest elhanyagolhatóan kicsi, viszont a hőmérséklet függvényében változik (a fononokból származó fajhő itt már konstans), ezért ki lehet mérni. Alacsony hőmérsékleten viszont a köbösen induló fononfajhőhöz képest ez adja a nagyobb járulékot.

{{Záróvizsga}}

Kvantumstatisztikák - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „==Bevezetés, ideális gázok, Fermi- és Bose-eloszlás== Egy sokrészecskés kvantummechanikai rendszert a hullámfüggvénye ír le, ami összes részecske összes koo…”