Csega: /* Két spinből álló rendszer átmeneti valószínűségeinek meghatározása */

2009-08-23T15:26:35Z

‎Két spinből álló rendszer átmeneti valószínűségeinek meghatározása

Csega: Új oldal, tartalma: „Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi). ==Alapvetése== *Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér bef…”

2009-08-23T15:22:11Z

Új oldal, tartalma: „Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi). ==Alapvetése== *Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér bef…”

Új lap

Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi).

==Alapvetése==
*Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér befolyásol.
*A háttér annyira nem fontos, csak a hatása a megfigyelt részecskére (van néhány kiválasztott szabadsági fokom).
*Mivel a háttérről nem sokat tudok, valószínűségi egyenletekkel dolgozom.

====Példa====
Van egy rendszerem, amiből engem csak a mágneses viselkedés érdekel, csak a spineket figyelem.

Nagy rendszer: sok spin <math>\left\{ S\right\} = \left\{ S_1, S_2, ...\right\}</math>

[[Kép:spinek.png|center|thumb|Spinbeállások nagy rendszer esetén]]

Két részecskéből álló rendszer esetén a teljes állapottér négy diszkrét állapotból áll:

[[Kép:2spin.png|center|thumb|Spinbeállások 2-részecskés rendszernél]]

==A Master-egyenlet felírása==
Most legyen n diszkrét állappot.

*<math>p_n(t):</math> mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer az n-edik állapotban van?

*Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer '''n-ből n' állapotba megy át'''.

Ennek jelölése: <math>w_{n^{,}n}</math> --> nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

*Fermi aranyszabály: <math>\mathcal{H}</math> ismert, <math>w_{n^{,}n} \sim |<n|\mathcal{H}|n^{,}>|^2</math> QM-ben.

Ising [http://en.wikipedia.org/wiki/Ising_model] spin-rendszer esetén: <math>\mathcal{H} = -J \sum_{<i,j>}S_i^2S_j^2</math>, ahol <math>S_i = \pm 1</math><ref>A ferromágnes első modellje. A spinek egy irányba szeretnek beállni, de a hőmozgás szétválasztja őket. T->0: Curie-hőmérséklet alatt ferromágneses viselkedés.</ref><ref>A Fermi aranyszabály és az Ising spin-rendszer csak a spineket vizsgálja, nálunk meg egy csomó más hatás is van, tehát nem pont azt írják le, ami nekünk kell.</ref>

*Tegyük fel, hogy a folyamat Markov-folyamat, tehát létezik olyan <math>\Delta t</math>, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik <math>t + \Delta t</math>-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

<math>p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}\Delta t p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}\Delta t p_{n^{,}}(t)</math>

A <math>p_n(t)</math>-t ismerem, a <math>p_n(t+\Delta t)</math>-t keresem, a <math>w_{n^{,}n}</math> és <math>w_{nn^{,}}</math> egységnyi időre vonatkozik.

Sorbafejtek <math>p_n(t+\Delta t)</math> körül, <math>p_n(t)</math> kiesik, így:

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t)</math>
|A Master-egyenlet diszkrét állapottérben
|-
|}

Ennek kell, hogy legyen stacionárius megoldása, amihez relaxál:

<math>p_n^{(egyensulyi)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}</math>, ahol <math>E_n</math> az n-edik állapot energiája.

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz-->ez <math>w_{n^{,}n}</math> és <math>w_{nn^{,}}</math>-re megkötés!

Van időtükrözési invariancia is! Ennek következménye a részletes egyensúly (bővebben később).

*Tegyük fel, hogy meg tudom úgy adni az átmeneti valószínűségeket, hogy a rendszer beugorjon az egyensúlyi állapotba.

*Hogyan kell megválasztani az átmeneti valószínűségeket?

====Példa====
Szilárd testekben lévő spinrendszereknél a többi kölcsönhatás hőtartályként adódik a rendszerhez. (Pl. szupravezetésnél feltételezték, hogy az elektronok Coulomb-kölcsönhatása le van árnyékolva, a fononok pedig a háttér hőtartályt adják. Később kiderült, hogy alacsony hőmérsékleten éppen a fononok miatt kezdik el vonzani egymást az elektronok.)

====Az átmeneti valószínűségek megválasztása====
* Egyensúlyban időtükrözési szimmetria van.

[[Kép:egyensuly.png|center|thumb|A rendszer két állapota közötti átmeneti valószínűségek "kimérése"]]

Számolom, hogy (irány szerint megkülönböztetve) hányszor megy egyikből a másik állapotba a rendszer.

* Stacionárius állapotban <math>\Delta t</math> idő alatt az átmenetek száma:
:::::n-ből n'-be menve: <math>w_{n^{,}n}p_n^{egyensulyi}</math>
:::::n'-ből n-be menve: <math>w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensulyi}</math>

*A részletes egyensúly elve azt mondja ki, hogy a két számnak meg kell egyeznie, azaz:

:{|border="1"
|<math>w_{n^{,}n}p_n^{egyensuly} = w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensuly}</math>
|Megkötés az átmeneti valószínűségek hányadosára
|-
|}

Ha az állapotok száma véges és a rendszer minden pontjából minden másik pontjába el tudok jutni, akkor egyetlen stacionárius állapot lesz, az egyensúlyi.

Csak az átmeneti valószínűségek hányadosára van megkötés, azaz:
<math>\frac{w_{n^{,}n}}{w_{nn^{,}}} = \frac{e^{-\beta (E_{n^{,}-E_n})}}{1} = \frac{1}{e^{-\beta (E_n-E_{n^{,}})}}</math>

Ha <math>E_{n^{,}}-E_n = \Delta E_{nn^{,}} > 0</math> (azaz az energia nő), az e-ados tag 1-nél kisebb lesz, tehát vehetem azt az átmeneti valószínűségnek. Ha csökken az energia, akkor az energiacsökkenés felé vivő lépést egy valószínűséggel lépem meg.

Bizonyítás: <math>\partial_t p_n(t) = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}} w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t) = 0</math> (egyensúly esetén). Tehát:
<math>0 = -\sum_{n^{,}}(w_{n^{,}n}p_n^{egyensuly}-w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensuly})</math> Páronként kioltják egymást. Ezért hívják részletes egyensúlynak, mivel nem csak az egész összeg nulla, hanem az állapotok között páronként van egyensúly.

====A dinamikai mátrix felírása====
Egy N-állapotú rendszer adott állapotainak valószínűségeit - időtől függően - felírhatjuk vektoros alakban, a következőképpen:

<math>\underline{p}(t) = (\begin{array}{c}p_1(t)\\p_2(t)\\\vdots\\p_N(t)\end{array})</math>

Ekkor <math>\partial_t \underline{p} = \underset{=}{A}\underline{p}</math><ref>Miért is? Erre itt nem emlékszem, hogy miért...:(</ref> és:
<math>\partial_t p_n = \sum_{n^{,}} A_{nn^{,}} p_{n^{,}}</math>

, ahol <math>\underset{=}{A}</math> a rendszer dinamikai mátrixa, kiszámítása pedig a következőképpen történik:

:{|border="1"
|<math>A_{nn^{,}} = w_{nn^{,}} - \sum_{n^{,,}} w_{n^{,,}n}\delta_{nn^{,}}</math>
|A rendszer dinamikai mátrixának kiszámítási módja
|-
|}

A mátrix elemeit összeadva a következőket kapjuk:
<math>\sum_n A_{nn^{,}}</math><ref>Az egységmátrixot hozzáadva sztochasztikus mátrixnak nevezzük.</ref> <math> = \sum_n w_{nn^{,}} - \sum_{n^{,,}} w_{n^{,,}n^{,}} = 0</math> <ref>A két szummás tag egyenlő adott értéknél, csak az összegzési index más.</ref>

====Perron-Frobenius teoréma [http://en.wikipedia.org/wiki/Perron–Frobenius_theorem]====

A fenti mátrix <math>\lambda_1 = 0</math> sajátértéke a legnagyobb, nem degenerált sajátállapothoz tartozik. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy létezik egy (és csak egy) olyan megoldás, amire a sajátérték nulla. A legkisebb sajátérték sem degenerált.

Ha az egyensúlyi állapotban <math>\underline{p}^{(e)} = 0</math> (ekkor <math>\underline{p}^{(e)}</math> minden komponense pozitív <ref>Itt sem teljesen értem, hogy mire gondoltunk, de így van felírva. Elírtam?</ref>), akkor <math>\lambda_1 = 0</math>. Ekkor:
<math>(\begin{array}{c}p^{(e)}_1 = 0\\p^{(e)}_2\\\vdots\\p^{(e)}_N\end{array})</math>.
Azaz egyensúlyban az egyes állapot kiürül. Részletes egyensúlyban emiatt minden állapot ki fog ürülni.

Ha a többi <math>\lambda_{\alpha}, ..., \lambda_N</math> sajátértékhez nézzük az időfejlődést, pl.: <math>\underline{p}^{(\alpha)}(t) = e^{\lambda_{\alpha}t}\underline{p}^{(\alpha)}(0)</math>. Látható, hogy ebben az esetben a rendszer divergál. Azonban ha a sajátértékek mindegyike <math>\lambda_{\alpha} < \lambda_1 = 0</math>, akkor a rendszer az egyensúlyi állapothoz fog konvergálni az időfejlődése során.

Tegyük fel, hogy mégis degenerált a <math>\lambda_1 = 0</math> sajátérték, ekkor van másik egyensúlyi állapot:

<math>(\begin{array}{c}\tilde{p}_1^{(e)}\\\vdots\\\tilde{p}_N^{(e)}\end{array})</math>

De ha van két ilyen állapot, akkor azok lineárkombinációja is egyensúlyi állapot (mivel a Master-egyenlet lineáris):
<math>\alpha\underline{p}^{(e)} + \gamma\underline{\tilde{p}}^{(e)}</math>.

Ám ekkor meg tudom tenni - alfa és gamma értékek változtatásával -, hogy minden tagot pozitívnak választok, kivéve egyet, ami nulla. Vagyis a két vektor egyenlő kell, hogy legyen.<ref>Szerintem itt a magyarázatom nem túl világos. Én sem teljesen emlékszem, hogy miért is volt ez így. Ha valaki világosabbat tud, írja be legyen szíves!</ref>

A fentiek fényében tehát:

<math>\underline{p}(t) = \sum_{\alpha}\underline{p}^{(\alpha)}(0)e^{\lambda_{\alpha}t} = \underline{p}^{(e)} + \sum_{\alpha^{,}}\underline{p}^{(\alpha)}(0)e^{\lambda_{\alpha}t}</math>

Ahol az egyenlet végén lévő szummás tagok kihalnak, mivel a <math>\lambda_{\alpha}</math>-k negatívak (egyébként a megoldás - ahogy fentebb láttuk - elszaladna a végtelenbe).

''Megjegyzés: fázisátalakulásnál nagyok a fluktuációk, mivel az egész rendszer együtt változik, ellentétben a magas hőmérsékleten lévő kis fluktuűciókkal. Ez a <math>\lambda</math>-k értékeiben azt jelenti, hogy (<math>\lambda_1</math> ugye mindig nulla,) <math>\lambda_2</math> abszolútértékben nagyon kicsi, mert reciproka adja a relaxációs időt:

<math>\tau_{\alpha} = \frac{1}{{|\lambda_{\alpha}|}}</math>

És most jöjjön egy levezetés.

====Két spinből álló rendszer átmeneti valószínűségeinek meghatározása====

Tehát rendszerünk két spinből áll, amit egy négy elemű gráfon ábrázolhatunk.

[[Kép:2spin4graf.png|center|thumb|A két spinű rendszer ábrázolása gráfon]]

Egyszerre csak egy spin fordulhat!

Az állapotok közötti átmeneti valószínűségek meghatározásához először az egyennsúlyi valószínűségeket kell meghatároznunk.

<math>\mathcal{H} := -JS_1S_2</math> és <math>E_{\upuparrows} = E_{\downdownarrows} = -J</math>, valamint <math>E_{\uparrow\downarrow} = E_{\downarrow\uparrow} = +J</math>

Tudjuk még továbbá, hogy:
<math>p^{(e)}_{S_1,S_2} = \frac{1}{z}e^{+\beta J S_1 S_2}</math>, ahol z az állapotösszeg, értéke pedig:

<math>z = 2e^{\beta J} + 2e^{-\beta J}</math>, ahol a <math>\beta J \equiv K</math>. Ezt az átnevezést elvégezve az egyensúlyi valószínűségek a következő képlettel írhatóak le:
<math>p^{(e)}(S_1,S_2) = \frac{e^{K S_1 S_2}}{2(e^{K} - e^{-K})}</math>

Jelölés: <math>w_1 (S_1, S_2)</math>. Jelentése: bármelyik <math>(S_1,S_2)</math> állapotban vagyunk, és az egyes(!) spint forgatjuk. Érdemes megjegyezni, hogy a <math>w (S_1, S_2)</math> átmeneti valószínűségek 1/idő dimenziójúak.

[[Master-egyenletek#Az_.C3.A1tmeneti_val.C3.B3sz.C3.ADn.C5.B1s.C3.A9gek_megv.C3.A1laszt.C3.A1sa|Ezen]] okból az átmeneti valószínűségek hányadosára a következő értékeket kaphajuk:

<math>\frac{w_1(S_1,S_2)}{w_1(-S_1,S_2)} = \frac{e^{-KS_1S_2}}{e^{KS_1S_2}} = \frac{chK-S_1S_2shK}{chK+S_1S_2shK}</math>

Az egyenlet bal oldalán lévő felső tört felső része annak valószínűsége, hogy <math>S_1 \longrightarrow -S_1</math> állapotátmenet történik meg, míg alsó része ennek pont az ellenkezője. Az e-ados alakokat azért lehet a fenti módon átalakítani, mert kihasználtuk, hogy a spinek csak <math>S_i = \pm 1</math> értékeket vehetnek fel.

Végezzük el a <math>thK = v</math> helyettesítést, ekkor a következőt kapjuk:

<math>w_1(S_1,S_2) = \frac{\frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)}{\frac{1}{2\tau}(1+S_1S_2v)}</math> Ebből következpen: <math>w_1(S_1,S_2) = \frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)</math><ref>Ha <math>S_1</math> vagy <math>S_2</math> előjele változik, az egyenletben lévő előjel változik csak, azaz <math>w_1(\upuparrow) = \frac{1}{2\tau}(1-v)</math> és <math>w_1(\uparrow \downarrow) = \frac{1}{2\tau}(1+v)</math> (v pedig mindig pozitív!)</ref>

Ugyanezt <math>w_2</math>-re felírva:

<math>\frac{w_2(S_1,S_2)}{w_2(S_1,-S_2)} = \frac{e^{-KS_1S_2}}{e^{KS_1S_2}}</math>

<hr />

====Lábjegyzetek====
<references />

[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]

@@ 170. sor: / 170. sor: @@
 Végezzük el a <math>thK = v</math> helyettesítést, ekkor a következőt kapjuk:
-<math>w_1(S_1,S_2) = \frac{\frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)}{\frac{1}{2\tau}(1+S_1S_2v)}</math> Ebből következpen: <math>w_1(S_1,S_2) = \frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)</math><ref>Ha <math>S_1</math> vagy <math>S_2</math> előjele változik, az egyenletben lévő előjel változik csak, azaz <math>w_1(\upuparrow) = \frac{1}{2\tau}(1-v)</math> és <math>w_1(\uparrow \downarrow) = \frac{1}{2\tau}(1+v)</math> (v pedig mindig pozitív!)</ref>
+<math>w_1(S_1,S_2) = \frac{\frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)}{\frac{1}{2\tau}(1+S_1S_2v)}</math> Ebből következpen: <math>w_1(S_1,S_2) = \frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)</math><ref>Ha <math>S_1</math> vagy <math>S_2</math> előjele változik, az egyenletben lévő előjel változik csak, azaz <math>w_1(\upuparrows) = \frac{1}{2\tau}(1-v)</math> és <math>w_1(\uparrow \downarrow) = \frac{1}{2\tau}(1+v)</math> (v pedig mindig pozitív!)</ref>
 Ugyanezt <math>w_2</math>-re felírva:

Master-egyenletek - Laptörténet

Csega: /* Két spinből álló rendszer átmeneti valószínűségeinek meghatározása */

Csega: Új oldal, tartalma: „Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi). ==Alapvetése== *Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér bef…”