Numerikus módszerek - Laptörténet

Jeffrey: /* Konjugált gradiens módszer (iteratív változat) */

2011-06-15T12:44:58Z

‎Konjugált gradiens módszer (iteratív változat)

Jeffrey: /* Konjugált gradiens módszer */

2011-06-14T21:18:08Z

‎Konjugált gradiens módszer

Jeffrey, 2011. június 13., 17:01-n

2011-06-13T17:01:01Z

Jeffrey: /* Optimalizációs módszerek - szélsőérték keresés */

2011-06-12T19:12:45Z

‎Optimalizációs módszerek - szélsőérték keresés

Adrian, 2011. június 9., 16:38-n

2011-06-09T16:38:21Z

Adrian, 2011. június 9., 14:56-n

2011-06-09T14:56:18Z

Adrian, 2011. június 9., 14:31-n

2011-06-09T14:31:26Z

Adrian, 2011. június 9., 12:08-n

2011-06-09T12:08:04Z

Adrian, 2011. június 9., 09:38-n

2011-06-09T09:38:38Z

Adrian, 2011. június 8., 21:11-n

2011-06-08T21:11:05Z

@@ 106. sor: / 106. sor: @@
 ===Konjugált gradiens módszer (iteratív változat)===
-A konjugált gradiens módszer lineáris egyenletrendszert tud megoldani, abban az esetben, ha az együtthatómátrix szimmetrikus és pozitiv definit. Ez szemléletesen annak felel meg, hogy egy olyan sokdimenziós potenciálban keresünk minimumot, amelynek nincs nyeregfelülete, hanem egyértelmű minimuma van. Legyen az egyenletrendszer: <math>Ax = b\,</math>. Belátható, hogy ennek a megoldása a fenti A-ra vonatkozó feltételek mellett minimalizálja a következő függvényt:
+A konjugált gradiens módszer lineáris egyenletrendszert tud megoldani, abban az esetben, ha az együtthatómátrix szimmetrikus és pozitiv definit, ami sokszor fellép optimalizálási problémák vagy parciális differenciál egyenletek megoldásakor. A mátrix előbbi tulajdonságai szemléletesen annak felel meg, hogy egy olyan sokdimenziós potenciálban keresünk minimumot, amelynek nincs nyeregfelülete, hanem egyértelmű minimuma van. Legyen az egyenletrendszer: <math>Ax = b\,</math>. Belátható, hogy ennek a megoldása a fenti A-ra vonatkozó feltételek mellett minimalizálja a következő függvényt:
 :<math>f(x) = \frac{1}{2}x^T A x - x^T b\,</math>.

@@ 105. sor: / 105. sor: @@
 ahol ' a deriválást jelöli. Látszik, hogy a második deriváltra is szükségünk van. A Newton-módszer kiterjeszthető többváltozó esetére is, ekkor az első deriváltak vektora és a második deriváltakat tartalmazó mátrixra van szükségünk az analóg formula kiértékeléséhez.
-===Konjugált gradiens módszer===
+===Konjugált gradiens módszer (iteratív változat)===
 ===Szimulált hőkezelés===

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-== Diffegyenlet-megoldó módszerek ==
+== Differenciálegyenlet-megoldó módszerek ==
-===Euler-módszer===
+A differenciálegyenlet-megoldó numerikus módszereknek alapvetően két különböző csoportjük van, az explicit és implicit módszerek.
 A legegyszerűbb egylépéses módszer. Az y(x=0)=y0 kezdőfeltétellel megadott, y’=f(x,y) diffegyenlet megoldása esetén az Euler lépés alakja (Taylor-sorfejtés első két tagja):
 <math>y_(n+1)=y_n+h*f(x_n,y_n)</math>
@@ 8. sor: / 14. sor: @@
 ''Hibája:'' Taylor-sorfejtést tovább írjuk, a különbség <math>O(h^2)</math> lesz. Használata nem javasolt, mert a hibák hamar felösszegződnek, a megoldás „felrobban”. Ennek elkerülésére érdemes lehet használni az ''implicit Euler-módszert'': <math>y_(n+1)=y_n+h*f(x_{n+1},y_{n+1})</math>. Ez nagy ''h'' értékekre is stabil marad.
-===Runge-Kutta módszer===
+====Runge-Kutta módszer====
 Miért használjuk? Mert sokkal pontosabb, mint az Euler-módszer.
-====Másodrendű RK (vagy midpoint method - középponti módszer)====
+=====Másodrendű RK (vagy midpoint method - középponti módszer)=====
 :<math>k_1=h\,f(x_n,y_n)\,</math>
@@ 22. sor: / 28. sor: @@
 Ez a módszer tehát harmadrendig pontos. Általánosan az ''n''-ed rendű RK-nak <math>O(h^{n+1})</math> hibája van.
-====Negyedrendű RK====
+=====Negyedrendű RK=====
 :<math>k_1=h\,f(x_n,y_n)\,</math>
@@ 37. sor: / 43. sor: @@
 A negyedrendű módszerben négyszer kell kiértékelni az ''f'' függvényt, míg az Euler-módszernél egyszer kellett. Ezért ennek a használata akkor gazdaságos, ha ugyanakkora pontosság mellett legalább négyszer akkora lehet a lépésköz.
-====Adaptív RK====
+=====Adaptív RK=====
 Egy differenciálegyenlet megoldása során lehetnek gyorsan és lassan változó szakaszok a függvényben. A lassan változó szakaszok integrálása során nagyobb lépéseket is tehetünk a hiba növekedése nélkül. Ennek a megoldására szolgál az adaptív Runge-Kutta módszer. Alapötlete, hogy egy lépést tegyünk meg egyszer teljesen (''2h''-val, <math>y_1</math>), egyszer pedig két fél lépésben (''h''-val, <math>y_2</math>). Mindegyik lépés 4 függvény kiértékelést igényel (3*4), de ebből kettő megegyezik, így 11 kiértékelés szükséges a 2*4 helyett, ami a két fél lépésből jönne össze.
@@ 51. sor: / 57. sor: @@
 Ha <math>h_1>h_0</math>, akkor meg kell ismételni a számolást egy kisebb lépéssel, ha pedig <math>h_1<h_0</math>, akkor a következő lépésben használhatjuk <math>h_0</math>-t lépésként.
 ==Egyenletrendszerek megoldása==

← Régebbi változat		A lap 2011. június 12., 19:12-kori változata
86. sor:		86. sor:

	==Optimalizációs módszerek - szélsőérték keresés==		==Optimalizációs módszerek - szélsőérték keresés==
		+	===Newton-iteráció===
		+	Bár eredetileg a Newton-iterációt gyökkeresésre szokás alkalmazni, azonban ha ismert, vagy előállítható a függvény deriváltja, aminek a szélsőértékét keressük, akkor a derivált függvény zérushelye éppen a függvény szélsőértékét adja. A Newton-iteráció alakja szélsőérték keresésre:
		+
		+	:<math>x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}</math>
		+
		+	ahol ' a deriválást jelöli. Látszik, hogy a második deriváltra is szükségünk van. A Newton-módszer kiterjeszthető többváltozó esetére is, ekkor az első deriváltak vektora és a második deriváltakat tartalmazó mátrixra van szükségünk az analóg formula kiértékeléséhez.

	===Konjugált gradiens módszer===		===Konjugált gradiens módszer===

← Régebbi változat		A lap 2011. június 9., 16:38-kori változata
104. sor:		104. sor:

	A T hőmérsékletet kezdetben nagynak választva, majd folyamatosan csökkentve ezzel a módszerrel megtalálhatjuk a függvény globális minimumát.		A T hőmérsékletet kezdetben nagynak választva, majd folyamatosan csökkentve ezzel a módszerrel megtalálhatjuk a függvény globális minimumát.
		+
		+	{{MSc záróvizsga}}

@@ 53. sor: / 53. sor: @@
 ==Egyenletrendszerek megoldása==
 ===Gauss-Jordan elimináció===
 ===LU dekompozíció===

← Régebbi változat		A lap 2011. június 9., 09:38-kori változata
59. sor:		59. sor:

	===Szimulált hőkezelés===		===Szimulált hőkezelés===
		+	A módszer elnevezése az anyagtudomány területéről ered, ahol hőkezelési eljárásokkal lehet változtatni egy anyag kristályosodási méretét. Számítógépes módszerként egy sokdimenziód függvény energiaminimumának megkeresésére lehet használni.
		+
		+	Működési struktúra:
		+	# Válasszunk egy tetszőleges kezdőállapotot (i)
		+	# Válasszuk ki az egyik szomszédot (j)
		+	# Ha a szomszéd energiája kisebb, átlépünk rá
		+	# Ha nagyobb a szomszéd energiája, az energiakülönbség, és egy globális T paraméter által meghatározott valószínűség szerint elfogadjuk a nagyobb energiájú helyet
		+
		+	Az elfogadási valószínűségek tehát:
		+	* ha f(j) ≤ f(i), akkor 1
		+	* ha f(j) > f(i), akkor <math>e^{\frac{f(i)-f(j)}{T}}</math>
		+
		+	A T hőmérsékletet kezdetben nagynak választva, majd folyamatosan csökkentve ezzel a módszerrel megtalálhatjuk a függvény globális minimumát.

@@ 52. sor: / 52. sor: @@
 Ha <math>h_1>h_0</math>, akkor meg kell ismételni a számolást egy kisebb lépéssel, ha pedig <math>h_1<h_0</math>, akkor a következő lépésben használhatjuk <math>h_0</math>-t lépésként.
-==Egyenletrendszer megoldása==
+==Egyenletrendszerek megoldása==
-==Optimalizációs módszerek==
+==Optimalizációs módszerek - szélsőérték keresés==