Relativisztikus kvantummechanika - Laptörténet

Jeffrey: /* A Dirac-egyenlet kovariáns alakja */

2009-09-14T13:25:50Z

‎A Dirac-egyenlet kovariáns alakja

Jeffrey: /* A Klein-Gordon egyenlet */

2009-09-14T13:14:01Z

‎A Klein-Gordon egyenlet

Jeffrey: /* A Klein-Gordon egyenlet */

2009-09-14T13:12:25Z

‎A Klein-Gordon egyenlet

Jeffrey: /* A Klein-Gordon egyenlet */

2009-09-14T13:11:29Z

‎A Klein-Gordon egyenlet

84.3.248.174: /* A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai */

2009-09-13T20:58:04Z

‎A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai

84.3.248.174: /* A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai */

2009-09-13T20:35:09Z

‎A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai

84.3.248.174: /* A Dirac-egyenlet kovariáns alakja */

2009-09-13T19:42:02Z

‎A Dirac-egyenlet kovariáns alakja

84.3.248.174: /* A Dirac-egyenlet */

2009-09-13T19:08:17Z

‎A Dirac-egyenlet

84.3.248.174, 2009. szeptember 13., 19:06-n

2009-09-13T19:06:52Z

Jeffrey, 2009. szeptember 13., 12:04-n

2009-09-13T12:04:18Z

@@ 162. sor: / 162. sor: @@
 Megjegyzés: A fenti tulajdonságok használhatóak a Dirac-mátrixok definiálására. Az összefüggések megoldása nem egyértelmű, de bármely négy mátrix, ami teljesíti a követelményeket megfelelő a fizikai leíráshoz (a mátrixok matematikailag unitér ekvivalensek, ugyanazt a fizikát írják le).
-Megjegyzés 2: Az irodalomban gyakran használt jelölés: <math> \partialslash \eqiuv \gamma^{\mu} \partial_{\mu}</math> (itt egy áthúzott parciális d betűvel kellene jelölni a <math>\gamma^{\mu} \partial_{\mu}</math> szorzatot)
+Megjegyzés 2: Az irodalomban gyakran használt jelölés:
 Definiáljuk a hullámfüggvény Dirac-konjugáltját:

@@ 50. sor: / 50. sor: @@
 <math> j^{\mu} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right ) </math>
-Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő <math>e</math> szorzó, így <math>j^{\mu}</math> négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponenes a töltéssűrűség:
+Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő <math>e</math> szorzó, így <math>j^{\mu}</math> négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponense a töltéssűrűség:
 <math>\rho = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \Psi \frac{\partial \Psi^* }{\partial t} \right ) </math>

@@ 17. sor: / 17. sor: @@
 Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a <math>k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}</math> feltétel. Ez azt jelenti, hogy a <math>k^{\mu}</math> négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyenek a komponensek: <math>k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )</math>, így ezekre a <math>\omega^2 = k^2 + m^2</math> diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) <math>E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}</math>. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).
-Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosításaként. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:
+Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosítására. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:
 <math> \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0 \quad \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi^* = 0</math>

@@ 15. sor: / 15. sor: @@
 <math> \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}} </math>
-Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a <math>k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}</math> feltétel. Ez azt jelenti, hogy a <math>k^{\mu}</math> négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: <math>k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )</math>, így ezekre a <math>\omega^2 = k^2 + m^2</math> diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) <math>E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}</math>. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).
+Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a <math>k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}</math> feltétel. Ez azt jelenti, hogy a <math>k^{\mu}</math> négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyenek a komponensek: <math>k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )</math>, így ezekre a <math>\omega^2 = k^2 + m^2</math> diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) <math>E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}</math>. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).
 Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosításaként. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:

@@ 233. sor: / 233. sor: @@
 <math> \chi_0 = \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \varepsilon} \varphi_0</math>
-Legyen <math>\varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right )</math> úgy, hogy <math>u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1</math> és <math>N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}}</math> a normálás miatt. Legyen <math>\varepsilon = \lambda E_p</math>, ahol <math>E_p = \sqrt{m^2 + p^2}</math> és <math>\lambda = \pm</math>, ekkor a megoldást <math>\mathbf{p}</math> és <math>\lambda</math> paraméterezik. Ezekkel felírva:
+Legyen <math>\varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right )</math> úgy, hogy <math>u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1</math> és <math>N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}}</math> a normálás miatt. Legyen <math>\varepsilon = \lambda E_p</math>, ahol <math>E_p = \sqrt{m^2 + p^2}</math> és <math>\lambda = \pm 1</math>, ekkor a megoldást <math>\mathbf{p}</math> és <math>\lambda</math> paraméterezik. Ezekkel felírva:
 <math>\Psi_{\mathbf{p}, \lambda} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} u \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} u \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }</math>
@@ 240. sor: / 240. sor: @@
 <math>\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')</math>

← Régebbi változat		A lap 2009. szeptember 13., 20:35-kori változata
200. sor:		200. sor:

	===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===		===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===
		+
		+	Írjuk fel a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakban:
		+
		+	<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi = \left ( \sum_{i=1}^3 \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \right ) \Psi</math>
		+
		+	(Itt <math>\hat{\operatorname{p}}_i = - i \hbar \partial_i</math>)
		+	Keressük a stacionárius megoldásokat <math>\Psi (\mathbf{x},t) = \psi (\mathbf{x}) e^{-\frac{i}{\hbar} \varepsilon t}</math> alakban. Így a Schrödinger-egyenletnél megszokotthoz hasonlóan energiasajátérték egyenletet kapunk. Bontsuk fel a négykomponensű hullámfüggvényt két kétkomponensű vektorra:
		+
		+	<math>\psi = \left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \chi_1 \\ \chi_2 \end{array} \right )</math>
		+
		+	Ezekre egy csatolt egyenletrendszert kapunk:
		+
		+	<math> \varepsilon \varphi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \chi + m \varphi \quad \quad \varepsilon \chi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \varphi - m \chi</math>
		+
		+	A síkhullám megoldás:
		+
		+	<math>\left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_0 \\ \chi_0 \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \mathbf{p x} }</math>
		+
		+	Ezt behelyettesítve egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, ami tartalmazza a <math>\mathbf{p}</math> és <math>\varepsilon</math> paramétereket:
		+
		+	<math> (\varepsilon - m) \varphi_0 - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \chi_0 = 0</math>
		+
		+	<math> - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \varphi_0 + (\varepsilon + m) \chi_0 = 0 </math>
		+
		+	A megoldás feltétele, hogy a determináns 0 legyen. Felhasználva a Pauli-mátrixokra ismert <math>\left ( \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \right )^2 = p^2</math> azonosságot, a feltétel:
		+
		+	<math>\varepsilon^2 - m^2 - p^2 = 0</math>
		+
		+	Ez az energiára az ismerős összefüggés. Látszik az is, hogy léteznek pozitív és "negatív" energiájú megoldások (részecskék és antirészecskék).
		+	Az egyenletrendszerből:
		+
		+	<math> \chi_0 = \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \varepsilon} \varphi_0</math>
		+
		+	Legyen <math>\varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right )</math> úgy, hogy <math>u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1</math> és <math>N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}}</math> a normálás miatt. Legyen <math>\varepsilon = \lambda E_p</math>, ahol <math>E_p = \sqrt{m^2 + p^2}</math> és <math>\lambda = \pm</math>, ekkor a megoldást <math>\mathbf{p}</math> és <math>\lambda</math> paraméterezik. Ezekkel felírva:
		+
		+	<math>\Psi_{\mathbf{p}, \lambda} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} u \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} u \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }</math>
		+
		+	A hullámfüggvény normálása:
		+
		+	<math>\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')</math>

← Régebbi változat		A lap 2009. szeptember 13., 19:42-kori változata
174. sor:		174. sor:
	Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.		Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.

		+
		+	Felmerül a kérdés, hogy <math>\Psi</math> oszlopvektor hogyan transzformálódik egy Lorentz-transzformációt végezve. Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy <math>\Psi</math> nem egy négyesvektor (csak "véletlenül" van pont négy komponense), így nem lehet összeszorozni egy Lorentz-mátrixxal. Lehetne gondolni, hogyha <math>\Psi</math>-nek semmi köze sincs a négyesvektorokhoz, akkor nem transzformálódik, de ez sem igaz; minden <math>\Lambda</math> Lorentz-transzformációhoz létezik egy <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda \right )</math> <math>4 \times 4</math>-es mátrix, ami a hullámfüggvény komponenseit transzformálja a mátrixszorzás szabályai szerint:
		+
		+	<math> \Psi' (x'^{\mu}) = \Psi' \left ( \Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \Psi (x^{\mu})</math>
		+
		+	A Dirac-egyenlet transzformálásánál belátható összefüggések:
		+
		+	* Az egységmátrixnak megfelelő transzformáció az egységmátrix: <math>\operatorname{R} \left ( \operatorname{I} \right ) = 1</math>
		+
		+	* A transzformációk szorzása "asszociatív": <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \Lambda_{(2)} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \right ) \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(2)} \right )</math>
		+
		+	* Az inverz "bevihető": <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda^{-1} \right ) = \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right )</math>
		+
		+	* Feltehetjük, hogy a Dirac-mátrixok nem transzformálódnak (belátható, hogy választhatóak így)
		+
		+	* A deriválás operátor négyesvektorként transzformálódik: <math>\partial'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\nu} \partial_{\nu}</math>
		+
		+	Ezekből levezethető a transzformációs mátrixot meghatározó egyenlet:
		+
		+	<math>\operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \gamma^{\nu} \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right ) = \gamma^{\mu} \Lambda_{\mu}^{\nu}</math>
		+
		+	Ennek a megoldásaként (ami nem teljesen triviális, ezért itt mellőzzük) megkaphatnánk a hullámfüggvényt transzformáló mátrixot.
		+
		+	Megjegyzés: Ha csoportelméleti megfontolásokból indulunk ki, akkor azt kapjuk, hogy a négykomponensű hullámfüggvény, illetve a négyesvektorok a Lorentz-transzformációk csoportjának a különböző ábrázolásaihoz tartozó objektumok, a transzformációkra általános módszer adható, amiből a Lorentz-mátrixokat és a hullámfüggvényt transzformáló mátrixokat is meg lehet kapni.

	===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===		===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===

← Régebbi változat		A lap 2009. szeptember 13., 19:08-kori változata
173. sor:		173. sor:

	Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.		Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.
		+
		+
		+	===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===

@@ 78. sor: / 78. sor: @@
 ==A Dirac-egyenlet==
 Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:
@@ 123. sor: / 125. sor: @@
 A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás <math>\Psi</math> minden komponensére külön hat, majd az <math>\alpha</math> mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 Ebben a részben <math>c = 1</math>
-===A Klein-Gordon egyenlet===
+==A Klein-Gordon egyenlet==
 Legyen <math>\Psi (t,\mathbf{x})</math> egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a <math>E^2 = p^2 + m^2</math> egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: <math>\mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla</math>, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: <math>E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}</math>, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:
@@ 77. sor: / 77. sor: @@
 Az egyik esetben a töltéssűrűség pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy lehet értelmezni, hogy a <math>\Psi_{+}</math> megoldás <math>+e</math> töltésű, a <math>\Psi_{-}</math> megoldás <math>-e</math> töltésű részecskéket ír le.
-===A Dirac-egyenlet===
+==A Dirac-egyenlet==
 Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja: