Sztochasztikus folyamatok '12 - Laptörténet

Tapi, 2012. június 15., 13:36-n

2012-06-15T13:36:38Z

Tapi: /* Spinüvegek */

2012-06-14T20:07:13Z

‎Spinüvegek

Tapi: /* Spinüvegek */

2012-06-14T20:06:33Z

‎Spinüvegek

Tapi: /* Spinüvegek */

2012-06-14T20:05:33Z

‎Spinüvegek

CzGabe: /* Kauffman-hálózat */

2012-06-13T14:04:05Z

‎Kauffman-hálózat

Tama13s, 2012. június 12., 12:05-n

2012-06-12T12:05:29Z

Tama13s, 2012. június 12., 12:04-n

2012-06-12T12:04:40Z

Tama13s, 2012. június 12., 12:00-n

2012-06-12T12:00:58Z

Tama13s, 2012. június 12., 11:50-n

2012-06-12T11:50:35Z

Tama13s, 2012. június 12., 11:35-n

2012-06-12T11:35:41Z

@@ 34. sor: / 34. sor: @@
 A spinüvegekben hasonló frusztrációk vannak, rendezetlen rácson. Úgy lehet elképzelni, hogy a spinek véletlenszerű helyeken, véletlenszerű (ferro- vagy antiferromágneses) kölcsönhatásokkal vannak összekötve. Ennek eredményeképpen a külső térre adott válaszuk igen bonyolult, számos különböző időskálán zajlik. A leírásuk is igen nehézkes.
+Az egyetlen anailitikus megoldással rendelkező modellben (Sherrington-Kirkpatrick) a spinek között a szokásos Hamilton írja le a kölcsönhatást:
 :<math>\mathcal{H} = -\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j - \sum_{i}h_iS_i</math>
@@ 44. sor: / 43. sor: @@
 [[Fájl:SpinGlass.PNG]]
 == Markov-lánc, Markov-folyamatok ==

@@ 37. sor: / 37. sor: @@
 Egy konkrét gyakran használt modellben, a Sherrington-Kirkpatrick modellben a spinek között a szokásos Hamilton írja le a kölcsönhatást:
-:<math>\mathcal{H} = -\frac{1}{2}\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j + \sum_{i}h_iS_i</math>
+:<math>\mathcal{H} = -\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j - \sum_{i}h_iS_i</math>
 de <math>J_{ij}</math> egy véletlen valószínűségi változó Gauss-eloszlással, <math>h_i</math> pedig az adott spinre kapcsolt külső tér. Ebben az esetben az átlagos szabadenergia kiszámolható a rendszerre zárt alakban, két fizikailag értelems paraméterrel kifejezve: az egyik paraméter eredő mágnesezettség jellegű, a másik a mágnesezettség szórását jellemzi. A spinüveg helyzetnek az felel meg, amikor az eredő mágnesezettség eltűnik, de a szórás véges, szemben például a ferromágneses renddel, ahol az eredő mágnesezettség nem zérus.

@@ 39. sor: / 39. sor: @@
 :<math>\mathcal{H} = -\frac{1}{2}\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j + \sum_{i}h_iS_i</math>
-de <math>J</math> egy véletlen valószínűségi változó Gauss-eloszlással. Ebben az esetben az átlagos szabadenergia kiszámolható a rendszerre zárt alakban, két fizikailag értelems paraméterrel kifejezve: az egyik paraméter eredő mágnesezettség jellegű, a másik a mágnesezettség szórását jellemzi. A spinüveg helyzetnek az felel meg, amikor az eredő mágnesezettség eltűnik, de a szórás véges, szemben például a ferromágneses renddel, ahol az eredő mágnesezettség nem zérus.
+de <math>J_{ij}</math> egy véletlen valószínűségi változó Gauss-eloszlással, <math>h_i</math> pedig az adott spinre kapcsolt külső tér. Ebben az esetben az átlagos szabadenergia kiszámolható a rendszerre zárt alakban, két fizikailag értelems paraméterrel kifejezve: az egyik paraméter eredő mágnesezettség jellegű, a másik a mágnesezettség szórását jellemzi. A spinüveg helyzetnek az felel meg, amikor az eredő mágnesezettség eltűnik, de a szórás véges, szemben például a ferromágneses renddel, ahol az eredő mágnesezettség nem zérus.
 A fázisteret két paraméterrel lehet felmérni: a csatolás relatív szórásával (a fenti Gauss szórása osztva az átlaggal) valamint a csatolás szórásának és a hőmérsékleti energiának (kT) az arányával. Ezen a diagrammon a spinüveg fázis akkor jön létre, amikor a csatolás erősebb a hőmérsékleti fluktuációknál, de a relatív szórása nagy (Megyjegyzés: az ábra vízszintes tengelyén a relatív szórás reciproka van: az átlag osztva a szórással).

@@ 37. sor: / 37. sor: @@
 Egy konkrét gyakran használt modellben, a Sherrington-Kirkpatrick modellben a spinek között a szokásos Hamilton írja le a kölcsönhatást:
-:<math>\mathcal{H} = -\frac{1}{2}\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j</math>
+:<math>\mathcal{H} = -\frac{1}{2}\sum_{i\ne j} J_{ij}S_i S_j + \sum_{i}h_iS_i</math>
 de <math>J</math> egy véletlen valószínűségi változó Gauss-eloszlással. Ebben az esetben az átlagos szabadenergia kiszámolható a rendszerre zárt alakban, két fizikailag értelems paraméterrel kifejezve: az egyik paraméter eredő mágnesezettség jellegű, a másik a mágnesezettség szórását jellemzi. A spinüveg helyzetnek az felel meg, amikor az eredő mágnesezettség eltűnik, de a szórás véges, szemben például a ferromágneses renddel, ahol az eredő mágnesezettség nem zérus.

@@ 2. sor: / 2. sor: @@
 == Kauffman-hálózat ==
-Egyes a természetben előforduló folyamat-hálózatoknak a modellezésére egy igen végletekig egyszerűsített megközelítés is hasznos kiindulási pontot szolgáltathat. A Kauffman-hálózat (vagy más néven [http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_network Boolean-hálózat]) nem más, mint egy gráf, melyben irányított élek vannak, és a csomópontokban csak két féle érték engedett meg (pl. 0 - 1 v. +1 - -1). A csomópontokban ezeken a bináris értékeken értelmezett függvények vannak, amelyek minden időlépésben a befutó élek által összekapcsolt csomópontok értékeiből (és esetleg az aktuálisból) előállítanak egy előre meghatározott szabály szerint egy új értéket, és azt beírják az aktuális csomópontba. A rendszert diszkrét időlépésekben fejlesztjük.
+Egyes a természetben előforduló folyamat-hálózatoknak a modellezésére egy igen végletekig egyszerűsített megközelítés is hasznos kiindulási pontot szolgáltathat. A Kauffman-hálózat (vagy más néven [http://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_network Boolean-hálózat]) nem más, mint egy gráf, melyben irányított élek vannak, és a csomópontokban csak két féle érték engedett meg (pl. 0/1 vagy +1/-1). A csomópontokban ezeken a bináris értékeken értelmezett függvények vannak, amelyek minden időlépésben a befutó élek által összekapcsolt csomópontok értékeiből (és esetleg az aktuálisból) előállítanak egy előre meghatározott szabály szerint egy új értéket, és azt beírják az aktuális csomópontba. A rendszert diszkrét időlépésekben fejlesztjük.
 Kauffman először az élőlények genetikai tartalmának kifejeződését vizsgálta a sejtek különböző differenciáltságán: a különböző funkciójú sejtek a különböző gének működésének hatására alakulnak ki, Kauffman modelljében ezeknek a gráfdinamika határciklusai felelnek meg. Később az ilyen alapú modellek számos más bonyolult, az élőlényekkel kapcsolatos problémában sikerrel kerültek alkalmazásra, egyetlen másik példát hozva a neurális hálózatok egyszerűbb, könyebben kezelhető modelljei is ilyen alapúak.
@@ 29. sor: / 29. sor: @@
 N(csúcsok száma)-K(kontroll elemek, bejövő élek száma egy csúcsban) modellben <math>D(t+1)=\frac{K}{2}D(t)</math>, így <math> D(t)=\left( \frac{K}{2} \right) ^t D(0)=D(0)e^{t ln(K/2)} </math>. Így K > 2 állapot kaotikus, K < 2 befagyott, és K=2 kritikus.
 == Spinüvegek ==

← Régebbi változat		A lap 2012. június 12., 12:05-kori változata
27. sor:		27. sor:

	Két egymás közeléből indított trajektória távolsága: <math> D(t)\simeq D(0) e^{\lambda t} </math>, ahol <math>\lambda </math> a Lyapunov exponens. Ha <math> \lambda > 0 </math> a rendszer kaotikus, ha kisebb mint 0, befagyott, ha 0, kritikus állapotban.		Két egymás közeléből indított trajektória távolsága: <math> D(t)\simeq D(0) e^{\lambda t} </math>, ahol <math>\lambda </math> a Lyapunov exponens. Ha <math> \lambda > 0 </math> a rendszer kaotikus, ha kisebb mint 0, befagyott, ha 0, kritikus állapotban.
		+
	N(csúcsok száma)-K(kontroll elemek, bejövő élek száma egy csúcsban) modellben <math>D(t+1)=\frac{K}{2}D(t)</math>, így <math> D(t)=\left( \frac{K}{2} \right) ^t D(0)=D(0)e^{t ln(K/2)} </math>. Így K > 2 állapot kaotikus, K < 2 befagyott, és K=2 kritikus.		N(csúcsok száma)-K(kontroll elemek, bejövő élek száma egy csúcsban) modellben <math>D(t+1)=\frac{K}{2}D(t)</math>, így <math> D(t)=\left( \frac{K}{2} \right) ^t D(0)=D(0)e^{t ln(K/2)} </math>. Így K > 2 állapot kaotikus, K < 2 befagyott, és K=2 kritikus.

@@ 21. sor: / 21. sor: @@
 Hamming távolság: <math> D(t)= \sum_{i=1}^N (\sigma_i(t)-\hat{\sigma_i}(t))^2 </math>
 Normált Hamming távolság: <math> a(t)=1-\frac{D(t)}{N} </math>.
 Ha <math> lim_{t \rightarrow \infty } a(t) \rightarrow 1 </math> információvesztés történik, nem nyerhető vissza a kezdőállapot, ha kisebb mint 1, a rendszer "emlékszik", hogy a két különböző kezdeti állapot eltér.

@@ 54. sor: / 54. sor: @@
 Tehát ha az egyik mintavételi időpontban minden lehetséges kimenetelre integrálunk, akkor olyan, mintha azt a pontot nem vennénk figyelembe. Ez a kompatibilitási feltétel.
-Markov-folyamatoknál a rendszer jövőbeli állapotainak valószínűségét a korábbi, ismert állapotokból szeretnénk meghatározni. Ennek megfelelően ezt egy feltételes valószínűséggel fogalmazhatjuk meg:
+A rendszer jövőbeli állapotainak valószínűségét a korábbi, ismert állapotokból szeretnénk meghatározni. Ennek megfelelően ezt egy feltételes valószínűséggel fogalmazhatjuk meg:
 :<math>P\left(x_1, t_1|x_2, t_2, ..., x_n, t_n\right)</math>