Transzportfolyamatok - Laptörténet

Jeffrey: /* Transzport koefficiensek */

2011-06-19T09:50:33Z

‎Transzport koefficiensek

Jeffrey: /* A diffúzió Langevin modellje */

2011-06-16T10:22:59Z

‎A diffúzió Langevin modellje

Jeffrey: /* A diffúzió Langevin modellje */

2011-06-16T10:18:20Z

‎A diffúzió Langevin modellje

Jeffrey: /* Általánosított diffúzió */

2011-06-16T10:16:54Z

‎Általánosított diffúzió

Jeffrey: /* A diffúzió Langevin modellje */

2011-06-16T10:09:02Z

‎A diffúzió Langevin modellje

Jeffrey: /* Általánosított diffúzió */

2011-06-15T10:58:46Z

‎Általánosított diffúzió

Jeffrey: /* Általánosított diffúzió */

2011-06-14T17:04:11Z

‎Általánosított diffúzió

Jeffrey: /* Általánosított diffúzió */

2011-06-14T16:44:01Z

‎Általánosított diffúzió

Jeffrey: /* Anomális diffúzió */

2011-06-14T16:35:17Z

‎Anomális diffúzió

Jeffrey: /* Anomális diffúzió */

2011-06-14T16:31:52Z

‎Anomális diffúzió

@@ 26. sor: / 26. sor: @@
 ahol
-:<math>\mathbf{L}_{11} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p</math>
+:<math>\mathbf{L}_{11} = e^2 \int \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p</math>
 :<math>\mathbf{L}_{12} = \mathbf{L}_{21} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F) \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p</math>

@@ 120. sor: / 120. sor: @@
 Ennek a formális megoldása <math>v_0</math> kezdősebesség esetén:
-:<math>v(t) = v_0 e^{-\gamma t} + \frac{e^{-\gamma t}}{m}\int_0^t d t' e^{-\gamma t'} \xi(t')</math>
+:<math>v(t) = v_0 e^{-\gamma t} + \frac{e^{-\gamma t}}{m}\int_0^t d t' e^{\gamma t'} \xi(t')</math>
 Ez nyilván nem érdekes fizikailag, sokkal inkább a sokaságátlag: ekkor a zaj eltűnik (attól zaj, hogy az átlaga zérus), és csak az exponenciálisan lecsengő kezdősebesség marad. A másik ami érdekes az a sebesség négyzetének átlaga:
-:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + 0 + \frac{e^{-2\gamma t}}{m^2}\int_0^t d t' \int_0^t d t'' e^{-\gamma t'} e^{-\gamma t''} \langle \xi(t')\xi(t'')\rangle</math>
+:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + 0 + \frac{e^{-2\gamma t}}{m^2}\int_0^t d t' \int_0^t d t'' e^{\gamma t'} e^{\gamma t''} \langle \xi(t')\xi(t'')\rangle</math>
 ahol a vegyes tag a fenti átlag=0 feltétel miatt tűnt el. A zaj korrelációja az integrál alatt dirac delta, ezért egy integrálás elvégezhető, marad a zaj amplitudója: <math>A</math>, ezért végül:

@@ 124. sor: / 124. sor: @@
 Ez nyilván nem érdekes fizikailag, sokkal inkább a sokaságátlag: ekkor a zaj eltűnik (attól zaj, hogy az átlaga zérus), és csak az exponenciálisan lecsengő kezdősebesség marad. A másik ami érdekes az a sebesség négyzetének átlaga:
-:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + 0 + \frac{e^{-2\gamma t}}{m^2}\int_0^t d t' \int_0^t d t'' e^{-\gamma t'} e^{-\gamma t''} \langle \xi(t')\xi(t')\rangle</math>
+:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + 0 + \frac{e^{-2\gamma t}}{m^2}\int_0^t d t' \int_0^t d t'' e^{-\gamma t'} e^{-\gamma t''} \langle \xi(t')\xi(t'')\rangle</math>
 ahol a vegyes tag a fenti átlag=0 feltétel miatt tűnt el. A zaj korrelációja az integrál alatt dirac delta, ezért egy integrálás elvégezhető, marad a zaj amplitudója: <math>A</math>, ezért végül:

@@ 146. sor: / 146. sor: @@
 azaz annak a valószínűsége, hogy a részecskét az <math>t+1</math>-edik időpillanatban az <math>x</math> helyen találjuk azoknak a valószínűségeknek az összege, hogy előtte valamelyik szomszédos rácsponton volt. A lépések helyére differenciákat írva:
-:<math>\frac{p(x, t+\Delta t) - p(x, t)}{\Delta t} = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t} \frac{p(x-\Delta x, t) + \frac{1}{2}p(x+\Delta x, t) - 2p(x, t)}{(\Delta x)^2}</math>
+:<math>\frac{p(x, t+\Delta t) - p(x, t)}{\Delta t} = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t} \frac{p(x-\Delta x, t) + p(x+\Delta x, t) - 2p(x, t)}{(\Delta x)^2}</math>
 Elvégezve az infinitezimális limeszt, miközben <math>D = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t}</math>-t konstanson tartjuk kapjuk, hogy:

@@ 116. sor: / 116. sor: @@
 A langevin modellben egy <math>m</math> tömegű részecskét egy véletlenszerű erő lökdös, miközben surlódás is van a rendszerben. A megfelelő sztochasztikus differenciál-egyenlet:
-:<math>m \dot p = -m \gamma v + \xi(t)</math>
+:<math>m \dot v = -m \gamma v + \xi(t)</math>
 Ennek a formális megoldása <math>v_0</math> kezdősebesség esetén:

@@ 154. sor: / 154. sor: @@
 azaz a diffúziós egyenletet. Ez a bolyongásos megfogalmazás egyszerű általánosítási lehetőséget kínál:
-Engedjük meg, hogy az időlépés is változhasson, legyen az eloszlása: <math>p(\Delta t) \propto \frac{1}{(\Delta r)^{1+\alpha}}</math>
+Engedjük meg, hogy az időlépés is változhasson, legyen az eloszlása: <math>p(\Delta t) \propto \frac{1}{(\Delta t)^{1+\alpha}}</math>
 Engedjük meg, hogy az távolságlépés is változhasson, legyen az eloszlása: <math>p(\Delta x) \propto \frac{1}{(\Delta x)^{1+\beta}}</math>

@@ 142. sor: / 142. sor: @@
 Ismert, hogy a rácson bolyongás problémája, ahol minden <math>\Delta t</math> lépésben egyet lépünk valamelyik véletlenszerűen kiválasztott <math>\Delta x</math> hosszú él mentén a kontinuum limeszben diffúziós folyamattal ekvivalens: példaként egydimenziós rácson a bolyongást a következő master-egyenlet írja le:
-:<math>\Delta x</math>
+:<math>p(x, t+\Delta t) = \frac{1}{2}p(x-\Delta x, t) + \frac{1}{2}p(x+\Delta x, t)</math>
 {{MSc záróvizsga}}

@@ 140. sor: / 140. sor: @@
 ==Általánosított diffúzió==
-Ismert, hogy a rácson bolyongás problémája, ahol minden dt lépésben egyet lépünk valamelyik véletlenszerűen kiválasztott dx hosszú él mentén a kontinuum limeszben diffúziós folyamattal ekvivalens. Ebből a megfogalmazásból
+Ismert, hogy a rácson bolyongás problémája, ahol minden <math>\Delta t</math> lépésben egyet lépünk valamelyik véletlenszerűen kiválasztott <math>\Delta x</math> hosszú él mentén a kontinuum limeszben diffúziós folyamattal ekvivalens: példaként egydimenziós rácson a bolyongást a következő master-egyenlet írja le:
 {{MSc záróvizsga}}

@@ 138. sor: / 138. sor: @@
 :<math>D = \frac{A}{2\gamma^2 m^2}</math>
-==Anomális diffúzió==
+==Általánosított diffúzió==
-Izé... asszem így hívták, amit káoszból tanultunk... asszem a CADS-ban benne van... Sztem érdekesség képpen rakjuk be ide...
 {{MSc záróvizsga}}

← Régebbi változat		A lap 2011. június 14., 16:31-kori változata
111. sor:		111. sor:

	Innen látszik, hogy a második deriváltas tag együtthatója <math>B</math>, tehát ez felel meg a diffúziós együtthatónak.		Innen látszik, hogy a második deriváltas tag együtthatója <math>B</math>, tehát ez felel meg a diffúziós együtthatónak.
		+
		+	==A diffúzió Langevin modellje==
		+
		+	A langevin modellben egy <math>m</math> tömegű részecskét egy véletlenszerű erő lökdös, miközben surlódás is van a rendszerben. A megfelelő sztochasztikus differenciál-egyenlet:
		+
		+	:<math>m \dot p = -m \gamma v + \xi(t)</math>
		+
		+	Ennek a formális megoldása <math>v_0</math> kezdősebesség esetén:
		+
		+	:<math>v(t) = v_0 e^{-\gamma t} + \frac{e^{-\gamma t}}{m}\int_0^t d t' e^{-\gamma t'} \xi(t')</math>
		+
		+	Ez nyilván nem érdekes fizikailag, sokkal inkább a sokaságátlag: ekkor a zaj eltűnik (attól zaj, hogy az átlaga zérus), és csak az exponenciálisan lecsengő kezdősebesség marad. A másik ami érdekes az a sebesség négyzetének átlaga:
		+
		+	:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + 0 + \frac{e^{-2\gamma t}}{m^2}\int_0^t d t' \int_0^t d t'' e^{-\gamma t'} e^{-\gamma t''} \langle \xi(t')\xi(t')\rangle</math>
		+
		+	ahol a vegyes tag a fenti átlag=0 feltétel miatt tűnt el. A zaj korrelációja az integrál alatt dirac delta, ezért egy integrálás elvégezhető, marad a zaj amplitudója: <math>A</math>, ezért végül:
		+
		+	:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + \frac{A}{2\gamma m^2} \left( 1 - e^{-2\gamma t} \right)</math>
		+
		+	Kellően hosszú idő után, már csak a második tag marad meg. Ahhoz, hogy a diffúziós együtthatót levezethessük, az elmozdulás várhatóértékét kell felírnunk. Ez némi trükkel magából a Langevin-egyenletből megkapható (megszorozzuk x-el, és vesszük az egész egyenlet várhatóértékét. Eredményül azt kapjuk, hogy:
		+
		+	:<math>\langle x^2(t) \rangle = \langle[ \gamma t - 1 + e^{-\gamma t} \rangle] \frac{A}{\gamma^3 m^2}</math>
		+
		+	Kellően hosszú idő után a harmadik tag 0-hoz cseng le, a 2. pedig elhanyagolható az első mellett, ezért a diffúziós-együttható, ami definíció szerint 2t szorzófaktora:
		+
		+	:<math>D = \frac{A}{2\gamma^2 m^2}</math>

	==Anomális diffúzió==		==Anomális diffúzió==