Transzportfolyamatok '12 - Laptörténet

CzGabe: /* Diffúzió - alternatív levezetés */

2012-06-08T13:25:49Z

‎Diffúzió - alternatív levezetés

CzGabe: /* Transzport koefficiensek */

2012-06-08T12:06:52Z

‎Transzport koefficiensek

CzGabe: /* Transzport koefficiensek */

2012-06-08T12:02:35Z

‎Transzport koefficiensek

CzGabe: Új oldal, tartalma: „Az előző tételben bemutatott kinetikus egyenletek alapjául szolgáló eloszlásfüggvényekkel fejezhetőek ki a különböző makroszkopiku…”

2012-06-05T21:32:10Z

Új oldal, tartalma: „Az előző tételben bemutatott kinetikus egyenletek alapjául szolgáló eloszlásfüggvényekkel fejezhetőek ki a különböző makroszkopiku…”

Új lap

Az [[Soktest rendszerek '12|előző]] tételben bemutatott kinetikus egyenletek alapjául szolgáló eloszlásfüggvényekkel fejezhetőek ki a különböző makroszkopikusan is mérhető mennyiségek, illetve az ezek közötti kapcsolatok. Ezekről, illetve néhány egyszerű alkalmazásról lesz szó itt.

==A Boltzmann-típusú egyenletek momentumai==
Annak analógiájára, hogy a sűrűségfüggvény integrálja a részecskeszámot adja, számos más mennyiség is előállítható belőle. Például tetszőleges <math>X</math> mennyiség áramsűrűsége:

:<math>\vec{j}_X = \int X f \vec{v} d^3p</math>

Ezzel könnyen felírható az elektromos töltés árama, vagy a hőáram (a Fermi-szint feletti energia árama):
:<math>\vec{j}_e = e\int f \vec{v} d^3p</math>
:<math>\vec{j}_Q = \int (E-E_F) f \vec{v} d^3p</math>

Az átlagenergiasűrűséget már a sebesség második hatványával tudjuk kifejezni:

:<math>\varepsilon = \frac{1}{2}m\int f v^2 d^3p</math>

Látható, hogy a kifejezések integrandusában az <math>f \cdot v^n</math> faktor a közös, ez alapján teljesen jogos a momentumokról beszélni, hiszen a sebesség egyre magasabb hatványai jelennek meg. Külön ki kell emelni, hogy mi a helyzet az ütközési tagok momentumatival. Általában plazma leírásnál felteszik, hogy ezeknek a momemtumai nullák, azaz nincs részecskeszám változás, nincs összenergia, illetve összimpulzus változás stb. Nyilván ezek csak bizonyos folyamatok esetében igazak, nem általános érvényességű igazságok (pl. ionizáció v rekombináció esetén változik a részecskeszám stb.), de mindig tükrözik, hogy az adott rendszerben milyen makroszkopikus megmaradási tételek igazak.

===Transzport koefficiensek===
A termodinamikai rendszert fizikai mennyiségek jellemzik. Ha egy ilyen mennyiségnek a lokális sűrűsége megváltozik, akkor ahhoz tartozik egy áram, ami az adott mennyiséget szállítja, ezeket a folyamatokat nevezzük transzport folyamatoknak. Ha az áram, illetve az áramot hajtó hatás nem túl nagy, akkor tipikusan jó a lineáris közelítés. Ekkor a lineáris együtthatót transzport koefficiensnek nevezzük. Néhány ilyen mennyiség például a hozzájuk tartozó áramokkal: Diffúziós-együttható (tömeg áram), viszkozitás (impulzus áram), hővezetési-együttható (energia áram), elektromos-vezetési együttható (az ellenállás reciproka, elektromos áram). Ezek kifejezhetőek a Boltzmann-egyenletekből megfelelő közelítések árán.

Példaképpen, ha csak az elektromos és hővezetési effektusokra szorítkozunk, akkor első közelítésben a következő egyenletek vezethetőek le:

:<math>\vec{j}_e = \mathbf{L}_{11} \nabla_\vec{r} \mu + \mathbf{L}_{12} \frac{1}{T}\nabla_\vec{r} T </math>
:<math>\vec{j}_Q = \mathbf{L}_{21} \nabla_\vec{r} \mu + \mathbf{L}_{22} \frac{1}{T}\nabla_\vec{r} T </math>

ahol

:<math>\mathbf{L}_{11} = e^2 \int \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p</math>

:<math>\mathbf{L}_{12} = \mathbf{L}_{21} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F) \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p</math>

:<math>\mathbf{L}_{22} = \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F)^2\tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p</math>

és <math>\circ</math> a diadikus szorzatot jelöli, <math>\tau</math> pedig az ütközési tag relaxációs idejét jelenti. Az L tenzor szimmetrikus az Onsager-relációk miatt. Az Onsager-relációk szerint ha két termodinamikai erő hajtani tudja egymás áramait, akkor az ezekhez tartozó transzportkoefficiensek megegyeznek. Példaként ha egy folyadékot a hőmérséklet, nyomás és sűrűség jellemez, akkor a hőmáérséklet különbség hőáramot, a nyomáskülönbség anyagáramot hajt. Ha egyszerre van jelen hőmérsékletkülönbség és nyomáskülönbség akkor ezek is hajthatják a másik áramát, de az Onsager-relációk értelmében az egységnyi nyomáskülönbségre jutó hőáram és az egységnyi hőmérsékletkülönbség által hajtott sűrűségáram azonos. A tétel a mikroszkopikus rendszerek időtükrözési invarianciájából következik.

Ezek után a lineáris transzport koefficiensek tenzorai már egyszerűen felírhatóak:

:<math>\mathbf{\sigma}_e = -e \mathbf{L}_{11}</math> azaz a vezetőképesség tenzora, ha nincs hőmérséklet gradiens.
:<math>\mathbf{\sigma}_Q = \frac{1}{T}[ \mathbf{L}_{22} - \mathbf{L}_{12} (\mathbf{L}_{11})^{-1}\mathbf{L}_{12} ]</math> a hővezetés tenzora, ha nincs elektromos áram.
:<math>\mathbf{S} = \frac{1}{T}[ (\mathbf{L}_{11})^{-1} \mathbf{L}_{12}] </math> a termoelektromos együttható, ha nincs elektromos áram.

A magasabb rendű és kereszteffektusok hasonlóan, csak bonyolultabb közelítések után számolhatóak, néhány példa: Peltier-, Thomson-, Seebeck együtthatók, Hall-tenzor stb.

Ezek az együtthatók egyébként közvetlenül is számolhatóak a mikroszkópikus modellekből, erről a Green–Kubo-összefügések adnak számot (l. [[Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel#Korrelációs-függvények|korrelációs-függvények]]).

===Az elektromos vezetés Drude-modellje===
Az elektromos vezetés jelenségét úgy tekintjük, hogy az elektronok az elektromos tér hatására gyorsulnak, azonban a vezető helyezkötött atomtörzseinek ütközve energiát veszítenek. Ez igen hamar makroszkópikus egyensúlyhoz vezet, ha a tér nem változik. Ezek a feltevések az alapjai a Drude-modellnek, amelynek eredménye az elektronokra felírható mozgásegyenlet:

:<math>m \ddot{x} = eE - m \frac{1}{\tau}v</math>

amelynek stacionárius megoldása:

:<math>m \frac{1}{\tau}v = eE </math>

Itt <math>\tau</math> az ütközések között eltellő jellemző relaxációs idő, ''v'' a drift sebesség. A ''v''-re rendezett eredményt a töltéssel (e) és az elektronsűrűséggel (n) beszorozva megkaphatjuk az Ohm-törvényt:

:<math>j = \frac{n e^2 \tau}{m}E</math>

azaz az elektromros áramsűrűség egyenesen arányos a térerősséggel, az arányossági tényező a fajlagos ellenállás reciproka, azaz a fajlagos vezetőképesség. A Drude-moell jó leírást ad több effektusra, azonban például az áram hőhatását túlbecsli. Kevés jó modell van az elektronok ütközésének leírására, ez a terület ma is aktív kutatás tárgya.

== Diffúzió - alternatív levezetés ==
Az alábbiakban az erőmentes diffúzió egy levezetését adjuk. Ez felfogható a [[VélFiz 1.tétel|Fokker-Planck]] egyenlet egy másik levezetéseként is. Tekintsünk erőmentes rendszert, ekkor <math>F=0</math>, továbbá legyen jó közelítéssel homogén a közegünk. Úgy kell elképzelni, hogy egy sok kis részecséből álló egyensúlyban levő rendszerbe beteszünk kevés számú nagy tömegű részecskét. Ekkor a nagyok egymás közötti ütközéseit elhanyagolhatjuk, a kicsikkel való ütközésben viszont kevéssé változik meg az impulzusuk. Eredményként minden külcsönhatást az ütközési tagba írhatunk. Az előző feltételek miatt a Boltzmann-egyenletből csak az időderivált marad meg a baloldalon, így:

:<math>
\frac{\partial f}{\partial t} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}
</math>

A jobboldalra tegyük fel a következő Master-egyenletet, amiben a <math>w(\vec{p}, \vec{q})</math> átmeneti valószínűség jellemi az ütközési folyamatban a <math>\vec{p}</math> impulzusról <math>\vec{p}-\vec{q}</math>-ra történő változás egységnyi időre jutó rátáját. Ekkor:

:<math>\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int [w(\vec{p}+\vec{q}, \vec{q})f(t, \vec{p}+\vec{q}) - w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p})] d^3q</math>

Az, hogy a nagy részecske impulzusa cska kicsit áltozik meg a kisebbekel való ütközésben úgy jelenik meg, hogy <math>w</math> függvény gyorsan csökken <math>\vec{q}</math>-ban, ezért <math>\vec{q}</math>-t kicsinek vehetjük, és sorfejthetünk:

:<math>w(\vec{p}+\vec{q}, \vec{q})f(t, \vec{p}+\vec{q}) \approx w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p}) + \vec{q}\frac{\partial}{\partial p}w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p}) +\frac{1}{2}(\vec{q} \circ \vec{q})(\frac{\partial}{\partial \vec{p}} \circ \frac{\partial}{\partial \vec{p}})w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p})</math>

Ekkor a kinetikus egyenletünk a következő alakba írható, amit Fokker-Planck egyenletnek neveznek::

:<math>
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{ \partial}{\partial p_{\alpha}} \left( A_{\alpha}f + \frac{ \partial}{\partial p_{\beta}} [\mathrm{B}_{\alpha\beta} f]\right)
</math>

ahol:

:<math>\vec{A} = \int \vec{q} w d^3 p</math>
:<math>\mathrm{B} = \frac{1}{2}\int (\vec{q}\circ\vec{q}) w d^3 q</math>

A Fokker-Planck-egyelet jobboldalára tekinthetünk úgy, mint egy divergenciára, ami ekkor a részecskeszám megmaradását fejezi ki. Az ehhez tartozó megmaradó áram (Noeter-tétel!) a részecskeszám-áramsűrűség:

:<math>\vec{j} = -\vec{A} f - \nabla_{\vec{p}}\mathrm{B}f - \mathrm{B}\nabla_{\vec{p}} f </math>

A jobboldal első két tagjára bevezethetjük a <math>-\vec{C}</math> jelölést. Egyensúlyban az áram nulla, és ha azt is kihasználjuk, hogy ekkor <math>f = c \cdot \exp(-\frac{p^2}{2MT})</math>, ahol <math>M \,</math> a nehéz részecske tömege, <math>T\,</math> pedig a háttér kis részecskék hőmérséklete, akkor <math>\vec{C}</math> és <math>\mathrm{B} \,</math> nem függetlenek:

:<math>MT\vec{C} = \mathrm{B}\vec{p}</math>

Ezzel a mozgásegyenlet alakja:

:<math>
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{ \partial}{\partial p_{\alpha}} \left( \mathrm{B}_{\alpha\beta} \left( \frac{\vec{p}}{MT}f + \frac{ \partial f}{\partial p_{\beta}} \right)\right)
</math>

Ha még azt a közelítést is alkalmazzuk, hogy a nehéz részecskék visszalökődése elhanyagolható, akkor <math>\mathrm{B}</math> impulzusfüggetlen lesz, és egyetlen skalárral (<math>\mathrm{B}_{\alpha\beta} = B\delta_{\alpha\beta}</math>) reprezentálható:

:<math>B = \frac{1}{6} \int w(0, \vec{q}) q^2 d^3q </math>

Az 1/3 faktor onnan jött, hogy összegeztünk az indexekre és <math>\sum \delta_{\alpha\alpha} = 3</math>. Így a mozgásegyenlet:
:<math>
\frac{\partial f}{\partial t} = B \frac{ \partial}{\partial \vec{p}} \left( \frac{\vec{p}}{MT}f + \frac{ \partial f}{\partial \vec{p}} \right)
</math>

Innen látszik, hogy a második deriváltas tag együtthatója <math>B</math>, tehát ez felel meg a diffúziós együtthatónak.

==A diffúzió Langevin modellje==

A langevin modellben egy <math>m</math> tömegű részecskét egy véletlenszerű erő lökdös, miközben surlódás is van a rendszerben. A megfelelő sztochasztikus differenciál-egyenlet:

:<math>m \dot v = -m \gamma v + \xi(t)</math>

Ennek a formális megoldása <math>v_0</math> kezdősebesség esetén:

:<math>v(t) = v_0 e^{-\gamma t} + \frac{e^{-\gamma t}}{m}\int_0^t d t' e^{\gamma t'} \xi(t')</math>

Ez nyilván nem érdekes fizikailag, sokkal inkább a sokaságátlag: ekkor a zaj eltűnik (attól zaj, hogy az átlaga zérus), és csak az exponenciálisan lecsengő kezdősebesség marad. A másik ami érdekes az a sebesség négyzetének átlaga:

:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + 0 + \frac{e^{-2\gamma t}}{m^2}\int_0^t d t' \int_0^t d t'' e^{\gamma t'} e^{\gamma t''} \langle \xi(t')\xi(t'')\rangle</math>

ahol a vegyes tag a fenti átlag=0 feltétel miatt tűnt el. A zaj korrelációja az integrál alatt dirac delta, ezért egy integrálás elvégezhető, marad a zaj amplitudója: <math>A</math>, ezért végül:

:<math>\langle v^2(t) \rangle = v^2_0 e^{-2\gamma t} + \frac{A}{2\gamma m^2} \left( 1 - e^{-2\gamma t} \right)</math>

Kellően hosszú idő után, már csak a második tag marad meg. Ahhoz, hogy a diffúziós együtthatót levezethessük, az elmozdulás várhatóértékét kell felírnunk. Ez némi trükkel magából a Langevin-egyenletből megkapható (megszorozzuk x-el, és vesszük az egész egyenlet várhatóértékét. Eredményül azt kapjuk, hogy:

:<math>\langle x^2(t) \rangle = \langle[ \gamma t - 1 + e^{-\gamma t} \rangle] \frac{A}{\gamma^3 m^2}</math>

Kellően hosszú idő után a harmadik tag 0-hoz cseng le, a 2. pedig elhanyagolható az első mellett, ezért a diffúziós-együttható, ami definíció szerint 2t szorzófaktora:

:<math>D = \frac{A}{2\gamma^2 m^2}</math>

==Általánosított diffúzió==

Ismert, hogy a rácson bolyongás problémája, ahol minden <math>\Delta t</math> lépésben egyet lépünk valamelyik véletlenszerűen kiválasztott <math>\Delta x</math> hosszú él mentén a kontinuum limeszben diffúziós folyamattal ekvivalens: példaként egydimenziós rácson a bolyongást a következő master-egyenlet írja le:

:<math>p(x, t+\Delta t) = \frac{1}{2}p(x-\Delta x, t) + \frac{1}{2}p(x+\Delta x, t)</math>

azaz annak a valószínűsége, hogy a részecskét az <math>t+1</math>-edik időpillanatban az <math>x</math> helyen találjuk azoknak a valószínűségeknek az összege, hogy előtte valamelyik szomszédos rácsponton volt. A lépések helyére differenciákat írva:

:<math>\frac{p(x, t+\Delta t) - p(x, t)}{\Delta t} = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t} \frac{p(x-\Delta x, t) + p(x+\Delta x, t) - 2p(x, t)}{(\Delta x)^2}</math>

Elvégezve az infinitezimális limeszt, miközben <math>D = \frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t}</math>-t konstanson tartjuk kapjuk, hogy:

:<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D \frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

azaz a diffúziós egyenletet. Ez a bolyongásos megfogalmazás egyszerű általánosítási lehetőséget kínál:

Engedjük meg, hogy az időlépés is változhasson, legyen az eloszlása: <math>p(\Delta t) \propto \frac{1}{(\Delta t)^{1+\alpha}}</math>
Engedjük meg, hogy az távolságlépés is változhasson, legyen az eloszlása: <math>p(\Delta x) \propto \frac{1}{(\Delta x)^{1+\beta}}</math>

Amíg <math>\alpha > 1</math> és <math>\beta > 2</math> nem változik semmi, mert a várakozási idő átlaga is véges és a várható pozíció szórása is véges, ezért a centrális határeloszlás tétel következtében a gauss-os diffúziót kapjuk vissza. Ezeken kívül viszont változatos más viselkedéseket láthatunk:

# Lévi-repülés: <math>\alpha > 1</math>, <math>0 < \beta < 2</math>: <math>\bar{x} \propto t^{1 / \beta}</math>
# szubdiffúzió: <math>0 < \alpha < 1</math>, <math> \beta > 2</math>: <math>\bar{x} \propto t^{\alpha / 2}</math>
# ambvivalens folyamat: <math>0 < \alpha < 1</math>, <math>0 < \beta < 2</math>: <math>\bar{x} \propto t^{\alpha / \beta}</math>

Ilyen jellegű folyamatok sok helyen előfordulnak, például Lévi-repülés jellemzi az albatroszok repülését, míg az emberi utazási szokásokat egy <math>\alpha, \beta \propto 0.6</math> típusú ambvivalens folyamat írja le.

{{MSc 2012 záróvizsga}}

← Régebbi változat		A lap 2012. június 8., 12:02-kori változata
33. sor:		33. sor:


−	és <math>\circ</math> a diadikus szorzatot jelöli, <math>\tau</math> pedig az ütközési tag relaxációs idejét jelenti. Az L tenzor szimmetrikus az Onsager-relációk miatt. Az Onsager-relációk szerint ha két termodinamikai erő hajtani tudja egymás áramait, akkor az ezekhez tartozó transzportkoefficiensek megegyeznek. Példaként ha egy folyadékot a hőmérséklet, nyomás és sűrűség jellemez, akkor a ~~hőmáérséklet~~ különbség hőáramot, a nyomáskülönbség anyagáramot hajt. Ha egyszerre van jelen hőmérsékletkülönbség és nyomáskülönbség akkor ezek is hajthatják a másik áramát, de az Onsager-relációk értelmében az egységnyi nyomáskülönbségre jutó hőáram és az egységnyi hőmérsékletkülönbség által hajtott sűrűségáram azonos. A tétel a mikroszkopikus rendszerek időtükrözési invarianciájából következik.	+	és <math>\circ</math> a diadikus szorzatot jelöli, <math>\tau</math> pedig az ütközési tag relaxációs idejét jelenti. Az L tenzor szimmetrikus az Onsager-relációk miatt. Az Onsager-relációk szerint ha két termodinamikai erő hajtani tudja egymás áramait, akkor az ezekhez tartozó transzportkoefficiensek megegyeznek. Példaként ha egy folyadékot a hőmérséklet, nyomás és sűrűség jellemez, akkor a hőmérséklet különbség hőáramot, a nyomáskülönbség anyagáramot hajt. Ha egyszerre van jelen hőmérsékletkülönbség és nyomáskülönbség akkor ezek is hajthatják a másik áramát, de az Onsager-relációk értelmében az egységnyi nyomáskülönbségre jutó hőáram és az egységnyi hőmérsékletkülönbség által hajtott sűrűségáram azonos. A tétel a mikroszkopikus rendszerek időtükrözési invarianciájából következik.

	Ezek után a lineáris transzport koefficiensek tenzorai már egyszerűen felírhatóak:		Ezek után a lineáris transzport koefficiensek tenzorai már egyszerűen felírhatóak:

@@ 71. sor: / 71. sor: @@
 :<math>\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int [w(\vec{p}+\vec{q}, \vec{q})f(t, \vec{p}+\vec{q}) - w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p})] d^3q</math>
-Az, hogy a nagy részecske impulzusa cska kicsit áltozik meg a kisebbekel való ütközésben úgy jelenik meg, hogy <math>w</math> függvény gyorsan csökken <math>\vec{q}</math>-ban, ezért <math>\vec{q}</math>-t kicsinek vehetjük, és sorfejthetünk:
+Az, hogy a nagy részecske impulzusa csak kicsit áltozik meg a kisebbekel való ütközésben úgy jelenik meg, hogy <math>w</math> függvény gyorsan csökken <math>\vec{q}</math>-ban, ezért <math>\vec{q}</math>-t kicsinek vehetjük, és sorfejthetünk:
 :<math>w(\vec{p}+\vec{q}, \vec{q})f(t, \vec{p}+\vec{q}) \approx w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p}) + \vec{q}\frac{\partial}{\partial p}w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p}) +\frac{1}{2}(\vec{q} \circ \vec{q})(\frac{\partial}{\partial \vec{p}} \circ \frac{\partial}{\partial \vec{p}})w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p})</math>

@@ 43. sor: / 43. sor: @@
 A magasabb rendű és kereszteffektusok hasonlóan, csak bonyolultabb közelítések után számolhatóak, néhány példa: Peltier-, Thomson-, Seebeck együtthatók, Hall-tenzor stb.
-Ezek az együtthatók egyébként közvetlenül is számolhatóak a mikroszkópikus modellekből, erről a Green–Kubo-összefügések adnak számot (l. [[Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel#Korrelációs-függvények|korrelációs-függvények]]).
+Ezek az együtthatók egyébként közvetlenül is számolhatóak a mikroszkópikus modellekből, erről a Green–Kubo-összefügések adnak számot (l. [[Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel '12#Korrelációs-függvények|korrelációs-függvények]]).
 ===Az elektromos vezetés Drude-modellje===