Csega: Új oldal, tartalma: „=1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # $\tau$ << megfigye…”

2009-08-23T15:34:38Z

Új oldal, tartalma: „=1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # <math>\tau</math> <nowiki><<</nowiki> megfigye…”

Új lap

=1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése=

''Alapfeltevések''
# A részecskék egymástól függetlenül mozognak.
# <math>\tau</math> <nowiki><<</nowiki> megfigyelési idő minimuma (ezen túl a mozgás az előzőektől függetlennek tekinthető)
# Az elmozdulásnak van egy valószínűségi eloszlása. A mozgás leírható valószínűségi alapon.
''Jelölések''
*<big><math>n\Phi(\Delta)d\Delta</math></big>: annak valószínűségét adja meg, hogy n darab részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt.
*<big><math>p(x,t)dx</math></big>: annak valószínűsége, hogy t időpontban alatt x-ben van a részecske.

[[Kép:bolyong.png|center|thumb|A Brown-mozgás szemléltetése egy dimenzióban]]

===Einstein-féle leírás (1905)===
Annak valószínűsége, hogy a részecske <math>\tau</math> idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:
:<math>p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:Az egyenlet jobb oldalának első tagja annak valószínűsége, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy <math>\tau</math> idő múlva éppen arrébbmegy egy bármekkora <math>\Delta</math> ugrással másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valamekkora <math>\Delta</math> távolságról éppen <math>\Delta</math>-t ugorva megérkezik <math>\tau</math> idő múlva.

: Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik integráljel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek <math>\Delta</math>-tól, ekkor:

:<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>

:És mivel <math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1</math> (hiszen <math>\Phi(\Delta)d\Delta</math> annak valószínűségét adja meg, hogy egy részecske <math>\Delta</math>-t ugrik <math>\tau</math> idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy <math>\Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)</math>), ennek következtében a bal oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

:{|border="1"
|<math>p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta</math>||Chapman-Kolmogorov egyenlet
|-
|}

A fenti egyenletet <math>\tau</math>-ban és <math>\Delta</math>-ban sorbafejtjük, az alábbiak szerint:

<math>p(x,t+\tau) = p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t} \tau + ...</math>

<math>p(x-\Delta,t) = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \Delta + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \Delta^2</math>

Ekkor a következő egyenletet kapjuk:

<math>p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont <math>\overline{\Delta}</math> értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük <math>\overline{\Delta^2}</math>-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:

<math>\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}</math>

Ám <math>\overline{\Delta}</math> értéke nulla, mivel a <math>\Phi(\Delta)</math> függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}</math>

<math>\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}</math>-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a '''diffúziós egyenlet''' általános alakját, mely:

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial (x^2)}</math>||Dinamikai egyenlet a <u>valószínűség</u> időbeni változására (más néven a <u>Fokker-Planck egyenlet</u>).
|-
|}

===Becslés a diffúziós együttható értékére===
<math>D = \frac{\overline{\Delta^2}}{\tau} \approx \frac{10^{-12} m^2}{1 s} = 10^{-12} \frac{m^2}{s}</math>

===A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése===
A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha <math>p(x,t = 0) = \delta(x)</math> akkor ebből a megoldás:

<math>p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}</math> (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján <math><x^2></math> értékére az alábbi összefüggés születik, ahol <math>\lambda</math>-t konstansnak várjuk:

<math><x^2> = \lambda Dt = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx</math>=<math>\frac{4Dt}{\sqrt{\pi}}{\int\limits_{-\infty}^\infty y^2 e^{-y^2}dy}</math>

az utolsó egyelőségnél változó helyettesítés történt: <math>y = \frac{x}{\sqrt{4Dt}}</math>

Az integrál értéke [http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions#Definite_integrals innen]<math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}</math> így:
<math><x^2> = 2Dt</math> (azaz <math>\lambda = 2</math>)

===Sodródás===
A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: <math>\Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)</math>

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0</math>

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

<math>p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta</math>

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

(<math>\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}:</math> mikroszkopikus hossz, <math>\tau:</math> mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. A fenti egyenlet jobb oldalán az első tag önmagában egy driftet ír le:
<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}</math>, ahol <math>v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}</math>

[[Kép:drift.png|center|thumb|Driftelő "csomag"]]

Például: <math>p(x,t) = \tilde{p}(x-vt)</math>. A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: <math>-v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}</math>

Viszont érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha ezt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre és közben szétterjed:

<math>\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}</math>

Bevezetve a <math>\tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t)</math> átalakítást az egyenlet a következőképpen módosul:

<math>-v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y}</math> Innen:

<math>\tilde{p}(y,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{y^2}{4Dt}}</math> --> <math>p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{(x-vt)^2}{4Dt}}</math>

[[Kép:drift2.png|center|thumb|Driftelő és szétterjedő "csomag"]]

[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]

VélFiz 1.tétel - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „=1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # \tau << megfigye…”

Csega: Új oldal, tartalma: „=1. tétel: Brown-mozgás: Einstein levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # $\tau$ << megfigye…”