Csega: Új oldal, tartalma: „=2. tétel: Brown-mozgás: Langevin levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # $\tau$ << megfigye…”

2009-08-23T15:34:56Z

Új oldal, tartalma: „=2. tétel: Brown-mozgás: Langevin levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # <math>\tau</math> <nowiki><<</nowiki> megfigye…”

Új lap

=2. tétel: Brown-mozgás: Langevin levezetése=

''Alapfeltevések''
# A részecskék egymástól függetlenül mozognak.
# <math>\tau</math> <nowiki><<</nowiki> megfigyelési idő minimuma (ezen túl a mozgás az előzőektől függetlennek tekinthető)
# Az elmozdulásnak van egy valószínűségi eloszlása. A mozgás leírható valószínűségi alapon.

Langevin levezetése "fizikaibb", Einsteinnél ugyanis nem lehet tudni, hogy a részecskével konkrétan mi történik. A Langevin-féle leírás ebből a szempontból szemléletesebb.

Langevin: részecskék lökdösik a megfigyelt részecskét, a mozgás a hőmérsékleti fluktuációból jön, tehát egy véletlen erő hozza létre.
<math>m\frac{d^2 x}{dt^2} = -6\pi \eta a\frac{dx}{dt} + F_{veletlen}</math>

Ahol a jobb oldal első tagja a fékezőerő, ami egy determinisztikus erő (''a'' a sugár, <math>\eta</math> a viszkozitás ([http://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity angolul], [http://hu.wikipedia.org/wiki/Viszkozitás magyarul]) amit kísérlettel lehet mérni).

Célunk, hogy a fenti egyenletből kiindulva megkapjuk az Einstein-féle leírásnál eredményül kapott <math><x^2> = 2Dt</math> összefüggést.

A fenit egyenlet mindkét oldalát szorozzuk x-szel

Felhasznált összefüggések: <math>\left(x\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{1}{2}\frac{d^{2}x^{2}}{dt^{2}}-(\frac{dx}{dt})^{2}\Longrightarrow\ddot{(x^{2})}=2\dot{(x\dot{x})}=2\dot{x}^{2}+2x\ddot{x}\Longrightarrow\frac{1}{2}\ddot{(x^{2})}=\dot{(x\dot{x})}=\dot{x}^{2}+x\ddot{x}\right)</math>

<math>\frac{1}{2}m\frac{d^2x^2}{dt^2} - m(\frac{dx}{dt})^2 = -3\pi \eta a \frac{dx^2}{dt} + xF_{veletlen}</math>

A véletlen erő átlagos munkája nulla, hiszen ha >0 lenne, a részecske egyre gyorsulna és elszállna, ha <0 lenne, akkor megállna, de a kísérletekből látszik, hogy nem áll meg.
A folyadék (vagy gáz) egyensúlyban van egy adott hőmérsékleten (és a vizsgált részecske is ott van, csak kicsit nagyobb), ezért:

Átlagot vesszük: <math>\left(m\overline{(\frac{dx}{dt})^{2}}=m\bar{v^{2}}=k_{B}T\right)</math>

<math>\frac{1}{2}m\frac{d^2<x^2>}{dt^2} - k_B T = -3\pi \eta a \frac{d<x^2>}{dt} + <xF_{veletlen}></math>

Vezessük be a <math>\frac{d<x^2>}{dt} = z</math> új változót. Ekkor a fenti egyenlet a következőképpen módosul:

<math>\frac{dz}{dt} - \frac{2k_B T}{m} = -\frac{6\pi \eta a}{m}z</math>

A fenti egyenlet megoldása a homogén megoldás és a partikuláris megoldás összege:

<math>z_{homogen} = c_1 e^{-\frac{6\pi \eta a}{m}t}</math>

<math>z_{partikularis} = \frac{2k_B T}{6\pi \eta a}</math> --> z-t konstansnak tételeztük fel

Ekkor z eredeti értékét visszaírva és a két megoldást összeadva a következő eredményt kapjuk:

<math>\frac{d<x^2>}{dt} = \frac{k_B T}{3\pi \eta a} + c_1 e^{-\frac{6\pi \eta a}{m}t}</math>

Ám <math>\frac{6\pi \eta a}{m}</math> <math>\eta, a, m</math> konkrét értékeire és <math>t = 10^{-2}-10^{-3}</math>-ra ez egy nagyon nagy szám, emiatt <math>e^{-...}</math> nagyon kicsi.

Például:
<math>\eta_{viz}=10^{-3} \frac{kg}{ms}; m = 10^3 \frac{kg}{m^3}10^{-18}m^3 = 10^{-15} kg; a = 10^{-6} m</math>

Ekkor: <math>\frac{6\pi\eta a}{m}=\frac{20\centerdot10^{-3}\frac{kg}{ms} 10^6 m}{10^{-15} kg} = 2\centerdot10^7 \frac{1}{s}</math>
<math>c_1 e^{-2\centerdot10^7\frac{t}{s}}</math> bármely rezonábilis t-re nullát ad, tehát elhagyható. Ekkor:

<math><x^2> = \frac{k_B T}{3\pi\eta a}t = 2Dt</math>

<math>D = \frac{k_B T}{6\pi\eta a} = \frac{1.4\centerdot10^{-23}\frac{J}{K} 300 K}{20\centerdot10^{-3}\frac{kg}{ms}10^{-6}m} = 2.1\centerdot10^{-13} \frac{m^2}{a}</math>

A fenti képlet alapján becslés (úgy általában): <math>D_{molekulak} \approx 2\centerdot10^{-10} \frac{m^2}{s}</math>

<hr />
[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]

VélFiz 2.tétel - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „=2. tétel: Brown-mozgás: Langevin levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # \tau << megfigye…”

Csega: Új oldal, tartalma: „=2. tétel: Brown-mozgás: Langevin levezetése= ''Alapfeltevések'' # A részecskék egymástól függetlenül mozognak. # $\tau$ << megfigye…”