Csega: Új oldal, tartalma: „=3. tétel: Master-egyenlet diszkrét állapottérben, stacionáris állapotok = Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einst…”

2009-08-23T15:35:25Z

Új oldal, tartalma: „=3. tétel: Master-egyenlet diszkrét állapottérben, stacionáris állapotok = Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einst…”

Új lap

=3. tétel: Master-egyenlet diszkrét állapottérben, stacionáris állapotok =

Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi).

===Alapvetése===
*Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér befolyásol.
*A háttér annyira nem fontos, csak a hatása a megfigyelt részecskére (van néhány kiválasztott szabadsági fokom).
*Mivel a háttérről nem sokat tudok, valószínűségi egyenletekkel dolgozom.

====Példa====
Van egy rendszerem, amiből engem csak a mágneses viselkedés érdekel, csak a spineket figyelem.

Nagy rendszer: sok spin <math>\left\{ S\right\} = \left\{ S_1, S_2, ...\right\}</math>

[[Kép:spinek.png|center|thumb|Spinbeállások nagy rendszer esetén]]

Két részecskéből álló rendszer esetén a teljes állapottér négy diszkrét állapotból áll:

[[Kép:2spin.png|center|thumb|Spinbeállások 2-részecskés rendszernél]]

==A Master-egyenlet felírása==
Most legyen n diszkrét állappot.

*<math>p_n(t):</math> mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer az n-edik állapotban van?

*Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer '''n-ből m állapotba megy át'''.

Ennek jelölése: <math>w_{m n}</math> --> nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

*Fermi aranyszabály: <math>\mathcal{H}</math> ismert, <math>w_{m n} \sim |<n|\mathcal{H}|m>|^2</math> QM-ben.

Ising [http://en.wikipedia.org/wiki/Ising_model] spin-rendszer esetén: <math>\mathcal{H} = -J \sum_{<i,j>}S_i^2S_j^2</math>, ahol <math>S_i = \pm 1</math><ref>A ferromágnes első modellje. A spinek egy irányba szeretnek beállni, de a hőmozgás szétválasztja őket. T->0: Curie-hőmérséklet alatt ferromágneses viselkedés.</ref><ref>A Fermi aranyszabály és az Ising spin-rendszer csak a spineket vizsgálja, nálunk meg egy csomó más hatás is van, tehát nem pont azt írják le, ami nekünk kell.</ref>

*Tegyük fel, hogy a folyamat <u>Markov-folyamat</u>, tehát létezik olyan <math>\Delta t</math>, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik <math>t + \Delta t</math>-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

<math>p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{m}w_{m n}\Delta t p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}\Delta t p_{m}(t)\,
</math>

A <math>p_n(t)</math>-t ismerem, a <math>p_n(t+\Delta t)</math>-t keresem, a <math>w_{m n}</math> és <math>w_{n m}</math> egységnyi időre vonatkozik.

Sorbafejtek <math>p_n(t+\Delta t)</math> körül, <math>p_n(t)</math> kiesik, így:

:{|border="1"
|<math>\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}p_{m}(t)</math>
|A <u>Master-egyenlet</u> diszkrét állapottérben
|-
|}

Ennek kell, hogy legyen stacionárius megoldása, amihez relaxál:

<math>p_n^{(egyensulyi)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}</math>, ahol <math>E_n</math> az n-edik állapot energiája.

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz-->ez <math>w_{m n}</math> és <math>w_{n m}</math>-re megkötés!

Van időtükrözési invariancia is! Ennek következménye a részletes egyensúly (bővebben később).

====Példa====
Szilárd testekben lévő spinrendszereknél a többi kölcsönhatás hőtartályként adódik a rendszerhez. (Pl. szupravezetésnél feltételezték, hogy az elektronok Coulomb-kölcsönhatása le van árnyékolva, a fononok pedig a háttér hőtartályt adják. Később kiderült, hogy alacsony hőmérsékleten éppen a fononok miatt kezdik el vonzani egymást az elektronok.)

<hr />

<references />

[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]

VélFiz 3.tétel - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „=3. tétel: Master-egyenlet diszkrét állapottérben, stacionáris állapotok = Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einst…”