Csega: Új oldal, tartalma: „= 5. tétel: Generátor függvények: Sorbanállási problémák = Végtelen sok állapot esetén (Master-egyenlet végtelen állapottérrel) a Generátor-függvények m…”

2009-08-23T15:36:20Z

Új oldal, tartalma: „= 5. tétel: Generátor függvények: Sorbanállási problémák = Végtelen sok állapot esetén (Master-egyenlet végtelen állapottérrel) a Generátor-függvények m…”

Új lap

= 5. tétel: Generátor függvények: Sorbanállási problémák =

Végtelen sok állapot esetén (Master-egyenlet végtelen állapottérrel) a Generátor-függvények módszerét érdemes használni.

'''Sorbanállási problémák'''

''Egy fizikai pl.: atom abszorpció - kirakódások és elpárolgások...''

Jelölések:
* <math>w_b</math>: bejöveteli ráta
* <math>w_k</math>: kimeneti, feldolgozási ráta

Stac. állapotot jellemző mennyiségek:
* <math>P_n</math>: milyen valószínűséggel van '''n''' vásárló a pénztárnál?
* <math>\bar{n}</math>: átlagosan mennyien állnak a pénztárnál?
* <math>\bar{n^2} - \bar{n}^2</math>: Fluktuáció

P változásának valószínűsége: (<math>P_0</math> külön eset, hiszen nincs <math>P_{-1}</math>.)

<math>\partial_{t}P_{n}=-(w_{k}+w_{b})P_{n}+w_{b}P_{n-1}+w_{k}P_{n+1}</math>

*''jobb oldal 1.tagja:<math>P_{n}</math> állapotból való kilépés bejövetel vagy kimenetel által''
*''2.tag:<math>P_{n}</math> állapotba lépés bejövetellel;''
*''3.tag:<math>P_{n}</math> állapotba lépés kimenetellel;''

<math>\partial_{t}P_{0}=-w_{b}P_{0}+w_{k}P_{1}</math>

===Momentum generátor függvény bevezetése:===
''(Az eloszlásfüggvény momentumait generálja)''

<math>G(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}P_{n}(t)</math>

<math>G(0,t)=\sum P_{n}(t)=1</math>

1. momentum: <math>-\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)_{s=0}=\sum_{n}nP_{n}(t)=\bar{n}(t)</math>

2. momentum: <math>\left(\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}\right)_{s=0}=\bar{n^{2}}(t)</math>

Ez utóbbit felhasználva: <math>\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}=\left[\left(\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}\right)-\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)^{2}\right]_{s=0}</math>

Vezessük be a következő jelölést: <math>q=\frac{w_{b}}{w_{k}}</math>. Stacionáris megoldás van, ha <math>0\leq q\leq1</math>.

<math>\partial_{t}P_{n}=-(1+q)P_{n}+qP_{n-1}+P_{n+1} :(n\geq1)</math>

<math>\partial_{t}P_{0}=-qP_{0}+P_{1}</math>

Így G időbeli változása:

<math>\partial_{t}G(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}\partial_{t}P_{n}(t)=-qP_{0}+P_{1}-(1+q)\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn}P_{n}-(1+q)P_{0}+q\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n+1}</math>, ahol

*<math>\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn}P_{n} -(1+q)P_{0} = G(s,t)</math>
*<math>\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn+1-1}P_{n-1}=e^{-s}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n-1)}P_{n-1}=e^{-s}G(s,t)</math>
*<math>\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n+1}=e^{s}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1)}P_{n+1}=e^{s}G(s,t)</math>
* és <math>qP_0</math>-ak kiejtik egymást

Ez utóbbiakkal:

<math>\partial_{t}G=(1-e^{s})P_{0}-(1+q)G+qe^{-s}G+e^{s}G=(qe^{-s}+e^{s}-1-q)G+(1-e^{s})P_{0}</math>

'''Stacionárius állapot esetén:'''

<math>\partial_{t}G=0=(qe^{-s}+e^{s}-1-q)G^{*}+(1-e^{s})P_{0}^{*}=(e^{-s}-1)(1-qe^{-s})G^{*}+(1-e^{s})P_{0}^{*}=(1-qe^{-s})G^{*}-P_{0}^{*}</math>, mivel <math>(e^{-s}-1) = 1</math>

Ebből átrendezéssel kapjuk a stacionárius generátor-függvényt:

<math>G^{*}(s)=\frac{P_{0}^{*}}{1-qe^{-s}}</math>

<math>P_{0}^{*}</math> a normálásból több féle képpen is kifejezhető, az eredmény:
<math>P_{0}^{*}=1-q \,</math>

Az előbbiek alapján az egyensúlyi generátor függvény:
<math>G^{*}(s)=\frac{1-q}{1-qe^{-s}}</math>

'''Stacionárius esetben a momentumok:'''

* <math>\bar{n^{*}}=-\left(\frac{\partial G^{*}}{\partial s}\right)_{s=0}=\frac{(1-q)qe^{-s}}{\left(1-qe^{-s}\right)^{2}}=\frac{q}{1-q}</math>
* <math>\bar{n^{*2}}=(1-q)q\frac{-e^{-s}(1-qe^{-s})-e^{-s}2qe^{-s}(1-qe^{-s})}{\left(1-qe^{-s}\right)^{4}}=(1-q)q\frac{1+q}{\left(1-q\right)^{3}}=\frac{q(1+q)}{\left(1-q\right)^{2}}</math>
* <math>\bar{n^{*2}}-\bar{n^{*}}^{2}=\frac{q(1+q)}{\left(1-q\right)^{2}}-\frac{q^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}=\frac{q}{\left(1-q\right)^{2}}</math>

<FONT COLOR=blue>A "matematikus" leírást kihagytam, remélem nem gond. Cz</FONT>

'''A kumuláns Generátor-függvény bevezetése:''' <math>\phi(s,t)=lnG(s,t)</math>

A kumulánsok:

*<math>-\left(\frac{\partial\phi}{\partial s}\right)_{s=0}=\frac{1}{G}\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)_{s=0}=\bar{n}</math>
*<math>\left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial s^{2}}\right)_{s=0}=\left[\frac{1}{G}\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}-\frac{1}{G^{2}}\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)^{2}\right]_{s=0}=\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}</math>
*<math>-\left(\frac{\partial^{3}\phi}{\partial s^{3}}\right)_{s=0}=\bar{n^{3}}-3\bar{n^{2}}\bar{n}+\bar{n}^{3}</math> - a harmadik kumuláns megadja, mennyire nem szimmetrikus a függvény.
* A 4. kumuláns megadja, hogy a függvény a Gauss-hoz képest mennyire keskeny

Gauss-függvény elestében az első két kumuláns nem nulla, de a többi utánuk 0:

<math>\bar{n}=a=\kappa_{1};\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}=\sigma=\kappa_{2};\kappa_{3}=0;\cdots</math>

Generátor-függvény Fourier-transzformálva: <math>G(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-isx}P(x)dx\sim e^{-\frac{\left(s-\bar{s}\right)^{2}}{\sigma^{2}}}\Longrightarrow\ln G(s)\sim As^{2}+Bs+C</math>

Gauss-on kívül nincs másik olyan függvény, hogy valamettől 0-k a kumulánsai, mert visszafelé transzformálva P-re negatív értéket kapnánk.

[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]

VélFiz 5.tétel - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „= 5. tétel: Generátor függvények: Sorbanállási problémák = Végtelen sok állapot esetén (Master-egyenlet végtelen állapottérrel) a Generátor-függvények m…”