Csega: Új oldal, tartalma: „= 6. tétel: Születési-kihalási problémák = Jelölje $P_{n}$ azt a valószínűséget, hogy a populációban éppen '''n''' darab élőlény él. Defini…”

2009-08-23T15:37:33Z

Új oldal, tartalma: „= 6. tétel: Születési-kihalási problémák = Jelölje <math>P_{n}</math> azt a valószínűséget, hogy a populációban éppen '''n''' darab élőlény él. Defini…”

Új lap

= 6. tétel: Születési-kihalási problémák =

Jelölje <math>P_{n}</math> azt a valószínűséget, hogy a populációban éppen '''n''' darab élőlény él.

Definiáljuk a következő átmeneti valószínűségeket:
*<math>\lambda_{n}</math> - pozitív irányba ugrunk 1-et (a populáció 1-gyel nő)
*<math>\mu_{n}</math> - negatív irányba ugrunk 1-et (a populáció 1-gyel csökken)

Ha n=0 egy olyan pont, melyből nem lehet kijönni, ekkor kihalt a populáció. Ettől a határfeltételtől most eltekintünk.

Ezeknek megfelelően a Master-egyenlet:

<math>\partial_{t}P_{n}=-(\lambda_{n}+\mu_{n})P_{n}+\lambda_{n-1}P_{n-1}+\mu_{n+1}P_{n+1}</math>

*<math>(\lambda_{n}+\mu_{n})P_{n}</math> - annak valószínűésge, hogy ellép '''n''' helyről
*<math>\lambda_{n-1}P_{n-1}</math> - annak valószínűésge, hogy '''n''' helyre lép <math>P_{n-1}</math>-ből
*<math>\mu_{n+1}P_{n+1}</math> - annak valószínűésge, hogy '''n''' helyre lép <math>P_{n+1}</math>-ből

Ebben az esetben egyszerűbb a számolás, ha a generátor függvényt az eloszlás fourier transzformáltjával vezetjük be. Itt hallgatólagosan kiterjesztettük az állapotteret negatív egyedszámra is, azonban ez csupán formalizmus.

<math>G(s,t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{isn}P_{n}(t)</math>

Tehát ha a Master-egyenlet mindkét oldalát szummázzuk '''n'''-szerint, és megszorozzuk <math>e^{isn}</math>-nel, akkor megkapjuk a Generátor-függvény változását:

<math>\partial_{t}G=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\lambda_{n}+\mu_{n})e^{isn}P_{n}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}\lambda_{n-1}e^{is(n-1+1)}P_{n-1}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mu_{n+1}e^{is(n+1-1)}P_{n+1}=</math>

<math>=-\sum_{n}(\lambda_{n}+\mu_{n})e^{isn}P_{n}+e^{is}\sum_{n}\lambda_{n-1}e^{is(n-1)}P_{n-1}+e^{-is}\sum_{n}\mu_{n+1}e^{is(n+1)}P_{n+1}=\,
</math>

<math>=\sum_{n}\left[\lambda_{n}\left(e^{is}-1\right)+\mu_{n}\left(e^{-is}-1\right)\right]e^{isn}P_{n}\,
</math>

===Stacionárius megoldás===

Feltesszük, hogy az eredmény valószínűségek normalizálhatóak lesznek. Eből következik, hogy nincsen áramló megoldás, mert az végtelen idő alatt végtelenbe menne el, és nem lenne normalizálható. Ekkor teljesülni fog a részletes egyensúly:

<math>\lambda_{n}P_{n}^{*}=\mu_{n+1}P_{n+1}^{*}</math>

Tegyük fel, hogy <math>P_0</math> ismert (a normalizációból meghatározható). Ekkor:

<math>\begin{array}{ccc} P_{1}^{*}=\frac{\lambda_{0}}{\mu_{1}}P_{0} & \rightarrow & P_{-1}^{*}=\frac{\mu_{0}}{\lambda_{-1}}P_{0}\\ P_{2}^{*}=\frac{\lambda_{1}}{\mu_{2}}P_{1}=\frac{\lambda_{0}\lambda_{1}}{\mu_{1}\mu_{2}}P_{0} & \rightarrow & P_{-2}^{*}=\frac{\mu_{0}\mu_{1}}{\lambda_{-1}\lambda_{-2}}P_{0}\\ \vdots & & \vdots\\ P_{n}^{*}=\prod_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k-1}}{\mu_{k}}P_{0} & \rightarrow & P_{-n}^{*}=\prod_{k=1}^{n} \frac{\mu_{-(k+1)}}{\lambda_{-k}}P_{0}\end{array}</math>

Ezek alapján a normálás:

<math>\partial_{t}G=P_{0}\left[1+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{\lambda_{k-1}}{\mu_{k}}+\sum_{n=1}^{\infty}\prod_{k=1}^{n}\frac{\mu_{-(k+1)}}{\lambda_{-k}}\right]=1</math>

Ez az egyenlet megadja <math>P_0</math>-t. Bár bonyolultak a szummák, de a stacionárius megoldást meg lehet kapni és teljesül a részletes egyensúly is.

===Lineáris folyamatok===

A lineáris folyamatokat úgy definiálhatjuk, mint olyan folyamatok, ahol az egyedszámot befolyásoló halálozási és születési ráták a populáció méretétől ('''n''') lineárisan függnek:
*<math>\lambda_{n}=\lambda_{0}+\lambda_{1}n</math>
*<math>\mu_{n}=\mu_{0}+\mu_{1}n</math>

Ez egy speciális esete az általánosan felírható '''n''' függésnek, amit például hatványsor alakjában tekinthetünk, feltéve, hogy a sor konvergens:

*<math>\lambda_{n}=\lambda_{0}^{(0)}+\lambda_{1}^{(0)}n+\lambda_{2}^{(0)}n^{2}+...</math>
*<math>\mu_{n}=\mu_{0}^{(0)}+\mu_{1}^{(0)}n+\mu_{2}^{(0)}n^{2}+...</math>

Korábban már meghatároztuk a generátor-függvény időfejlődését:

<math>\partial_{t}G=\sum_{n}\left[\lambda_{n}\left(e^{is}-1\right)+\mu_{n}\left(e^{-is}-1\right)\right]e^{isn}P_{n}\,
</math>

Látható, hogy <math>\lambda_{n}</math>-k az <math>P_{n}</math> tényezővel vannak megszorozva a zárójelen kívül. Azonban <math>\lambda_{n}</math>-ban szerepelnek n különböző hatványai, amik a P szorzóval éppen a különböző momentumokat adják (ha a külső szummát egy pillanatra bevisszük):

<math>k. momentum = \sum_{n} n^k P_{n} </math>

Itt k a <math>\lambda_{n}</math>, vagy <math>\mu_{n}</math> sorfejtésében az összegző index. Tehát a generátor-függvényre vonatkozó egyenletben a különböző momentumok szerpelnek különböző <math>\lambda^{(0)}</math>, vagy <math>\mu^{(0)}</math> szorzókkal. Van azonban még egy exponenciális szorzó is, ezzel a generátor függvényre játszható át a kifejezés, felhasználva, hogy a momentumok a generátor-függvény deriváltjaikélnt állíthatóak elő. Összességében a születési és halálozási ráták a következőképpen írhatóak:

<math>\lambda_{n}=\sum_{k} \lambda_{k}^{(0)} (-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G
</math>

<math>\mu_{n}=\sum_{k} \mu_{k}^{(0)} (-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G
</math>

Visszaírva G időbeli változásának egyenletébe:

<math>\partial_{t}G=\sum_{n}\left[\sum_{k}\lambda_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G(e^{is}-1)+\sum_{k}\mu_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}G(e^{-is}-1)\right]</math>

A következőket tekinthetjük operátoroknak, így átírhatóak a következő formába:

<math>\sum_{k}\lambda_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}=\lambda\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)</math>

<math>\sum_{k}\mu_{k}^{(0)}(-i)^{k}\frac{\partial^{k}}{\partial s^{k}}=\mu\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)</math>

Így <math>\partial_{t}G</math>-re a végleges formula:

<math>\partial_{t}G=G\sum_{n}\left[(e^{is}-1)\lambda\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)+(e^{-is}-1)\mu\left(-i\frac{\partial}{\partial s}\right)\right]</math>

''(Ez tulajdonképpen egy differenciálegyenlet G-re)''

===Momentumok számolása===
''(Továbbra is lineáris folyamatokat vizsgálunk), tehát <math>\lambda_{n}=\lambda^{0}+\lambda^{1}n</math> és <math>\mu_{n}=\mu^{0}+\mu^{1}n</math>''

Kiindulási képletünk ismét a

<math>\partial_{t}P_{n}=-(\lambda_{n}+\mu_{n})P_{n}+\lambda_{n-1}P_{n-1}+\mu_{n+1}P_{n+1}</math>

Megint szummázunk '''n'''-szerint, de most '''n'''-nel szorzunk. Így '''n''' várható értékének változását kapjuk:

<math>\partial_{t}<n>=-\sum_{n}(\lambda_{n}+\mu_{n})nP_{n}+\sum_{n}\lambda_{n-1}nP_{n-1}+\sum_{n}\mu_{n+1}nP_{n+1}=</math>

<math>=-<(\lambda_{n}+\mu_{n})n>+<\lambda_{n}n>+<\lambda_{n}>+<\mu_{n}n>-<\mu_{n}>\,
</math>

ahol <math><(\lambda_{n}+\mu_{n})n></math>, <math><\lambda_{n}n></math> és <math><\mu_{n}n></math> kiejtik egymást.

<math>\left(felhaszn\acute{a}ltuk,hogy:\sum_{n}\lambda_{n-1}(n-1+1)P_{n-1}; \sum_{n}\mu_{n+1}(n+1-1)P_{n+1}\right)</math>

Így adódik: <math>\dot{<n>}=<\lambda_{n}>-<\mu_{n}>=\lambda^{(0)}-\mu^{(0)}+\left(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}\right)<n></math>, ami egy lineáris egyenletrendszer, melynek megoldása a homogén és a partikuláris megoldások összege:

<math><n>_{t}=<n>_{0}e^{(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)})t}+\frac{\mu^{(0)}-\lambda^{(0)}}{\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}}</math>

A homogén megoldásból adódik a feltétel, hogy <math>\lambda^{(1)}<\mu^{(1)}</math>. Különben elszállna az exponens.

<math>\partial_{t}<n^{2}>=-<\left(\lambda_{n}+\mu_{n}\right)n^{2}>+\sum_{n}\lambda_{n-1}n^{2}P_{n-1}+\sum_{n}\mu_{n+1}n^{2}P_{n+1}</math>

<math>n^2</math>-et átírjuk a következőképp: <math>n^{2}=(\left(n-1\right)+1)^{2}=(n-1)^{2}+2(n-1)+1=(\left(n+1\right)-1)^{2}=(n+1)^{2}-2(n+1)+1</math>. Így:

<math>\partial_{t}<n^{2}>=</math>

<math>=-<\left(\lambda_{n}+\mu_{n}\right)n^{2}>+<\lambda_{n}n^{2}>+2<\lambda_{n}n>+<\lambda_{n}>+<\mu_{n}n^{2}>-2<\mu_{n}n>+<\mu_{n}>=</math>

<math>=2<\lambda_{n}n>+<\lambda_{n}>-2<\mu_{n}n>+<\mu_{n}>=<\lambda_{n}(2n+1)>-<\mu_{n}(2n-1)>\,
</math>

Itt újra be lehet helyettesíteni a <math>\lambda_{n}</math>-re és <math>\mu_{n}</math>-re felírt összefüggéseket...

Egyensúlyban a fentiekből a következőket fogjuk kapni:

<math><n^{2}>^{*}=\frac{\left(\lambda^{(0)}-\mu^{(0)}\right)+\lambda^{(0)}\mu^{(1)}-\mu^{(0)}\lambda^{(1)}}{\left(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}\right)^{2}}\Longrightarrow<n^{2}>^{*}-<n>^{*2}=\frac{\lambda^{(0)}\mu^{(1)}-\mu^{(0)}\lambda^{(1)}}{\left(\lambda^{(1)}-\mu^{(1)}\right)^{2}}</math>

[[Kategória:Véletlen fizikai folyamatok]]

VélFiz 6.tétel - Laptörténet

Csega: Új oldal, tartalma: „= 6. tétel: Születési-kihalási problémák = Jelölje P_{n} azt a valószínűséget, hogy a populációban éppen '''n''' darab élőlény él. Defini…”

Csega: Új oldal, tartalma: „= 6. tétel: Születési-kihalási problémák = Jelölje $P_{n}$ azt a valószínűséget, hogy a populációban éppen '''n''' darab élőlény él. Defini…”