Einstein-féle leírás

Einstein-féle leírása (1905)

• Annak valószínűsége, hogy a részecske $\tau$ idő múlva az x és x+dx közötti tartományban foglal helyet:

$p(x,t+\tau)dx = p(x,t)dx - \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)dx\Phi(\Delta)d\Delta$

Az egyenlet bal oldalának első tagja annak valószínűsége, hogy a részecske már t időpillanatban is az x és x+dx közötti tartományban volt. A második tag annak valószínűségét adja meg, hogy $\tau$ idő múlva éppen arrébbmegy egy másik helyre. A harmadik tag annak valószínűségét adja, hogy a részecske valahonnan máshonnan a megadott tartományra érkezik $\tau$ idő múlva.

Az egyenletet dx-szel végigoszthatjuk hiszen a dx-ek (és a p(x,t) is) mindegyik integráljel elé kiemelhetőek, hiszen nem függnek $\Delta$-tól, ekkor:

$p(x,t+\tau) = p(x,t) - p(x,t)\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta + \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta$

És mivel $\int\limits_{-\infty}^\infty \Phi(\Delta)d\Delta = 1$ (hiszen $\Phi(\Delta)d\Delta$ annak valószínűségét adja meg, hogy egy részecske $\Delta$-t ugrik $\tau$ idő alatt, aminek a valószínűsége a teljes térre egy kell, hogy legyen - itt jegyzem meg, hogy $\Phi(\Delta) = \Phi(-\Delta)$), ennek következtében a bal oldal első két tagja kiejti egymást és az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik:

$p(x,t+\tau) = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x-\Delta,t)\Phi(\Delta)d\Delta$

Chapman-Kolmogorov egyenlet

A fenti egyenletet $\tau$-ban és $\Delta$-ban sorbafejtjük (Kramers-Moyal sorfejtés), ekkor a következő egyenletet kapjuk:

$p(x,t) + \frac {\partial p}{\partial t}\tau = \int\limits_{-\infty}^\infty p(x,t)\Phi(\Delta)d\Delta - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta$

Ugyanazon okok miatt, mint a Chapman-Kolmogorov egyenlet levezetésénél, az egyenlet bal oldalának első tagja és jobb oldalának első tagja kiejti egymást, így a következő marad:

$\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta$

A fenti egyenlet jobb oldalán az első tagnál az integrál pont $\overline{\Delta}$ értékét adja meg, míg a második tag integrálját ennek mintájára elneveztük $\overline{\Delta^2}$-nek. Az egyenlet a következőképp módosul:

$\frac {\partial p}{\partial t}\tau = - \frac {\partial p}{\partial x}\overline{\Delta} + \frac {1}{2} \frac {\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}\overline{\Delta^2}$

Ám $\overline{\Delta}$ értéke nulla, mivel a $\Phi(\Delta)$ függvényt teljesen szimmetrikusnak tételeztük fel. Tehát a bal oldal első tagja is kiesik. Ami marad:

$\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}$

$\frac{\overline{\Delta^2}}{2\tau}$-et D-nek (azaz diffúziós együtthatónak) elnevezve megkapjuk a diffúziós egyenlet általános alakját, mely:

$\frac{\partial p}{\partial t} = D\frac {\partial^2 p}{\partial (x^2)}$

Dinamikai egyenlet a valószínűség időbeni változására (más néven a Fokker-Planck egyenlet).

Becslés a diffúziós együttható értékére

$D = \frac{\overline{\Delta^2}}{\tau} \approx \frac{10^{-12} m^2}{1 s} = 10^{-12} \frac{m^2}{s}$

A Fokker-Planck egyenlet megoldásának keresése

A következőkben a Fokker-Planck egyenlet megoldását kerestük a t = 0, x = 0 kezdőfeltételekhez.

Ekkor ha $p(x,t = 0) = \delta(x)$ akkor ebből a megoldás:

$p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\frac{x^2}{4Dt}}$ (3D-ben az 1/gyök-ös rész a 3/2-en van.)

A fentiek alapján:

$<x^2> = (Dt) = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}x^2e^{-\frac{x^2}{4Dt}}dx$ --> Változó helyettesítés: $\frac{x}{\sqrt{2Dt}} = y$

Ennek hatására a fenti egyenlet a következőképp módosul:

$2Dt\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{y^2}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2}dy$

Az integrál értéke 1 (táblázatból Bronstein-ből stb. kinézhető), így: $<x^2> = 2Dt$

Érdekesség: A Pitagorasz-tétel levezetése dimenzióanalízis alapján

Sodródás

A részecskék ebben az esetben valamilyen kitüntetett irányba sodródnak: $\Phi(\Delta) \neq \Phi(-\Delta)$

Az előzőekhez képest annyi a különbség, hogy a következő tag:

$\int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi (\Delta) d\Delta = \overline{\Delta} \neq 0$

Ismét alkalmazva a Kramers-Moyal sorfejtést:

$p(x,t) + \frac{\partial p}{\partial t}\tau = p(x,t) - \frac{\partial p}{\partial x} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta \Phi(\Delta)d\Delta + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} \int\limits_{-\infty}^\infty \Delta^2 \Phi(\Delta)d\Delta$

$\frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{\overline{\Delta}}{\tau}\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{2}\frac{\overline{\Delta^2}}{\tau}\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}$

($\overline{\Delta}, \overline{\Delta^2}:$ mikroszkopikus hossz, $\tau:$ mikroszkopikus idő.)

Ez is a Fokker-Planck egyenlet egy alakja. Ha a fenti egyenlet bal oldalán az első tag nem nulla, a következő tag jóval kisebb, mégis érdemes megtartani, mert az első tag gyakorlatilag csak egy driftet ír le: $\frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial p}{\partial x}$, ahol $v = \frac{\overline{\Delta}}{\tau}$

Driftelő "csomag"

Például: $p(x,t) = \tilde{p}(x-vt)$. A fenti egyenletbe behelyettesítve és elvégezve: $-v\tilde{p}^{,} = -v\tilde{p}^{,}$

Emiatt érdemes megtartani a második tagot, hiszen ha azt is figyelembe vesszük, akkor azt kapjuk, hogy a "csomag" halad valamerre, közben szétterjed:

$\frac{\partial p}{\partial t} = -v \frac{\partial p}{\partial x} + D\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}$

Bevezetve a $\tilde{p}(x-vt,t) = \tilde{p}(y,t) = p(x,t)$ átalakítást az egyenlet a következőképpen módosul:

$-v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial p}{\partial t} = -v\frac{\partial \tilde{p}}{\partial y} + \frac{\partial^2 \tilde{p}}{\partial y}$ Innen:

$\tilde{p}(y,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{y^2}{4Dt}}$ --> $p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-\frac{(x-vt)^2}{4Dt}}$

Driftelő és szétterjedő "csomag"