Módosítások

A relativitás elmélet alapjai

2 908 bájt hozzáadva, 2009. szeptember 12., 12:58
4-es formalizmus, kinematika
\Lambda^{\mu}_{\nu} = \left ( \begin{array}{cccc} \operatorname{ch} \chi & \operatorname{sh} \chi & 0 & 0 \\ \operatorname{sh} \chi & \operatorname{ch} \chi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right )
</math>
 
 
Az alsó indexes vektorok bevezetése a metrikus tenzor segítségével történhet, ami a speciális relativitáselméletben:
 
<math>\eta_{\mu \nu} = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right )</math>
 
Megjegyezzük, hogy a metrikus tenzor <math>-1</math>-szerese is jó választás lenne, az irodalomban mindkettő előfordul, egy relativitáselmélettel foglalkozó számolás elején érdemes leszögezni, hogy az ember éppen melyik konvenciót használja. Az alsó indexes vektorokat az <math>x_{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\nu}</math> képlettel definiáljuk (itt is természetesen <math>\nu = 0,1,2,3</math>-ra összegzés értendő), így <math>x_{\mu} = \left ( c t, -x, -y, -z \right )</math>. A metrikus tenzorral szorzást az indexek lehúzásának nevezzük. Az egyenletekben általános szabály, hogy egy indexnek mindkét oldalon ugyanott (vagy alul, vagy felül) kell szerepelnie. Természetesen az indexek lehúzása invertálható, az alsó indexes vektorokból a <math>x^{\mu} = \eta^{\mu \nu} x_{\nu}</math> összefüggéssel kaphatunk felső indexeseket, ahol az <math>\eta^{\mu \nu}</math> az alsó indexessel numerikusan megegyező mátrix, algebrai értelemben azonban az inverze, az alsó és felső indexes <math>\eta</math>-kat összeszorozva a <math>4 \times 4</math>-es egységmátrixot kapjuk:
 
<math> \eta^{\mu \nu} \eta_{\nu \rho} = \delta^{\mu}_{\rho} = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right )</math>
 
Ha egy alsó indexes vektort akarunk transzformálni, ahhoz a Lorentz-mátrix indexeit is le- illetve fel kell húznunk, ami a vektorindexekhez hasonlóan tehető meg.
 
 
Egy 4-esvektor abszolútértéknégyzetén az <math>x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu}</math> szorzatot értjük. Ennek a lényege az, hogy ilyen definíciókkal számolva egy infinitezimális elmozdulásvektor abszolútértéknégyzete éppen az ívelemnégyzetet adja:
 
<math>\operatorname{d} x^{\mu} operatorname{d} x_{\mu} = c^2 operatorname{d} t^2 - operatorname{d} x^2 - operatorname{d} y^2 - operatorname{d} z^2 = operatorname{d} s^2</math>
 
Természetesen nem csak a koordináták, illetve a különbségeik alkotnak 4-esvektort, hanem bármilyen olyan 4 fizikai mennyiség, amik egy másik inerciarendszerbe áttérve a koordinátákhoz hasonlóan (a megfelelő Lorentz-transzformációs mátrixxal) transzformálódnak. Ilyenek például az elektrodinamikában a potenciálok (az elektrosztatikus potenciál és a vektorpotenciál 3 komponense).
 
 
Be lehet vezetni a többindexes 4-estenzorokat is, ezeknek az a definíciója, hogy a másik koordinátarendszerbe áttérve mindegyik indexük a 4-esvektorokhoz hasonlóan transzformálódik:
 
<math> F'^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu}_{\rho} \Lambda^{\nu}_{\sigma} F^{\rho \sigma}</math>
==Relativisztikus fizika==
Névtelen felhasználó

Navigációs menü