Módosítások

A relativitás elmélet alapjai

2 806 bájt hozzáadva, 2009. szeptember 12., 13:32
4-es formalizmus, kinematika
==4-es formalizmus, kinematika==
 
===A helyvektor===
A téridőben egy pontot egy valamely inerciarendszerhez viszonyított 4 (egy idő- és 3 tér-) koordinátával lehet meghatározni. Érdemes ezeket egy 4 komponensű vektorba foglalni: <math>x = (ct,x,y,z)</math>. A vektor komponenseit jelölő indexet ebben az esetben fentre szokás tenni, és a számozás 0-tól indul. Így: <math>x^0 = c t \quad x^1 = x \quad x^2 = y \quad x^3 = z</math>. Az indexeket általánosan görög betűkkel szokás jelölni (egy egyenletben <math>x^{\mu}</math> jelölheti az <math>x</math> 4-esvektor bármelyik komponensét; <math>\mu=0,1,2,3</math>)
</math>
 
===Alsó indexes vektorok, abszolút érték===
Az alsó indexes vektorok bevezetése a metrikus tenzor segítségével történhet, ami a speciális relativitáselméletben:
Ha egy alsó indexes vektort akarunk transzformálni, ahhoz a Lorentz-mátrix indexeit is le- illetve fel kell húznunk, ami a vektorindexekhez hasonlóan tehető meg.
 
Egy 4-esvektor abszolútértéknégyzetén az <math>x_{\mu} x^{\mu} = \eta_{\mu \nu} x^{\mu} x^{\nu}</math> szorzatot értjük. Ennek a lényege az, hogy ilyen definíciókkal számolva egy infinitezimális elmozdulásvektor abszolútértéknégyzete éppen az ívelemnégyzetet adja:
<math>\operatorname{d} x^{\mu} operatorname{d} x_{\mu} = c^2 operatorname{d} t^2 - operatorname{d} x^2 - operatorname{d} y^2 - operatorname{d} z^2 = operatorname{d} s^2</math>
 
===Általános 4-es tenzorok===
Természetesen nem csak a koordináták, illetve a különbségeik alkotnak 4-esvektort, hanem bármilyen olyan 4 fizikai mennyiség, amik egy másik inerciarendszerbe áttérve a koordinátákhoz hasonlóan (a megfelelő Lorentz-transzformációs mátrixxal) transzformálódnak. Ilyenek például az elektrodinamikában a potenciálok (az elektrosztatikus potenciál és a vektorpotenciál 3 komponense).
<math> F'^{\mu \nu} = \Lambda^{\mu}_{\rho} \Lambda^{\nu}_{\sigma} F^{\rho \sigma}</math>
 
Az elektrodinamikában például az elektromos és mágneses térerősségek komponenseiből lehet egy 4-es tenzort alkotni.
 
A fizikai egyenletekre való követelmény az, hogy mindkét oldalon ugyanúgy transzformálódó mennyiségek legyenek.
 
 
===Pontrészecske mozgásának a leírása===
 
Egy pontrészecske mozgását egy inerciarendszerből nézve megadhatjuk annak a pályáját (azaz a 4-es helyvektort) valamilyen paraméter függvényében. Az egyik legegyszerűbb választásnak tűnik, hogyha a részecske koordinátáit az inerciarendszerbeli idő függvényében adjuk meg. Sok esetben hasznosabb viszont, ha a koordinátákat az eltelt sajátidő függvényében adjuk meg (azaz a <math>x^{\mu} (\tau)</math> függvényt adjuk meg), ami a geometriában a görbék ívhossz szerinti paraméterezésének felel meg (az sajátidő az ívhosszal arányos).
 
 
A részecske sebességénél egy adott rendszerből nézve megadhatjuk az abban a rendszerben mért sebességet (a koordináták idő szerinti deriváltját), ez az adott rendszerben jellemzi a mozgást. (Az idő egy négyesvektor komponense, így minden rendszerben más, így az idő szerinti deriválás eredménye nem lesz négyesvektor.)
Hasznos bevezetni a részecske 4-es sebességét, ami a helykoordinátáknak a sajátidő szerinti deriváltja:
 
<math>u^{\mu} = \frac{\operatorname{d} x^{\mu}}{\operatorname{d} \tau}</math>
 
Mivel a hely négyesvektor és a sajátidő skalár, ezért a négyessebesség is 4-esvektor lesz, viszont a komponensei nem mérhetőek közvetlenül, a szokásos sebességméréssel a klasszikus mechanikában megszokott hármas sebességet tudjuk mérni. Kihasználva a sajátidőre vonatkozó <math>\operatorname{d} \tau = \operatorname{d} t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}</math> összefüggést, a négyessebesség komponensei kifejezhetőek a mérhető hármas sebességgel:
 
<math>u = \left ( \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}, \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right )</math>
 
Itt <math>\mathbf{v}</math> a hármas sebesség (a helykoordináták idő szerinti deriváltja a megfigyelő inerciarendszerében).
 
A négyessebesség abszlútértéke:
<math>u_{\mu} u^{\mu} = \frac{c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2} } - \frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = c^2</math>
 
 
Érdemes még definiálni a négyes gyorsulást is, amit a négyessebesség további (sajátidő szerinti) deriválásával kapunk:
 
<math>a^{\mu} = \frac{\operatorname{d} u^{\mu}}{\operatorname{d} \tau} = \frac{\operatorname{d}^2 x^{\mu}}{\operatorname{d} \tau^2}</math>
 
A négyessebesség abszolútértékére kapott egyenlőség deriválásával könnyen belátható a <math>a_{\mu} u^{\mu} = 0</math> összefüggés is.
==Relativisztikus fizika==
Névtelen felhasználó

Navigációs menü