http://tetelwiki.mafihe.hu/index.php?title=A_statisztikus_fizika_matematikai_appar%C3%A1tusa&feed=atom&action=historyA statisztikus fizika matematikai apparátusa - Laptörténet2024-03-29T05:06:28ZAz oldal laptörténete a wikibenMediaWiki 1.30.0http://tetelwiki.mafihe.hu/index.php?title=A_statisztikus_fizika_matematikai_appar%C3%A1tusa&diff=27&oldid=prevCsega: Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math> Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”2009-08-14T16:28:44Z<p>Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math> Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”</p>
<p><b>Új lap</b></p><div>==Stirling-formula==<br />
Nagy n esetén közelítőleg:<br />
<br />
<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math><br />
<br />
Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő, vagyis a hányadosuk végtelenben vett határértéke 1. Általában a formulát a következőképpen használjuk ki:<br />
<br />
<math> \ln(n!) \sim n \cdot (\ln(n) - 1)</math><br />
<br />
==Néhány integrál==<br />
Gauss-integrál (precízen az alábbi formula a = 1 esetét nevezik Gauss-integrálnak): <br />
<br />
<math>\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math><br />
<br />
<br />
Gamma-függvény: <br />
<br />
<math>\int\limits_{0}^\infty t^{z-1} e^t dt = \Gamma(z)</math><br />
<br />
<math>\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \pi^{\frac{1}{2}}<br />
</math><br />
<br />
<math>\Gamma(x+1) = x\, \Gamma(x)<br />
</math><br />
<br />
<math>\Gamma(n) = \,(n-1)!<br />
</math><br />
<br />
Egy r sugarú, d dimenziós gömb térfogata:<br />
<br />
<math>V = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(1+d/2)}r^d</math><br />
<br />
A Bose-Einstein kondenzációhoz kell a következő integrál:<br />
<br />
<math>\int\limits_{0}^\infty x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{e^x-1} dx = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \zeta\left(\frac{3}{2}\right)<br />
</math><br />
<br />
Ehhez hasonló integrálok gyakran bukkannak elő a statisztikus fizikában és a szilárdtest fizikában, általános alakjuk:<br />
<br />
<math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}\,dx = \Gamma{\left(n+1\right)} \zeta(n+1) </math><br />
<br />
ahol <math>Re(n) > 0 </math>, illetve<br />
<br />
<math>\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x+1}\,dx = \Gamma{\left(n+1\right)} \zeta(n+1) (1-2^{-n}) </math><br />
<br />
ahol <math>Re(n) > -1 </math>.<br />
<br />
Ami, mint könnyen látható, a Fermi-Dirac statisztikával kapcsolatos számításokban bukkan fel gyakran.<br />
<br />
== Sorfejtések ==<br />
=== Magas hőmérsékletű kvantumkorrekciók ===<br />
<br />
... Ezt a részt majd átrakom máshova...<br />
<br />
A <math>pV = NkT</math> ideális gázegyenlet első kvantumkorrekcióját keressük, a közelítés: <math>e^{\beta \mu} \ll 1</math>. Ehhez a következő sorfejtést használjuk:<br />
<br />
<math>\frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)} \pm 1} = e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \sum\limits_{0}^{\infty} (\mp)^l e^{-l \beta (\epsilon - \mu)} \approx e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \mp e^{-2\beta (\epsilon - \mu)} </math><br />
<br />
=== Bethe-Sommerfeld sorfejtés ===<br />
Fermionokra használható alacsony hőmérsékleten.</div>Csega