A statisztikus fizika matematikai apparátusa

Innen: TételWiki
A lap korábbi változatát látod, amilyen Csega (vitalap | szerkesztései) 2009. augusztus 14., 17:28-kor történt szerkesztése után volt. (Új oldal, tartalma: „==Stirling-formula== Nagy n esetén közelítőleg: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math> Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, …”)
(eltér) ← Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

Stirling-formula

Nagy n esetén közelítőleg:

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n

Az előző állítás pontosabb megfogalmazása az, hogy a két oldal aszimptotikusan egyenlő, vagyis a hányadosuk végtelenben vett határértéke 1. Általában a formulát a következőképpen használjuk ki:

 \ln(n!) \sim n \cdot (\ln(n) - 1)

Néhány integrál

Gauss-integrál (precízen az alábbi formula a = 1 esetét nevezik Gauss-integrálnak):

\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}


Gamma-függvény:

\int\limits_{0}^\infty t^{z-1} e^t dt = \Gamma(z)

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \pi^{\frac{1}{2}}

\Gamma(x+1) = x\, \Gamma(x)

\Gamma(n) = \,(n-1)!

Egy r sugarú, d dimenziós gömb térfogata:

V = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(1+d/2)}r^d

A Bose-Einstein kondenzációhoz kell a következő integrál:

\int\limits_{0}^\infty x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{e^x-1} dx = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \zeta\left(\frac{3}{2}\right)

Ehhez hasonló integrálok gyakran bukkannak elő a statisztikus fizikában és a szilárdtest fizikában, általános alakjuk:

\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}\,dx = \Gamma{\left(n+1\right)} \zeta(n+1)

ahol Re(n) > 0 , illetve

\int\limits_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x+1}\,dx = \Gamma{\left(n+1\right)} \zeta(n+1) (1-2^{-n})

ahol Re(n) > -1 .

Ami, mint könnyen látható, a Fermi-Dirac statisztikával kapcsolatos számításokban bukkan fel gyakran.

Sorfejtések

Magas hőmérsékletű kvantumkorrekciók

... Ezt a részt majd átrakom máshova...

A pV = NkT ideális gázegyenlet első kvantumkorrekcióját keressük, a közelítés: e^{\beta \mu} \ll 1. Ehhez a következő sorfejtést használjuk:

\frac{1}{e^{\beta (\epsilon - \mu)} \pm 1} = e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \sum\limits_{0}^{\infty} (\mp)^l e^{-l \beta (\epsilon - \mu)} \approx e^{-\beta (\epsilon - \mu)} \mp e^{-2\beta (\epsilon - \mu)}

Bethe-Sommerfeld sorfejtés

Fermionokra használható alacsony hőmérsékleten.