A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer

A Metropolis algoritmus

A Metropolis algoritmussal a statisztikus fizikai rendszer energiaminimumát találhatjuk meg, ahogy azt a szimulált hőkezelés témakörében is láttuk. Az algoritmus a következő:

1. Induljunk ki egy A konfigurációból, aminek tudjuk az E_A energiáját.
2. Változtassunk a rendszeren, hogy egy A-hoz közeli B konfigurációt kapjunk. Számoljuk ki a konfiguráció E_B energiáját.
3. Ha E_B < E_A, fogadjuk el ezt az új konfigurációt (így a Boltzmann-faktornak is eleget teszünk).
4. Ha E_B > E_A, az új állapotot $p = e^{-(E_B-E_A)/T}$ valószínűséggel elfogadjuk.

A hőmérséklet folyamatos csökkentésével az algoritmus bekonvergál az energiaminimumba.

A Monte-Carlo módszer

A Monte-Carlo módszernek nevezzük az olyan eljárásokat, amelyek a problémákat random számok és valószínűségek felhasználásával oldják meg. Az eljárás során ismétlődően kiértékelünk egy determinisztikus modellt, random számokat használva inputnak. Akkor használják, ha a feladat nagyon összetett, nemlineáris, vagy nagyon sok paramétertől függ.

Használata:

1. Állítsuk föl a modellt: y = f(x₁, x₂, ..., x_q)
2. Generáljunk random számokat inputnak: x_i1, x_i2, ..., x_iq
3. Értékeljük ki a modellt, az eredményt tároljuk el y_i-ben
4. Ismételjük a 2. és 3. lépéseket n-szer
5. Elemezzük az eredményeket hisztogram, összesítő statisztikák, stb. segítségével