A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer '12

Innen: TételWiki

Statisztikus fizikai szimulációk alapjai

Legyen egy sokaságunk, aminek az energiája E=E(\vec{r}), ahol \vec{r} az összes szabadsái fokot tartalmazza (mechanikai rendszerre \vec{r} = (\vec{q}, \vec{p})). Ha a rendszer követi a Boltzmann-statisztikát, akkor a rendszer [\vec{r}, \vec{r}+d \vec{r}] intervallumban való megtalálási valószínűsége:

P(\vec{r})d\vec{r} = \frac{e^{-\beta E(\vec{r})}}{Z}d\vec{r}

Egy A mennyiség átlagát a sokaságon a következőképp számoljuk (PS = phase space = fázistér):

\langle A \rangle = \int_{PS} A(\vec{r}) \frac{e^{-\beta E(\vec{r})}}{Z}d\vec{r}

Az integrált csak akkor tudjuk egzaktul kiszámolni, ha a fázistér minden pontjára kiértékeljük a függvényt, és úgy átlagolunk. A Monte-Carlo integrálással ezt a problémát oldhatjuk meg. Az \int d\vec{r} helyére \frac{1}{N} \sum írunk, így egy véges összeget kell elvégeznünk. A pontok számát (N) az határozza meg, hogy mekkora pontossággal akarjuk az integrált meghatározni. Az integrál dimenziójától függetlenül a hiba 1/\sqrt{N} szerint csökken, vagyis 10x nagyobb pontossághoz 100x annyi pontot kell kiszámolni.

Molekuladinamika

A molekuladinamika a részecskék mikroszkopikus dinamikájának követésével foglalkozik. Valódi rendszerben 1023 nagyságrendű részecske van, ezt a mai számítógépekkel szimulálni lehetetlen. Azonban ennél kevesebb részecskét is elég szimulálnunk ahhoz, hogy a termodinamikai tulajdonságokat vizsgálhassuk. A szimulációkban a párkölcsönhatásokat vesszük figyelembe, ám lehetséges közelítéseket tenni. A részecskék közt a Van der Waals erő hat, ami elég gyorsan lecseng, így távoli részecskék közt elhanyagolható (ezen a pontot különbözik a molekuladinamika és a gravitációs N-test szimuláció, ahol az 1/r2-es erő miatt nem hanyagolható el a kölcsönhatás).

A szimulációban van tehát N darab részecske, melyekre a Newton-törvények alapján kiszámítjuk a rájuk ható erőt, majd léptetjük a rendszert. Mivel a kezdőállapotokat általában nem a termodinamikai egyensúlyból indítjuk, meg kell várni, hogy a rendszer beálljon abba. Hogy mikor állt be, azt az ekvipartíció segítségével mutathatjuk ki:

\left \langle \frac{1}{2}mv^2 \right \rangle = \frac{3}{2}kT

Ha a rendszer elérte az egyensúlyi állapotát, mérhetővé válnak a termodinamikai változók (hőmérséklet, nyomás, hőkapacitás, stb.)

Fizikai mennyiségek mérése a szimulációkban

Pillanatnyi hőmérséklet

Bár azt mondtuk, hogy a rendszert az egyensúlyi állapotában vizsgáljuk, a nem egyensúlyi állapotban is bevezethetünk egy pillanatnyi hőmérsékletnek nevezett mennyiséget. Termikus egyensúlyban igaz az ekvipartíció:

3(N-1) \cdot \frac{1}{2}k_BT = \left \langle \frac{m}{2} \sum_{i=1}^N v_i^2 \right \rangle,

ahol 3(N-1) a szabadsági fokok száma (a TKP 3 koordinátája van levonva). A nem egyensúlyi helyzetben, bár nem igaz az ekvipartíció, ezt a képletet alkalmazhatjuk a hőmérséklet meghatározására.

Teljes energia

E = \frac{m}{2} \sum_{i=1}^N v_i^2 + \sum_{i \neq j} U(|r_i - r_j|)

Hőkapacitás

Fluktuáció-disszipáció tétel alapján:

C_V = \frac{1}{k_BT^2}[\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2]

Nyomás

A nyomást a viriál-tétel segítségével fejezhetjük ki:

pV = Nk_BT + \frac{1}{3} \left \langle \sum_{i<j} r_{ij} \cdot F_{ij} \right \rangle

Verlet-algoritmus

Molekuladinamikai szimulációkban legtöbbször a Verlet-algoritmust használják a diffegyenletek megoldására. A Runge-Kuttával szemben több előnye van:

  • gyorsabb, mert egy lépésben csak egyszer kell a gyorsulásokat számolni
  • majdnem olyan pontos, mint a RK4 (O(\tau^4) \text{vs.} O(\tau^5))
  • jól megőrzi az energiát
  • időtükrözésre nem változik (ez a részleges egyensúly feltétele miatt fontos)

A Verlet-algoritmus egy lépése (R(t) a koordináták, V(t) a sebességek, A(t) a gyorsulások):

R_{n+1} = 2R_n - R_{n-1} + \tau^2 A_n + O(\tau^4)\,

V_n = \frac{R_{n+1} - R_{n-1}}{2\tau} + O(\tau^2)

Hátrányai:

  • két előző lépést használ, így nem indítható 1 kezdeti feltételből
  • a sebesség és a pozíció nem egyszerre frissítődik, a sebesség "le van maradva"

Megoldás: velocity-Verlet algoritmus:

R_{n+1} = R_n + \tau V_n + \frac{\tau^2}{2} A_n + O(\tau^3)

V_{n+1} = V_n + \frac{\tau}{2} (A_{n+1} + A_n) + O(\tau^3)

  • R-ben már csak O(\tau^3) pontosságú
  • ez már nem 2 előző lépést használ
  • koordináták és sebességek egyszerre frissülnek
  • sebesség is O(\tau^3) pontosságú

Gravitációs N-test szimuláció

Gravitációs N-test szimulációkor, a kölcsönhatásnak az említett r^{2}-es lecsengése miatt, nem lehet eltekinteni a hosszútávú kölcsönhatásoktól.

F_{grav}=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}

A sok, nem elhanyagolható kölcsönhatás miatt a direkt-szimuláció hamar nehézségekbe ütközik. Ezért érdemes bevezetni olyan finomításokat, mint például a léptetési idő variálása: minden részecske saját időlépéssel rendelkezik, így a különböző dinamikájú részecskéket nem kell minden időpillanatban léptetni.

Emellett létezik két alapvető, elterjedt algoritmus, melyek különböző módon egyszerűsítik a rendszert:

  • Fa-algoritmusok (Tree methods):

A Tree method lényege, hogy a teret köbös cellákra osztják (octree): első lépésben 8 kockára osztják a teret, majd a megadott mélységig a cellákat tovább osztják 8 részre (az első lépéshez hasonlóan). Ha a felbontás indexelése következetes, akkor a hierarchia miatt minden cella egyértelműen címezhető (pl. "138" az első cella 3. cellájának 8. cellája). A felbontás után csak a szomszédos/közeli cellák részecskéire számolják individuálisan a kölcsönhatást. A távolabbi cellákat egy részecskeként veszik figyelembe, melyet a cella össztömege reprezentál annak tömegközéppontjában.

(Hasonló tér-felosztást lehet elérni szimulációk során a KD-tree binári felbontással. A GADGET azonban pl az octree-t használja.)

  • Részecske-háló (Particle mesh method - PM method):

A PM method-ban a teret diszkretizálják egy ráccsal, és kiszámolják a gravitációs-potenciált a Poisson-egyenlet segítségével a rácspontokra:

\nabla^2\Phi=4\pi G{\rho},\,

ahol G a Newton-konstans, \rho pedig a sűrűség (a rácspontban lévő részecskék száma). Ez az egyenlet könnyen kezelhető FFT után a frekvencia térben:

\hat{\Phi}=4\pi G\frac{\hat{\rho}}{k^2},

ahol \vec{k} az együtt-mozgó hullámszám-vektor (kalap jelöli a Fourier-transzformáltat). Ezek után \vec{k}-val szorozva és inverz Fourier-transzformálva megkapható a gravitációs-tér. Mivel a rács mérete korlátozza ezt a módszert, ezért a kis-skálás erők számításához általában más módszerekkel kombinálva alkalmazzák ezt az eljárást. (Néha adaptív rácsozást is alkalmaznak, ami nagyobb sűrűségnél nagyobb rács-felbontást jelent.)

(Ezen módszerek természetesen más N-test szimulációs területeket is használatosak lehetnek, mint pl gázok, folyadékok szimulációjakor...)

Meg lehet említeni a GADGET-2 szimulációs programot, melyben található egy hibrid módszer is: a Tree és PM kombinációja (TreePM)

A Metropolis algoritmus

A Metropolis algoritmus egy eljárás, amivel bonyolult valószínűségi eloszlások mintavételezhetőek. Másképp megfogalmazva szeretnénk előállítani egy P eloszlást, a kérdés az, hogy milyen átmeneti valószínűségekkel (W) vezérelt folyamat (egészen pontosan Markov-folyamat) vezet ilyenre? A módszer kihasználja a részletes egyensúly elvét, ez esetünkben azt jelenti, hogy:

P_i W_{ij} = P_j W_{ji}\, teljesül minden  i, j-re.

Ez még kevés feltétel az átmeneti valószínűségekre, ezért a Metropolisz megkötés a következő:

W_{ij} = \mathrm{min}\left[1, \frac{P_j}{P_i} \right]

Bár általánosan tetszőleges eloszlás előállítható, fizikában általában valamilyen egyensúlyi eloszlást szeretnénk előállítani. Például, ha termális egyensúlyt szeretnénk, akkor P \propto \exp\left( -\beta E \right), és a Metropolisz megkötésben szereplő hányados is exponenciális alakban írható. A P-t előállító eljárás a következő:

  1. Induljunk ki egy A konfigurációból.
  2. Állítsuk elő a megváltoztatott B konfigurációt.
  3. Számoljuk ki erre a két konfigurációra a megkötésben szereplő hányadost.
  4. Generáljunk egy 0-1 intervallumon vett egyenletes eloszlású véletlen számot: X.
  5. Ha W_{AB} > X akkor a B konfigurációt fogadjuk el, ellenkező esetben marad az A.
  6. Ismételjük 1-től.

A Monte-Carlo módszer

A Monte-Carlo módszernek nevezzük az olyan eljárásokat, amelyek a problémákat random számok és valószínűségek felhasználásával oldják meg. Az eljárás során ismétlődően kiértékelünk egy determinisztikus modellt, random számokat használva inputnak. Akkor használják, ha a feladat nagyon összetett, nemlineáris, bonyolultak a határfeltételei, vagy nagyon sok paramétertől függ, illetve sok dimenziós.

Használata:

  1. Állítsuk föl a modellt: y = f(x1, x2, ..., xq)
  2. Generáljunk random számokat inputnak: xi1, xi2, ..., xiq
  3. Értékeljük ki a modellt, az eredményt tároljuk el yi-ben
  4. Ismételjük a 2. és 3. lépéseket n-szer
  5. Elemezzük az eredményeket hisztogram, összesítő statisztikák, stb. segítségével


Klasszikus példa a \pi kiszámítása:

Rajzoljunk egy r sugarú kört és egy köré írt négyzetet (2r oldalú). Ha véletlenszerűen mintavételezzük a négyzet területét, akkor a körben lévő pontok száma úgy aránylik a körben és négyzetben lévő pontok számához (tehát az összeshez), mint a síkidomok terülte. Így \pi közelítőleg felírható egy hányadossal:

\pi=4\frac{\#k\ddot{o}r\ddot{o}n\_bel\ddot{u}li\_pontok}{\#\ddot{o}sszes\_pont}=4\frac{r^{2}\pi}{(2r)^{2}}

Itt is egyszerűen belátható, hogy a több mintavételezési pont pontosabb értéket eredményez.


MSc záróvizsga tételek 2012
Tételek Soktest rendszerek '12 | Transzportfolyamatok '12 | Véletlen gráfok generálása, tulajdonságai '12 | Elsőrendű és folytonos fázisátalakulások '12 | Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel '12 | Sztochasztikus folyamatok '12 | A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer '12 | Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés '12 | Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva '12 | Adatelemzés: bootstrap modellek '12 | TCP hálózat működése '12 | Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok '12 | Numerikus módszerek '12 | Vizualizációs módszerek '12