Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok '12

Innen: TételWiki

AR(p), MA(q), ARMA(p,q)

Egy adott  X egyváltozós idősor következő tagja felírható a következőféleképpen:

AR(p) - autoregressive modell  X_t=c+\phi _1 X_{t-1}+\cdots + \phi _p X_{t-p}+\epsilon _t ,

ahol c egy konstans,  \phi _1,..., \phi_p paraméterek, és  \epsilon _t fehér zaj.

MA(q) - moving avarage  X_t=\mu + \epsilon _t + \theta _1 \epsilon _{t-1} + \cdots + \theta _q \epsilon _{t-q} ,

ahol  \mu az idősor átlaga,  \epsilon _t, \epsilon _{t-1},... fehér zaj,  \theta _1,..., \theta _q a modell paraméterei.

ARMA(p,q) - autoregresszív mozgó átlag modell, az előző kettő ötvözete:

 X_t = c + \epsilon _t + \sum _{i=1}^p \phi _i X_{t-i} + \sum _{i=1}^q \theta _i \epsilon _{t-i} .

Ezeknél a modelleknél a zaj általában gauss típusú, és fix szórású.

ARCH, GARCH modellek

  • ARCH: autoregressive conditionally heteroscedastic; időben változó volatilitás (szórás, variancia) – mivel gazdasági idősorokra szokták alkalmazni, a volatilitás a használt kifejezés
  • GARCH: generalized ARCH

A legegyszerűbb ARCH modell az ARCH(1) modell:

y_t = \sigma_t \epsilon_t (1)

\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2 (2)

y_t az idősor értéke t-ben, \sigma_t a szórás t-ben, \epsilon_t standard normál eloszlásból származó zaj, \alpha_1 legyen nemnegatív.

A \sigma_t^2-re AR modellt írtunk fel.

Miért is kell feltételes eloszlásról beszélni (ar conditionally h)? Ha az idősor stacionárius lenne, vagyis az összes elem azonos eloszlásból származna, egy későbbi érték eloszlása megegyezne a hosszú távú, feltétel nélküli eloszlással. A nem stacionárius idősorokra időben változhat a szórás, ezt ha figyelembe vesszük, akkor kapjuk a feltételes eloszlást.

y_t feltételes eloszlása gaussi: y_t | y_{t-1} \sim N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)

Az (1) és (2) egyenleteket 0-ra rendezve, egyenlővé téve, majd átrendezve a következőt kapjuk:

y_t^2=\alpha_0+\alpha_1 y_{t-1}^2+\sigma_t^2 (\epsilon_t^2-1)

Ez egy nem-gaussi AR(1) modell az y_t^2-re felírva.

Állítás: y_t átlaga 0

Biz.: legyen Y_s = \left\{y_s, y_{s-1}, \ldots, y_0 \right\}, ekkor, mivel y_t csak y_{t-1}-től függ, az pedig egy nulla átlagú gauss:

E \left(y_t \right) = E \left( y_t | Y_t \right ) = E \left( y_t | y_{t-1} \right ) = 0

Állítás: y_t korrelálatlan

Bizonyítás:

cov \left(y_{t+h},y_t \right) = E\left(y_t y_{t+h} \right) = E \left(y_t y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) = E \left(y_t E\left(y_{t+h} | Y_{t+h-1} \right) \right) = 0, ha h \neq 0

Kiszámolhatjuk y_t^2 és y_t^4 átlagát (az első könnyű, csak az AR modell képletét alkalmazzuk):

E \left(y_t^2 \right) = \frac{\alpha_0}{1-\alpha_1}

E(y_t^4 ) = \frac{3\alpha_0^2}{(1-\alpha_1 )^2} \frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}

Ez a két érték a kurtózis kiszámolásához kellett:

\kappa = \frac{E\left(y_t^4\right)}{\left[E\left(y_t^2\right)\right]^2} = 3\frac{1-\alpha_1^2}{1-3\alpha_1^2}

Ha a nevező pozitív, akkor ez mindig nagyobb lesz 3-nál (3 a normál eloszlás kurtózisa), vagyis ez egy vastag farkú (fat tail) eloszlás lesz.

ARCH(1) kiterjesztése ARCH(m)-re

y_t = \sigma_t \epsilon_t

\sigma_t^2 = \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2+\alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2

y_t feltételes eloszlása ismét gaussi: y_t | y_{t-1} \sim N \left(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2 + \alpha_2 y_{t-2}^2 + \ldots + \alpha_m y_{t-m}^2\right)

A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell

A legáltalánosabb GARCH(m,r) modell a következő:

\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j y_{t-j}^2 + \sum_{j=1}^r \beta_j \sigma_{t-j}^2

A fentiekben tettünk egy egyszerűsítést, miszerint  y_t= \sigma _t \epsilon _t . Általánosságban viszont a zajt becsüljük így:  \epsilon _t= \sigma _t z_t, ahol z_t a sztochasztikus tag. Az így kapott zajt írhatjuk vissza az ARMA modellekbe.

Ha megvan a paraméterbecslés (pl: maximum likelihood-dal), akkor jóslást tehetünk a volatilitásra (csak 1 lépésre előre!):

\hat{\sigma}_{t+1}^2 = \hat{\alpha}_0 + \sum_{j=1}^m \hat{\alpha}_j y_{t+1-j}^2 + \sum_{j=1}^r \hat{\beta}_j \hat{\sigma}_{t+1-j}^2

Paraméterbecslés ARCH(1) modellre: maximum likelihood:

L\left(\alpha_0,\alpha_1|y_1\right) = \prod_{t=2}^n f_{\alpha_0,\alpha_1}\left(y_t|y_{t-1}\right)

az f() függvény az y_t feltételes eloszlása: N(0, \alpha_0 + \alpha_1 y_{t-1}^2)

A –ln(L) minimuma fogja megadni az \alpha_0 és \alpha_1 paramétereket.

MSc záróvizsga tételek 2012
Tételek Soktest rendszerek '12 | Transzportfolyamatok '12 | Véletlen gráfok generálása, tulajdonságai '12 | Elsőrendű és folytonos fázisátalakulások '12 | Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel '12 | Sztochasztikus folyamatok '12 | A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer '12 | Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés '12 | Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva '12 | Adatelemzés: bootstrap modellek '12 | TCP hálózat működése '12 | Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok '12 | Numerikus módszerek '12 | Vizualizációs módszerek '12