„Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva” változatai közötti eltérés
a (→A Khí-négyzet módszer) |
(→Példa: egyenes illesztés) |
||
57. sor: | 57. sor: | ||
=== Példa: egyenes illesztés === | === Példa: egyenes illesztés === | ||
+ | Legegyszerűbb példa a lineáris regresszióra az egyenesillesztés. | ||
+ | |||
+ | <math>y(x) = y(x;a,b) = a + bx</math> | ||
+ | |||
+ | A költségfüggvényünk most: | ||
+ | |||
+ | <math>\chi^2(a,b) = \sum_{i=1}^N \left( \frac{y_i - a - bx_i}{\sigma_i} \right)^2</math> | ||
+ | |||
+ | A minimumban a deriváltak eltűnnek: | ||
+ | |||
+ | <math>0 = \frac{\partial \chi^2}{\partial a} = -2\sum_{i=1}^N \frac{y_i - a - bx_i}{\sigma_i^2}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>0 = \frac{\partial \chi^2}{\partial b} = -2\sum_{i=1}^N \frac{x_i(y_i - a - bx_i)}{\sigma_i^2}</math> | ||
+ | |||
+ | A fenti kifejezésekben a szummákat szétbonthatjuk az alábbi jelölések segítségével: | ||
=== Nem-lineáris regresszió === | === Nem-lineáris regresszió === |
A lap 2011. június 14., 12:29-kori változata
Tartalomjegyzék
Általános statisztikai jellemzők
(Átlag szórás, kovariancia...)
Modellek illesztése
Lineáris regresszió
A most leírt modell tulajdonságai a következők:
- prediktor változó: x
- az y-ok függetlenek
- adott x-re kapott y-ok normál eloszlásúak olyan átlaggal, ami az x lineáris függvényeként kapható meg
- Feladat: adott x-re y-t megmondani. A straight line regression model (egyenes vonal illesztő modell) alakja a köv:
, vagy indexesen
A normál analízis során azt feltételezzük, hogy epsilon_i-k független és azonosan 0 átlagú és szigma^2 szórású normál eloszlást követő változók. Az alfa+beta*x a determinisztikus rész, az epsilon_i a random zaj. Az előbbi érdekel minket.
Az illesztés során a legkisebb négyzetek módszerét használhatjuk.
Legkisebb négyzetek módszere
Tegyük fel, hogy mérési adatokra akarunk függvényt illeszteni, melynek paraméterei , azaz
A legkisebb négyzetek módszere a következő módon keresi a paramétereket:
Ez azért jó, mert megadja a paraméterek legvalószínűbb halmazát. Természetesen lehetne más költségfüggvényt is használni, de ez a modell arra a kérdésre ad választ, hogy mely paramétervektor esetén a maximális a valószínűsége annak, hogy az adott mérési eredményeket kapjuk. Ez a maximális valószínűségű paraméterbecslés.
Ha csak az adatok mérési hibáját vesszük figyelembe és az a hiba Gauss eloszlású, valamint a hiba eloszlásának szórása azonos mindegyik mérési pontban (ha ezek nem teljesülnek, akkor a módszer nem a legnagyobb valószínűséghez tartozó paramétereket adja), akkor a fenti valószínűség átírható így:
Ennek keressük a maximumát (vagy ha vesszük a negatív logaritmuást, akkor a minimumát):
Mivel N, és állandók, ez pont a legkisebb négyzetek módszerét adja és P értéke megmondja, hogy mennyire jó az illesztés.
A Khí-négyzet módszer
Ha a mérési pontok hibájának szórása nem egyforma (de továbbra is normál eloszlást követnek), akkor a legkisebb négyzetek módszerét könnyen általánosíthatjuk. Ez a Khí-négyzet illesztés, amelynek költségfüggvénye a következő:
Tekinthetjük úgy, hogy a szórásokkal súlyozzuk az eltéréseket, vagy másképpen egységnyi szórásúra normálunk minden pontnál.
Mivel a mérési pontokról feltételeztük, hogy normál eloszlást követnek, ilyen véletlen változók négyzetének összege. Az ilyen típusú valószínűségi változók nem Gauss eloszlást, hanem az úgynevezett (N - M) szabadsági fokú Khí-négyzet eloszlást követik. Ha az paraméterek lineárisan szerepelnek akkor ez az eloszlás analitikusan megadható, így megmondható annak valószínűsége (Q), hgoy az adott paraméterekkel jellemzett modellen végzett mérés -nél nagyobb eltérést ad. ( tipikus, elfogadható, rossz modellre vagy hibabecslésre utal). Fontos, hogy a mérési hibák becslése jó legyen, különben megtévesztő eredményre juthatunk.
Annak feltétele, hogy a -nek minimuma van az, hogy az paraméterek szerinti deriváltja 0 legyen.
Ez általában M nemlináris egyenletből álló rendszerre vezet, de ha az paraméterek lineárisan szerepelnek az y(x; a_1 \ldots a_M) kifejezésben, akkor az egyenletek is lineárisak lesznek.
Példa: egyenes illesztés
Legegyszerűbb példa a lineáris regresszióra az egyenesillesztés.
A költségfüggvényünk most:
A minimumban a deriváltak eltűnnek:
A fenti kifejezésekben a szummákat szétbonthatjuk az alábbi jelölések segítségével: