Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva

Innen: TételWiki
A lap korábbi változatát látod, amilyen Csega (vitalap | szerkesztései) 2011. június 14., 11:11-kor történt szerkesztése után volt. (A Khí-négyzet módszer)

Általános statisztikai jellemzők

(Átlag szórás, kovariancia...)

Modellek illesztése

Lineáris regresszió

A most leírt modell tulajdonságai a következők:

  • prediktor változó: x
  • az y-ok függetlenek
  • adott x-re kapott y-ok normál eloszlásúak olyan átlaggal, ami az x lineáris függvényeként kapható meg
  • Feladat: adott x-re y-t megmondani. A straight line regression model (egyenes vonal illesztő modell) alakja a köv:

y = \alpha + \beta \cdot x + \epsilon, vagy indexesen (x_1, y_1), (x_2, y_2) \ldots: y_i = \alpha + \beta \cdot x_i + \epsilon_i

A normál analízis során azt feltételezzük, hogy epsilon_i-k független és azonosan 0 átlagú és szigma^2 szórású normál eloszlást követő változók. Az alfa+beta*x a determinisztikus rész, az epsilon_i a random zaj. Az előbbi érdekel minket.

Az illesztés során a legkisebb négyzetek módszerét használhatjuk.

Legkisebb négyzetek módszere

Tegyük fel, hogy (x_i, y_i), i = 1 \ldots N mérési adatokra akarunk függvényt illeszteni, melynek paraméterei a_j, j = 1 \ldots M, azaz

y(x) = x(x;a_1,a_2,\ldots,a_m)

A legkisebb négyzetek módszere a következő módon keresi a paramétereket:

{min}_{a_1 \ldots a_m}\left( \sum_{i=1}^N [y_i - y(x_i;a_1,\ldots,a_m)]^2 \right)

Ez azért jó, mert megadja a paraméterek legvalószínűbb halmazát. Természetesen lehetne más költségfüggvényt is használni, de ez a modell arra a kérdésre ad választ, hogy mely paramétervektor esetén a maximális a valószínűsége annak, hogy az adott mérési eredményeket kapjuk. Ez a maximális valószínűségű paraméterbecslés.

Ha csak az y_i adatok mérési hibáját vesszük figyelembe és az a hiba Gauss eloszlású, valamint a hiba eloszlásának szórása azonos mindegyik mérési pontban (ha ezek nem teljesülnek, akkor a módszer nem a legnagyobb valószínűséghez tartozó paramétereket adja), akkor a fenti valószínűség átírható így:

P \propto \prod_{i=1}^N \left\{ exp \left[ -\frac{1}{2} \left( \frac{y_i - y(x_i)}{\sigma} \right)^2 \right] \Delta y \right\}

Ennek keressük a maximumát (vagy ha vesszük a negatív logaritmuást, akkor a minimumát):

-log(P) = \left[ \sum_{i=1}^N \frac{[y_i - y(x_i)]^2}{\sigma} \right] - N log(\Delta y)

Mivel N, \sigma és \Delta y állandók, ez pont a legkisebb négyzetek módszerét adja és P értéke megmondja, hogy mennyire jó az illesztés.

A Khí-négyzet módszer

Ha a mérési pontok hibájának szórása nem egyforma (de továbbra is normál eloszlást követnek), akkor a legkisebb négyzetek módszerét könnyen általánosíthatjuk. Ez a Khí-négyzet illesztés, amelynek költségfüggvénye a következő:

Értelmezés sikertelen (Hiányzó <code>texvc</code> végrehajtható fájl; a beállítást lásd a math/README fájlban.): \Khi^2 = \sum_{i=1}^N \left( \frac{y_i - y(x_i;a_1, \ldots a_M}{\sigma_i} \right)^2

Tekinthetjük úgy, hogy a \sigma_i szórásokkal súlyozzuk az eltéréseket, vagy másképpen egységnyi szórásúra normálunk minden pontnál.

Mivel a mérési pontokról feltételeztük, hogy normál eloszlást követnek, Értelmezés sikertelen (Hiányzó <code>texvc</code> végrehajtható fájl; a beállítást lásd a math/README fájlban.): \Khi^2 ilyen véletlen változók négyzetének összege. Az ilyen típusú valószínűségi változók nem Gauss eloszlást, hanem az úgynevezett (N - M) szabadsági fokú Khí-négyzet eloszlást követik. Ha az a_j paraméterek lineárisan szerepelnek akkor ez az eloszlás analitikusan megadható, így megmondható annak valószínűsége (Q), hgoy az adott paraméterekkel jellemzett modellen végzett mérés Értelmezés sikertelen (Hiányzó <code>texvc</code> végrehajtható fájl; a beállítást lásd a math/README fájlban.): \Khi^2 -nél nagyobb eltérést ad. Értelmezés sikertelen (Hiányzó <code>texvc</code> végrehajtható fájl; a beállítást lásd a math/README fájlban.): \left( Q \approx 0,1 tipikus,  Q \approx 0,01 elfogadható,  Q < 0,001 rossz modellre vagy hibabecslésre utal Értelmezés sikertelen (Hiányzó <code>texvc</code> végrehajtható fájl; a beállítást lásd a math/README fájlban.): \right) . Fontos, hogy a mérési hibák becslése jó legyen, különben megtévesztő eredményre juthatunk.

Annak feltétele, hogy a Értelmezés sikertelen (Hiányzó <code>texvc</code> végrehajtható fájl; a beállítást lásd a math/README fájlban.): \Khi^2 -nek minimuma van az, hogy az a_j paraméterek szerinti deriváltja 0 legyen.

Nem-lineáris regresszió

MSc záróvizsga tételek
Tételek Soktest rendszerek | Transzportfolyamatok | Véletlen gráfok generálása, tulajdonságai | Elsőrendű és folytonos fázisátalakulások | Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel | Sztochasztikus folyamatok | A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer | Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés | Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva | Adatelemzés: bootstrap modellek | TCP hálózat működése | Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok | Numerikus módszerek | Vizualizációs módszerek