Master-egyenletek

Innen: TételWiki

Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi).

Alapvetése

  • Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér befolyásol.
  • A háttér annyira nem fontos, csak a hatása a megfigyelt részecskére (van néhány kiválasztott szabadsági fokom).
  • Mivel a háttérről nem sokat tudok, valószínűségi egyenletekkel dolgozom.

Példa

Van egy rendszerem, amiből engem csak a mágneses viselkedés érdekel, csak a spineket figyelem.

Nagy rendszer: sok spin \left\{ S\right\} = \left\{ S_1, S_2, ...\right\}

Spinbeállások nagy rendszer esetén

Két részecskéből álló rendszer esetén a teljes állapottér négy diszkrét állapotból áll:

Spinbeállások 2-részecskés rendszernél

A Master-egyenlet felírása

Most legyen n diszkrét állappot.

  • p_n(t): mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer az n-edik állapotban van?
  • Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer n-ből n' állapotba megy át.

Ennek jelölése: w_{n^{,}n} --> nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

  • Fermi aranyszabály: \mathcal{H} ismert, w_{n^{,}n} \sim |<n|\mathcal{H}|n^{,}>|^2 QM-ben.

Ising [1] spin-rendszer esetén: \mathcal{H} = -J \sum_{<i,j>}S_i^2S_j^2, ahol S_i = \pm 1[1][2]

  • Tegyük fel, hogy a folyamat Markov-folyamat, tehát létezik olyan \Delta t, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik t + \Delta t-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}\Delta t p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}\Delta t p_{n^{,}}(t)

A p_n(t)-t ismerem, a p_n(t+\Delta t)-t keresem, a w_{n^{,}n} és w_{nn^{,}} egységnyi időre vonatkozik.

Sorbafejtek p_n(t+\Delta t) körül, p_n(t) kiesik, így:

\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t) A Master-egyenlet diszkrét állapottérben

Ennek kell, hogy legyen stacionárius megoldása, amihez relaxál:

p_n^{(egyensulyi)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}, ahol E_n az n-edik állapot energiája.

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz-->ez w_{n^{,}n} és w_{nn^{,}}-re megkötés!

Van időtükrözési invariancia is! Ennek következménye a részletes egyensúly (bővebben később).

  • Tegyük fel, hogy meg tudom úgy adni az átmeneti valószínűségeket, hogy a rendszer beugorjon az egyensúlyi állapotba.
  • Hogyan kell megválasztani az átmeneti valószínűségeket?

Példa

Szilárd testekben lévő spinrendszereknél a többi kölcsönhatás hőtartályként adódik a rendszerhez. (Pl. szupravezetésnél feltételezték, hogy az elektronok Coulomb-kölcsönhatása le van árnyékolva, a fononok pedig a háttér hőtartályt adják. Később kiderült, hogy alacsony hőmérsékleten éppen a fononok miatt kezdik el vonzani egymást az elektronok.)

Az átmeneti valószínűségek megválasztása

  • Egyensúlyban időtükrözési szimmetria van.
A rendszer két állapota közötti átmeneti valószínűségek "kimérése"

Számolom, hogy (irány szerint megkülönböztetve) hányszor megy egyikből a másik állapotba a rendszer.

  • Stacionárius állapotban \Delta t idő alatt az átmenetek száma:
n-ből n'-be menve: w_{n^{,}n}p_n^{egyensulyi}
n'-ből n-be menve: w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensulyi}
  • A részletes egyensúly elve azt mondja ki, hogy a két számnak meg kell egyeznie, azaz:
w_{n^{,}n}p_n^{egyensuly} = w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensuly} Megkötés az átmeneti valószínűségek hányadosára

Ha az állapotok száma véges és a rendszer minden pontjából minden másik pontjába el tudok jutni, akkor egyetlen stacionárius állapot lesz, az egyensúlyi.

Csak az átmeneti valószínűségek hányadosára van megkötés, azaz: \frac{w_{n^{,}n}}{w_{nn^{,}}} = \frac{e^{-\beta (E_{n^{,}-E_n})}}{1} = \frac{1}{e^{-\beta (E_n-E_{n^{,}})}}

Ha E_{n^{,}}-E_n = \Delta E_{nn^{,}} > 0 (azaz az energia nő), az e-ados tag 1-nél kisebb lesz, tehát vehetem azt az átmeneti valószínűségnek. Ha csökken az energia, akkor az energiacsökkenés felé vivő lépést egy valószínűséggel lépem meg.

Bizonyítás: \partial_t p_n(t) = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}} w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t) = 0 (egyensúly esetén). Tehát: 0 = -\sum_{n^{,}}(w_{n^{,}n}p_n^{egyensuly}-w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensuly}) Páronként kioltják egymást. Ezért hívják részletes egyensúlynak, mivel nem csak az egész összeg nulla, hanem az állapotok között páronként van egyensúly.

A dinamikai mátrix felírása

Egy N-állapotú rendszer adott állapotainak valószínűségeit - időtől függően - felírhatjuk vektoros alakban, a következőképpen:

\underline{p}(t) = (\begin{array}{c}p_1(t)\\p_2(t)\\\vdots\\p_N(t)\end{array})

Ekkor \partial_t \underline{p} = \underset{=}{A}\underline{p}[3] és: \partial_t p_n = \sum_{n^{,}} A_{nn^{,}} p_{n^{,}}


, ahol \underset{=}{A} a rendszer dinamikai mátrixa, kiszámítása pedig a következőképpen történik:

A_{nn^{,}} = w_{nn^{,}} - \sum_{n^{,,}} w_{n^{,,}n}\delta_{nn^{,}} A rendszer dinamikai mátrixának kiszámítási módja

A mátrix elemeit összeadva a következőket kapjuk: \sum_n A_{nn^{,}}[4]  = \sum_n w_{nn^{,}} - \sum_{n^{,,}} w_{n^{,,}n^{,}} = 0 [5]

Perron-Frobenius teoréma [2]

A fenti mátrix \lambda_1 = 0 sajátértéke a legnagyobb, nem degenerált sajátállapothoz tartozik. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy létezik egy (és csak egy) olyan megoldás, amire a sajátérték nulla. A legkisebb sajátérték sem degenerált.

Ha az egyensúlyi állapotban \underline{p}^{(e)} = 0 (ekkor \underline{p}^{(e)} minden komponense pozitív [6]), akkor \lambda_1 = 0. Ekkor: (\begin{array}{c}p^{(e)}_1 = 0\\p^{(e)}_2\\\vdots\\p^{(e)}_N\end{array}). Azaz egyensúlyban az egyes állapot kiürül. Részletes egyensúlyban emiatt minden állapot ki fog ürülni.


Ha a többi \lambda_{\alpha}, ..., \lambda_N sajátértékhez nézzük az időfejlődést, pl.: \underline{p}^{(\alpha)}(t) = e^{\lambda_{\alpha}t}\underline{p}^{(\alpha)}(0). Látható, hogy ebben az esetben a rendszer divergál. Azonban ha a sajátértékek mindegyike \lambda_{\alpha} < \lambda_1 = 0, akkor a rendszer az egyensúlyi állapothoz fog konvergálni az időfejlődése során.

Tegyük fel, hogy mégis degenerált a \lambda_1 = 0 sajátérték, ekkor van másik egyensúlyi állapot:

(\begin{array}{c}\tilde{p}_1^{(e)}\\\vdots\\\tilde{p}_N^{(e)}\end{array})

De ha van két ilyen állapot, akkor azok lineárkombinációja is egyensúlyi állapot (mivel a Master-egyenlet lineáris): \alpha\underline{p}^{(e)} + \gamma\underline{\tilde{p}}^{(e)}.

Ám ekkor meg tudom tenni - alfa és gamma értékek változtatásával -, hogy minden tagot pozitívnak választok, kivéve egyet, ami nulla. Vagyis a két vektor egyenlő kell, hogy legyen.[7]

A fentiek fényében tehát:

\underline{p}(t) = \sum_{\alpha}\underline{p}^{(\alpha)}(0)e^{\lambda_{\alpha}t} = \underline{p}^{(e)} + \sum_{\alpha^{,}}\underline{p}^{(\alpha)}(0)e^{\lambda_{\alpha}t}

Ahol az egyenlet végén lévő szummás tagok kihalnak, mivel a \lambda_{\alpha}-k negatívak (egyébként a megoldás - ahogy fentebb láttuk - elszaladna a végtelenbe).

Megjegyzés: fázisátalakulásnál nagyok a fluktuációk, mivel az egész rendszer együtt változik, ellentétben a magas hőmérsékleten lévő kis fluktuűciókkal. Ez a \lambda-k értékeiben azt jelenti, hogy (\lambda_1 ugye mindig nulla,) \lambda_2 abszolútértékben nagyon kicsi, mert reciproka adja a relaxációs időt:

\tau_{\alpha} = \frac{1}{{|\lambda_{\alpha}|}}

És most jöjjön egy levezetés.

Két spinből álló rendszer átmeneti valószínűségeinek meghatározása

Tehát rendszerünk két spinből áll, amit egy négy elemű gráfon ábrázolhatunk.

A két spinű rendszer ábrázolása gráfon

Egyszerre csak egy spin fordulhat!

Az állapotok közötti átmeneti valószínűségek meghatározásához először az egyennsúlyi valószínűségeket kell meghatároznunk.

\mathcal{H} := -JS_1S_2 és E_{\upuparrows} = E_{\downdownarrows} = -J, valamint E_{\uparrow\downarrow} = E_{\downarrow\uparrow} = +J

Tudjuk még továbbá, hogy: p^{(e)}_{S_1,S_2} = \frac{1}{z}e^{+\beta J S_1 S_2}, ahol z az állapotösszeg, értéke pedig:

z = 2e^{\beta J} + 2e^{-\beta J}, ahol a \beta J \equiv K. Ezt az átnevezést elvégezve az egyensúlyi valószínűségek a következő képlettel írhatóak le: p^{(e)}(S_1,S_2) = \frac{e^{K S_1 S_2}}{2(e^{K} - e^{-K})}

Jelölés: w_1 (S_1, S_2). Jelentése: bármelyik (S_1,S_2) állapotban vagyunk, és az egyes(!) spint forgatjuk. Érdemes megjegyezni, hogy a w (S_1, S_2) átmeneti valószínűségek 1/idő dimenziójúak.

Ezen okból az átmeneti valószínűségek hányadosára a következő értékeket kaphajuk:

\frac{w_1(S_1,S_2)}{w_1(-S_1,S_2)} = \frac{e^{-KS_1S_2}}{e^{KS_1S_2}} = \frac{chK-S_1S_2shK}{chK+S_1S_2shK}

Az egyenlet bal oldalán lévő felső tört felső része annak valószínűsége, hogy S_1 \longrightarrow -S_1 állapotátmenet történik meg, míg alsó része ennek pont az ellenkezője. Az e-ados alakokat azért lehet a fenti módon átalakítani, mert kihasználtuk, hogy a spinek csak S_i = \pm 1 értékeket vehetnek fel.

Végezzük el a thK = v helyettesítést, ekkor a következőt kapjuk:

w_1(S_1,S_2) = \frac{\frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)}{\frac{1}{2\tau}(1+S_1S_2v)} Ebből következpen: w_1(S_1,S_2) = \frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)[8]

Ugyanezt w_2-re felírva:

\frac{w_2(S_1,S_2)}{w_2(S_1,-S_2)} = \frac{e^{-KS_1S_2}}{e^{KS_1S_2}}


Lábjegyzetek

  1. A ferromágnes első modellje. A spinek egy irányba szeretnek beállni, de a hőmozgás szétválasztja őket. T->0: Curie-hőmérséklet alatt ferromágneses viselkedés.
  2. A Fermi aranyszabály és az Ising spin-rendszer csak a spineket vizsgálja, nálunk meg egy csomó más hatás is van, tehát nem pont azt írják le, ami nekünk kell.
  3. Miért is? Erre itt nem emlékszem, hogy miért...:(
  4. Az egységmátrixot hozzáadva sztochasztikus mátrixnak nevezzük.
  5. A két szummás tag egyenlő adott értéknél, csak az összegzési index más.
  6. Itt sem teljesen értem, hogy mire gondoltunk, de így van felírva. Elírtam?
  7. Szerintem itt a magyarázatom nem túl világos. Én sem teljesen emlékszem, hogy miért is volt ez így. Ha valaki világosabbat tud, írja be legyen szíves!
  8. Ha S_1 vagy S_2 előjele változik, az egyenletben lévő előjel változik csak, azaz w_1(\upuparrows) = \frac{1}{2\tau}(1-v) és w_1(\uparrow \downarrow) = \frac{1}{2\tau}(1+v) (v pedig mindig pozitív!)