„Relativitáselmélet” változatai közötti eltérés

Innen: TételWiki
(A Klein-Gordon egyenlet)
(A Dirac-egyenlet)
92. sor: 92. sor:
  
 
===A Dirac-egyenlet===
 
===A Dirac-egyenlet===
 +
 +
Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:
 +
 +
<math>i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi</math>
 +
 +
Szeretnénk, ha a Hamilton-operátor összhangban lenne a relativitáselmélet <math>E = \pm \sqrt{p^2 + m^2}</math> összefüggésével. Tegyük fel, hogy létezik egy ilyen operátor, ami előáll az impulzusok (térszerinti deriváltak) és a tömeg (mint számmal szorzás) lineárkombinációjaként, és a négyzetére teljesül a relativisztikus energia-impulzus összefüggés (a továbbiakban a latin betűs indexek a térszerű koordinátákat jelölik: <math>i = 1,2,3</math>, rájuk is vonatkozik a kétszer előforduló indexre automatikus összegzés szabálya):
 +
 +
<math> \hat{\operatorname{H}} = \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \quad \quad \hat{\operatorname{H}}^2 = \hat{\operatorname{p}}_i \hat{\operatorname{p}}_i + m^2</math>
 +
 +
A fenti feltételeknek nincs megoldása abban az esetben, ha az <math>\alpha_i</math> és <math>\beta</math> együtthatók számok, így keressük úgy a megoldást, hogy a <math>\Psi</math> hullámfüggvény több komponensű (oszlopvektor) és az együtthatók mátrixok. Így a feltételeink:
 +
 +
* Legyen <math>\Psi</math> egy <math>n</math> komponensű vektor, a komponenseit jelölje <math>\Psi_i</math>
 +
 +
* Legyen a <math> \rho \equiv \Psi^{+} \Psi \equiv \sum_{i=1}^{n} \Psi_i^{*} \Psi_i</math> mennyiség egy megmaradó 4-es áram nulladik komponense
 +
 +
* Teljesüljön a relativisztikus <math>E^2 = p^2 + m^2 </math> összefüggés. Ez azt jelenti, hogy <math>\Psi_i</math> minden komponense kielégíti a Klein-Gordon egyenletet
 +
 +
* Legyen az egyenlet kovariáns, azaz teljesítse azt a feltételt, hogy mindkét oldalán a Lorentz-transzformációk szempontjából ugyanúgy transzformálódó mennyiségek szerepelnek
 +
 +
 +
Megmutatható, hogy ezek a feltételek az együtthatómátrixokra a következő egyenleteket adják:
 +
 +
<math> \left \{ \alpha_j , \alpha_k \right \} = 2 \delta_{jk} \quad \left \{ \alpha_j , \beta \right \} = 0 \quad \alpha_i^2 = \beta^2 = 1</math>
 +
 +
A kapcsos zárójelek az antikommutátorokat jelentik. Ezeket az egyenleteket legkevesebb <math>4 \times 4</math>-es mátrixokkal lehet kielégíteni, léteznek magasabb dimenziójú megoldások is, mi a továbbiakban csak az <math> n = 4 </math> esettel foglalkozunk. Ebben az esetben a megoldás (igazából több megoldás lehetséges, de ezek nem függetlenek egymástól, így elég csak egyet vizsgálni):
 +
 +
<math> \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array} \right ) \quad \quad \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & -\operatorname{I} \end{array} \right ) </math>
 +
 +
Itt <math>\operatorname{I}</math> a <math>2 \times 2</math>-es egységmátrix, a <math>\sigma_i</math> mátrixok a Pauli-mátrixok. A komponensek kiírva:
 +
 +
<math>
 +
\beta = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad
 +
\alpha_1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\alpha_2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad
 +
\alpha_3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right )
 +
</math>
 +
 +
A <math>\Psi</math> hullámfüggvény pedig egy négy komponensű vektor lesz. Nagyon fontos megjegyeznünk, hogy <math>\Psi</math> _nem_ négyesvektor (a relativitáselméletben bevezetett módon), a komponenseit nem lehet a négyesvektorokra ható Lorentz-mátrixokkal transzformálni, matematikailag <math>\Psi</math> egy másik tér eleme. A továbbiakban az együtthatómátrixok és <math>\Psi</math> komponenseinek az indexeit általában elhagyjuk, azok között a mátrixalgebrában szokásos műveletek érvényesek. Az <math>\alpha</math> mátrixok indexei a mátrix sorszámát jelentik. Egyes esetekben nehéz számontartani a különböző fajta vektorok komponenseit, a lényeg az, hogy a differenciáloperátorok <math>\Psi</math> minden komponensére külön hatnak, egy együtthatómátrix pedig a mátrixszorzás szabályai szerint hat. A Dirac-egyenlet így felírva:
 +
 +
<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left ( -i \hbar \alpha_i \partial_i + \beta m \right ) \Psi = -i \hbar \alpha_1 \frac{\partial \Psi}{\partial x} -i \hbar \alpha_2 \frac{\partial \Psi}{\partial y} -i \hbar \alpha_3 \frac{\partial \Psi}{\partial z} + \beta m \Psi</math>
 +
 +
A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás <math>\Psi</math> minden komponensére külön hat, majd az <math>\alpha</math> mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.

A lap 2009. szeptember 13., 11:41-kori változata

Kísérleti előzmények

Matematikai alapok és fogalmak

A relativitáselmélet matematikai alapjai

Relativisztikus kinematika és dinamika

Relativisztikus kinematika és dinamika

Relativisztikus elektrodinamika

Relativisztikus kvantummechanika

(ez egy külön oldal lenne, de nem sikerült egyből rájönnöm, hogy hogy kell új oldalt csinálni)

Ebben a részben c = 1

A Klein-Gordon egyenlet

Legyen \Psi (t,\mathbf{x}) egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a E^2 = p^2 + m^2 egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: \mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:

 \left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0

Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan:  p_{\mu} p^{\mu} = m^2. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right ) . A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:

\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0

A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:

 \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}}

Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2} feltétel. Ez azt jelenti, hogy a k^{\mu} négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right ), így ezekre a \omega^2 = k^2 + m^2 diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).

Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosításaként. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:

 \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0 \quad \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi^* = 0

Szorozzuk meg az eredeti egyenletet (balról) \Psi^*-al, a komplex konjugált egyenletet \Psi-vel, és vonjuk ki a kettőt egymásból. Az eredmény:


\Psi^* \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi^* = \partial_{\mu} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right ) = 0

Azt kaptuk, hogy egy négyesvektor divergenciája 0. Ez lehetőséget ad egy négyesáram bevezetésére, amire egy megmaradási tétel (kontinuitási egyenlet) írható fel. Legyen:


j^{\mu} = \frac{i \hbar}{2m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )

Ekkor fennáll, hogy  \partial_{\mu} j^{\mu} = 0. A komponenseket  j^{\mu} = \left ( \rho, \mathbf{j} \right ) formában írva ez egy kontinuitási egyenlet jelent:


\frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \mathbf{j}

Az egész térre integrálva azt kapjuk, hogy a \rho sűrűség integrálja állandó:


\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} t} \int \rho \operatorname{d}^3 x = 0

Ez alapján azt lehetne mondani, hogy \rho a Schrödinger egyenletnél bevezethető valószínűségsűrűséghez hasonlóan viselkedik, ennek ellenére nem lehet valószínűségsűrűségként értelmezni, mert a Schrödinger-egyenletnél használt abszolútértéknégyzettel szemben \rho értéke nem csak pozitív lehet, hanem negatív is. Ez abból következik, hogy a Klein-Gordon egyenlet időben másodrendű, így kezdőfeltételként \Psi-t és az idő szerinti deriváltját tetszőlegesen lehet megválasztani, úgy is, hogy \rho egyes helyeken negatív legyen.

Így a Klein-Gordon megoldásainak nem lehet a Schrödinger-egyenletnél megszokott valószínűségi értelmezést adni. Abban az esetben viszont, ha töltött részecskékről van szó, egy töltés áramsűrűséget lehet bevezetni. Legyen ekkor:

 j^{\mu} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )

Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő e szorzó, így j^{\mu} négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponenes a töltéssűrűség:

\rho = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \Psi \frac{\partial \Psi^* }{\partial t} \right )

A térszerű komponensek a hármas áramsűrűséget adják:

 \mathbf{j} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^* \right )

Az össztöltés megmarad:

Q \equiv \int \rho \operatorname{d}^3 x \quad \rightarrow \quad \frac{\operatorname{d} Q}{\operatorname{d} t} = 0

Ezzel szemben \rho értéke egy adott pontban tetszőlegesen változhat, lehet pozitív és negatív is. Ez azt jelenti, hogy a Klein-Gordon egyenlettel nem lehet egy rögzített (pozitív vagy negatív) töltésű részecskét leírni, az időfejlődés során megjelenhetnek ellentétes töltésű tartományok, ennek magyarázata az, hogy minden részecskének létezik ellentétes töltésű antirészecskéje, és a részecskék és antirészecskék száma nem marad meg, csak az össztöltés, keletkezhetnek és annihilálódhatnak részecske-antirészecske párok. Ennek a teljes leírására azonban a Klein-Gordon egyenlet jelenlegi formája nem alkalmas, el kell végezni a \Psi tér második kvantálását. Ezt itt nem tesszük meg, az antirészecskék jelenlétét viszont a síkhullám megoldásokon is tudjuk egyszerűen szemléltetni. Ehhez írjuk fel az előbbi síkhullám megoldást (a szokásos  E = \hbar \omega és \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} jelöléseket használva):

 \Psi = A e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E t \right ) }

Itt \mathbf{p} tetszőleges (hármas) vektor, és érvényes az  E = \pm \sqrt{p^2 + m^2} diszperziós reláció. Legyen a pozitív megoldás E_p \equiv + \sqrt{p^2 + m^2}, így E = \pm E_p, a különböző előjelhez tartozó megoldások külön felírva:

\Psi_{+} = A_{+} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E_p t \right ) } \quad \quad
\Psi_{-} = A_{-} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} + E_p t \right ) }

Az ezekből számolt töltéssűrűségek (a deriválást elvégezve):

\rho_{+} = + \frac{e E_p}{m} \left | A_{+} \right |^2 \quad \quad \rho_{-} = - \frac{e E_p}{m} \left | A_{-} \right |^2

Az egyik esetben a töltéssűrűség pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy lehet értelmezni, hogy a \Psi_{+} megoldás +e töltésű, a \Psi_{-} megoldás -e töltésű részecskéket ír le.

A Dirac-egyenlet

Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi

Szeretnénk, ha a Hamilton-operátor összhangban lenne a relativitáselmélet E = \pm \sqrt{p^2 + m^2} összefüggésével. Tegyük fel, hogy létezik egy ilyen operátor, ami előáll az impulzusok (térszerinti deriváltak) és a tömeg (mint számmal szorzás) lineárkombinációjaként, és a négyzetére teljesül a relativisztikus energia-impulzus összefüggés (a továbbiakban a latin betűs indexek a térszerű koordinátákat jelölik: i = 1,2,3, rájuk is vonatkozik a kétszer előforduló indexre automatikus összegzés szabálya):

 \hat{\operatorname{H}} = \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \quad \quad \hat{\operatorname{H}}^2 = \hat{\operatorname{p}}_i \hat{\operatorname{p}}_i + m^2

A fenti feltételeknek nincs megoldása abban az esetben, ha az \alpha_i és \beta együtthatók számok, így keressük úgy a megoldást, hogy a \Psi hullámfüggvény több komponensű (oszlopvektor) és az együtthatók mátrixok. Így a feltételeink:

  • Legyen \Psi egy n komponensű vektor, a komponenseit jelölje \Psi_i
  • Legyen a  \rho \equiv \Psi^{+} \Psi \equiv \sum_{i=1}^{n} \Psi_i^{*} \Psi_i mennyiség egy megmaradó 4-es áram nulladik komponense
  • Teljesüljön a relativisztikus E^2 = p^2 + m^2 összefüggés. Ez azt jelenti, hogy \Psi_i minden komponense kielégíti a Klein-Gordon egyenletet
  • Legyen az egyenlet kovariáns, azaz teljesítse azt a feltételt, hogy mindkét oldalán a Lorentz-transzformációk szempontjából ugyanúgy transzformálódó mennyiségek szerepelnek


Megmutatható, hogy ezek a feltételek az együtthatómátrixokra a következő egyenleteket adják:

 \left \{ \alpha_j , \alpha_k \right \} = 2 \delta_{jk} \quad \left \{ \alpha_j , \beta \right \} = 0 \quad \alpha_i^2 = \beta^2 = 1

A kapcsos zárójelek az antikommutátorokat jelentik. Ezeket az egyenleteket legkevesebb 4 \times 4-es mátrixokkal lehet kielégíteni, léteznek magasabb dimenziójú megoldások is, mi a továbbiakban csak az  n = 4 esettel foglalkozunk. Ebben az esetben a megoldás (igazából több megoldás lehetséges, de ezek nem függetlenek egymástól, így elég csak egyet vizsgálni):

 \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array} \right ) \quad \quad \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & -\operatorname{I} \end{array} \right )

Itt \operatorname{I} a 2 \times 2-es egységmátrix, a \sigma_i mátrixok a Pauli-mátrixok. A komponensek kiírva:


\beta = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad 
\alpha_1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )


\alpha_2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad 
\alpha_3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right )

A \Psi hullámfüggvény pedig egy négy komponensű vektor lesz. Nagyon fontos megjegyeznünk, hogy \Psi _nem_ négyesvektor (a relativitáselméletben bevezetett módon), a komponenseit nem lehet a négyesvektorokra ható Lorentz-mátrixokkal transzformálni, matematikailag \Psi egy másik tér eleme. A továbbiakban az együtthatómátrixok és \Psi komponenseinek az indexeit általában elhagyjuk, azok között a mátrixalgebrában szokásos műveletek érvényesek. Az \alpha mátrixok indexei a mátrix sorszámát jelentik. Egyes esetekben nehéz számontartani a különböző fajta vektorok komponenseit, a lényeg az, hogy a differenciáloperátorok \Psi minden komponensére külön hatnak, egy együtthatómátrix pedig a mátrixszorzás szabályai szerint hat. A Dirac-egyenlet így felírva:

 i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left ( -i \hbar \alpha_i \partial_i + \beta m \right ) \Psi = -i \hbar \alpha_1 \frac{\partial \Psi}{\partial x} -i \hbar \alpha_2 \frac{\partial \Psi}{\partial y} -i \hbar \alpha_3 \frac{\partial \Psi}{\partial z} + \beta m \Psi

A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás \Psi minden komponensére külön hat, majd az \alpha mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.