Transzportfolyamatok

Innen: TételWiki
A lap korábbi változatát látod, amilyen Jeffrey (vitalap | szerkesztései) 2011. június 11., 13:21-kor történt szerkesztése után volt.

Az előző tételben bemutatott kinetikus egyenletek alapjául szolgáló eloszlásfüggvényekkel fejezhetőek ki a különböző makroszkopikusan is mérhető mennyiségek, illetve az ezek közötti kapcsolatok. Ezekről, illetve néhány egyszerű alkalmazásról lesz szó itt.

A Boltzmann-típusú egyenletek momentumai

Annak analógiájára, hogy a sűrűségfüggvény integrálja a részecskeszámot adja, számos más mennyiség is előállítható belőle. Például tetszőleges X mennyiség áramsűrűsége:

\vec{j}_X = \int X f \vec{v} d^3p

Ezzel könnyen felírható az elektromos töltés árama, vagy a hőáram (a Fermi-szint feletti energia árama):

\vec{j}_e = e\int f \vec{v} d^3p
\vec{j}_Q = \int (E-E_F) f \vec{v} d^3p

Az átlagenergiasűrűséget már a sebesség második hatványával tudjuk kifejezni:

\varepsilon = \frac{1}{2}m\int f v^2 d^3p

Látható, hogy a kifejezések integrandusában az f \cdot v^n faktor a közös, ez alapján teljesen jogos a momentumokról beszélni, hiszen a sebesség egyre magasabb hatványai jelennek meg. Külön ki kell emelni, hogy mi a helyzet az ütközési tagok momentumatival. Általában plazma leírásnál felteszik, hogy ezeknek a momemtumai nullák, azaz nincs részecskeszám változás, nincs összenergia, illetve összimpulzus változás stb. Nyilván ezek csak bizonyos folyamatok esetében igazak, nem általános érvényességű igazságok (pl. ionizáció v rekombináció esetén változik a részecskeszám stb.), de mindig tükrözik, hogy az adott rendszerben milyen makroszkopikus megmaradási tételek igazak.

Transzport koefficiensek

A termodinamikai rendszert fizikai mennyiségek jellemzik. Ha egy ilyen mennyiségnek a lokális sűrűsége megváltozik, akkor ahhoz tartozik egy áram, ami az adott mennyiséget szállítja, ezeket a folyamatokat nevezzük transzport folyamatoknak. Ha az áram, illetve az áramot hajtó hatás nem túl nagy, akkor tipikusan jó a lineáris közelítés. Ekkor a lineáris együtthatót transzport koefficiensnek nevezzük. Néhány ilyen mennyiség például a hozzájuk tartozó áramokkal: Diffúziós-együttható (tömeg áram), viszkozitás (impulzus áram), hővezetési-együttható (energia áram), elektromos-vezetési együttható (az ellenállás reciproka, elektromos áram). Ezek kifejezhetőek a Boltzmann-egyenletekből megfelelő közelítések árán.

Példaképpen, ha csak az elektromos és hővezetési effektusokra szorítkozunk, akkor első közelítésben a következő egyenletek vezethetőek le:

\vec{j}_e = \mathbf{L}_{11} \nabla_\vec{r} \mu + \mathbf{L}_{12} \frac{1}{T}\nabla_\vec{r} T
\vec{j}_Q = \mathbf{L}_{21} \nabla_\vec{r} \mu + \mathbf{L}_{22} \frac{1}{T}\nabla_\vec{r} T

ahol

\mathbf{L}_{11} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p
\mathbf{L}_{12} = \mathbf{L}_{21} = e \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F) \tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p
\mathbf{L}_{22} = \int \frac{\partial f_0}{\partial E} (E-E_F)^2\tau (\vec{v} \circ \vec{v}) d^3 p


és \circ a diadikus szorzatot jelöli, \tau pedig az ütközési tag relaxációs idejét jelenti. Az L tenzor off-diagonális elemei az Onsager-relációk miatt egyeznek. (Erről valahol majd még lesz szó). Ezekkel a lineáris transzport koefficiensek tenzorai már egyszerűen felírhatóak:

\mathbf{\sigma}_e = -e \mathbf{L}_{11} azaz a vezetőképesség tenzora, ha nincs hőmérséklet gradiens.
\mathbf{\sigma}_Q = \frac{1}{T}[ \mathbf{L}_{22} - \mathbf{L}_{12} (\mathbf{L}_{11})^{-1}\mathbf{L}_{12} ] a hővezetés tenzora, ha nincs elektromos áram.
\mathbf{S} = \frac{1}{T}[ (\mathbf{L}_{11})^{-1} \mathbf{L}_{12}] a termoelektromos együttható, ha nincs elektromos áram.

A magasabb rendű és kereszteffektusok hasonlóan, csak bonyolultabb közelítések után számolhatóak, néhány példa: Peltier-, Thomson-, Seebeck együtthatók, Hall-tenzor stb.

Ezek az együtthatók egyébként közvetlenül is számolhatóak a mikroszkópikus modellekből, erről a Green–Kubo-összefügések adnak számot.

Az elektromos vezetés Drude-modellje

Az elektromos vezetés jelenségét úgy tekintjük, hogy az elektronok az elektromos tér hatására gyorsulnak, azonban a vezető helyezkötött atomtörzseinek ütközve energiát veszítenek. Ez igen hamar makroszkópikus egyensúlyhoz vezet, ha a tér nem változik. Ezek a feltevések az alapjai a Drude-modellnek, amelynek eredménye az elektronokra felírható mozgásegyenlet:

m \ddot{x} = eE - m \frac{1}{\tau}v

amelynek stacionárius megoldása:

m \frac{1}{\tau}v = eE

Itt \tau az ütközések között eltellő jellemző relaxációs idő, v a drift sebesség. A v-re rendezett eredményt a töltéssel (e) és az elektronsűrűséggel (n) beszorozva megkaphatjuk az Ohm-törvényt:

j = \frac{n e^2 \tau}{m}E

azaz az elektromros áramsűrűség egyenesen arányos a térerősséggel, az arányossági tényező a fajlagos ellenállás reciproka, azaz a fajlagos vezetőképesség. A Drude-moell jó leírást ad több effektusra, azonban például az áram hőhatását túlbecsli. Kevés jó modell van az elektronok ütközésének leírására, ez a terület ma is aktív kutatás tárgya.

Diffúzió - alternatív levezetés

Az alábbiakban az erőmentes diffúzió egy levezetését adjuk. Ez felfogható a Fokker-Planck egyenlet egy másik levezetéseként is. Tekintsünk erőmentes rendszert, ekkor F=0, továbbá legyen jó közelítéssel homogén a közegünk. Úgy kell elképzelni, hogy egy sok kis részecséből álló egyensúlyban levő rendszerbe beteszünk kevés számú nagy tömegű részecskét. Ekkor a nagyok egymás közötti ütközéseit elhanyagolhatjuk, a kicsikkel való ütközésben viszont kevéssé változik meg az impulzusuk. Eredményként minden külcsönhatást az ütközési tagba írhatunk. Az előző feltételek miatt a Boltzmann-egyenletből csak az időderivált marad meg a baloldalon, így:


\frac{\partial f}{\partial t} = \left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}}

A jobboldalra tegyük fel a következő Master-egyenletet, amiben a w(\vec{p}, \vec{q}) átmeneti valószínűség jellemi az ütközési folyamatban a \vec{p} impulzusról \vec{p}-\vec{q}-ra történő változás egységnyi időre jutó rátáját. Ekkor:

\left. \frac{\partial f}{\partial t} \right|_{\mathrm{coll}} = \int [w(\vec{p}+\vec{q}, \vec{q})f(t, \vec{p}+\vec{q}) - w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p})] d^3q

Az, hogy a nagy részecske impulzusa cska kicsit áltozik meg a kisebbekel való ütközésben úgy jelenik meg, hogy w függvény gyorsan csökken \vec{q}-ban, ezért \vec{q}-t kicsinek vehetjük, és sorfejthetünk:

w(\vec{p}+\vec{q}, \vec{q})f(t, \vec{p}+\vec{q}) \approx w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p}) + \vec{q}\frac{\partial}{\partial p}w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p}) +\frac{1}{2}(\vec{q} \circ \vec{q})(\frac{\partial}{\partial \vec{p}} \circ \frac{\partial}{\partial \vec{p}})w(\vec{p}, \vec{q})f(t, \vec{p})

Ekkor a kinetikus egyenletünk a következő alakba írható, amit Fokker-Planck egyenletnek neveznek::


\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{ \partial}{\partial p_{\alpha}} \left( A_{\alpha}f + \frac{ \partial}{\partial p_{\beta}} [\mathrm{B}_{\alpha\beta} f]\right)

ahol:

\vec{A} = \int \vec{q} w d^3 p
\mathrm{B} = \frac{1}{2}\int (\vec{q}\circ\vec{q}) w d^3 q

A Fokker-Planck-egyelet jobboldalára tekinthetünk úgy, mint egy divergenciára, ami ekkor a részecskeszám megmaradását fejezi ki. Az ehhez tartozó megmaradó áram (Noeter-tétel!) a részecskeszám-áramsűrűség:

\vec{j} = -\vec{A} f - \nabla_{\vec{p}}\mathrm{B}f - \mathrm{B}\nabla_{\vec{p}} f

A jobboldal első két tagjára bevezethetjük a -\vec{C} jelölést. Egyensúlyban az áram nulla, és ha azt is kihasználjuk, hogy ekkor f = c \cdot \exp(-\frac{p^2}{2MT}), ahol M \, a nehéz részecske tömege, T\, pedig a háttér kis részecskék hőmérséklete, akkor \vec{C} és \mathrm{B} \, nem függetlenek:

MT\vec{C} = \mathrm{B}\vec{p}

Ezzel a mozgásegyenlet alakja:


\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{ \partial}{\partial p_{\alpha}} \left( \mathrm{B}_{\alpha\beta} \left( \frac{\vec{p}}{MT}f + \frac{ \partial f}{\partial p_{\beta}} \right)\right)


Ha még azt a közelítést is alkalmazzuk, hogy a nehéz részecskék visszalökődése elhanyagolható, akkor \mathrm{B} impulzusfüggetlen lesz, és egyetlen skalárral (\mathrm{B}_{\alpha\beta} = B\delta_{\alpha\beta}) reprezentálható:

B = \frac{1}{6} \int w(0, \vec{q}) q^2 d^3q

Az 1/3 faktor onnan jött, hogy összegeztünk az indexekre és \sum \delta_{\alpha\alpha} = 3. Így a mozgásegyenlet:


\frac{\partial f}{\partial t} = B \frac{ \partial}{\partial \vec{p}} \left( \frac{\vec{p}}{MT}f + \frac{ \partial f}{\partial \vec{p}} \right)

Innen látszik, hogy a második deriváltas tag együtthatója B, tehát ez felel meg a diffúziós együtthatónak.

Anomális diffúzió

Izé... asszem így hívták, amit káoszból tanultunk... asszem a CADS-ban benne van... Sztem érdekesség képpen rakjuk be ide...


MSc záróvizsga tételek
Tételek Soktest rendszerek | Transzportfolyamatok | Véletlen gráfok generálása, tulajdonságai | Elsőrendű és folytonos fázisátalakulások | Válasz- és korrelációs függvények, fluktuáció-disszipáció tétel | Sztochasztikus folyamatok | A statisztikus fizikai szimulációk alapjai és a Monte Carlo módszer | Dinamikai rendszerek, kaotikus viselkedés | Adatelemzés: lineáris és nem lineáris regresszió egy modellen bemutatva | Adatelemzés: bootstrap modellek | TCP hálózat működése | Adatelemzés: ARCH, GARCH folyamatok | Numerikus módszerek | Vizualizációs módszerek