Master-egyenletek

Innen: TételWiki

Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi).

Alapvetése

  • Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér befolyásol.
  • A háttér annyira nem fontos, csak a hatása a megfigyelt részecskére (van néhány kiválasztott szabadsági fokom).
  • Mivel a háttérről nem sokat tudok, valószínűségi egyenletekkel dolgozom.

Példa

Van egy rendszerem, amiből engem csak a mágneses viselkedés érdekel, csak a spineket figyelem.

Nagy rendszer: sok spin \left\{ S\right\} = \left\{ S_1, S_2, ...\right\}

Spinbeállások nagy rendszer esetén

Két részecskéből álló rendszer esetén a teljes állapottér négy diszkrét állapotból áll:

Spinbeállások 2-részecskés rendszernél

A Master-egyenlet felírása

Most legyen n diszkrét állappot.

  • p_n(t): mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer az n-edik állapotban van?
  • Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer n-ből n' állapotba megy át.

Ennek jelölése: w_{n^{,}n} --> nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

  • Fermi aranyszabály: \mathcal{H} ismert, w_{n^{,}n} \sim |<n|\mathcal{H}|n^{,}>|^2 QM-ben.

Ising [1] spin-rendszer esetén: \mathcal{H} = -J \sum_{<i,j>}S_i^2S_j^2, ahol S_i = \pm 1[1][2]

  • Tegyük fel, hogy a folyamat Markov-folyamat, tehát létezik olyan \Delta t, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik t + \Delta t-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}\Delta t p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}\Delta t p_{n^{,}}(t)

A p_n(t)-t ismerem, a p_n(t+\Delta t)-t keresem, a w_{n^{,}n} és w_{nn^{,}} egységnyi időre vonatkozik.

Sorbafejtek p_n(t+\Delta t) körül, p_n(t) kiesik, így:

\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}}w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t) A Master-egyenlet diszkrét állapottérben

Ennek kell, hogy legyen stacionárius megoldása, amihez relaxál:

p_n^{(egyensulyi)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}, ahol E_n az n-edik állapot energiája.

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz-->ez w_{n^{,}n} és w_{nn^{,}}-re megkötés!

Van időtükrözési invariancia is! Ennek következménye a részletes egyensúly (bővebben később).

  • Tegyük fel, hogy meg tudom úgy adni az átmeneti valószínűségeket, hogy a rendszer beugorjon az egyensúlyi állapotba.
  • Hogyan kell megválasztani az átmeneti valószínűségeket?

Példa

Szilárd testekben lévő spinrendszereknél a többi kölcsönhatás hőtartályként adódik a rendszerhez. (Pl. szupravezetésnél feltételezték, hogy az elektronok Coulomb-kölcsönhatása le van árnyékolva, a fononok pedig a háttér hőtartályt adják. Később kiderült, hogy alacsony hőmérsékleten éppen a fononok miatt kezdik el vonzani egymást az elektronok.)

Az átmeneti valószínűségek megválasztása

  • Egyensúlyban időtükrözési szimmetria van.
A rendszer két állapota közötti átmeneti valószínűségek "kimérése"

Számolom, hogy (irány szerint megkülönböztetve) hányszor megy egyikből a másik állapotba a rendszer.

  • Stacionárius állapotban \Delta t idő alatt az átmenetek száma:
n-ből n'-be menve: w_{n^{,}n}p_n^{egyensulyi}
n'-ből n-be menve: w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensulyi}
  • A részletes egyensúly elve azt mondja ki, hogy a két számnak meg kell egyeznie, azaz:
w_{n^{,}n}p_n^{egyensuly} = w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensuly} Megkötés az átmeneti valószínűségek hányadosára

Ha az állapotok száma véges és a rendszer minden pontjából minden másik pontjába el tudok jutni, akkor egyetlen stacionárius állapot lesz, az egyensúlyi.

Csak az átmeneti valószínűségek hányadosára van megkötés, azaz: \frac{w_{n^{,}n}}{w_{nn^{,}}} = \frac{e^{-\beta (E_{n^{,}-E_n})}}{1} = \frac{1}{e^{-\beta (E_n-E_{n^{,}})}}

Ha E_{n^{,}}-E_n = \Delta E_{nn^{,}} > 0 (azaz az energia nő), az e-ados tag 1-nél kisebb lesz, tehát vehetem azt az átmeneti valószínűségnek. Ha csökken az energia, akkor az energiacsökkenés felé vivő lépést egy valószínűséggel lépem meg.

Bizonyítás: \partial_t p_n(t) = -\sum_{n^{,}}w_{n^{,}n}p_n(t) + \sum_{n^{,}} w_{nn^{,}}p_{n^{,}}(t) = 0 (egyensúly esetén). Tehát: 0 = -\sum_{n^{,}}(w_{n^{,}n}p_n^{egyensuly}-w_{nn^{,}}p_{n^{,}}^{egyensuly}) Páronként kioltják egymást. Ezért hívják részletes egyensúlynak, mivel nem csak az egész összeg nulla, hanem az állapotok között páronként van egyensúly.

A dinamikai mátrix felírása

Egy N-állapotú rendszer adott állapotainak valószínűségeit - időtől függően - felírhatjuk vektoros alakban, a következőképpen:

\underline{p}(t) = (\begin{array}{c}p_1(t)\\p_2(t)\\\vdots\\p_N(t)\end{array})

Ekkor \partial_t \underline{p} = \underset{=}{A}\underline{p}[3] és: \partial_t p_n = \sum_{n^{,}} A_{nn^{,}} p_{n^{,}}


, ahol \underset{=}{A} a rendszer dinamikai mátrixa, kiszámítása pedig a következőképpen történik:

A_{nn^{,}} = w_{nn^{,}} - \sum_{n^{,,}} w_{n^{,,}n}\delta_{nn^{,}} A rendszer dinamikai mátrixának kiszámítási módja

A mátrix elemeit összeadva a következőket kapjuk: \sum_n A_{nn^{,}}[4]  = \sum_n w_{nn^{,}} - \sum_{n^{,,}} w_{n^{,,}n^{,}} = 0 [5]

Perron-Frobenius teoréma [2]

A fenti mátrix \lambda_1 = 0 sajátértéke a legnagyobb, nem degenerált sajátállapothoz tartozik. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy létezik egy (és csak egy) olyan megoldás, amire a sajátérték nulla. A legkisebb sajátérték sem degenerált.

Ha az egyensúlyi állapotban \underline{p}^{(e)} = 0 (ekkor \underline{p}^{(e)} minden komponense pozitív [6]), akkor \lambda_1 = 0. Ekkor: (\begin{array}{c}p^{(e)}_1 = 0\\p^{(e)}_2\\\vdots\\p^{(e)}_N\end{array}). Azaz egyensúlyban az egyes állapot kiürül. Részletes egyensúlyban emiatt minden állapot ki fog ürülni.


Ha a többi \lambda_{\alpha}, ..., \lambda_N sajátértékhez nézzük az időfejlődést, pl.: \underline{p}^{(\alpha)}(t) = e^{\lambda_{\alpha}t}\underline{p}^{(\alpha)}(0). Látható, hogy ebben az esetben a rendszer divergál. Azonban ha a sajátértékek mindegyike \lambda_{\alpha} < \lambda_1 = 0, akkor a rendszer az egyensúlyi állapothoz fog konvergálni az időfejlődése során.

Tegyük fel, hogy mégis degenerált a \lambda_1 = 0 sajátérték, ekkor van másik egyensúlyi állapot:

(\begin{array}{c}\tilde{p}_1^{(e)}\\\vdots\\\tilde{p}_N^{(e)}\end{array})

De ha van két ilyen állapot, akkor azok lineárkombinációja is egyensúlyi állapot (mivel a Master-egyenlet lineáris): \alpha\underline{p}^{(e)} + \gamma\underline{\tilde{p}}^{(e)}.

Ám ekkor meg tudom tenni - alfa és gamma értékek változtatásával -, hogy minden tagot pozitívnak választok, kivéve egyet, ami nulla. Vagyis a két vektor egyenlő kell, hogy legyen.[7]

A fentiek fényében tehát:

\underline{p}(t) = \sum_{\alpha}\underline{p}^{(\alpha)}(0)e^{\lambda_{\alpha}t} = \underline{p}^{(e)} + \sum_{\alpha^{,}}\underline{p}^{(\alpha)}(0)e^{\lambda_{\alpha}t}

Ahol az egyenlet végén lévő szummás tagok kihalnak, mivel a \lambda_{\alpha}-k negatívak (egyébként a megoldás - ahogy fentebb láttuk - elszaladna a végtelenbe).

Megjegyzés: fázisátalakulásnál nagyok a fluktuációk, mivel az egész rendszer együtt változik, ellentétben a magas hőmérsékleten lévő kis fluktuűciókkal. Ez a \lambda-k értékeiben azt jelenti, hogy (\lambda_1 ugye mindig nulla,) \lambda_2 abszolútértékben nagyon kicsi, mert reciproka adja a relaxációs időt:

\tau_{\alpha} = \frac{1}{{|\lambda_{\alpha}|}}

És most jöjjön egy levezetés.

Két spinből álló rendszer átmeneti valószínűségeinek meghatározása

Tehát rendszerünk két spinből áll, amit egy négy elemű gráfon ábrázolhatunk.

A két spinű rendszer ábrázolása gráfon

Egyszerre csak egy spin fordulhat!

Az állapotok közötti átmeneti valószínűségek meghatározásához először az egyennsúlyi valószínűségeket kell meghatároznunk.

\mathcal{H} := -JS_1S_2 és E_{\upuparrows} = E_{\downdownarrows} = -J, valamint E_{\uparrow\downarrow} = E_{\downarrow\uparrow} = +J

Tudjuk még továbbá, hogy: p^{(e)}_{S_1,S_2} = \frac{1}{z}e^{+\beta J S_1 S_2}, ahol z az állapotösszeg, értéke pedig:

z = 2e^{\beta J} + 2e^{-\beta J}, ahol a \beta J \equiv K. Ezt az átnevezést elvégezve az egyensúlyi valószínűségek a következő képlettel írhatóak le: p^{(e)}(S_1,S_2) = \frac{e^{K S_1 S_2}}{2(e^{K} - e^{-K})}

Jelölés: w_1 (S_1, S_2). Jelentése: bármelyik (S_1,S_2) állapotban vagyunk, és az egyes(!) spint forgatjuk. Érdemes megjegyezni, hogy a w (S_1, S_2) átmeneti valószínűségek 1/idő dimenziójúak.

Ezen okból az átmeneti valószínűségek hányadosára a következő értékeket kaphajuk:

\frac{w_1(S_1,S_2)}{w_1(-S_1,S_2)} = \frac{e^{-KS_1S_2}}{e^{KS_1S_2}} = \frac{chK-S_1S_2shK}{chK+S_1S_2shK}

Az egyenlet bal oldalán lévő felső tört felső része annak valószínűsége, hogy S_1 \longrightarrow -S_1 állapotátmenet történik meg, míg alsó része ennek pont az ellenkezője. Az e-ados alakokat azért lehet a fenti módon átalakítani, mert kihasználtuk, hogy a spinek csak S_i = \pm 1 értékeket vehetnek fel.

Végezzük el a thK = v helyettesítést, ekkor a következőt kapjuk:

w_1(S_1,S_2) = \frac{\frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)}{\frac{1}{2\tau}(1+S_1S_2v)} Ebből következpen: w_1(S_1,S_2) = \frac{1}{2\tau}(1-S_1S_2v)[8]

Ugyanezt w_2-re felírva:

\frac{w_2(S_1,S_2)}{w_2(S_1,-S_2)} = \frac{e^{-KS_1S_2}}{e^{KS_1S_2}}


Lábjegyzetek

  1. Ugrás fel A ferromágnes első modellje. A spinek egy irányba szeretnek beállni, de a hőmozgás szétválasztja őket. T->0: Curie-hőmérséklet alatt ferromágneses viselkedés.
  2. Ugrás fel A Fermi aranyszabály és az Ising spin-rendszer csak a spineket vizsgálja, nálunk meg egy csomó más hatás is van, tehát nem pont azt írják le, ami nekünk kell.
  3. Ugrás fel Miért is? Erre itt nem emlékszem, hogy miért...:(
  4. Ugrás fel Az egységmátrixot hozzáadva sztochasztikus mátrixnak nevezzük.
  5. Ugrás fel A két szummás tag egyenlő adott értéknél, csak az összegzési index más.
  6. Ugrás fel Itt sem teljesen értem, hogy mire gondoltunk, de így van felírva. Elírtam?
  7. Ugrás fel Szerintem itt a magyarázatom nem túl világos. Én sem teljesen emlékszem, hogy miért is volt ez így. Ha valaki világosabbat tud, írja be legyen szíves!
  8. Ugrás fel Ha S_1 vagy S_2 előjele változik, az egyenletben lévő előjel változik csak, azaz w_1(\upuparrows) = \frac{1}{2\tau}(1-v) és w_1(\uparrow \downarrow) = \frac{1}{2\tau}(1+v) (v pedig mindig pozitív!)