Mintázat 3.óra

Bevezetés

Túlhűtött folyadékok megszilárdulásakor mintázatok képződnek, mivel nem egyensúlyi folyamatról van szó. A határvonalat általánosan leírhatjuk egy $y(x)$ függvénnyel, de mivel a megszilárdulás általában egy nukleációs pontból indul ki, érdemes áttérni molárkoordinátás leírásra ($r(\phi)$). $r(\phi)$ egyértelműen meghatározza $\sigma(\theta)$ felületi feszültséget.

A felületi szabadenergiát a következőképp definiáljuk:

$E=\oint \sigma \operatorname{d}s$

Az egyensúly feltétele:

$\delta E = 0$ és

$\delta^2 E>0$ azaz $\sigma + \sigma _{\theta \theta''}>0$

Wulff-szerkesztés

Ha van egy $r(\phi)$ felületünk, akkor a Wulff-szerkesztés segítségével egy integrációs konstans erejéig meg tudjuk határozni a $\sigma(\theta)$ felületi feszültség értékét. Ennek a menete a következő:

- Veszünk egy $r(\phi)$ pontot és megszerkesztjük az érintőjét

- Erre az érintőre a az origóból merőlegest állítunk

- A két egyenes metszéspontja megadja $\sigma(\theta)$ értékét ( $\theta$ az érintőre állított merőleges x temgellyel bezárt szöge)

Ha a mintázatban van "egyenes" szakasz, akkor csúcsos lesz a felületi feszültség, ha nincs, akkor nem lesz csúcsos.

Determinisztikus káosz

Matematikában

Vegyük a következő sorozatot:

$x_{n+1}=Ax_n(1-x_n)^2$

és

$0<x_1<1$, $0<A$

A sorozat végtelenben vett határértéke konvergens, ha $A<3$, kétértékű, ha $3<A<5,3$ és beoszcillál, ha $5,3<A$, ennek az oszcillációnak a mértéke szélsőségesen érzékeny $x_1$-re.

Klasszikus mechanikában

Vizsgáljuk a következő rendszert:

Egy karikára felfűzünk egy gyöngyöt. A gyöngy súrlódásmentesen mozoghat a karikán. A kirikát függőlegesen tartjuk és a gyöngyöt az egyesnúlyi helyzetéből kicsit kikmozdítjuk. A karikát a függőleges tengelye körül elkezdjük forgatni $\omega$ szögsebességgel. Azt tapastraljuk, hogy ha $\omega<\omega_c$, a rendszeren nem történik jelentősebb változás, ha $\omega>\omega_c$, a gyöngy új egyensúlyi helyzet körül fog oszcillálni, véletlenszerűen a gyűrű egyik ágán felkúszik. (Bifurkáció jelenik meg)

A rendszert leíró egyenletek:

$v_t=r\frac{\operatorname{d}\theta}{\operatorname{d}t}$

$F_t=-mg\sin \theta + m\omega^2 r \sin\theta \cos\theta$

így

$\frac{\operatorname{d}^2 \theta}{\operatorname{d}t}=\frac{g}{r}\sin \theta (\lambda\cos \theta -1)$

ahol

$\lambda=\frac{\omega^2 r}{g}$

Ha a küszöbhöz közel vagyunk, akkor $\lambda_c=1$, kis szögek esetén mindkét tényezőt sorbafejtve (legalábbis szerintem ez történt) kapjuk a következő összefüggést:

$\frac{\operatorname{d}^2 \theta}{\operatorname{d}t}=\mu\theta+\nu\theta$

ahol

$\mu=\frac{g(\lambda-1)}{r}$

$\nu=g\frac{(1-4\lambda)}{6r}$

Ez az összefüggés az előjelre invariáns, univerzális (csak $\mu$-től és $\nu$-től függ). Ebből visszakaphatjuk a harmónikus lineáris oszcillátort, ha $\nu=0$ és $\lambda<1$, ilyenkor $\mu=-\Omega^2$, de ha $\lambda>1$, akkor $\theta$ "felrobban".

Ennek a rendszernek létezik egy elektromos megfelelője. Ebben az esetben a tömeg az induktivitással, az elmozdulás a töltéssel, a visszatérítő erő a kapacitás reciprokával és a súrlódás pedog az ellenállással feleltethető meg.

Egy másik kaotikusan viselkedő rendszer a kettős inga (egy matematikai inga aljára még egy matematikai ingát szerelünk). Ha közel azonos kezdeti feltételből indítjuk a rendszert, nagyon más eredményt kaphatunk.

Nemlineáris viselkedés a kémiában

Az eredeti reakciót Bjelousow és Zhabotinski végezte el 1970-ben különböző bróm vegyületek segítségével.

A reakcióséma, amit megvizsgáltak valahgy így írható le:

Van 3 reakciócentrumunk. A reakció az A-jelzésű centrumban tud elindulni, de az itteni anyagok egy idő után elfogynak. Ha ez beindult, akkor a B reakciócentrum is belendül, ami elindítja a C reakciócentrumot is. A C centrumban olyan reakcók mennek végbe, amelyek a B centrum végtermékeiből A centrumbeli kiindulási anyagokat gyártanak, gí nem fog leállni a ciklus.

A feltételek nem egyensúlyiak, a kontroll paraméterek a koncentrációk és a betáplálsi ráta.

Maga a reakció autokatalitikus (pozitív visszacsatolás), oszcilláló és periódikus, lehet tranziens (zárt raktorban lejátszódó, hosszú idő után beáll egy egyensúly), stacionárius (táplált reaktorban), keretetett vagy nem kevertetett, illetve lejátszódhat gélreaktorban (ilyenkor nincs áramlás, a mintázaot lehet "fixálni").

A katalízis megtörténhet durva vagy kristályos fémfelületen. Ez a modell leírhatja a tachicardiánál fellépő spirálhullámokat (ilyenkor is egy pontból indul el a folyamat).

Az oszcilláció egy bizonyos időskálán jelenik meg, van egy kvázi-periódikus és egy kaotikus rezsim is. A mintázat hullámhosszát az anyagok diffúziós állandója közti különbség határozza meg. Egydimenzióban a következőképpen lehet felírni a diffegyenletet:

$\varepsilon \frac{\partial u}{\partial t}= f(u, v)+ \delta^2\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$

$\frac{\partial v}{\partial t}=g(u, v) +\frac{\partial ^2 v}{\partial x^2}$

ahol

$\varepsilon=\frac{\tau_u}{\tau_v}$

$\delta=\frac{L_u}{L_v}$

$L_i^2=D_i\tau_i$

ahol $\tau_u$ és $\tau_v$ a relaxációs idők, $L_u$ és $L_v$ a diffúziós hosszak, $D_i$ a megfelelő anyag diffúziós állandója, $f(u, v)$ és $g(u. v)$ a reakciókat írja le.

Általános a következőképpen írhatjuk le az ehhez hasonló reakció-diffúziós rendszereket:

$\partial_t c=D\operatorname{\Delta}c+R(c)$

ahol $R(c)$ írja le a reakciót. Egydimenzióbal erre a következő változatok ismertek:

$-R(u)=u(1-u)$ (ez a biológiából is ismert, a populációk terjedésére felírt Fischer-egyenlet)

$-R(u)=u(1-u^2)$ (ez a newell-Whithead-egyenlet-RB konvekció - ld. instabilitások)

$-R(u)=u(1-u)(u-\alpha)$ (ez a Zeldovich-egyenlet, a robbanás-égés folyamatát írja le)