Mintázat 4.óra
Tartalomjegyzék
Bevezető
Használt jelölések:
: gravitációs gyorsulás
: sűrűség
: felületi feszültség
: kinematikai viszkozitás
: tipikus méret
: sebesség
Folyadékdinamikát leíró fontos paraméterek, fogalmak
Reynold-szám (pl. lamináris-turbulens átmenet jellemzése áramlásoknál):
(inercia/viszkozitás)
Froude-szám (a Mach-szám folyadékdinamikai megfelelője):
(inercia/gravitáció)
Eötvös- vagy Bond- szám (cseppek, kapillárisok leírása):
(gravitáció/görbület)
a kapilláris hossz:
Weber szám (két folyadék határfelületén lezajló jelenségek jellemzésére):
(inercia/görbület)
Kapilláris szám (porózus anyagba folyadékot préselünk):
(viszkozitás/görbület)
Az összes dimenziótlan szám esetén általános, hogy az egyes instabilitások létrejöttét segítő mennyiségek a számlálóban, a fékező mennyiségek pedig a nevezőben szerepelnek.
Konvektív az az instabilitás, ahol a perturbáció egy áramlási vonal mentén előrehaladva erősödik fel, de a keletkezés helyén nem, abszolút instabilitás esetén az áramlás nem tudja elmosni a zajt, helyben erősödik fel, általában globálisan megfigyelhető.
Perturbációszámítás dióhéjban
Mivel az előadáson az hangzott el, hogy csak a fő lépéseket kell tudni, ezért ezeket próbáltam meg kivonatolni:
Ha van egy egyensúlyi rendszerünk, akkor egy tetszőleges változóra (legyen ez most ) arra rárakhatunk egy időben le- vagy felcsengő, térben periódikus perturbációt:
Egy változó megperturbálása más változók perturbációját is maga után vonhatja (pl. a felület megváltoztatása okozhat nyomásváltozást), itt feltételezzük, hogy a perturbációk hasonló alakúak. Majd ezt behelyettesítjük a rendszert leíró diffegyenletekbe, csak a lineáris tagokat hagyjuk meg, ez meghatároz egy függvényt. Ezek után megnézzük, hogy milyen értékek esetén kapunk pozitív -t. Ezek közül is az a módus fogja dominálni a kapott mintázatot, amelyik a legnagyobb mértékben nő fel, ezt pedig deriválással könnyen meghatározhatjuk.
Az egész számolás csak akkor érvényes, amikor még kicsik a zavarok.
Ha kevés lenne, amit ide leírtam, feltételnül egészítsétek ki!!!
Határfelületi instabilitások
Plateau-Rayleigh instabilitás
Ez az instabiitás arról szól, hogy egy áramló folyadékhenger egy pontján kicsit betüremkedik a felszín, és ha ezt jó hullámhosszal csinálja, akkor a hengeren "gyöngyök" alakulnak ki. Perturbációszámítással megkapjuk a kritikus hullámhosszat, a leggyorsabban felnövő módus hullámhosszát és a henger felszakadozásához szükséges karakterisztikus időt:
ahol a henger sugara, a sűrűsége és a felületi feszültség.
Faraday instabilitás
Vízszintes folyadékréteg felszínén vagy két folyadék határán periódikus rázás hatására állóhullámok alakulnak ki, amik a rázási fekvencia felével oszcillálnak. A rendszer paramétereinek függvényében különböző mintázatok alakulnak ki. Ha nem színuszosan rázzuk a rendszert, kváziperiódikus mintázatok alakulnak ki.
Kelvin-Helmholtz instabilitás
Kontinuum folyadékokban vagy két folyadék határán nyírás hatására megfigyelhető örvényes mintázat.
Ha nincs felületi feszültség, kis hullámhosszon mindig találunk ilyen örvényeket, a növekedési ráta a hullámhossz csökkenésével nő. Mivel a felületi feszültség stabilizál, ezért csak egy kritikus sebességgradiens fölött találunk pozitív növekedési rátát.
Az instabilitás jellemző paramétere a Richardson szám, ami a Froude szám reciproka, az instabilitás általában esetben figyelhető meg.
Rayleigh-Taylor instabilitás
(Ide tartozik D. Sharp, Physica D-ben megjelent cikke)
Ez az instabilitás abban az esetben jön létre, amikor egy kisebb sűrűségű folyadék fölé egy nagyobb sűrűségűt rétegzünk (pl. a plafonon száradó festék, illetve forgó rendszerben történhet hasonló instabilitás). Itt egy fonots paraméter, a sűrűségkontraszt, vagy Atwood szám:
ahol a sűrűbb, a ritkább anyag sűrűsége. Egy hullámhosszú harmónikus perturbáció amplitúdóját a következő egyenlet írja le:
ahol a növekedési ráta:
Itt a felületre merőleges gyorsulás. A felületi feszültség simító hatása miatt egy kiritkus hullámhossznál rövidebb perturbációk elhalnak, mert negatív lesz:
A feltételből pedig megkapjuk a leggyorsabban növő módust:
Ehhez hasonló a Richtmyer-Meshkov instabilitás, amikor egy lökéshullám halad át a határfelületen.
Printer instabilitás
Magyarul irányított viszkózus ujjasodás. Két egymással majdnem érintkező, párhuzamos tengelyű henger között lévő folyadék a hengerek forgásának hatására ujjas mintázatokat formál.
Áramlási instabilitások
Taylor-Couette instabilitás
Termikus instabilitások
Rayleigh-Bénard instabilitás
(Ide tartozik G. Ahlers 2003-as cikke)
Egy alulról fűtött vízszintes folyadékrétegben egy kritikus hőmérséklet-gradiens felett konvekciós mintázat alakul ki, mert a melegebb folyadék sűrűsége egy kicsit kisebb. Ez a mintázat lehet hengeres vagy hexagonális cellákból álló. Ez az instabilitás lehet stabil, létrejöhet másodlagos instabilitás, vagy előfordulhat kaotikus áramlás is.
Az istabilitási küszöböt jeléző paraméter a Rayleigh szám:
ahol a hőtágulás együttható, a gravitációs gyorsulás, a rétegvastagság, a hőmérséklet-különbség, a hődiffúziós állandó és a kinematikai viszkozitás.
Az instabilitási küszöb értéke , a leggyorsabban növő módus .
Ebben a rendszerben másodlagos instabilitások is megfigyelhetők. Létezik egy olyan hullámszám-Reyleigh szám tartomány, ahol a hengeres áramlás stabil, ez a Busse-balloon. Ezen kívül léphetnek fel másodlagos instabilitások. Ennek jellemzésére érdemes bevezetni a Prandtl számot:
Abban az esetben, ha a Busse-balloon is kisebb.
A stacionárius hengeres mintázat periodicitását a rétegvastagság határozza meg.
Bénard-Marangoni instabilitás
Ez a Rayleigh-Bénard instabilitáshoz hasonlít, annyi a különbség, hogy itt a hideg felszín szabad, illetve a felületi feszültség az áramlások miatt nem homogén, így a felület is perturbálódik. Ennek a paramétere a Maragoni szám:
Az instabilitás beindulásához szükséges küszöb:
A RB és a BM instabilitásokat összehasonlítva:
Ami azt jelenti, hogy vékony rétegekben hamarabb megindul a Bénard-Marangoni instabilitás.
A kialakuló mintázatból nehéz megállapítani, hogy a kettő közül melyik instabilitás van jelen. A RB és a BM között az a különbség, hogy az RB esetén a felfelé áramló helyek fölött vannak "púpok" a felszínen, a BM instabilitás esetén ez fordítva van.
Gyakran a hőmérséklet-gradienst egy, a folyadék fölé helyezett szirárd laőőal stabilizálják, ilyenkor két egymás feletti réteget kell figyelembe venni.
Nem-newtoni folyadékok
A nyírási ráta:
A viszkozitás:
Newtoni folyadékok esetén a nyírási ráta függvényében lineárisan nő a feszültség a viszokozitás állandó. Azonban vannak olyan anyagok, amelyek nyírásra higulnak , azaz a nyírási ráta növelésével csökken a viszkozitásuk. Ilyenek pl. a polimeroldatok vagy a festékek. Ezekben az anyagokban nyírási sávok jelenhetnek meg. Vannak olyan anyagok is, amelyek nyírásra sűrűsödnek, azaz a nyírási ráta növelésével a viszkozitásuk is nő. Ilyen anyagok pl. a gyanták és a sűrű szuszpenziók. Vannak Bingham plasztikus anyagok, ezek egy kritius erő hatására hajlamosak csak nyíródni, utána a feszültég (ha ezt a kritikus értéke t levonjuk az értékéből) lineárisan nő a nyírási rátával. Ilyen anyag pl. a fogkrém és a majonéz. Vannak tixotróp anyagok is, ahol a nyírás hatására (állandó nyírási ráta mellett) hígul az anyag. Ennek az oka az anyag kolloid szerkezete, a nyíyrás hatására a kötések egy része felszakad. Amennyiben a nyírás megszűnik, ezek a kötések újra létrejönnek. Ilyen anyag pl. a tejföl és a ketchup.
Viszkozitásmérés
A klasszikus, Hagen-Poiseuille- törvényen alapuló viszkozitásmérés ebben az esetben nem lehetséges. Két mérési elrendezés van, amivel a nem-newtoni folyadékok viszkozitása mérhető. Az egyik, hogy két függöleges tengelyű koaxiális henger között lévő, magasságú folyadékot a külső henger forgatásával nyírunk és a belsőre kifejtett forgatónyomatékot mérjük. Ebben az esetben a viszkozitást a következő formulával kapjuk meg:
A másik lehetőség, hogy egy vízszintes lapra egy csúcsával ráhelyezünk egy nyílásszögű, sugarú alapkörrel rendelkező kúpot. Ekkor a viszkozitás:
ahol (az ábra alapján).
Viszkoelasztikusság
Ha oszcilláló nyírást () alkalmazunk, akkor mérhetjük a nyírási feszültséget: . Ha , akkor az anyag rugalmas, ha, akkor viszkoelasztikus. Ennek oka, hogy az anyagban lévő polimermolekulák megnyúlnak és a folyadék a nyírás síkjára merőleges irányba összehúzódik. Ennek a jelenségnek a következményei:
- Viszkoelasztikus anyagba rudat helyetünk, megforgatjuk, akkor az anyag felmászik rá.
- A csőből kilépő oldat a nyíróerpők megszűnése miatt kiszélesedik
- A cseppek egy vékony csatornán keresztül kapcsolatban maradnak egymással
- A turbulens disszipáció töredékére csökkenthető.