Relativisztikus kinematika és dinamika

Pontrészecske pályájának a leírása

Egy pontrészecske mozgását egy inerciarendszerből nézve megadhatjuk annak a pályáját (azaz a 4-es helyvektort) valamilyen paraméter függvényében. Az egyik legegyszerűbb választásnak tűnik, hogyha a részecske koordinátáit az inerciarendszerbeli idő függvényében adjuk meg. Sok esetben hasznosabb viszont, ha a koordinátákat az eltelt sajátidő függvényében adjuk meg (azaz a $x^{\mu} (\tau)$ függvényt adjuk meg), ami a geometriában a görbék ívhossz szerinti paraméterezésének felel meg (az sajátidő az ívhosszal arányos).

A részecske sebességénél egy adott rendszerből nézve megadhatjuk az abban a rendszerben mért sebességet (a koordináták idő szerinti deriváltját), ez az adott rendszerben jellemzi a mozgást. (Az idő egy négyesvektor komponense, így minden rendszerben más, így az idő szerinti deriválás eredménye nem lesz négyesvektor.) Hasznos bevezetni a részecske 4-es sebességét, ami a helykoordinátáknak a sajátidő szerinti deriváltja:

$u^{\mu} = \frac{\operatorname{d} x^{\mu}}{\operatorname{d} \tau}$

Mivel a hely négyesvektor és a sajátidő skalár, ezért a négyessebesség is 4-esvektor lesz, viszont a komponensei nem mérhetőek közvetlenül, a szokásos sebességméréssel a klasszikus mechanikában megszokott hármas sebességet tudjuk mérni. Kihasználva a sajátidőre vonatkozó $\operatorname{d} \tau = \operatorname{d} t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ összefüggést, a négyessebesség komponensei kifejezhetőek a mérhető hármas sebességgel:

$u = \left ( \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } }, \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } \right )$

Itt $\mathbf{v}$ a hármas sebesség (a helykoordináták idő szerinti deriváltja a megfigyelő inerciarendszerében).

A négyessebesség abszolútértéke: $u_{\mu} u^{\mu} = \frac{c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2} } - \frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = c^2$

Érdemes még definiálni a négyes gyorsulást is, amit a négyessebesség további (sajátidő szerinti) deriválásával kapunk:

$a^{\mu} = \frac{\operatorname{d} u^{\mu}}{\operatorname{d} \tau} = \frac{\operatorname{d}^2 x^{\mu}}{\operatorname{d} \tau^2}$

A négyessebesség abszolútértékére kapott egyenlőség deriválásával könnyen belátható a $a_{\mu} u^{\mu} = 0$ összefüggés is.

Egyenletesen gyorsuló mozgás

(ez egy jól követhető, szemléletes példa lenne az előző szakaszban bevezetett fogalmakra és gyakorlati alkalmazásukra)

Dinamika, részecskék ütközése

Négyesimpulzus, impulzusmegmaradás

A nemrelativisztikus esethez hasonlón bevezetjük a részecskék négyesimpulzusát:

$p^{\mu} = m u^{\mu} = \left ( \frac{m c}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right ) = \left ( \frac{E}{c}, \mathbf{p} \right )$

Az itt nem részletezett elméleti (Lagrange-féle) tárgyalásból következik, hogy a nulladik komponens a részecske energiája (a fénysebességgel osztva), a három térszerű komponens pedig a hármas impulzus. A fenti képleten egyértelműen látszik, hogy ezeknek az értéke természetesen nem egyezik meg a klasszikus mechanikában használt energiával és impulzussal (bár a fogalom hasonló), az hármas imulzusnál az eltérés a nevezőben levő gyökös kifejezés. Ha bevezetjük az $m^* = \frac{m}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ effektív tömeget (és az eredeti, eddig szereplő $m$ tömeget nyugalmi tömegnek hívjuk), akkor az így adódó $\mathbf{p} = m^* \mathbf{v}$ képlet alakja megegyezik a klasszikus esetben használt összefüggéssel, ezt szokás úgy értelmezni, hogy a részecskék tömege mozgás közben megnő. Ez az értelmezés bizonyos esetekben szemléletes, más esetekben viszont elbonyolíthatja a számolásokat (hiszen számon kell tartani, hogy $m^*$ is változik, és például a deriválások elvégzésekor nem szabad elfelejteni a gyökös kifejezésben szereplő $v^2$-et is deriválni, illetve vannak elméletek, ahol egy másfajta effektív tömeget kell bevezetni), így a továbbiakban ezt a jelölést nem használjuk, a képletekben szereplő $m$ mindig a nyugalmi tömeget jelöli, aminek az értéke állandó, megelégszünk azzal, hogy a 4-es sebesség és -impulzusok közötti összefüggés alakja ugyanaz, mint klasszikus esetben (ott természetesen a nyugalmi tömeg szerepel). Természetesen, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi (a klasszikus határesetben), akkor a gyökös kifejezés értéke majdnem $1$, így határesetben a klasszikus képletet kapjuk.

A négyesimpulzus abszolútértéknégyzete (kihasználva, hogy a négyessebességé $c^2$):

$p_{\mu} p^{\mu} = \frac{E^2}{c^2} - p^2 = m^2 c^2$

Ezt az összefüggést átalakítva, az energia és impulzus (illetve a sebesség) közötti összefüggéseket kapjuk:

$E = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \sqrt{m^2 c^4 + p^2 c^2}$

Álló részecskére a híres $E = m c^2$ képlet adódik. Abban az esetben, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest nagyon kicsi, az energia sebességtől függését adó képletet sorbafejthetjük:

$E \approx m c^2 + \frac{1}{2} m v^2$

Az összeg első tagja az olyan reakciókban, amik nem járnak a részecskék átalakulásával, állandó, így klasszikusan nem mérhető, a második tag a klasszikus mechanikából ismert mozgási energia.

A klasszikus mechanika energia- és impulzusmegmaradási tételéhez hasonlóan a négyesimpulzus megmaradó mennyiség; egy zárt rendszer teljes négyesimpulzusa megmarad. Ez azt jelenti, hogyha egy rögzített inerciarendszerből nézünk egy eseményt, akkor a négyesimpulzus mindegyik komponense megmarad. Természetesen, ha áttérünk egy másik inerciarendszerbe, a négyesimpulzus komponenseit egy Lorentz-transzformációval kell áttranszformálni (így a komponensek transzformálódnak, egy rendszer energiája a különböző mozgó koordinátarendszerekből nézve nem ugyanaz), az viszont igaz, hogy a négyesimpulzus abszolútértéke (a részecske vagy rendszer nyugalmi tömege) minden inerciarendszerből nézve ugyanaz.

Részecskék ütközése

Ebben a szakaszban a négyesimpulzus megmaradásából következő összefüggéseket vizsgáljuk. Természetesen egy ilyen folyamat teljes leírásához ismernünk kellene a részecskék között ható kölcsönhatásokat, itt csak azt vizsgáljuk meg, hogy mi következik csak az impulzusmegmaradásból, a részecskék közötti kölcsönhatást csak az ütközési pont kis környezetére korlátozva (a részleteket elhanyagolva).

Rugalmas ütközésről akkor beszélhetünk, ha az ütközés után kijövő részecskék megegyeznek a bemenő részecskékkel (nem játszódik le például magreakció), így a nyugalmi tömegek nem változnak. (itt sok nagy képlet van a jegyzetemben, amiknek nincs igazán szemléletes jelentése)

Rugalmatlan ütközésnél a kijövő részecskék mások lehetnek (részecskék annihilálódhatnak, és új részecskék keletkezhetnek), így a nyugalmi tömegek is változnak. A legegyszerűbb eset az, amikor egy részecske elbomlik két másikra. Az eseményt a bomló részecske nyugalmi rendszeréből nézve, a kezdeti négyesimpulzus:

$p = \left ( M, 0, 0, 0 \right )$

A bomlástermékek impulzusa:

$p_{(1)} = \left ( E_1, \mathbf{p}_1 \right ) \quad p_{(2)} = \left ( E_2, \mathbf{p}_2 \right )$

A négyesimpulzus megmaradását felírva:

$\mathbf{p}_1 = - \mathbf{p}_2 \quad M = E_1 + E_2$

Legyen a bomlástermékek nyugalmi tömege $m_1$ és $m_2$. A négyesimpulzus korábbi bevezetéséből látszik, hogy $m_1 < E_1$ és $m_2 < E_2$, ezt a négyesimpulzus megmaradásával összevetve látszik, hogy a bomlás feltétele, hogy a $M > m_1 + m_2$ egyenlőtlenség teljesüljön, ami azt is jelenti, hogy a klasszikus értelemben vett tömeg nem marad meg, úgy lehet értelmezni, hogy egy része a bomlástermékek mozgási energiájává alakul (egy atomerőműben ebből keletkezik a hő, amit felhasználnak). A hármas impulzus megmaradására vonatkozó egyenletet négyzetre emelve és a $p^2 = E^2 - m^2$ egyenlőséget kihasználva az $m_1^2 - m_2^2 = E_1^2 - E_2^2 = (E_1 + E_2) (E_1 - E_2)$ összefüggést kapjuk, ahonnan az energiamegmaradásra vonatkozó egyenlőség felhasználásával az energiák kifejezhetőek:

$E_1 = \frac{m_1^2 - m_2^2 + M^2}{2 M} \quad E_2 = \frac{m_2^2 - m_1^2 + M^2}{2 M}$

Ez a tömegközépponti rendszerben érvényes, ha a bomló részecske a labor koordinátarendszeréhez képest mozgott, akkor egy Lorentz-transzformáció kell végezni, és a végeredményben az energia a szórási szögtől is függ.

Ennek a fordított folyamata az, amikor két részecske ütközik, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora tömegű részecske tud maximálisan keletkezni. Érdemes kihasználni, hogy a rendszer összes impulzusmomentumának az abszlútértéknégyzete a rendszer nyugalmi tömegét adja: $M = \sqrt{p_{\mu} p^{\mu}}$. Két azonos energiájú nyalábot összeütköztetve, az így elérhető maximális tömeg a nyalábenergia kétszerese. Ezzel szemben, ha egy álló ($m_2$ tömegű részecskékből álló) céltárgyra lövünk egy $m_1$ tömegű, $E_1$ energiájú részecskékből álló nyalábot, az összimpulzus (két részecske ütközése után): $p = \left ( E_1 + m_2, \mathbf{p_1} \right )$. Kihasználva, hogy $p_1^2 = E_1^2 - m_1^2$ adódik, hogy: $M = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2 E_1 m_2}$. Ha a kísérleteket $1 \, \mathrm{GeV}$ tömegű protonokkal végezzük, $7 \, \mathrm{TeV}$ nyalábenergiával, akkor az álló céltárgyas esetben $M=118 \, \mathrm{GeV}$ adódik, ami kevesebb, mint a százada a két nyaláb ütköztetésénél elérhető $14 \, \mathrm{TeV}$-nek.