Relativisztikus kinematika és dinamika
Tartalomjegyzék
Pontrészecske pályájának a leírása
Egy pontrészecske mozgását egy inerciarendszerből nézve megadhatjuk annak a pályáját (azaz a 4-es helyvektort) valamilyen paraméter függvényében. Az egyik legegyszerűbb választásnak tűnik, hogyha a részecske koordinátáit az inerciarendszerbeli idő függvényében adjuk meg. Sok esetben hasznosabb viszont, ha a koordinátákat az eltelt sajátidő függvényében adjuk meg (azaz a függvényt adjuk meg), ami a geometriában a görbék ívhossz szerinti paraméterezésének felel meg (az sajátidő az ívhosszal arányos).
A részecske sebességénél egy adott rendszerből nézve megadhatjuk az abban a rendszerben mért sebességet (a koordináták idő szerinti deriváltját), ez az adott rendszerben jellemzi a mozgást. (Az idő egy négyesvektor komponense, így minden rendszerben más, így az idő szerinti deriválás eredménye nem lesz négyesvektor.)
Hasznos bevezetni a részecske 4-es sebességét, ami a helykoordinátáknak a sajátidő szerinti deriváltja:
Mivel a hely négyesvektor és a sajátidő skalár, ezért a négyessebesség is 4-esvektor lesz, viszont a komponensei nem mérhetőek közvetlenül, a szokásos sebességméréssel a klasszikus mechanikában megszokott hármas sebességet tudjuk mérni. Kihasználva a sajátidőre vonatkozó összefüggést, a négyessebesség komponensei kifejezhetőek a mérhető hármas sebességgel:
Itt a hármas sebesség (a helykoordináták idő szerinti deriváltja a megfigyelő inerciarendszerében).
A négyessebesség abszolútértéke:
Érdemes még definiálni a négyes gyorsulást is, amit a négyessebesség további (sajátidő szerinti) deriválásával kapunk:
A négyessebesség abszolútértékére kapott egyenlőség deriválásával könnyen belátható a összefüggés is.
Egyenletesen gyorsuló mozgás
(ez egy jól követhető, szemléletes példa lenne az előző szakaszban bevezetett fogalmakra és gyakorlati alkalmazásukra)
Dinamika, részecskék ütközése
Négyesimpulzus, impulzusmegmaradás
A nemrelativisztikus esethez hasonlón bevezetjük a részecskék négyesimpulzusát:
Az itt nem részletezett elméleti (Lagrange-féle) tárgyalásból következik, hogy a nulladik komponens a részecske energiája (a fénysebességgel osztva), a három térszerű komponens pedig a hármas impulzus. A fenti képleten egyértelműen látszik, hogy ezeknek az értéke természetesen nem egyezik meg a klasszikus mechanikában használt energiával és impulzussal (bár a fogalom hasonló), az hármas imulzusnál az eltérés a nevezőben levő gyökös kifejezés. Ha bevezetjük az effektív tömeget (és az eredeti, eddig szereplő tömeget nyugalmi tömegnek hívjuk), akkor az így adódó képlet alakja megegyezik a klasszikus esetben használt összefüggéssel, ezt szokás úgy értelmezni, hogy a részecskék tömege mozgás közben megnő. Ez az értelmezés bizonyos esetekben szemléletes, más esetekben viszont elbonyolíthatja a számolásokat (hiszen számon kell tartani, hogy is változik, és például a deriválások elvégzésekor nem szabad elfelejteni a gyökös kifejezésben szereplő -et is deriválni, illetve vannak elméletek, ahol egy másfajta effektív tömeget kell bevezetni), így a továbbiakban ezt a jelölést nem használjuk, a képletekben szereplő mindig a nyugalmi tömeget jelöli, aminek az értéke állandó, megelégszünk azzal, hogy a 4-es sebesség és -impulzusok közötti összefüggés alakja ugyanaz, mint klasszikus esetben (ott természetesen a nyugalmi tömeg szerepel). Természetesen, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi (a klasszikus határesetben), akkor a gyökös kifejezés értéke majdnem , így határesetben a klasszikus képletet kapjuk.
A négyesimpulzus abszolútértéknégyzete (kihasználva, hogy a négyessebességé ):
Ezt az összefüggést átalakítva, az energia és impulzus (illetve a sebesség) közötti összefüggéseket kapjuk:
Álló részecskére a híres képlet adódik. Abban az esetben, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest nagyon kicsi, az energia sebességtől függését adó képletet sorbafejthetjük:
Az összeg első tagja az olyan reakciókban, amik nem járnak a részecskék átalakulásával, állandó, így klasszikusan nem mérhető, a második tag a klasszikus mechanikából ismert mozgási energia.
A klasszikus mechanika energia- és impulzusmegmaradási tételéhez hasonlóan a négyesimpulzus megmaradó mennyiség; egy zárt rendszer teljes négyesimpulzusa megmarad. Ez azt jelenti, hogyha egy rögzített inerciarendszerből nézünk egy eseményt, akkor a négyesimpulzus mindegyik komponense megmarad. Természetesen, ha áttérünk egy másik inerciarendszerbe, a négyesimpulzus komponenseit egy Lorentz-transzformációval kell áttranszformálni (így a komponensek transzformálódnak, egy rendszer energiája a különböző mozgó koordinátarendszerekből nézve nem ugyanaz), az viszont igaz, hogy a négyesimpulzus abszolútértéke (a részecske vagy rendszer nyugalmi tömege) minden inerciarendszerből nézve ugyanaz.
Részecskék ütközése
Ebben a szakaszban a négyesimpulzus megmaradásából következő összefüggéseket vizsgáljuk. Természetesen egy ilyen folyamat teljes leírásához ismernünk kellene a részecskék között ható kölcsönhatásokat, itt csak azt vizsgáljuk meg, hogy mi következik csak az impulzusmegmaradásból, a részecskék közötti kölcsönhatást csak az ütközési pont kis környezetére korlátozva (a részleteket elhanyagolva).
Rugalmas ütközésről akkor beszélhetünk, ha az ütközés után kijövő részecskék megegyeznek a bemenő részecskékkel (nem játszódik le például magreakció), így a nyugalmi tömegek nem változnak. (itt sok nagy képlet van a jegyzetemben, amiknek nincs igazán szemléletes jelentése)
Rugalmatlan ütközésnél a kijövő részecskék mások lehetnek (részecskék annihilálódhatnak, és új részecskék keletkezhetnek), így a nyugalmi tömegek is változnak. A legegyszerűbb eset az, amikor egy részecske elbomlik két másikra. Az eseményt a bomló részecske nyugalmi rendszeréből nézve, a kezdeti négyesimpulzus:
A bomlástermékek impulzusa:
A négyesimpulzus megmaradását felírva:
Legyen a bomlástermékek nyugalmi tömege és . A négyesimpulzus korábbi bevezetéséből látszik, hogy és , ezt a négyesimpulzus megmaradásával összevetve látszik, hogy a bomlás feltétele, hogy a egyenlőtlenség teljesüljön, ami azt is jelenti, hogy a klasszikus értelemben vett tömeg nem marad meg, úgy lehet értelmezni, hogy egy része a bomlástermékek mozgási energiájává alakul (egy atomerőműben ebből keletkezik a hő, amit felhasználnak). A hármas impulzus megmaradására vonatkozó egyenletet négyzetre emelve és a egyenlőséget kihasználva az összefüggést kapjuk, ahonnan az energiamegmaradásra vonatkozó egyenlőség felhasználásával az energiák kifejezhetőek:
Ez a tömegközépponti rendszerben érvényes, ha a bomló részecske a labor koordinátarendszeréhez képest mozgott, akkor egy Lorentz-transzformáció kell végezni, és a végeredményben az energia a szórási szögtől is függ.
Ennek a fordított folyamata az, amikor két részecske ütközik, és arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora tömegű részecske tud maximálisan keletkezni. Érdemes kihasználni, hogy a rendszer összes impulzusmomentumának az abszlútértéknégyzete a rendszer nyugalmi tömegét adja: . Két azonos energiájú nyalábot összeütköztetve, az így elérhető maximális tömeg a nyalábenergia kétszerese. Ezzel szemben, ha egy álló ( tömegű részecskékből álló) céltárgyra lövünk egy tömegű, energiájú részecskékből álló nyalábot, az összimpulzus (két részecske ütközése után): . Kihasználva, hogy adódik, hogy: . Ha a kísérleteket tömegű protonokkal végezzük, nyalábenergiával, akkor az álló céltárgyas esetben adódik, ami kevesebb, mint a százada a két nyaláb ütköztetésénél elérhető -nek.