Relativisztikus kvantummechanika
Ebben a részben
Tartalomjegyzék
A Klein-Gordon egyenlet
Legyen egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: , az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: , a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:
Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan: . Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: . A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:
A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:
Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a feltétel. Ez azt jelenti, hogy a négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyenek a komponensek: , így ezekre a diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) . Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).
Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosítására. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:
Szorozzuk meg az eredeti egyenletet (balról) -al, a komplex konjugált egyenletet -vel, és vonjuk ki a kettőt egymásból. Az eredmény:
Azt kaptuk, hogy egy négyesvektor divergenciája 0. Ez lehetőséget ad egy négyesáram bevezetésére, amire egy megmaradási tétel (kontinuitási egyenlet) írható fel. Legyen:
Ekkor fennáll, hogy . A komponenseket formában írva ez egy kontinuitási egyenlet jelent:
Az egész térre integrálva azt kapjuk, hogy a sűrűség integrálja állandó:
Ez alapján azt lehetne mondani, hogy a Schrödinger egyenletnél bevezethető valószínűségsűrűséghez hasonlóan viselkedik, ennek ellenére nem lehet valószínűségsűrűségként értelmezni, mert a Schrödinger-egyenletnél használt abszolútértéknégyzettel szemben értéke nem csak pozitív lehet, hanem negatív is. Ez abból következik, hogy a Klein-Gordon egyenlet időben másodrendű, így kezdőfeltételként -t és az idő szerinti deriváltját tetszőlegesen lehet megválasztani, úgy is, hogy egyes helyeken negatív legyen.
Így a Klein-Gordon megoldásainak nem lehet a Schrödinger-egyenletnél megszokott valószínűségi értelmezést adni. Abban az esetben viszont, ha töltött részecskékről van szó, egy töltés áramsűrűséget lehet bevezetni. Legyen ekkor:
Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő szorzó, így négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponense a töltéssűrűség:
A térszerű komponensek a hármas áramsűrűséget adják:
Az össztöltés megmarad:
Ezzel szemben értéke egy adott pontban tetszőlegesen változhat, lehet pozitív és negatív is. Ez azt jelenti, hogy a Klein-Gordon egyenlettel nem lehet egy rögzített (pozitív vagy negatív) töltésű részecskét leírni, az időfejlődés során megjelenhetnek ellentétes töltésű tartományok, ennek magyarázata az, hogy minden részecskének létezik ellentétes töltésű antirészecskéje, és a részecskék és antirészecskék száma nem marad meg, csak az össztöltés, keletkezhetnek és annihilálódhatnak részecske-antirészecske párok. Ennek a teljes leírására azonban a Klein-Gordon egyenlet jelenlegi formája nem alkalmas, el kell végezni a tér második kvantálását. Ezt itt nem tesszük meg, az antirészecskék jelenlétét viszont a síkhullám megoldásokon is tudjuk egyszerűen szemléltetni. Ehhez írjuk fel az előbbi síkhullám megoldást (a szokásos és jelöléseket használva):
Itt tetszőleges (hármas) vektor, és érvényes az diszperziós reláció. Legyen a pozitív megoldás , így , a különböző előjelhez tartozó megoldások külön felírva:
Az ezekből számolt töltéssűrűségek (a deriválást elvégezve):
Az egyik esetben a töltéssűrűség pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy lehet értelmezni, hogy a megoldás töltésű, a megoldás töltésű részecskéket ír le.
A Dirac-egyenlet
A Dirac-egyenlet bevezetése
Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:
Szeretnénk, ha a Hamilton-operátor összhangban lenne a relativitáselmélet összefüggésével. Tegyük fel, hogy létezik egy ilyen operátor, ami előáll az impulzusok (térszerinti deriváltak) és a tömeg (mint számmal szorzás) lineárkombinációjaként, és a négyzetére teljesül a relativisztikus energia-impulzus összefüggés (a továbbiakban a latin betűs indexek a térszerű koordinátákat jelölik: , rájuk is vonatkozik a kétszer előforduló indexre automatikus összegzés szabálya):
A fenti feltételeknek nincs megoldása abban az esetben, ha az és együtthatók számok, így keressük úgy a megoldást, hogy a hullámfüggvény több komponensű (oszlopvektor) és az együtthatók mátrixok. Így a feltételeink:
- Legyen egy komponensű vektor, a komponenseit jelölje
- Legyen a mennyiség egy megmaradó 4-es áram nulladik komponense
- Teljesüljön a relativisztikus összefüggés. Ez azt jelenti, hogy minden komponense kielégíti a Klein-Gordon egyenletet
- Legyen az egyenlet kovariáns, azaz teljesítse azt a feltételt, hogy mindkét oldalán a Lorentz-transzformációk szempontjából ugyanúgy transzformálódó mennyiségek szerepelnek
Megmutatható, hogy ezek a feltételek az együtthatómátrixokra a következő egyenleteket adják:
A kapcsos zárójelek az antikommutátorokat jelentik. Ezeket az egyenleteket legkevesebb -es mátrixokkal lehet kielégíteni, léteznek magasabb dimenziójú megoldások is, mi a továbbiakban csak az esettel foglalkozunk. Ebben az esetben a megoldás (igazából több megoldás lehetséges, de ezek nem függetlenek egymástól, így elég csak egyet vizsgálni):
Itt a -es egységmátrix, a mátrixok a Pauli-mátrixok. A komponensek kiírva:
A hullámfüggvény pedig egy négy komponensű vektor lesz. Nagyon fontos megjegyeznünk, hogy nem négyesvektor (a relativitáselméletben bevezetett módon), a komponenseit nem lehet a négyesvektorokra ható Lorentz-mátrixokkal transzformálni, matematikailag egy másik tér eleme. A továbbiakban az együtthatómátrixok és komponenseinek az indexeit általában elhagyjuk, azok között a mátrixalgebrában szokásos műveletek érvényesek. Az mátrixok indexei a mátrix sorszámát jelentik. Egyes esetekben nehéz számontartani a különböző fajta vektorok komponenseit, a lényeg az, hogy a differenciáloperátorok minden komponensére külön hatnak, egy együtthatómátrix pedig a mátrixszorzás szabályai szerint hat. A Dirac-egyenlet így felírva:
A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás minden komponensére külön hat, majd az mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.
A Dirac-egyenlet kovariáns alakja
Szorozzuk be a Dirac-egyenlet korábban megkapott alakját a mátrixxal és rendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 legyen. Így kapjuk a Dirac-egyenlet kovariáns alakját:
Ehhez bevezettük a Dirac-mátrixokat:
A komponensek kiírva:
A Dirac-mátrixok tulajdonságai:
- Mindegyik mátrix unitér
- hermitikus
- antihermitikusak ()
- fennáll az antikommutátor reláció:
Megjegyzés: A fenti tulajdonságok használhatóak a Dirac-mátrixok definiálására. Az összefüggések megoldása nem egyértelmű, de bármely négy mátrix, ami teljesíti a követelményeket megfelelő a fizikai leíráshoz (a mátrixok matematikailag unitér ekvivalensek, ugyanazt a fizikát írják le).
Megjegyzés 2: Az irodalomban gyakran használt jelölés:
Definiáljuk a hullámfüggvény Dirac-konjugáltját:
Itt a transzponált azt a sorvektort jelenti, aminek az elemei elemeinek a komplex konjugáltjai, így a Dirac-konjugált is egy sorvektor. Ezzel bevezethetjük a Dirac-egyenlethez tartozó négyes áramsűrűséget:
Ennek a komponensei a Dirac-indexek ( komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából négyesvektorként viselkedik, a mennyiség pedig négyesskalár.
Felmerül a kérdés, hogy oszlopvektor hogyan transzformálódik egy Lorentz-transzformációt végezve. Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy nem egy négyesvektor (csak "véletlenül" van pont négy komponense), így nem lehet összeszorozni egy Lorentz-mátrixxal. Lehetne gondolni, hogyha -nek semmi köze sincs a négyesvektorokhoz, akkor nem transzformálódik, de ez sem igaz; minden Lorentz-transzformációhoz létezik egy -es mátrix, ami a hullámfüggvény komponenseit transzformálja a mátrixszorzás szabályai szerint:
A Dirac-egyenlet transzformálásánál belátható összefüggések:
- Az egységmátrixnak megfelelő transzformáció az egységmátrix:
- A transzformációk szorzása "asszociatív":
- Az inverz "bevihető":
- Feltehetjük, hogy a Dirac-mátrixok nem transzformálódnak (belátható, hogy választhatóak így)
- A deriválás operátor négyesvektorként transzformálódik:
Ezekből levezethető a transzformációs mátrixot meghatározó egyenlet:
Ennek a megoldásaként (ami nem teljesen triviális, ezért itt mellőzzük) megkaphatnánk a hullámfüggvényt transzformáló mátrixot.
Megjegyzés: Ha csoportelméleti megfontolásokból indulunk ki, akkor azt kapjuk, hogy a négykomponensű hullámfüggvény, illetve a négyesvektorok a Lorentz-transzformációk csoportjának a különböző ábrázolásaihoz tartozó objektumok, a transzformációkra általános módszer adható, amiből a Lorentz-mátrixokat és a hullámfüggvényt transzformáló mátrixokat is meg lehet kapni.
A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai
Írjuk fel a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakban:
(Itt ) Keressük a stacionárius megoldásokat alakban. Így a Schrödinger-egyenletnél megszokotthoz hasonlóan energiasajátérték egyenletet kapunk. Bontsuk fel a négykomponensű hullámfüggvényt két kétkomponensű vektorra:
Ezekre egy csatolt egyenletrendszert kapunk:
A síkhullám megoldás:
Ezt behelyettesítve egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, ami tartalmazza a és paramétereket:
A megoldás feltétele, hogy a determináns 0 legyen. Felhasználva a Pauli-mátrixokra ismert azonosságot, a feltétel:
Ez az energiára az ismerős összefüggés. Látszik az is, hogy léteznek pozitív és "negatív" energiájú megoldások (részecskék és antirészecskék). Az egyenletrendszerből:
Legyen úgy, hogy és a normálás miatt. Legyen , ahol és , ekkor a megoldást és paraméterezik. Ezekkel felírva:
A hullámfüggvény normálása:
A fenti megoldásban van még két szabad paraméter, az vektor komponensei. Ez azt fejezi ki, hogy a részecske spinjének az iránya még nincs meghatározva. A spinoperátor:
Vezessük be a helicitásoperátort:
Ez a spinnek az impulzus irányára vett vetületét adja meg. Válasszuk meg az vektort úgy, hogy a helicitásoperátor sajátvektora legyen. Tekintsünk egy, a tengely irányába mozgó részecskét, ekkor a helicitásoperátor:
A sajátértékek:
A sajátvektorok:
A teljes megoldás így:
A normálás ekkor: