Relativisztikus kvantummechanika

Innen: TételWiki

Ebben a részben c = 1

A Klein-Gordon egyenlet

Legyen \Psi (t,\mathbf{x}) egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a E^2 = p^2 + m^2 egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: \mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:

 \left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0

Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan:  p_{\mu} p^{\mu} = m^2. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right ) . A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:

\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0

A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:

 \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}}

Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2} feltétel. Ez azt jelenti, hogy a k^{\mu} négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyenek a komponensek: k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right ), így ezekre a \omega^2 = k^2 + m^2 diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).

Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosítására. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:

 \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0 \quad \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi^* = 0

Szorozzuk meg az eredeti egyenletet (balról) \Psi^*-al, a komplex konjugált egyenletet \Psi-vel, és vonjuk ki a kettőt egymásból. Az eredmény:


\Psi^* \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi^* = \partial_{\mu} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right ) = 0

Azt kaptuk, hogy egy négyesvektor divergenciája 0. Ez lehetőséget ad egy négyesáram bevezetésére, amire egy megmaradási tétel (kontinuitási egyenlet) írható fel. Legyen:


j^{\mu} = \frac{i \hbar}{2m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )

Ekkor fennáll, hogy  \partial_{\mu} j^{\mu} = 0. A komponenseket  j^{\mu} = \left ( \rho, \mathbf{j} \right ) formában írva ez egy kontinuitási egyenlet jelent:


\frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \mathbf{j}

Az egész térre integrálva azt kapjuk, hogy a \rho sűrűség integrálja állandó:


\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} t} \int \rho \operatorname{d}^3 x = 0

Ez alapján azt lehetne mondani, hogy \rho a Schrödinger egyenletnél bevezethető valószínűségsűrűséghez hasonlóan viselkedik, ennek ellenére nem lehet valószínűségsűrűségként értelmezni, mert a Schrödinger-egyenletnél használt abszolútértéknégyzettel szemben \rho értéke nem csak pozitív lehet, hanem negatív is. Ez abból következik, hogy a Klein-Gordon egyenlet időben másodrendű, így kezdőfeltételként \Psi-t és az idő szerinti deriváltját tetszőlegesen lehet megválasztani, úgy is, hogy \rho egyes helyeken negatív legyen.

Így a Klein-Gordon megoldásainak nem lehet a Schrödinger-egyenletnél megszokott valószínűségi értelmezést adni. Abban az esetben viszont, ha töltött részecskékről van szó, egy töltés áramsűrűséget lehet bevezetni. Legyen ekkor:

 j^{\mu} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )

Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő e szorzó, így j^{\mu} négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponense a töltéssűrűség:

\rho = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \Psi \frac{\partial \Psi^* }{\partial t} \right )

A térszerű komponensek a hármas áramsűrűséget adják:

 \mathbf{j} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^* \right )

Az össztöltés megmarad:

Q \equiv \int \rho \operatorname{d}^3 x \quad \rightarrow \quad \frac{\operatorname{d} Q}{\operatorname{d} t} = 0

Ezzel szemben \rho értéke egy adott pontban tetszőlegesen változhat, lehet pozitív és negatív is. Ez azt jelenti, hogy a Klein-Gordon egyenlettel nem lehet egy rögzített (pozitív vagy negatív) töltésű részecskét leírni, az időfejlődés során megjelenhetnek ellentétes töltésű tartományok, ennek magyarázata az, hogy minden részecskének létezik ellentétes töltésű antirészecskéje, és a részecskék és antirészecskék száma nem marad meg, csak az össztöltés, keletkezhetnek és annihilálódhatnak részecske-antirészecske párok. Ennek a teljes leírására azonban a Klein-Gordon egyenlet jelenlegi formája nem alkalmas, el kell végezni a \Psi tér második kvantálását. Ezt itt nem tesszük meg, az antirészecskék jelenlétét viszont a síkhullám megoldásokon is tudjuk egyszerűen szemléltetni. Ehhez írjuk fel az előbbi síkhullám megoldást (a szokásos  E = \hbar \omega és \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} jelöléseket használva):

 \Psi = A e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E t \right ) }

Itt \mathbf{p} tetszőleges (hármas) vektor, és érvényes az  E = \pm \sqrt{p^2 + m^2} diszperziós reláció. Legyen a pozitív megoldás E_p \equiv + \sqrt{p^2 + m^2}, így E = \pm E_p, a különböző előjelhez tartozó megoldások külön felírva:

\Psi_{+} = A_{+} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E_p t \right ) } \quad \quad
\Psi_{-} = A_{-} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} + E_p t \right ) }

Az ezekből számolt töltéssűrűségek (a deriválást elvégezve):

\rho_{+} = + \frac{e E_p}{m} \left | A_{+} \right |^2 \quad \quad \rho_{-} = - \frac{e E_p}{m} \left | A_{-} \right |^2

Az egyik esetben a töltéssűrűség pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy lehet értelmezni, hogy a \Psi_{+} megoldás +e töltésű, a \Psi_{-} megoldás -e töltésű részecskéket ír le.

A Dirac-egyenlet

A Dirac-egyenlet bevezetése

Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:

i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi

Szeretnénk, ha a Hamilton-operátor összhangban lenne a relativitáselmélet E = \pm \sqrt{p^2 + m^2} összefüggésével. Tegyük fel, hogy létezik egy ilyen operátor, ami előáll az impulzusok (térszerinti deriváltak) és a tömeg (mint számmal szorzás) lineárkombinációjaként, és a négyzetére teljesül a relativisztikus energia-impulzus összefüggés (a továbbiakban a latin betűs indexek a térszerű koordinátákat jelölik: i = 1,2,3, rájuk is vonatkozik a kétszer előforduló indexre automatikus összegzés szabálya):

 \hat{\operatorname{H}} = \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \quad \quad \hat{\operatorname{H}}^2 = \hat{\operatorname{p}}_i \hat{\operatorname{p}}_i + m^2

A fenti feltételeknek nincs megoldása abban az esetben, ha az \alpha_i és \beta együtthatók számok, így keressük úgy a megoldást, hogy a \Psi hullámfüggvény több komponensű (oszlopvektor) és az együtthatók mátrixok. Így a feltételeink:

  • Legyen \Psi egy n komponensű vektor, a komponenseit jelölje \Psi_i
  • Legyen a  \rho \equiv \Psi^{+} \Psi \equiv \sum_{i=1}^{n} \Psi_i^{*} \Psi_i mennyiség egy megmaradó 4-es áram nulladik komponense
  • Teljesüljön a relativisztikus E^2 = p^2 + m^2 összefüggés. Ez azt jelenti, hogy \Psi_i minden komponense kielégíti a Klein-Gordon egyenletet
  • Legyen az egyenlet kovariáns, azaz teljesítse azt a feltételt, hogy mindkét oldalán a Lorentz-transzformációk szempontjából ugyanúgy transzformálódó mennyiségek szerepelnek


Megmutatható, hogy ezek a feltételek az együtthatómátrixokra a következő egyenleteket adják:

 \left \{ \alpha_j , \alpha_k \right \} = 2 \delta_{jk} \quad \left \{ \alpha_j , \beta \right \} = 0 \quad \alpha_i^2 = \beta^2 = 1

A kapcsos zárójelek az antikommutátorokat jelentik. Ezeket az egyenleteket legkevesebb 4 \times 4-es mátrixokkal lehet kielégíteni, léteznek magasabb dimenziójú megoldások is, mi a továbbiakban csak az  n = 4 esettel foglalkozunk. Ebben az esetben a megoldás (igazából több megoldás lehetséges, de ezek nem függetlenek egymástól, így elég csak egyet vizsgálni):

 \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array} \right ) \quad \quad \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & -\operatorname{I} \end{array} \right )

Itt \operatorname{I} a 2 \times 2-es egységmátrix, a \sigma_i mátrixok a Pauli-mátrixok. A komponensek kiírva:


\beta = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad 
\alpha_1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )


\alpha_2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad 
\alpha_3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right )

A \Psi hullámfüggvény pedig egy négy komponensű vektor lesz. Nagyon fontos megjegyeznünk, hogy \Psi nem négyesvektor (a relativitáselméletben bevezetett módon), a komponenseit nem lehet a négyesvektorokra ható Lorentz-mátrixokkal transzformálni, matematikailag \Psi egy másik tér eleme. A továbbiakban az együtthatómátrixok és \Psi komponenseinek az indexeit általában elhagyjuk, azok között a mátrixalgebrában szokásos műveletek érvényesek. Az \alpha mátrixok indexei a mátrix sorszámát jelentik. Egyes esetekben nehéz számontartani a különböző fajta vektorok komponenseit, a lényeg az, hogy a differenciáloperátorok \Psi minden komponensére külön hatnak, egy együtthatómátrix pedig a mátrixszorzás szabályai szerint hat. A Dirac-egyenlet így felírva:

 i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left ( -i \hbar \alpha_i \partial_i + \beta m \right ) \Psi = -i \hbar \alpha_1 \frac{\partial \Psi}{\partial x} -i \hbar \alpha_2 \frac{\partial \Psi}{\partial y} -i \hbar \alpha_3 \frac{\partial \Psi}{\partial z} + \beta m \Psi

A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás \Psi minden komponensére külön hat, majd az \alpha mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.


A Dirac-egyenlet kovariáns alakja

Szorozzuk be a Dirac-egyenlet korábban megkapott alakját a \beta mátrixxal és rendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 legyen. Így kapjuk a Dirac-egyenlet kovariáns alakját:

\left ( i \hbar \gamma^{\mu} \partial{\mu} - m \right ) \Psi = 0

Ehhez bevezettük a Dirac-mátrixokat:

\gamma^0 \equiv \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & \operatorname{I} \end{array} \right ) \quad \quad \gamma^i \equiv \beta \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{array} \right )

A komponensek kiírva:



\gamma^0 = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad 
\gamma^1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )


\gamma^2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad 
\gamma^3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right )

A Dirac-mátrixok tulajdonságai:

  • Mindegyik mátrix unitér
  • \gamma^0 hermitikus
  • \gamma^i antihermitikusak (i = 1,2,3)
  • fennáll az antikommutátor reláció:  \left \{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \right \} = 2 \eta^{\mu \nu}

Megjegyzés: A fenti tulajdonságok használhatóak a Dirac-mátrixok definiálására. Az összefüggések megoldása nem egyértelmű, de bármely négy mátrix, ami teljesíti a követelményeket megfelelő a fizikai leíráshoz (a mátrixok matematikailag unitér ekvivalensek, ugyanazt a fizikát írják le).

Megjegyzés 2: Az irodalomban gyakran használt jelölés:  \partial \!\!\!/\  \equiv \gamma^{\mu} \partial_{\mu}

Definiáljuk a hullámfüggvény Dirac-konjugáltját:

 \overline{\Psi} \equiv \Psi^{+} \gamma^0

Itt a \Psi^{+} transzponált azt a sorvektort jelenti, aminek az elemei \Psi elemeinek a komplex konjugáltjai, így a Dirac-konjugált is egy sorvektor. Ezzel bevezethetjük a Dirac-egyenlethez tartozó négyes áramsűrűséget:

j^{\mu} \equiv \overline{\Psi} \gamma^{\mu} \Psi

Ennek a komponensei a Dirac-indexek (\Psi komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából j^{\mu} négyesvektorként viselkedik, a \overline{\Psi} \Psi mennyiség pedig négyesskalár.


Felmerül a kérdés, hogy \Psi oszlopvektor hogyan transzformálódik egy Lorentz-transzformációt végezve. Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy \Psi nem egy négyesvektor (csak "véletlenül" van pont négy komponense), így nem lehet összeszorozni egy Lorentz-mátrixxal. Lehetne gondolni, hogyha \Psi-nek semmi köze sincs a négyesvektorokhoz, akkor nem transzformálódik, de ez sem igaz; minden \Lambda Lorentz-transzformációhoz létezik egy \operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) 4 \times 4-es mátrix, ami a hullámfüggvény komponenseit transzformálja a mátrixszorzás szabályai szerint:

 \Psi' (x'^{\mu}) = \Psi' \left ( \Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \Psi (x^{\mu})

A Dirac-egyenlet transzformálásánál belátható összefüggések:

  • Az egységmátrixnak megfelelő transzformáció az egységmátrix: \operatorname{R} \left ( \operatorname{I} \right ) = 1
  • A transzformációk szorzása "asszociatív": \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \Lambda_{(2)} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \right ) \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(2)} \right )
  • Az inverz "bevihető": \operatorname{R} \left ( \Lambda^{-1} \right ) = \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right )
  • Feltehetjük, hogy a Dirac-mátrixok nem transzformálódnak (belátható, hogy választhatóak így)
  • A deriválás operátor négyesvektorként transzformálódik: \partial'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\nu} \partial_{\nu}

Ezekből levezethető a transzformációs mátrixot meghatározó egyenlet:

\operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \gamma^{\nu} \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right ) = \gamma^{\mu} \Lambda_{\mu}^{\nu}

Ennek a megoldásaként (ami nem teljesen triviális, ezért itt mellőzzük) megkaphatnánk a hullámfüggvényt transzformáló mátrixot.

Megjegyzés: Ha csoportelméleti megfontolásokból indulunk ki, akkor azt kapjuk, hogy a négykomponensű hullámfüggvény, illetve a négyesvektorok a Lorentz-transzformációk csoportjának a különböző ábrázolásaihoz tartozó objektumok, a transzformációkra általános módszer adható, amiből a Lorentz-mátrixokat és a hullámfüggvényt transzformáló mátrixokat is meg lehet kapni.

A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai

Írjuk fel a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakban:

 i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi = \left ( \sum_{i=1}^3 \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \right ) \Psi

(Itt \hat{\operatorname{p}}_i = - i \hbar \partial_i) Keressük a stacionárius megoldásokat \Psi (\mathbf{x},t) = \psi (\mathbf{x}) e^{-\frac{i}{\hbar} \varepsilon t} alakban. Így a Schrödinger-egyenletnél megszokotthoz hasonlóan energiasajátérték egyenletet kapunk. Bontsuk fel a négykomponensű hullámfüggvényt két kétkomponensű vektorra:

\psi = \left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \chi_1 \\ \chi_2 \end{array} \right )

Ezekre egy csatolt egyenletrendszert kapunk:

 \varepsilon \varphi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \chi + m \varphi \quad \quad \varepsilon \chi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \varphi - m \chi

A síkhullám megoldás:

\left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_0 \\ \chi_0 \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \mathbf{p x} }

Ezt behelyettesítve egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, ami tartalmazza a \mathbf{p} és \varepsilon paramétereket:

 (\varepsilon - m) \varphi_0 - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \chi_0 = 0

 - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \varphi_0 + (\varepsilon + m) \chi_0 = 0

A megoldás feltétele, hogy a determináns 0 legyen. Felhasználva a Pauli-mátrixokra ismert \left ( \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \right )^2 = p^2 azonosságot, a feltétel:

\varepsilon^2 - m^2 - p^2 = 0

Ez az energiára az ismerős összefüggés. Látszik az is, hogy léteznek pozitív és "negatív" energiájú megoldások (részecskék és antirészecskék). Az egyenletrendszerből:

 \chi_0 = \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \varepsilon} \varphi_0

Legyen \varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right ) úgy, hogy u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1 és N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}} a normálás miatt. Legyen \varepsilon = \lambda E_p, ahol E_p = \sqrt{m^2 + p^2} és \lambda = \pm 1, ekkor a megoldást \mathbf{p} és \lambda paraméterezik. Ezekkel felírva:

\Psi_{\mathbf{p}, \lambda} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} u \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} u \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }

A hullámfüggvény normálása:

\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')


A fenti megoldásban van még két szabad paraméter, az u vektor komponensei. Ez azt fejezi ki, hogy a részecske spinjének az iránya még nincs meghatározva. A spinoperátor:

\hat{\operatorname{s}}_i = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{array}{cc} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \end{array} \right )

Vezessük be a helicitásoperátort:

\hat{\Lambda}_s = \sum_{i=1}^3 \hat{\operatorname{s}}_i \frac{\hat{\operatorname{p}}_i}{|p|}

Ez a spinnek az impulzus irányára vett vetületét adja meg. Válasszuk meg az u vektort úgy, hogy a helicitásoperátor sajátvektora legyen. Tekintsünk egy, a z tengely irányába mozgó részecskét, ekkor a helicitásoperátor:

\hat{\Lambda}_s = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{array}{cc} \sigma_z & 0 \\ 0 & \sigma_z \end{array} \right ) = \frac{\hbar}{2} \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right )

A sajátértékek:  \pm \frac{\hbar}{2}

A sajátvektorok:

 \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \quad \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ) \quad \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right ) \quad \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right )

A teljes megoldás így:

\Psi_{\mathbf{p}, \lambda, + 1/2} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} \\ 0 \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }

\quad \quad

\Psi_{\mathbf{p}, \lambda, - 1/2} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }

A normálás ekkor:

\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda, s}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda', s'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta_{s,s'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')