Módosítások
→A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai
===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===
Írjuk fel a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakban:
<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi = \left ( \sum_{i=1}^3 \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \right ) \Psi</math>
(Itt <math>\hat{\operatorname{p}}_i = - i \hbar \partial_i</math>)
Keressük a stacionárius megoldásokat <math>\Psi (\mathbf{x},t) = \psi (\mathbf{x}) e^{-\frac{i}{\hbar} \varepsilon t}</math> alakban. Így a Schrödinger-egyenletnél megszokotthoz hasonlóan energiasajátérték egyenletet kapunk. Bontsuk fel a négykomponensű hullámfüggvényt két kétkomponensű vektorra:
<math>\psi = \left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \chi_1 \\ \chi_2 \end{array} \right )</math>
Ezekre egy csatolt egyenletrendszert kapunk:
<math> \varepsilon \varphi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \chi + m \varphi \quad \quad \varepsilon \chi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \varphi - m \chi</math>
A síkhullám megoldás:
<math>\left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_0 \\ \chi_0 \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \mathbf{p x} }</math>
Ezt behelyettesítve egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, ami tartalmazza a <math>\mathbf{p}</math> és <math>\varepsilon</math> paramétereket:
<math> (\varepsilon - m) \varphi_0 - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \chi_0 = 0</math>
<math> - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \varphi_0 + (\varepsilon + m) \chi_0 = 0 </math>
A megoldás feltétele, hogy a determináns 0 legyen. Felhasználva a Pauli-mátrixokra ismert <math>\left ( \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \right )^2 = p^2</math> azonosságot, a feltétel:
<math>\varepsilon^2 - m^2 - p^2 = 0</math>
Ez az energiára az ismerős összefüggés. Látszik az is, hogy léteznek pozitív és "negatív" energiájú megoldások (részecskék és antirészecskék).
Az egyenletrendszerből:
<math> \chi_0 = \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \varepsilon} \varphi_0</math>
Legyen <math>\varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right )</math> úgy, hogy <math>u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1</math> és <math>N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}}</math> a normálás miatt. Legyen <math>\varepsilon = \lambda E_p</math>, ahol <math>E_p = \sqrt{m^2 + p^2}</math> és <math>\lambda = \pm</math>, ekkor a megoldást <math>\mathbf{p}</math> és <math>\lambda</math> paraméterezik. Ezekkel felírva:
<math>\Psi_{\mathbf{p}, \lambda} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} u \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} u \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }</math>
A hullámfüggvény normálása:
<math>\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')</math>
