VélFiz 3.tétel

Innen: TételWiki

3. tétel: Master-egyenlet diszkrét állapottérben, stacionáris állapotok

Inkább Langevin gondolatvilágából következik (formalizmusában viszont inkább Einsteint követi).

Alapvetése

  • Megfigyelek valamit, amit valamilyen háttér befolyásol.
  • A háttér annyira nem fontos, csak a hatása a megfigyelt részecskére (van néhány kiválasztott szabadsági fokom).
  • Mivel a háttérről nem sokat tudok, valószínűségi egyenletekkel dolgozom.

Példa

Van egy rendszerem, amiből engem csak a mágneses viselkedés érdekel, csak a spineket figyelem.

Nagy rendszer: sok spin \left\{ S\right\} = \left\{ S_1, S_2, ...\right\}

Spinbeállások nagy rendszer esetén

Két részecskéből álló rendszer esetén a teljes állapottér négy diszkrét állapotból áll:

Spinbeállások 2-részecskés rendszernél

A Master-egyenlet felírása

Most legyen n diszkrét állappot.

  • p_n(t): mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer az n-edik állapotban van?
  • Tegyük fel, hogy tudom, hogy egységnyi idő alatt mi annak a valószínűsége, hogy a rendszer n-ből m állapotba megy át.

Ennek jelölése: w_{m n} --> nem tudunk róla semmit, de tegyük fel, hogy ismerjük az értékét.

  • Fermi aranyszabály: \mathcal{H} ismert, w_{m n} \sim |<n|\mathcal{H}|m>|^2 QM-ben.

Ising [1] spin-rendszer esetén: \mathcal{H} = -J \sum_{<i,j>}S_i^2S_j^2, ahol S_i = \pm 1[1][2]

  • Tegyük fel, hogy a folyamat Markov-folyamat, tehát létezik olyan \Delta t, hogy már csak a t mondja meg, hogy mi történik t + \Delta t-ben. (És tegyük fel, hogy az átmenetek megvalósulnak.)

Ekkor:

p_n(t+\Delta t) = p_n(t) - \sum_{m}w_{m n}\Delta t p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}\Delta t p_{m}(t)\,

A p_n(t)-t ismerem, a p_n(t+\Delta t)-t keresem, a w_{m n} és w_{n m} egységnyi időre vonatkozik.

Sorbafejtek p_n(t+\Delta t) körül, p_n(t) kiesik, így:

\frac{\partial p_n}{\partial t} = -\sum_{m}w_{m n}p_n(t) + \sum_{m}w_{n m}p_{m}(t) A Master-egyenlet diszkrét állapottérben

Ennek kell, hogy legyen stacionárius megoldása, amihez relaxál:

p_n^{(egyensulyi)} = \frac{1}{z} e^{-\beta E_n}, ahol E_n az n-edik állapot energiája.

Ha ezt helyettesítem be, akkor a bal oldal 0 lesz-->ez w_{m n} és w_{n m}-re megkötés!

Van időtükrözési invariancia is! Ennek következménye a részletes egyensúly (bővebben később).

Példa

Szilárd testekben lévő spinrendszereknél a többi kölcsönhatás hőtartályként adódik a rendszerhez. (Pl. szupravezetésnél feltételezték, hogy az elektronok Coulomb-kölcsönhatása le van árnyékolva, a fononok pedig a háttér hőtartályt adják. Később kiderült, hogy alacsony hőmérsékleten éppen a fononok miatt kezdik el vonzani egymást az elektronok.)


  1. A ferromágnes első modellje. A spinek egy irányba szeretnek beállni, de a hőmozgás szétválasztja őket. T->0: Curie-hőmérséklet alatt ferromágneses viselkedés.
  2. A Fermi aranyszabály és az Ising spin-rendszer csak a spineket vizsgálja, nálunk meg egy csomó más hatás is van, tehát nem pont azt írják le, ami nekünk kell.