VélFiz 5.tétel

Innen: TételWiki

5. tétel: Generátor függvények: Sorbanállási problémák

Végtelen sok állapot esetén (Master-egyenlet végtelen állapottérrel) a Generátor-függvények módszerét érdemes használni.

Sorbanállási problémák

Egy fizikai pl.: atom abszorpció - kirakódások és elpárolgások...

Jelölések:

  • w_b: bejöveteli ráta
  • w_k: kimeneti, feldolgozási ráta

Stac. állapotot jellemző mennyiségek:

  • P_n: milyen valószínűséggel van n vásárló a pénztárnál?
  • \bar{n}: átlagosan mennyien állnak a pénztárnál?
  • \bar{n^2} - \bar{n}^2: Fluktuáció

P változásának valószínűsége: (P_0 külön eset, hiszen nincs P_{-1}.)

\partial_{t}P_{n}=-(w_{k}+w_{b})P_{n}+w_{b}P_{n-1}+w_{k}P_{n+1}

  • jobb oldal 1.tagja:P_{n} állapotból való kilépés bejövetel vagy kimenetel által
  • 2.tag:P_{n} állapotba lépés bejövetellel;
  • 3.tag:P_{n} állapotba lépés kimenetellel;

\partial_{t}P_{0}=-w_{b}P_{0}+w_{k}P_{1}

Momentum generátor függvény bevezetése:

(Az eloszlásfüggvény momentumait generálja)

G(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}P_{n}(t)

G(0,t)=\sum P_{n}(t)=1

1. momentum: -\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)_{s=0}=\sum_{n}nP_{n}(t)=\bar{n}(t)

2. momentum: \left(\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}\right)_{s=0}=\bar{n^{2}}(t)

Ez utóbbit felhasználva: \bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}=\left[\left(\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}\right)-\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)^{2}\right]_{s=0}

Vezessük be a következő jelölést: q=\frac{w_{b}}{w_{k}}. Stacionáris megoldás van, ha 0\leq q\leq1.

\partial_{t}P_{n}=-(1+q)P_{n}+qP_{n-1}+P_{n+1} :(n\geq1)

\partial_{t}P_{0}=-qP_{0}+P_{1}

Így G időbeli változása:

\partial_{t}G(s,t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-sn}\partial_{t}P_{n}(t)=-qP_{0}+P_{1}-(1+q)\sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn}P_{n}-(1+q)P_{0}+q\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n+1}, ahol

  • \sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn}P_{n} -(1+q)P_{0} = G(s,t)
  • \sum_{n=1}^{\infty}e^{-sn+1-1}P_{n-1}=e^{-s}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n-1)}P_{n-1}=e^{-s}G(s,t)
  • \sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1-1)}P_{n+1}=e^{s}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-s(n+1)}P_{n+1}=e^{s}G(s,t)
  • és qP_0-ak kiejtik egymást

Ez utóbbiakkal:

\partial_{t}G=(1-e^{s})P_{0}-(1+q)G+qe^{-s}G+e^{s}G=(qe^{-s}+e^{s}-1-q)G+(1-e^{s})P_{0}


Stacionárius állapot esetén:

\partial_{t}G=0=(qe^{-s}+e^{s}-1-q)G^{*}+(1-e^{s})P_{0}^{*}=(e^{-s}-1)(1-qe^{-s})G^{*}+(1-e^{s})P_{0}^{*}=(1-qe^{-s})G^{*}-P_{0}^{*}, mivel (e^{-s}-1) = 1

Ebből átrendezéssel kapjuk a stacionárius generátor-függvényt:

G^{*}(s)=\frac{P_{0}^{*}}{1-qe^{-s}}

P_{0}^{*} a normálásból több féle képpen is kifejezhető, az eredmény: P_{0}^{*}=1-q \,

Az előbbiek alapján az egyensúlyi generátor függvény: G^{*}(s)=\frac{1-q}{1-qe^{-s}}

Stacionárius esetben a momentumok:

  • \bar{n^{*}}=-\left(\frac{\partial G^{*}}{\partial s}\right)_{s=0}=\frac{(1-q)qe^{-s}}{\left(1-qe^{-s}\right)^{2}}=\frac{q}{1-q}
  • \bar{n^{*2}}=(1-q)q\frac{-e^{-s}(1-qe^{-s})-e^{-s}2qe^{-s}(1-qe^{-s})}{\left(1-qe^{-s}\right)^{4}}=(1-q)q\frac{1+q}{\left(1-q\right)^{3}}=\frac{q(1+q)}{\left(1-q\right)^{2}}
  • \bar{n^{*2}}-\bar{n^{*}}^{2}=\frac{q(1+q)}{\left(1-q\right)^{2}}-\frac{q^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}=\frac{q}{\left(1-q\right)^{2}}

A "matematikus" leírást kihagytam, remélem nem gond. Cz


A kumuláns Generátor-függvény bevezetése: \phi(s,t)=lnG(s,t)

A kumulánsok:

  • -\left(\frac{\partial\phi}{\partial s}\right)_{s=0}=\frac{1}{G}\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)_{s=0}=\bar{n}
  • \left(\frac{\partial^{2}\phi}{\partial s^{2}}\right)_{s=0}=\left[\frac{1}{G}\frac{\partial^{2}G}{\partial s^{2}}-\frac{1}{G^{2}}\left(\frac{\partial G}{\partial s}\right)^{2}\right]_{s=0}=\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}
  • -\left(\frac{\partial^{3}\phi}{\partial s^{3}}\right)_{s=0}=\bar{n^{3}}-3\bar{n^{2}}\bar{n}+\bar{n}^{3} - a harmadik kumuláns megadja, mennyire nem szimmetrikus a függvény.
  • A 4. kumuláns megadja, hogy a függvény a Gauss-hoz képest mennyire keskeny

Gauss-függvény elestében az első két kumuláns nem nulla, de a többi utánuk 0:

\bar{n}=a=\kappa_{1};\bar{n^{2}}-\bar{n}^{2}=\sigma=\kappa_{2};\kappa_{3}=0;\cdots

Generátor-függvény Fourier-transzformálva: G(s)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-isx}P(x)dx\sim e^{-\frac{\left(s-\bar{s}\right)^{2}}{\sigma^{2}}}\Longrightarrow\ln G(s)\sim As^{2}+Bs+C

Gauss-on kívül nincs másik olyan függvény, hogy valamettől 0-k a kumulánsai, mert visszafelé transzformálva P-re negatív értéket kapnánk.