Relativisztikus kvantummechanika forrásának megtekintése

Ebben a részben <math>c = 1</math>

==A Klein-Gordon egyenlet==

Legyen <math>\Psi (t,\mathbf{x})</math> egy részecske hullámfüggvénye, mint egy inerciarendszerbeli tér- és időkoordináták skalárfüggvénye. Erre szeretnénk felírni egy kovariáns egyenletet, ami összhangban van a relativitáselmélettel. Ehhez induljunk ki a <math>E^2 = p^2 + m^2</math> egyenletből, és helyettesítsük a fizikai mennyiségeket a klasszikus kvantummechanikából ismert operátoraikkal. Az impulzus operátora: <math>\mathbf{p} \sim -i \hbar \nabla</math>, az energiát az időderiváltnak feleltethetjük meg: <math>E \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial t}</math>, a tömeg pedig itt is egy állandó. Így a fenti egyenletnek megfelelő operátorokat a hullámfüggvényre hattatva a következő egyenletet kapjuk:

<math> \left ( -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \hbar^2 \nabla^2 - m^2 \right ) \Psi = 0</math>

Ez a Klein-Gordon egyenlet. Ezt felírhatjuk négyesvektoros alakban is. Az energia és impulzus közötti összefüggés (diszperziós reláció) négyesvektorosan: <math> p_{\mu} p^{\mu} = m^2</math>. Az előző megfeleltetés operátoroknak ekkor: <math>p^{\mu} \sim i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} = i \hbar \partial^{\mu} = i \hbar \left ( \frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right ) </math>. A Klein-Gordon egyenlet ilyen alakban:

<math>\left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0</math>

A Klein-Gordon egyenlet síkhullám megoldásait egyszerűen felírhatjuk:

<math> \Psi (x^{\mu}) = A e^{- i k_{\mu} x^{\mu} } = A e^{-i \omega t + i \mathbf{k x}} </math>

Ezt az egyenletbe behelyettesítve láthatjuk, hogy kielégíti azt, ha teljesül a <math>k_{\mu} k^{\mu} = \frac{m^2}{\hbar^2}</math> feltétel. Ez azt jelenti, hogy a <math>k^{\mu}</math> négyesvektor komponenseiből csak 3 független. Legyyenek a komponensek: <math>k^{\mu} = \left ( \omega, \mathbf{k} \right )</math>, így ezekre a <math>\omega^2 = k^2 + m^2</math> diszperziós reláció adódik. A kvantummechanikában szokásos értelmezés szerint az energia (ez az időderiválás operátor sajátértéke is) <math>E = \hbar \omega = \pm \sqrt{\hbar^2 k^2 + m^2}</math>. Formálisan a pozitív energiás megoldás mellett van egy negatív energiájú is (ez jelenti majd az antirészecskéket).

Eddig még nem beszéltünk arról, hogy milyen részecskék leírására alkalmas a Klein-Gordon egyenlet, felmerül a kérdés, hogy ez az egyenlet alkalmas-e a Schrödinger egyenlet relativisztikus általánosításaként. Elvileg ezzel az egyenlettel 0 spinű részecskéket lehetne leírni, a valóságban azonban nincs olyan elemi részecske, amit csak a Klein-Gordon egyenlet írna le (a fotonokra felírható hullámegyenletek hasonlóak, de ott nem egy skalármező, hanem a potenciálokból álló négyesvektor komponensei szerepelnek). Ennek ellenére érdemes megvizsgálni, hogyha lennének ilyen részecskék, akkor milyen tulajdonságokkal rendelkeznének. A Schrödinger-egyenletnél a hullámfüggvény abszolútértékének négyzete megtalálási valószínűségsűrűségként volt értelmezhető. Kérdéses, hogy itt lehet-e ehhez hasonló megállapításokat tenni. Ehhez írjuk fel a Klein-Gordon egyenletet és a komplex konjugáltját:

<math> \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi = 0 \quad \left ( \partial_{\mu} \partial^{\mu} + \frac{m^2}{\hbar^2} \right ) \Psi^* = 0</math>

Szorozzuk meg az eredeti egyenletet (balról) <math>\Psi^*</math>-al, a komplex konjugált egyenletet <math>\Psi</math>-vel, és vonjuk ki a kettőt egymásból. Az eredmény:

<math>
\Psi^* \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial_{\mu} \partial^{\mu} \Psi^* = \partial_{\mu} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right ) = 0
</math>

Azt kaptuk, hogy egy négyesvektor divergenciája 0. Ez lehetőséget ad egy négyesáram bevezetésére, amire egy megmaradási tétel (kontinuitási egyenlet) írható fel. Legyen:

<math>
j^{\mu} = \frac{i \hbar}{2m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right )
</math>

Ekkor fennáll, hogy <math> \partial_{\mu} j^{\mu} = 0</math>. A komponenseket <math> j^{\mu} = \left ( \rho, \mathbf{j} \right )</math> formában írva ez egy kontinuitási egyenlet jelent:

<math>
\frac{\partial \rho}{\partial t} = \nabla \mathbf{j}
</math>

Az egész térre integrálva azt kapjuk, hogy a <math>\rho</math> sűrűség integrálja állandó:

<math>
\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d} t} \int \rho \operatorname{d}^3 x = 0</math>

Ez alapján azt lehetne mondani, hogy <math>\rho </math> a Schrödinger egyenletnél bevezethető valószínűségsűrűséghez hasonlóan viselkedik, ennek ellenére nem lehet valószínűségsűrűségként értelmezni, mert a Schrödinger-egyenletnél használt abszolútértéknégyzettel szemben <math>\rho</math> értéke nem csak pozitív lehet, hanem negatív is. Ez abból következik, hogy a Klein-Gordon egyenlet időben másodrendű, így kezdőfeltételként <math>\Psi</math>-t és az idő szerinti deriváltját tetszőlegesen lehet megválasztani, úgy is, hogy <math>\rho</math> egyes helyeken negatív legyen.

Így a Klein-Gordon megoldásainak nem lehet a Schrödinger-egyenletnél megszokott valószínűségi értelmezést adni. Abban az esetben viszont, ha töltött részecskékről van szó, egy töltés áramsűrűséget lehet bevezetni. Legyen ekkor:

<math> j^{\mu} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \partial^{\mu} \Psi - \Psi \partial^{\mu} \Psi^* \right ) </math>

Az előző definícióhoz képest az egyetlen eltérés a részecskék töltésegységét jelentő <math>e</math> szorzó, így <math>j^{\mu}</math> négyes áramsűrűségként értelmezhető (a kontinuitási egyenlet ugyanúgy teljesül rá). A nulladik komponenes a töltéssűrűség:

<math>\rho = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} - \Psi \frac{\partial \Psi^* }{\partial t} \right ) </math>

A térszerű komponensek a hármas áramsűrűséget adják:

<math> \mathbf{j} = \frac{i e \hbar}{2 m} \left ( \Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^* \right ) </math>

Az össztöltés megmarad:

<math>Q \equiv \int \rho \operatorname{d}^3 x \quad \rightarrow \quad \frac{\operatorname{d} Q}{\operatorname{d} t} = 0 </math>

Ezzel szemben <math>\rho</math> értéke egy adott pontban tetszőlegesen változhat, lehet pozitív és negatív is. Ez azt jelenti, hogy a Klein-Gordon egyenlettel nem lehet egy rögzített (pozitív vagy negatív) töltésű részecskét leírni, az időfejlődés során megjelenhetnek ellentétes töltésű tartományok, ennek magyarázata az, hogy minden részecskének létezik ellentétes töltésű antirészecskéje, és a részecskék és antirészecskék száma nem marad meg, csak az össztöltés, keletkezhetnek és annihilálódhatnak részecske-antirészecske párok. Ennek a teljes leírására azonban a Klein-Gordon egyenlet jelenlegi formája nem alkalmas, el kell végezni a <math>\Psi</math> tér második kvantálását. Ezt itt nem tesszük meg, az antirészecskék jelenlétét viszont a síkhullám megoldásokon is tudjuk egyszerűen szemléltetni. Ehhez írjuk fel az előbbi síkhullám megoldást (a szokásos <math> E = \hbar \omega</math> és <math>\mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}</math> jelöléseket használva):

<math> \Psi = A e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E t \right ) }</math>

Itt <math>\mathbf{p}</math> tetszőleges (hármas) vektor, és érvényes az <math> E = \pm \sqrt{p^2 + m^2} </math> diszperziós reláció. Legyen a pozitív megoldás <math>E_p \equiv + \sqrt{p^2 + m^2}</math>, így <math>E = \pm E_p</math>, a különböző előjelhez tartozó megoldások külön felírva:

<math>\Psi_{+} = A_{+} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - E_p t \right ) } \quad \quad
\Psi_{-} = A_{-} e^{\frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} + E_p t \right ) }</math>

Az ezekből számolt töltéssűrűségek (a deriválást elvégezve):

<math>\rho_{+} = + \frac{e E_p}{m} \left | A_{+} \right |^2 \quad \quad \rho_{-} = - \frac{e E_p}{m} \left | A_{-} \right |^2</math>

Az egyik esetben a töltéssűrűség pozitív, a másikban negatív. Ezt úgy lehet értelmezni, hogy a <math>\Psi_{+}</math> megoldás <math>+e</math> töltésű, a <math>\Psi_{-}</math> megoldás <math>-e</math> töltésű részecskéket ír le.

==A Dirac-egyenlet==

===A Dirac-egyenlet bevezetése===

Szeretnénk egy, a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakú (időben elsőrendű), de a relativitáselmélettel összhangban levő egyenletet bevezetni. A Schrödinger-egyenlet ismert alakja:

<math>i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi</math>

Szeretnénk, ha a Hamilton-operátor összhangban lenne a relativitáselmélet <math>E = \pm \sqrt{p^2 + m^2}</math> összefüggésével. Tegyük fel, hogy létezik egy ilyen operátor, ami előáll az impulzusok (térszerinti deriváltak) és a tömeg (mint számmal szorzás) lineárkombinációjaként, és a négyzetére teljesül a relativisztikus energia-impulzus összefüggés (a továbbiakban a latin betűs indexek a térszerű koordinátákat jelölik: <math>i = 1,2,3</math>, rájuk is vonatkozik a kétszer előforduló indexre automatikus összegzés szabálya):

<math> \hat{\operatorname{H}} = \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \quad \quad \hat{\operatorname{H}}^2 = \hat{\operatorname{p}}_i \hat{\operatorname{p}}_i + m^2</math>

A fenti feltételeknek nincs megoldása abban az esetben, ha az <math>\alpha_i</math> és <math>\beta</math> együtthatók számok, így keressük úgy a megoldást, hogy a <math>\Psi</math> hullámfüggvény több komponensű (oszlopvektor) és az együtthatók mátrixok. Így a feltételeink:

* Legyen <math>\Psi</math> egy <math>n</math> komponensű vektor, a komponenseit jelölje <math>\Psi_i</math>

* Legyen a <math> \rho \equiv \Psi^{+} \Psi \equiv \sum_{i=1}^{n} \Psi_i^{*} \Psi_i</math> mennyiség egy megmaradó 4-es áram nulladik komponense

* Teljesüljön a relativisztikus <math>E^2 = p^2 + m^2 </math> összefüggés. Ez azt jelenti, hogy <math>\Psi_i</math> minden komponense kielégíti a Klein-Gordon egyenletet

* Legyen az egyenlet kovariáns, azaz teljesítse azt a feltételt, hogy mindkét oldalán a Lorentz-transzformációk szempontjából ugyanúgy transzformálódó mennyiségek szerepelnek


Megmutatható, hogy ezek a feltételek az együtthatómátrixokra a következő egyenleteket adják:

<math> \left \{ \alpha_j , \alpha_k \right \} = 2 \delta_{jk} \quad \left \{ \alpha_j , \beta \right \} = 0 \quad \alpha_i^2 = \beta^2 = 1</math>

A kapcsos zárójelek az antikommutátorokat jelentik. Ezeket az egyenleteket legkevesebb <math>4 \times 4</math>-es mátrixokkal lehet kielégíteni, léteznek magasabb dimenziójú megoldások is, mi a továbbiakban csak az <math> n = 4 </math> esettel foglalkozunk. Ebben az esetben a megoldás (igazából több megoldás lehetséges, de ezek nem függetlenek egymástól, így elég csak egyet vizsgálni):

<math> \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{array} \right ) \quad \quad \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & -\operatorname{I} \end{array} \right ) </math>

Itt <math>\operatorname{I}</math> a <math>2 \times 2</math>-es egységmátrix, a <math>\sigma_i</math> mátrixok a Pauli-mátrixok. A komponensek kiírva:

<math>
\beta = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad 
\alpha_1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )
</math>

<math>
\alpha_2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad 
\alpha_3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right )
</math>

A <math>\Psi</math> hullámfüggvény pedig egy négy komponensű vektor lesz. Nagyon fontos megjegyeznünk, hogy <math>\Psi</math> '''nem''' négyesvektor (a relativitáselméletben bevezetett módon), a komponenseit nem lehet a négyesvektorokra ható Lorentz-mátrixokkal transzformálni, matematikailag <math>\Psi</math> egy másik tér eleme. A továbbiakban az együtthatómátrixok és <math>\Psi</math> komponenseinek az indexeit általában elhagyjuk, azok között a mátrixalgebrában szokásos műveletek érvényesek. Az <math>\alpha</math> mátrixok indexei a mátrix sorszámát jelentik. Egyes esetekben nehéz számontartani a különböző fajta vektorok komponenseit, a lényeg az, hogy a differenciáloperátorok <math>\Psi</math> minden komponensére külön hatnak, egy együtthatómátrix pedig a mátrixszorzás szabályai szerint hat. A Dirac-egyenlet így felírva:

<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \left ( -i \hbar \alpha_i \partial_i + \beta m \right ) \Psi = -i \hbar \alpha_1 \frac{\partial \Psi}{\partial x} -i \hbar \alpha_2 \frac{\partial \Psi}{\partial y} -i \hbar \alpha_3 \frac{\partial \Psi}{\partial z} + \beta m \Psi</math>

A jobboldali összeg minden tagjában a deriválás <math>\Psi</math> minden komponensére külön hat, majd az <math>\alpha</math> mátrixokkal szorzás a komponensek között hat a szokásos mátrixszorzási szabályok szerint.


===A Dirac-egyenlet kovariáns alakja===

Szorozzuk be a Dirac-egyenlet korábban megkapott alakját a <math>\beta</math> mátrixxal és rendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 legyen. Így kapjuk a Dirac-egyenlet kovariáns alakját:

<math>\left ( i \hbar \gamma^{\mu} \partial{\mu} - m \right ) \Psi = 0</math>

Ehhez bevezettük a Dirac-mátrixokat:

<math>\gamma^0 \equiv \beta = \left ( \begin{array}{cc} \operatorname{I} & 0 \\ 0 & \operatorname{I} \end{array} \right ) \quad \quad \gamma^i \equiv \beta \alpha_i = \left ( \begin{array}{cc} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{array} \right )</math>

A komponensek kiírva:


<math>
\gamma^0 = \left ( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right ) \quad \quad 
\gamma^1 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right )
</math>

<math>
\gamma^2 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right ) \quad \quad 
\gamma^3 = \left ( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right )
</math>

A Dirac-mátrixok tulajdonságai:

* Mindegyik mátrix unitér

* <math>\gamma^0</math> hermitikus

* <math>\gamma^i</math> antihermitikusak (<math>i = 1,2,3</math>)

* fennáll az antikommutátor reláció: <math> \left \{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \right \} = 2 \eta^{\mu \nu}</math>

Megjegyzés: A fenti tulajdonságok használhatóak a Dirac-mátrixok definiálására. Az összefüggések megoldása nem egyértelmű, de bármely négy mátrix, ami teljesíti a követelményeket megfelelő a fizikai leíráshoz (a mátrixok matematikailag unitér ekvivalensek, ugyanazt a fizikát írják le).

Megjegyzés 2: Az irodalomban gyakran használt jelölés: <math> \partialslash \eqiuv \gamma^{\mu} \partial_{\mu}</math> (itt egy áthúzott parciális d betűvel kellene jelölni a <math>\gamma^{\mu} \partial_{\mu}</math> szorzatot)

Definiáljuk a hullámfüggvény Dirac-konjugáltját:

<math> \overline{\Psi} \equiv \Psi^{+} \gamma^0</math>

Itt a <math>\Psi^{+}</math> transzponált azt a sorvektort jelenti, aminek az elemei <math>\Psi</math> elemeinek a komplex konjugáltjai, így a Dirac-konjugált is egy sorvektor. Ezzel bevezethetjük a Dirac-egyenlethez tartozó négyes áramsűrűséget:

<math>j^{\mu} \equiv \overline{\Psi} \gamma^{\mu} \Psi</math>

Ennek a komponensei a Dirac-indexek (<math>\Psi</math> komponensei) szempontjából skalárok lesznek (a definícióban minden komponensnél egy sorvektor, egy mátrix és egy oszlopvektor szorzata szerepel, ennek az eredménye egy szám). Viszont belátható, hogy a Lorentz-transzformációk szempontjából <math>j^{\mu}</math> négyesvektorként viselkedik, a <math>\overline{\Psi} \Psi </math> mennyiség pedig négyesskalár.


Felmerül a kérdés, hogy <math>\Psi</math> oszlopvektor hogyan transzformálódik egy Lorentz-transzformációt végezve. Mégegyszer hangsúlyozzuk, hogy <math>\Psi</math> nem egy négyesvektor (csak "véletlenül" van pont négy komponense), így nem lehet összeszorozni egy Lorentz-mátrixxal. Lehetne gondolni, hogyha <math>\Psi</math>-nek semmi köze sincs a négyesvektorokhoz, akkor nem transzformálódik, de ez sem igaz; minden <math>\Lambda</math> Lorentz-transzformációhoz létezik egy <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda \right )</math> <math>4 \times 4</math>-es mátrix, ami a hullámfüggvény komponenseit transzformálja a mátrixszorzás szabályai szerint:

<math> \Psi' (x'^{\mu}) = \Psi' \left ( \Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \Psi (x^{\mu})</math>

A Dirac-egyenlet transzformálásánál belátható összefüggések:

* Az egységmátrixnak megfelelő transzformáció az egységmátrix: <math>\operatorname{R} \left ( \operatorname{I} \right ) = 1</math>

* A transzformációk szorzása "asszociatív": <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \Lambda_{(2)} \right ) = \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(1)} \right ) \operatorname{R} \left ( \Lambda_{(2)} \right )</math>

* Az inverz "bevihető": <math>\operatorname{R} \left ( \Lambda^{-1} \right ) = \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right )</math>

* Feltehetjük, hogy a Dirac-mátrixok nem transzformálódnak (belátható, hogy választhatóak így)

* A deriválás operátor négyesvektorként transzformálódik: <math>\partial'_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\nu} \partial_{\nu}</math>

Ezekből levezethető a transzformációs mátrixot meghatározó egyenlet:

<math>\operatorname{R} \left ( \Lambda \right ) \gamma^{\nu} \operatorname{R}^{-1} \left ( \Lambda \right ) = \gamma^{\mu} \Lambda_{\mu}^{\nu}</math>

Ennek a megoldásaként (ami nem teljesen triviális, ezért itt mellőzzük) megkaphatnánk a hullámfüggvényt transzformáló mátrixot.

Megjegyzés: Ha csoportelméleti megfontolásokból indulunk ki, akkor azt kapjuk, hogy a négykomponensű hullámfüggvény, illetve a négyesvektorok a Lorentz-transzformációk csoportjának a különböző ábrázolásaihoz tartozó objektumok, a transzformációkra általános módszer adható, amiből a Lorentz-mátrixokat és a hullámfüggvényt transzformáló mátrixokat is meg lehet kapni.

===A Dirac-egyenlet síkhullám megoldásai===

Írjuk fel a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlethez hasonló alakban:

<math> i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{\operatorname{H}} \Psi = \left ( \sum_{i=1}^3 \alpha_i \hat{\operatorname{p}}_i + \beta m \right ) \Psi</math>

(Itt <math>\hat{\operatorname{p}}_i = - i \hbar \partial_i</math>)
Keressük a stacionárius megoldásokat <math>\Psi (\mathbf{x},t) = \psi (\mathbf{x}) e^{-\frac{i}{\hbar} \varepsilon t}</math> alakban. Így a Schrödinger-egyenletnél megszokotthoz hasonlóan energiasajátérték egyenletet kapunk. Bontsuk fel a négykomponensű hullámfüggvényt két kétkomponensű vektorra:

<math>\psi = \left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \chi_1 \\ \chi_2 \end{array} \right )</math>

Ezekre egy csatolt egyenletrendszert kapunk:

<math> \varepsilon \varphi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \chi + m \varphi \quad \quad \varepsilon \chi = \sum_{i=1}^3 \sigma_i \hat{\operatorname{p}}_i \varphi - m \chi</math>

A síkhullám megoldás:

<math>\left ( \begin{array}{c} \varphi \\ \chi \end{array} \right ) = \left ( \begin{array}{c} \varphi_0 \\ \chi_0 \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \mathbf{p x} }</math>

Ezt behelyettesítve egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, ami tartalmazza a <math>\mathbf{p}</math> és <math>\varepsilon</math> paramétereket:

<math> (\varepsilon - m) \varphi_0 - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \chi_0 = 0</math>

<math> - \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \varphi_0 + (\varepsilon + m) \chi_0 = 0 </math>

A megoldás feltétele, hogy a determináns 0 legyen. Felhasználva a Pauli-mátrixokra ismert <math>\left ( \sum_{i=1}^3 \sigma_i p_i \right )^2 = p^2</math> azonosságot, a feltétel:

<math>\varepsilon^2 - m^2 - p^2 = 0</math>

Ez az energiára az ismerős összefüggés. Látszik az is, hogy léteznek pozitív és "negatív" energiájú megoldások (részecskék és antirészecskék).
Az egyenletrendszerből:

<math> \chi_0 = \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \varepsilon} \varphi_0</math>

Legyen <math>\varphi_0 = N u = N \left ( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \end{array} \right )</math> úgy, hogy <math>u^{+} u = u_1^2 + u_2^2 = 1</math> és <math>N = \frac{1}{(2 \pi \hbar )^{3/2}} \sqrt{\frac{m + \varepsilon}{2 \varepsilon}}</math> a normálás miatt. Legyen <math>\varepsilon = \lambda E_p</math>, ahol <math>E_p = \sqrt{m^2 + p^2}</math> és <math>\lambda = \pm</math>, ekkor a megoldást <math>\mathbf{p}</math> és <math>\lambda</math> paraméterezik. Ezekkel felírva:

<math>\Psi_{\mathbf{p}, \lambda} (\mathbf{x}, t) = N \left ( \begin{array}{c} u \\ \frac{\mathbf{\sigma p}}{m + \lambda E_p} u \end{array} \right ) e^{ \frac{i}{\hbar} \left ( \mathbf{p x} - \lambda E_p t \right ) }</math>

A hullámfüggvény normálása:

<math>\int \Psi_{\mathbf{p}, \lambda}^{+} \Psi_{\mathbf{p}', \lambda'} \operatorname{d}^3 x = \delta_{\lambda, \lambda'} \delta (\mathbf{p} - \mathbf{p}')</math>